Решение тригонометрических уравнений методом замены переменной презентация

Методы решения тригонометрических уравнений Метод замены переменной Этот метод хорошо известен, он часто применяется при решении различных уравнений. Покажем. — презентация

Презентация была опубликована 8 лет назад пользователемВячеслав Щербинин

Похожие презентации

Презентация на тему: » Методы решения тригонометрических уравнений Метод замены переменной Этот метод хорошо известен, он часто применяется при решении различных уравнений. Покажем.» — Транскрипт:

1 Методы решения тригонометрических уравнений Метод замены переменной Этот метод хорошо известен, он часто применяется при решении различных уравнений. Покажем на примерах его применение при решении тригонометрических уравнений Презентацию подготовил Аверьянов Н.

2 Решить уравнение 2 sin 2 x — 5 sinx + 2=0. Решение. Введём новую переменную: z = sin x. Тогда уравнение примет вид 2 z 2 – 5 z + 2 = 0, откуда находим: z 1 = 2, z 2 = 0,5. Значит, либо sinx = 2, либо sinx = 0,5. Первое из этих уравнений не имеет решений, а для второго получаем: x = (-1) n П /6 + П n. Решить уравнение cos 2 x – sin 2 x – cosx = 0. Решение. Воспользуемся тем, что sin 2 x = 1 – cos 2 x. Тогда получаем: cos 2 x – (1 – cos 2 x) – cosx = 0; 2 cos 2 x – cosx – 1 = 0. Введём новую переменную: z = cosx. Тогда уравнение примет вид 2z 2 – z – 1=0, откуда находим: z 1 = 1, z 2 = -0,5; т. е. либо cosx = 1, либо cosx = -0,5. Из первого уравнения получаем: x = 2 П n, из второго получаем x = ± 2 П /3 + 2 П n. Ответ: x = 2 П n, x = ± 2 П /3 + 2 П n, nZ. Пример1Пример 1. Пример2.

3 Пример 3. Решить уравнение tg x/2 + 3 ctg x/2 = 4. Решение. Поскольку ctgx/2 = 1 / tgx/2, есть смысл ввести новую переменную: z = tgx/2. Это позволит переписать уравнение в более простом виде: z + 3/z = 4. Далее получаем: z = 4z; Z 2 – 4z + 3 = 0; Z 1 = 1, z 2 = 3. Возвращаясь к переменной x, получаем два уравнения: tgx/2 = 1 или tgx/2 = 3. Из первого уравнения находим: x/2 = arctg1 + П n, т.е. x/2 = П /4 + П n, x = П /2 + 2 П n. Из второго уравнения находим: x/2 = arctg3 + П n, x = 2 arctg3 + 2 П n. Ответ: x = П /2 + 2 П n; x = 2 arctg3 + 2 П n.

4 Пример 4. Решить уравнение 2tg 2 x + 3tg x — 2 = 0. Решение. Введем новую переменную t = tg x, тогда уравнение примет вид: 2t 2 + 3t — 2 = 0. Далее получаем: t 1 = -2; t 2 = 1/2. Возвращаясь к переменной х получаем два уравнения: tg x = -2 или tg x =1/2. Из первого уравнения находим: x = — arctg 2 + П n. Из второго уравнения находим: x = arctg 1/2 + П n. Ответ:x = — arctg 2 + П n. x = arctg 1/2 + П n.

5 Пример 5. Решить уравнение 2cos 2 x — cos x — 3 = 0. Решение. Введем новую переменную cos x = m,тогда уравнение примет вид: 2m 2 — m — 3 = 0. Далее получаем: m 1 = 3/2; m 2 = -1. Возвращаясь к переменной х получаем два уравнения: cosx = 2/3 или cosx = -1. Первое из этих уравнений не имеет решений, Из второго уравнения находим: x = ¶ + 2¶n. Ответ: x = ¶ + 2¶n.

6 Примеры для самостоятельного решения 1) 3tg 2 x + 2tg x — 1 = 0. 2) 2cos 2 3x -5cos3x — 3= 0. 3) 6cos 2 x + cos x — 1 = 0. 4) ctg 2 2x — 6 ctg2x + 5= 0. 5) 4sin 2 x + 11 sin x — 3=0.

Презентация по алгебре на тему «Решение тригонометрических уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Выполнила: учитель математики Гадирова Н.Я. МБОУ «Лицей № 4» г.о. Королев Методика решения тригонометрических уравнений L/O/G/O

Решение тригонометрических уравнений Для тригонометрических уравнений применимы общие методы решения (разложение на множители, замена переменной, функционально-графические) и равносильные преобразования общего характера.

