Решение тригонометрических уравнений методом введения новой переменной определение

Технологическая карта урока на тему «Решение тригонометрических уравнений методом введения новой переменной»
методическая разработка по математике

Технологическая карта урока

Скачать:

Предварительный просмотр:

« Решение тригонометрических уравнений методом введения новой переменной »

урок открытия новых знаний

• организовать учебную деятельность по освоению знания о способе решения тригонометрических уравнений методом введения новой переменной и отработке первичного умения решать тригонометрические уравнения данным методом;
• способствовать формированию организационно-рефлексивных УУД студентов.

• организовать повторение учебного материала, актуального для приобретения новых знаний;
• создать проблемную ситуацию с помощью пробного действия;
• организовать рефлексивную процедуру;
• обучить данному методу решения тригонометрических уравнений;
• организовать тренинг и самоконтроль студентов;
• проконтролировать освоение.

• слайд с заданием для актуализации знаний;
• слайд с заданием для пробного действия;
• слайд с планом деятельности;
• слайд с алгоритмом решения уравнений данного класса;
• слайд с уравнениями для этапа первичного закрепления;
• слайд с заданием для самостоятельной работы;
• эталон для самопроверки.

• карточка с заданием для пробного действия;
• карточка с уравнениями для этапа первичного закрепления;
• карточка с уравнениями для самостоятельной работы.

Технологическая карта урока

Цель: организовать направленное внимание на начало урока.

Знакомство с листом оценивания

II .Создание проблемной ситуации.

• мотивировать к выполнению пробного действия;
• организовать самостоятельное выполнение пробного учебного действия.

Создает условия для продуктивной деятельности студентов

Включаются в учебную деятельность, отвечают на вопросы.

создается позиция положительного настроя на уроке

Организация учебного процесса на этапе II.

А теперь попробуйте решить уравнение

cos 2 х — 3 = — 3sin x.

Что у вас получилось? Есть ответы?

— нет ответа; есть ответ, но неправильный; есть правильный ответ.

Студенты выполняют задание, отвечают на вопросы, составляют план решения, выслушивают мнения одногруппников и выбирают наи-лучший

формулирование проблемы (П);

выдвижение гипотез и их

познавательная инициатива (Р);

аргументация своего мнения и позиции в коммуникации

III. Фиксация затруднений.

Цель: организовать фиксацию индивидуальных затруднений в выполнении студентами пробного действия или в его обосновании.

Организация учебного процесса на этапе III.

Вариант первый (нет ответа).

Что вы не смогли сделать? (Не смогли решить это уравнение).

Вариант второй (нет правильных ответов)

Удалось ли получить верный ответ? (Не удалось получить верный ответ).

Вариант третий (есть правильные ответы)

Вы можете объяснить, как вы действовали, и доказать, что действовали правильно? (Нет)

Студенты отвечают на вопросы

осознание и построение речевого высказывания в устной и письменной форме полное и точное выражение своих мыслей

Соответствие с задачами и условиями коммуникации

IV. Выявление причины затруднения (выход в рефлексию).

• организовать восстановление выполненных операций;
• организовать выявление и фиксацию во внешней речи причины затруднения – тех конкретных знаний и умений, которых не достает для решения исходной задачи и задач такого типа вообще.

Цель: организовать анализ студентами возникшей ситуации и на этой основе подвести их к выявлению причины затруднения.

Организация учебного процесса на этапе IV.

В чем причина ваших затруднений? Каких знаний и умений вам не хватает?

(Я не знаю, как решить это уравнение; я раньше не решал такие уравнения; я не знаком с таким видом уравнений; я не знаю способа решения.)

Вы только это (конкретное) уравнение не можете решить или все уравнения, подобные этому?

(Вообще не можем решать такие уравнения.)

Значит, нужно узнать способ решения целого класса подобных уравнений.

критерии для сравнения,

Учет разных мнений координирование

в сотрудничестве разных позиций (К); анализ,

гипотез и их обоснование

связей (П); самостоятельное

решения проблем (П);

аргументация своего мнения (К)

V. Мотивация студентов на освоение новых знаний.

Цель: организовать самоопределение студентов к учебной деятельности.

Организация учебного процесса на этапе V.

Хотите этому научиться? (да) Для чего вам надо уметь решать такого рода уравнения? (Такие уравнения часто встречаются в ЕГЭ, нам надо уметь решать такие уравнения).

Как вы думаете, по силам ли это вам?

(Да, если Вы поможете, мы справимся.)

Дорогу осилит идущий. Так в путь!

Включаются в учебную деятельность,

Рефлексия способов и

условий действия(П); самостоятельный учет

действия в новом учебном материале (Р);

использование общих приемов решения задач

VI. Проектирование выхода из проблемной ситуации: формулирование целей и задач, поиск новых средств и способов решения.

Цель: организовать построение проекта выхода из затруднения:

— студенты ставят цель проекта (целью всегда является устранение причины возникшего затруднения);

— студенты определяют средства;

— студенты формулируют шаги, которые необходимо сделать для реализации поставленной цели.

