Решение тригонометрических неравенств и систем
п.1. Примеры
Пример 1. Решите неравенства:
a) \(ctg\left(\frac<3\pi><2>+\frac x3\right)-\frac<1><\sqrt<3>>\leq 0\)
По формуле приведения \(ctg\left(\frac<3\pi><2>+\frac x3\right)=-tg\frac x3\)
Получаем:
\(-tg\frac x3-\frac<1><\sqrt<3>>\leq 0\Rightarrow tg\frac x3\geq \frac<1><\sqrt<3>>\)
\(arctg\frac<1><\sqrt<3>>+\pi k\leq\frac x3\lt\frac\pi2+\pi k\)
\(3\cdot\frac\pi6+3\pi k\leq x\lt\frac<3\pi><2>+3\pi k\)
\(\frac\pi2+3\pi k\leq x\lt\frac<3\pi><2>+3\pi k\)
Ответ: \(\left.\left[\frac\pi2+3\pi k;\ \frac<3\pi><2>+3\pi k\right.\right) \)
б) \(tg\left(2x+\frac\pi4\right)+1\geq 0\)
\(tg\left(2x+\frac\pi4\right)\geq -1\)
\(-\frac\pi4+\pi k\leq 2x+\frac\pi4\lt\frac\pi2+\pi k\)
\(-\frac\pi2+\pi k\leq 2x\lt\frac\pi4+\pi k\)
\(-\frac\pi4+\frac<\pi k><2>\leq x\lt\frac\pi8+\frac<\pi k><2>\)
Ответ: \(\left.\left[-\frac\pi4+\frac<\pi k><2>;\ \frac\pi8+\frac<\pi k><2>\right.\right) \)
в) \(3cos2x\leq 1\) \begin |
г) \(cos^2x-2cosx\gt 0\)
\(cosx(cosx-2)\gt 0\)
\(cosx-2\lt 0\) при любом \(x\). Делим неравенство на отрицательную скобку, получаем:
\(cosx\lt 0\)
\(\frac\pi2+2\pi k\lt x\lt\frac<3\pi><2>+2\pi k\)
Ответ: \(\left(\frac\pi2+2\pi k;\ \frac<3\pi><2>+2\pi k\right) \)
Пример 2*. Решите неравенства:
a) \(\frac12\lt sinx\leq \frac<\sqrt<2>><2>\) |
Ответ: $$ \left.\left(\frac\pi6+2\pi k;\ \frac\pi4+2\pi k\right.\right]\cup \left.\left[\frac<3\pi><4>+2\pi k;\ \frac<5\pi><6>+2\pi k\right.\right) $$
Вводим вспомогательный угол, умножаем на \(\frac12\) \begin
в) \(tg^2x-\left(1+\sqrt<3>\right)tg x+\sqrt<3>\lt 0\)
\(tg^2x-tgx-\sqrt<3>tgx+\sqrt<3>\lt 0\)
\(tgx(tgx-1)-\sqrt<3>(tgx-1)\lt 0\)
\((tgx-\sqrt<3>)(tgx-1)\lt 0\)
\(1\lt tgx\lt \sqrt<3>\)
\(arctg1+\pi k\lt x\lt arctg\sqrt<3>+\pi k\)
\(\frac\pi4+\pi k\lt x\lt\frac\pi6+\pi k\)
Ответ: \(\left(\frac\pi4+\pi k;\ \frac\pi6+\pi k\right)\)
г) \(\sqrt<5-2sinx>\geq 6sinx-1\)
Замена: \(t=sinx,\ -1\leq t\leq 1\)
Методы решения иррациональных неравенств – см. §11 справочника для 9 класса. \begin
Ответ: \(\left[-\frac<7\pi><6>+2\pi k;\ \frac\pi6+2\pi k\right]\)
Пример 3*. Решите системы:
a) \begin
Отмечаем полученные решения на числовой окружности, задаем дугу \(cosx\lt-\frac12\), отбираем решения, попавшие на дугу. |
Получаем три базовых точки \(\pm\frac<5\pi><6>,\pi\).
С учетом полного периода 2πk записываем всё множество решений.