Основы тригонометрии, как и основы алгебры и начал анализа закладываются в школе. Тригонометрические функции начинают изучать в 8 классе на уроках геометрии и продолжают в 10-11 классах. Тригонометрические уравнения слишком разнообразны для того, чтобы попытаться дать их общую классификацию или общий метод решения. Мы можем указать лишь способы решения некоторых типов таких уравнений.

Методы решения тригонометрических уравнений Основные методы: замена переменной, разложение на множители, однородные уравнения, прикладные методы: по формулам преобразования суммы в произведение и произведения в сумму, по формулам понижения степени, универсальная тригонометрическая подстановка введение вспомогательного угла, умножение на некоторую тригонометрическую функцию.

1.Потеря корней: делим на g(х). опасные формулы (универсальная подстановка). Этими операциями мы сужаем область определения. 2. Лишние корни: возводим в четную степень. умножаем на g(х) (избавляемся от знаменателя). Этими операциями мы расширяем область определения. Проблемы ,возникающие при решении тригонометрических уравнений

Наша задача: свести любое тригонометрическое уравнение к простейшему виду.

Решение простейших тригонометрических уравнений

Формулы корней простых тригонометрических уравнений 1.cost = а , где |а| ≤ 1 или Частные случаи 1)cost=0 t = π/2+πk‚ kЄZ 2)cost=1 t = 0+2πk‚ kЄZ 3)cost = -1 t = π+2πk‚ kЄZ 2.sint = а, где | а |≤ 1 или Частные случаи 1)sint=0 t = 0+πk‚ kЄZ 2)sint=1 t = π/2+2πk‚ kЄZ 3)sint = — 1 t = — π/2+2πk‚ kЄZ 3. tgt = а, аЄR t = arctg а + πk‚ kЄZ 4. ctgt = а, аЄR t = arcctg а + πk‚ kЄZ

Your Text Here Yor Text Here При повторении формул решения уравнений следует обратить внимание на то, что формулы задают множества чисел, которые образованы по закону арифметической прогрессии с разностью 2π или π. С другой стороны использование общей формулы серий решений не всегда является удобной при отборе корней, в частности, на числовой окружности. В этом случае как раз удобнее не объединять серии решений тригонометрических уравнений, а представлять их совокупностью, выделяя разность 2π соответствующих прогрессий.

Your Text Here Yor Text Here sin x

Yor Text Here cos x

Yor Text Here tg x и ctg x

Решение простейших уравнений tg2x = -1 2x = arctg (-1) + πk, kЄZ 2x = -π/4 + πk, kЄZ x = -π/8 + πk/2, kЄZ Ответ: -π/8 + πk/2, kЄZ. 2) cos(x+π/3) = ½ x+π/3 = ±arccos1/2 + 2πk, kЄZ x+π/3 = ±π/3 + 2πk, kЄZ x = -π/3 ± π/3 + 2πk, kЄZ Ответ: -π/3 ± π/3 + 2πk, kЄZ 3) sin(π – x/3) = 0 упростим по формулам приведения sin(x/3) = 0 частный случай x/3 = πk, kЄZ x = 3πk, kЄZ. Ответ: 3πk, kЄZ.

Решение тригонометрических уравнений разложением на множители. Метод разложения на множители заключается в следующем: если То всякое решение уравнения Является решением совокупности уравнений Обратное утверждение, неверно: не всякое решение совокупности уравнений (2) является решением уравнения (1). Это объясняется тем, что решения отдельных уравнений (2) могут не входить в область определения функции .Поэтому, если при решении тригонометрического уравнения методом разложения на множители, функции, входящие в уравнение, определены не для всех значений аргумента, после нахождения решения должна быть сделана проверка, чтобы исключить лишние корни. Можно поступать другим способом: находить область допустимых значений исходного уравнения и выбирать только те корни, которые входят в найденную область допустимых значений

Решение тригонометрических уравнений разложением на множители.

Решение тригонометрических уравнений , сводящихся к квадратным. При решении уравнений указанного типа в основном применяются следующие тригонометрические тождества: Уравнения сводимые к квадратным a∙sin²x + b∙sinx + c=0 Пусть sinx = p, где |p| ≤1, тогда a∙p² + b∙p + c = 0 Найти корни, вернуться к замене и решить простые уравнения.

