Решение тригонометрических уравнений методом введения новых переменных

Решение тригонометрических уравнений способом введения новой переменной

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Выполнила Иванова Галина Ивановна преподаватель математики
Кадетского Корпуса Лицея № 38
г. Бердск 2008
Решение
тригонометрических
уравнений
способом введения
новой переменной.

arcsin a Є [-π/2; π/2]
arccos a Є [0; π]
arctg a Є (-π/2; π/2)
Обратные тригонометрические функции

sin x = a, a Є [-1; 1]
cos x = a, a Є [-1; 1]
tg x = a, a Є (- ∞; ∞)
Простейшие тригонометрические уравнения

Простейшие тригонометрические уравнения
n Є Z
n

2sin²x — 3sin x +1=0;
sin x = t;
2t²-3t+1 = 0;
D= (-3)² — 4·2·2 = 9 + 16 = 25 =5² ;
t1,2= (3±5)/4;
t1 = 2 ; t2 =0,5 ;
sin x =2 нет решения, т.к. 2 не принадлежит [-1;1]
sin x = 0,5 ;
x = (-1) arcsin 0,5 + πn , n ЄZ;
x = (-1) π/6 + πn , n ЄZ.
Ответ: x = (-1) π/6 + πn , n ЄZ.
n
n
n
Образец решения

sin²α + cos²α = 1
sin²α = 1 — cos²α
cos²α = 1 — sin²α
Основное тригонометрическое тождество

Курс повышения квалификации

Охрана труда

• Сейчас обучается 115 человек из 42 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Охрана труда

• Сейчас обучается 233 человека из 54 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Библиотечно-библиографические и информационные знания в педагогическом процессе

• Сейчас обучается 351 человек из 63 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 582 739 материалов в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Другие материалы

• 05.12.2020
• 228
• 1

• 17.11.2020
• 136
• 1

• 08.11.2020
• 134
• 0

• 28.10.2020
• 192
• 3

• 26.10.2020
• 139
• 0

• 19.10.2020
• 89
• 0

• 09.10.2020
• 174
• 0

• 04.09.2020
• 103
• 0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 19.09.2020 226
• PPTX 186.5 кбайт
• 4 скачивания
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Трушанова Елена Сергеевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 1 год и 1 месяц
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 26018
• Всего материалов: 229

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В Ленобласти школьники 5-11-х классов вернутся к очному обучению с 21 февраля

Время чтения: 1 минута

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

Объявлен конкурс дизайн-проектов для школьных пространств

Время чтения: 2 минуты

Полный перевод школ на дистанционное обучение не планируется

Время чтения: 1 минута

В Ростовской и Воронежской областях организуют обучение эвакуированных из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

Количество бюджетных мест в вузах по IT-программам вырастет до 160 тыс.

Время чтения: 2 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Технологическая карта урока на тему «Решение тригонометрических уравнений методом введения новой переменной»
методическая разработка по математике

Технологическая карта урока

Скачать:

Предварительный просмотр:

« Решение тригонометрических уравнений методом введения новой переменной »

урок открытия новых знаний

• организовать учебную деятельность по освоению знания о способе решения тригонометрических уравнений методом введения новой переменной и отработке первичного умения решать тригонометрические уравнения данным методом;
• способствовать формированию организационно-рефлексивных УУД студентов.

• организовать повторение учебного материала, актуального для приобретения новых знаний;
• создать проблемную ситуацию с помощью пробного действия;
• организовать рефлексивную процедуру;
• обучить данному методу решения тригонометрических уравнений;
• организовать тренинг и самоконтроль студентов;
• проконтролировать освоение.

• слайд с заданием для актуализации знаний;
• слайд с заданием для пробного действия;
• слайд с планом деятельности;
• слайд с алгоритмом решения уравнений данного класса;
• слайд с уравнениями для этапа первичного закрепления;
• слайд с заданием для самостоятельной работы;
• эталон для самопроверки.

• карточка с заданием для пробного действия;
• карточка с уравнениями для этапа первичного закрепления;
• карточка с уравнениями для самостоятельной работы.

Технологическая карта урока

Цель: организовать направленное внимание на начало урока.

Знакомство с листом оценивания

II .Создание проблемной ситуации.

• мотивировать к выполнению пробного действия;
• организовать самостоятельное выполнение пробного учебного действия.