Организация учебного процесса на этапе VI

Итак, ребята, что тогда будет целью нашего урока?

( освоить знание о способе решения данного класса тригонометрических уравнений и выработать первичное умение решать уравнения такого класса этим способом.)

Что для этого надо сделать?

• составить алгоритм решения уравнений данного класса;
• самостоятельно потренироваться действовать по алгоритму;
• проконтролировать себя;
• выполнить самооценку.

Включаются в учебную деятельность, отвечают на вопросы.

создается позиция положительного настроя на уроке

VII. Реализация построенного проекта.

• Цели: организовать реализацию построенного проекта в соответствии с планом, выбранными способами и средствами;
• организовать фиксацию нового способа действия в речи;
• организовать фиксацию нового способа действия в знаках (с помощью эталона)?
• организовать фиксацию преодоления затруднения;
• организовать уточнение общего характера нового знания (возможность применения нового способа действий для решения всех заданий данного типа).

Организация учебного процесса на этапе VII.

На доске уравнение.

sin 2 x – 3sin x +2 = 0.

1. Предположите, как можно решить это тригонометрическое уравнение? На уравнение какого класса оно похоже? (Оно похоже на квадратное уравнение).
2. Попробуйте разработать план решения (Как вы будете это делать, пошагово) – работа в парах.

Контроль : Как вы действовали? А у кого другое предложение?

Вы разработали план решения конкретного уравнения. А поможет ли этот план решить уравнение cos 2 х — 3 = — 3sin x ? (Нет, не знаю…)

Для решения уравнения этот план надо усовершенствовать. Я помогу вам.

Что общего в тригонометрических уравнениях и в чем различие? Первое уравнение вы не смогли решить, а для второго составили план решения.

На доске уравнения:

cos 2 х — 3 = — 3sin x.

sin 2 x – 3sin x +2 = 0.

Что надо выполнить, чтобы не было этих различий, а сходство оставалось?

Тогда, какие преобразования мы должны сделать и с помощью чего?

Различие устранили, теперь можем использовать наш план действий для решения первого уравнения?

Приступайте к решению данного уравнения (согласно своему плану).

Ребята, вы справились с заданием? Вы преодолели свои затруднения?

На доске уравнения

2 sin 2 x + 3cos x = 0

А при решении этих уравнений можно воспользоваться нашим планом действий?

Тогда каким должен быть первый шаг при решении такого типа тригонометрических уравнений?

( Применить известное тригонометрическое тождество для приведения данного тригонометрического уравнения к квадратному уравнению.)

Каким известным методом?

( Методом введения новой переменной.)

Получили алгоритм, который поможет вам решить целый класс подобных уравнений.

Зарядка для глаз.

Студенты проговаривают пошагово план решения, на слайде фиксируется каждый шаг.

§20. РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ, ОТЛИЧАЮЩИХСЯ ОТ ПРОСТЕЙШИХ.

Как правило, решение тригонометрических уравнений сводится к решению простейших уравнений с помощью преобразований тригонометрических выражений, разложения на множители и замены переменных.

20.1. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ ПРИ РЕШЕНИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ.

Следует помнить общий ориентир, когда замена переменных может выполняться без преобразования данных тригонометрических выражений.

Если в уравнение, неравенство или тождество переменная входит в одном и том же виде, то удобно соответствующее выражение с переменной обозначить одной буквой (новой переменной).

Задача 1. Решите уравнение

З а м е ч а н и е.

Записывая решения задачи 1, можно при введении замены sin x = t учесть, что | sin x | ≤1 , и записать ограничения | t | ≤ 1 , а далее заметить, что один из корней t = 3 не удовлетворяет условию | t | ≤1 , и после этого обратную замену выполнять только для t = 1/2 .

Задача 2. Решите уравнение .

К о м м е н т а р и й

В заданное уравнение переменная входит только в виде tg 2x. Поэтому
удобно ввести новую переменную tg 2x = t. После выполнения обратной
замены и решения полученных простейших тригонометрических уравнений
следует в ответ записать все полученные корни.

При поиске плана решения более сложных тригонометрических уравнений
можно воспользоваться таким о р и е н т и р о м.

1. Пробуем привести все тригонометрические функции к одному аргументу.

2. Если удалось привести к одному аргументу, то пробуем все тригонометрические выражения привести к одной функции.

3. Если к одному аргументу удалось привести, а к одной функции — нет,
тогда пробуем привести уравнение к однородному.

4. В других случаях переносим все члены в одну сторону и пробуем получить
произведение или используем специальные приемы решения.

20.2. РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
ПРИВЕДЕНИЕМ К ОДНОЙ ФУНКЦИИ (С ОДИНАКОВЫМ
АРГУМЕНТОМ)

Задача 1 Решите уравнение соs 2x – 5 sin x – 3 = 0.

З а м е ч а н и е.

При желании ответ можно записать в виде:

Задача 2 Решите уравнение tg x + 2 сtg x = 3.