Решение тригонометрических уравнений , сводящихся к квадратным. Пример 1. Решить уравнение 2 sin2x + sinx — 1 = 0. Решение. Введём новую переменную t = sinx. Тогда данное уравнение примет вид 2t2 + t — 1 = 0. Решим его: D = 1 + 8 = 9, Cледовательно, sinx = 1/2 или sinx = -1.

2) sinx = -1, 1) sinx = 1/2,

Решение уравнений, однородных относительно синуса и косинуса в которых сумма показателей степеней у sinx и cosx (степень уравнения) во всех членах уравнения одинакова. Например,

Однородные тригонометрические уравнения 2.Однородные 1)Первой степени: a∙sinx + b∙cosx = 0 Т.к. sinx и cosx одновременно не равны нулю, то разделим обе части уравнения на cosx. Получим: простое уравнение a∙tgx + b = 0 или tgx = m 2)Второй степени: a∙sin²x + b∙sinx∙cosx + c∙cos²x = 0 Разделим обе части на cos²x. Получим квадратное уравнение: a∙tg²x + b∙tgx + c = 0. В частности, уравнения вида приводятся к однородным путем представления правой части в виде:

Решение уравнений с помощью введения вспомогательного аргумента. Рассмотрим уравнение Разделим левую и правую часть уравнения на : Так как то существует угол φ такой, что при этом Тогда уравнение примет вид и выбор будут не всегда равносильны. Отметим, что к выбору угла φ в задачах с параметрами нужно относиться внимательно: выбор Решите уравнения:

Уравнения, линейные относительно sin x и cos x а sin x + в cos x = с. Если а=в=0, а с не равно 0, то уравнение теряет смысл; Если а=в=с=0, то х – любое действительное число, то есть уравнение обращается в тождество. Рассмотрим случаи, когда а,в,с не равны 0. Примеры: 3 sin 5x — 4 cos 5x = 2 2 sin 3x + 5 cos 3x = 8. Последнее уравнение не имеет решений, так как левая часть его не превосходит 7. Уравнения, этого вида можно решить многими способами: с помощью универсальной подстановки, выразив sin x и cos x через tgх ; сведением уравнения к однородному; введением вспомогательного аргумента и другими. Решение этих уравнений существует при

Решение уравнений с применением формул понижения степени. : При решении широкого круга тригонометрических уравнений ключевую роль играют формулы понижения степени Решение уравнений с применением формул тройного аргумента. При решении ряда уравнений наряду с другими существенную роль играют формулы (1) (2)

Решение уравнений методом универсальной подстановки. Тригонометрическое уравнение вида где R – рациональная функция, с помощью тригонометрических формул двойного и тройного аргумента, а также формул сложения можно свести к рациональному уравнению относительно аргументов после чего уравнение может быть сведено к рациональному уравнению относительно с помощью формул универсальной тригонометрической подстановки Следует отметить, что применение формул может приводить к сужению ОДЗ исходного уравнения, поскольку не определен в точках поэтому в таких случаях нужно проверять, являются ли углы корнями исходного уравнения.

тригонометрические уравнения, содержащие знак модуля или знак корня. Специфика тригонометрических уравнений, содержащих знак модуля или знак корня, состоит в том, что они сводятся к смешанным системам, где кроме уравнений нужно решать тригонометрические неравенства и из решений уравнений выбирать лишь те, которые удовлетворяют неравенствам. Решите уравнения:

Использование ограниченности функций при решении тригонометрических уравнений. При решении некоторых тригонометрических уравнений часто используется свойство ограниченности функций и , то есть следующие неравенства:

Функциональные методы решения тригонометрических и комбинированных уравнений. Не всякое уравнение f(x)=g(x) в результате преобразований может быть сведено к уравнению того или иного стандартного вида, для которого существует определенный метод решения. В таких случаях оказывается полезным использовать такие свойства функций f(x) и g(x), как монотонность, ограниченность, четность, периодичность и др. Так, если одна из функций убывает, а вторая возрастает на промежутке X, то при наличии у уравнения f(x)=g(x) корня на этом промежутке, этот корень единственный, и тогда его, например, можно найти подбором. Если, далее, функция f(x) на промежутке X ограничена сверху, причем , а функция g(x) ограничена снизу, причем то уравнение f(x)=g(x) равносильно системе уравнении Иногда для решения уравнения f(x)=g(x) можно построить графики функции y=f(x), y=g(x) и определить абсциссы точек пересечения. Также рассматривается применение производной для исследования тригонометрических уравнений.