Создает условия для продуктивной деятельности студентов

Включаются в учебную деятельность, отвечают на вопросы.

создается позиция положительного настроя на уроке

Организация учебного процесса на этапе II.

А теперь попробуйте решить уравнение

cos 2 х — 3 = — 3sin x.

Что у вас получилось? Есть ответы?

— нет ответа; есть ответ, но неправильный; есть правильный ответ.

Студенты выполняют задание, отвечают на вопросы, составляют план решения, выслушивают мнения одногруппников и выбирают наи-лучший

формулирование проблемы (П);

выдвижение гипотез и их

познавательная инициатива (Р);

аргументация своего мнения и позиции в коммуникации

III. Фиксация затруднений.

Цель: организовать фиксацию индивидуальных затруднений в выполнении студентами пробного действия или в его обосновании.

Организация учебного процесса на этапе III.

Вариант первый (нет ответа).

Что вы не смогли сделать? (Не смогли решить это уравнение).

Вариант второй (нет правильных ответов)

Удалось ли получить верный ответ? (Не удалось получить верный ответ).

Вариант третий (есть правильные ответы)

Вы можете объяснить, как вы действовали, и доказать, что действовали правильно? (Нет)

Студенты отвечают на вопросы

осознание и построение речевого высказывания в устной и письменной форме полное и точное выражение своих мыслей

Соответствие с задачами и условиями коммуникации

IV. Выявление причины затруднения (выход в рефлексию).

• организовать восстановление выполненных операций;
• организовать выявление и фиксацию во внешней речи причины затруднения – тех конкретных знаний и умений, которых не достает для решения исходной задачи и задач такого типа вообще.

Цель: организовать анализ студентами возникшей ситуации и на этой основе подвести их к выявлению причины затруднения.

Организация учебного процесса на этапе IV.

В чем причина ваших затруднений? Каких знаний и умений вам не хватает?

(Я не знаю, как решить это уравнение; я раньше не решал такие уравнения; я не знаком с таким видом уравнений; я не знаю способа решения.)

Вы только это (конкретное) уравнение не можете решить или все уравнения, подобные этому?

(Вообще не можем решать такие уравнения.)

Значит, нужно узнать способ решения целого класса подобных уравнений.

критерии для сравнения,

Учет разных мнений координирование

в сотрудничестве разных позиций (К); анализ,

гипотез и их обоснование

связей (П); самостоятельное

решения проблем (П);

аргументация своего мнения (К)

V. Мотивация студентов на освоение новых знаний.

Цель: организовать самоопределение студентов к учебной деятельности.

Организация учебного процесса на этапе V.

Хотите этому научиться? (да) Для чего вам надо уметь решать такого рода уравнения? (Такие уравнения часто встречаются в ЕГЭ, нам надо уметь решать такие уравнения).

Как вы думаете, по силам ли это вам?

(Да, если Вы поможете, мы справимся.)

Дорогу осилит идущий. Так в путь!

Включаются в учебную деятельность,

Рефлексия способов и

условий действия(П); самостоятельный учет

действия в новом учебном материале (Р);

использование общих приемов решения задач

VI. Проектирование выхода из проблемной ситуации: формулирование целей и задач, поиск новых средств и способов решения.

Цель: организовать построение проекта выхода из затруднения:

— студенты ставят цель проекта (целью всегда является устранение причины возникшего затруднения);

— студенты определяют средства;

— студенты формулируют шаги, которые необходимо сделать для реализации поставленной цели.

Организация учебного процесса на этапе VI

Итак, ребята, что тогда будет целью нашего урока?

( освоить знание о способе решения данного класса тригонометрических уравнений и выработать первичное умение решать уравнения такого класса этим способом.)

Что для этого надо сделать?

• составить алгоритм решения уравнений данного класса;
• самостоятельно потренироваться действовать по алгоритму;
• проконтролировать себя;
• выполнить самооценку.

Включаются в учебную деятельность, отвечают на вопросы.

создается позиция положительного настроя на уроке

VII. Реализация построенного проекта.

• Цели: организовать реализацию построенного проекта в соответствии с планом, выбранными способами и средствами;
• организовать фиксацию нового способа действия в речи;
• организовать фиксацию нового способа действия в знаках (с помощью эталона)?
• организовать фиксацию преодоления затруднения;
• организовать уточнение общего характера нового знания (возможность применения нового способа действий для решения всех заданий данного типа).