20.3. РЕШЕНИЕ ОДНОРОДНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
И ПРИ­ВЕДЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
К ОДНОРОДНОМ

Все одночлены, стоящие в левой части этого уравнения, имеют степень 2
(напомним, что степень одночлена uv также равна 2). В этом случае уравнение (2) (и соответственно уравнение (1)) называется однородным, и для распознавания таких уравнений и их решения можно применять такой о р и е н т и р.

Если все члены уравнения, в левой и правой частях которого стоят
многочлены от двух переменных (или от двух функций одной переменной), имеют одинаковую суммарную степень* , то уравнение называется однородным. Решается однородное уравнение делением на наибольшую степень одной из переменных.

З а м е ч а н и е.

Придерживаясь этого ориентира, приходится делить обе части уравнения на выражение с переменной. При этом можно потерять корни
(если корнями являются те числа, при которых делитель равен нулю). Чтобы избежать этого, необходимо отдельно рассмотреть случай, когда выражение, на которое мы собираемся делить обе части уравнения, равно нулю,
и только после этого выполнять деление на выражение, не равное нулю.

Задача 1 Решите уравнение

Задача 2 Решите уравнение sin 3x = 5 соs 3x.

Задача 3 Решите уравнение

20.4. РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ВИДА f (x) = 0
С ПОМОЩЬЮ РАЗЛОЖЕНИЯ НА МНОЖИТЕЛИ

Задача 1 Решите уравнение sin 7x = sin 5x.

Задача 2 Решите уравнение sin x + sin 3x = sin 4x.

20.5. ОТБОР КОРНЕЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Если при решении тригонометрических уравнений необходимо выполнять отбор корней, то чаще всего это делается так:

находят (желательно наименьший) общий период всех тригонометрических функций, входящих в запись уравнения (конечно, если этот общий период существует); потом на этом периоде отбирают корни (отбрасывают посторонние), а те, которые остаются, периодически продолжают.

Пример Решите уравнение

І способ решения

З а м е ч а н и е.

При решении уравнения (1) мы не следили за равносильностью выполненых преобразований, но выполняли преобразования, не приводящие к потере корней. Тогда говорят (см. § 3), что мы пользовались
уравнениями-следствиями (если все корни первого уравнения являются
корнями второго уравнения, то второе уравнение называется следствием
первого). В этом случае мы могли получить посторонние для данного уравнения корни (то есть те корни последнего уравнения, которые не являются
корнями данного). Чтобы этого не случилось, можно пользоваться следующим о р и е н т и р о м.

Если при решении уравнения мы пользовались уравнениями-следствиями, то проверка полученных корней подстановкой в исходное уравнение является обязательной составной частью решения.

Если для решения этого же уравнения (1) мы будем использовать равносильные преобразования, то отбор корней будет организован немного иначе. А именно, нам придется учесть ОДЗ уравнения, то есть общую область
определения для всех функций, входящих в запись уравнения.

ІІ способ решения уравнения sin 4x tg x = 0.

Решение тригонометрических уравнений методом введения новой переменной определение

1. Метод введения новой переменной.

Пример 1 : Решим уравнение

2 sin 2 x + sin x – 1 = 0

Вводим новую переменную sin x = y. Тогда мы получаем обычное квадратное уравнение:

D = b 2 – 4ac = 1 – 4 ∙ 2 ∙ (–1) = 1 + 8 = 9

1
sin x = — и sin x = –1
2

Поскольку речь идет о синусе, то подставляем эти значения в формулы с арксинусом, вычисляем значения арксинусов и находим значения x:

1) x = (–1) n arcsin a + πk = (–1) n arcsin 1/2 + πk = (–1) n π/6 + πk

2) x = arcsin а + 2πn = arcsin (–1) + 2πn = –π/2 + 2πn

Ответ :
x = (–1) n π/6 + πk, k ∈ Z
x = –π/2 + 2πn, n ∈ Z

Пример 2 : Решим уравнение

6 sin 2 x + 5 cos x – 2 = 0.

Отсюда выводим значение sin 2 x:

Вводим это значение sin 2 x в наш пример:

6 (1 – cos 2 x) + 5 cos x – 2 = 0.

6 – 6 cos 2 x + 5 cos x – 2 = 0.

Сводим подобные члены:

4 – 6 cos 2 x + 5 cos x = 0.

Поменяем местами слагаемые от большей степени к меньшей (как того требует правило):

– 6 cos 2 x + 5 cos x + 4 = 0.

Введем опять новую переменную y = cos x и в результате получим квадратное уравнение:

Решив его, находим корни:

Символом у мы заменили cos. Значит, теперь разберемся с ним.

Мы видим, что в этом случае cos x больше 1 (cos x > 1). А значит, это уравнение корней не имеет (значение косинуса должно быть не меньше –1, но не больше 1).

В другом уравнении cos x меньше 1 (cos x Пример : Решим уравнение

2 sin x/2 cos 5x – cos 5x = 0.

Находим общий множитель. Это cos 5x. Выносим его за скобки:

cos 5x (2 sin x/2 – 1) = 0.

Уравнение верно, если хотя бы один из множителей равен 0. Значит, приравняем оба множителя к нулю:

Находим значение х в первом уравнении.