Способы отбора корней тригонометрических уравнений на заданном промежутке Арифметический способ Перебор значений целочисленного параметра n и вычисление корней Алгебраический способ Перебор значений целочисленного параметра n и вычисление корней Геометрический способ Изображение корней на тригонометрической окружности с последующим отбором с учетом имеющихся ограничений

Арифметический способ Перебор значений целочисленного параметра n и вычисление корней Решить уравнение Записать корни уравнения Разделить виды решения для косинуса; подсчитать значения x при целых n до тех пор, пока значения x не выйдут за пределы данного отрезка. Записать ответ. x k -2 -1 0 1 2 … x k -2 -1 0 1 2 …

Алгебраический способ Решение неравенства относительно неизвестного параметра n и вычисление корней Записать двойное неравенство для неизвестного (x), соответственное данному отрезку или условию; решить уравнение. Для синуса и косинуса разбить решения на два. Подставить в неравенство вместо неизвестного (x) найденные решения и решить его относительно n. Учитывая, что n принадлежит Z, найти соответствующие неравенству значения n. Подставить полученные значения n в формулу корней.

Геометрический способ Изображение корней на тригонометрической окружности с последующим отбором с учетом имеющихся ограничений На окружности Решить уравнение. Обвести дугу, соответствующую данному отрезку на окружности. Разделить виды решений для синуса и косинуса. Нанести решения уравнения на окружность. Выбрать решения, попавшие на обведенную дугу. y x 0 arccos a d -arccos a c а

Геометрический способ Изображение корней на графике с последующим отбором с учетом имеющихся ограничений На графике Решить уравнение. Построить график данной функции, прямую у = а, на оси х отметить данный отрезок. Найти точки пересечения графиков. Выбрать решения, принадлежащие данному отрезку. x y y = sin x y = a arcsin a П-arcsin a с d a

Пример: Найти все корни уравнения которые удовлетворяют условию Решение. 10sin2 x = – cos 2x + 3; 10sin2 x = 2sin2 x – 1 + 3, 8sin2 x = 2; 0 y x С помощью числовой окружности получим:

Выберем корни, удовлетворяющие условию задачи. Из первой серии: Следовательно n=0 или n=1, то есть Из второй серии: Следовательно n=0 или n=1, то есть

• Уравнения, сводящиеся к простейшим: Метод введения новой переменной
презентация к уроку по математике (10 класс)

Решение тригонометрических уравнений методом введения новой переменной.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Уравнения, сводящиеся к простейшим Метод введения новой переменной

Простейшие тригонометрические уравнения sinx = a x=(-1) n arcsina + π n, n ϵ Z sinx = 0 x= π n, n ϵ Z sinx = 1 x= , n ϵ Z sinx = — 1 x= — , n ϵ Z arcsin (-a) = — arcsina

Простейшие тригонометрические уравнения cosx = a x= ± arccosa +2 π n, n ϵ Z cosx = 1 x=2 π n, n ϵ Z cosx = 0 x= , n ϵ Z cosx = — 1 x= π +2 π n, n ϵ Z arccos (-a) = π – arccos a

Простейшие тригонометрические уравнения tgx = a x = arctga + π n, n ϵ Z ctgx = a x= arcctga + π n, n ϵ Z arctg (-a) = — arctga arcctg (-a) = π — arcctga

Метод введения новой переменной Шаг 1. Привести уравнение к алгебраическому виду относительно одной из тригонометрических функций. Шаг 2. Обозначить полученную функцию переменной t (если необходимо, ввести ограничения на t). Шаг 3. Записать и решить полученное алгебраическое уравнение. Шаг 4. Сделать обратную замену. Шаг 5. Решить простейшее тригонометрическое уравнение.

Пример 1 : Решим уравнение Решение . Вводим новую переменную Тогда мы получаем квадратное уравнение: , из которого

Таким образом: и Находим значения x : 1) x = π/6 + πk 2) x = –π/2 + 2πn Ответ :

Пример 2 : Решим уравнение Решение : Мы знаем, что Отсюда выводим значение Вводим это значение sin 2 x в наш пример: Раскрываем скобки:

Сводим подобные члены: Поменяем местами слагаемые от большей степени к меньшей (как того требует правило):

Введем опять новую переменную и в результате получим квадратное уравнение: Решив его, находим корни: или Обратная замена: Рассмотрим вариант

Мы видим, что в этом случае cos x > 1. Т.Е. решений нет. В другом уравнении cos x меньше 1 ( cos x Мне нравится