Организация учебного процесса на этапе VII.

На доске уравнение.

sin 2 x – 3sin x +2 = 0.

1. Предположите, как можно решить это тригонометрическое уравнение? На уравнение какого класса оно похоже? (Оно похоже на квадратное уравнение).
2. Попробуйте разработать план решения (Как вы будете это делать, пошагово) – работа в парах.

Контроль : Как вы действовали? А у кого другое предложение?

Вы разработали план решения конкретного уравнения. А поможет ли этот план решить уравнение cos 2 х — 3 = — 3sin x ? (Нет, не знаю…)

Для решения уравнения этот план надо усовершенствовать. Я помогу вам.

Что общего в тригонометрических уравнениях и в чем различие? Первое уравнение вы не смогли решить, а для второго составили план решения.

На доске уравнения:

cos 2 х — 3 = — 3sin x.

sin 2 x – 3sin x +2 = 0.

Что надо выполнить, чтобы не было этих различий, а сходство оставалось?

Тогда, какие преобразования мы должны сделать и с помощью чего?

Различие устранили, теперь можем использовать наш план действий для решения первого уравнения?

Приступайте к решению данного уравнения (согласно своему плану).

Ребята, вы справились с заданием? Вы преодолели свои затруднения?

На доске уравнения

2 sin 2 x + 3cos x = 0

А при решении этих уравнений можно воспользоваться нашим планом действий?

Тогда каким должен быть первый шаг при решении такого типа тригонометрических уравнений?

( Применить известное тригонометрическое тождество для приведения данного тригонометрического уравнения к квадратному уравнению.)

Каким известным методом?

( Методом введения новой переменной.)

Получили алгоритм, который поможет вам решить целый класс подобных уравнений.

Зарядка для глаз.

Студенты проговаривают пошагово план решения, на слайде фиксируется каждый шаг.

Решение тригонометрических уравнений методом введения новых переменных

1. Метод введения новой переменной.

Пример 1 : Решим уравнение

2 sin 2 x + sin x – 1 = 0

Вводим новую переменную sin x = y. Тогда мы получаем обычное квадратное уравнение:

D = b 2 – 4ac = 1 – 4 ∙ 2 ∙ (–1) = 1 + 8 = 9

1
sin x = — и sin x = –1
2

Поскольку речь идет о синусе, то подставляем эти значения в формулы с арксинусом, вычисляем значения арксинусов и находим значения x:

1) x = (–1) n arcsin a + πk = (–1) n arcsin 1/2 + πk = (–1) n π/6 + πk

2) x = arcsin а + 2πn = arcsin (–1) + 2πn = –π/2 + 2πn

Ответ :
x = (–1) n π/6 + πk, k ∈ Z
x = –π/2 + 2πn, n ∈ Z

Пример 2 : Решим уравнение

6 sin 2 x + 5 cos x – 2 = 0.

Отсюда выводим значение sin 2 x:

Вводим это значение sin 2 x в наш пример:

6 (1 – cos 2 x) + 5 cos x – 2 = 0.

6 – 6 cos 2 x + 5 cos x – 2 = 0.

Сводим подобные члены:

4 – 6 cos 2 x + 5 cos x = 0.

Поменяем местами слагаемые от большей степени к меньшей (как того требует правило):

– 6 cos 2 x + 5 cos x + 4 = 0.

Введем опять новую переменную y = cos x и в результате получим квадратное уравнение:

Решив его, находим корни:

Символом у мы заменили cos. Значит, теперь разберемся с ним.

Мы видим, что в этом случае cos x больше 1 (cos x > 1). А значит, это уравнение корней не имеет (значение косинуса должно быть не меньше –1, но не больше 1).

В другом уравнении cos x меньше 1 (cos x Пример : Решим уравнение

2 sin x/2 cos 5x – cos 5x = 0.

Находим общий множитель. Это cos 5x. Выносим его за скобки:

cos 5x (2 sin x/2 – 1) = 0.

Уравнение верно, если хотя бы один из множителей равен 0. Значит, приравняем оба множителя к нулю:

Находим значение х в первом уравнении.