б) \begin
В первом неравенстве получаем: \begin
$$ \begin $$ \left(-\frac\pi4;\ \frac\pi6\right)\cup \left(\frac<5\pi><6>;\ \frac<5\pi><4>\right) $$ С полным периодом \(2\pi k\) | $$ \begin $$ \left(\frac\pi4;\ \frac<3\pi><4>\right) $$ С полным периодом \(2\pi k\) |
Учитываем второе неравенство, \(cosx\gt 0\). Отбираем только решения справа от оси \(Y\).
Получаем: \(\left(-\frac\pi4;\frac\pi6\right)\cup\left(\frac\pi4;\frac\pi2\right)\)
Ответ: \(\left(-\frac\pi4+2\pi k;\ \frac\pi6+2\pi k\right)\cup \left(\frac\pi4+2\pi k;\ \frac\pi2+2\pi k\right)\)
Системы тригонометрических неравенств и методы их решения
Системы неравенств можно решать с помощью единичной окружности, придерживаясь следующего алгоритма:
- Отметить на окружности решение первого неравенства.
- Отметить решение второго неравенства.
- Выделить общее решение (пересечение дуг).
- Записать общее решение системы неравенств с учетом периода.
Пример 1. Решите систему неравенств: \(\begin
Решение: Решим простейшие неравенства с помощью формул общих решений: \(x\in (arcsina+2\pi n; \pi-arcsina+2\pi n), n\in Z \ и \\ x\in[arccosa+2\pi n; 2\pi-arccosa+2\pi n], n\in Z.\)
Для наших неравенств имеем два промежутка решений:
\(1)\ x\in (arcsin(-\frac<\sqrt2>2)+2\pi n; \pi-arcsin(-\frac<\sqrt2>2)+2\pi n), n\in Z \Rightarrow \\ x\in(-\frac<\pi>4+2\pi n; \pi+\frac<\pi>4+2\pi n) \Rightarrow x\in(-\frac<\pi>4+2\pi n; \frac<5\pi>4+2\pi n), n\in Z. \)
\(2)\ x\in [arccos\frac<\sqrt3>2+2\pi n; 2\pi-arccos\frac<\sqrt3>2+2\pi n], n\in Z \Rightarrow \\x\in[\frac<\pi>6+2\pi n; 2\pi-\frac<\pi>6+2\pi n] \Rightarrow x\in[\frac<\pi>6+2\pi n; \frac<11\pi>6+2\pi n], n\in Z.\)
Для этих двух промежутков необходимо указать пересечение. Изобразим это на тригонометрической окружности:
Видно, что пересечением областей решений является промежуток:
\(x\in[\frac<\pi>6+2\pi n; \frac<5\pi>4+2\pi n), n\in Z\) .
Промежуток \(x\in(-\frac<\pi>4+2\pi n; \frac<11\pi>6+2\pi n], n\in Z\) не является частью решения, т. к. на самом деле здесь области не пересекаются, поскольку лежат в разных диапазонах углов: отрицательном и положительном.
Обратите внимание на то, что начало промежутка решений включается, а конец исключается.
Ответ: \(x\in[\frac<\pi>6+2\pi n; \frac<5\pi>4+2\pi n), n\in Z\) .
Решение задач по математике онлайн
//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘
Калькулятор онлайн.
Решение тригонометрических неравенств.
Этот математический калькулятор онлайн поможет вам решить тригонометрическое неравенство. Программа для решения тригонометрического неравенства не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс получения результата.
Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
Обязательно ознакомьтесь с правилами ввода функций. Это сэкономит ваше время и нервы.
Правила ввода функций >> Почему решение на английском языке? >> С 9 января 2019 года вводится новый порядок получения подробного решения некоторых задач. Ознакомтесь с новыми правилами >> —> Введите тригонометрическое неравенство
Решить неравенство
Немного теории.
Тригонометрические неравенства
Неравенства вида \( \sin x > a \) и \( \sin x
Пусть дано простейшее неравенство \( \sin x > a \).
1) При \(-1 1 \) решением неравенства является любое действительное число: \( x \in \mathbb
3) При \(а = 1 \) решением неравенства является любое действительное число, отличное от \( \frac<\pi> <2>+ 2\pi k, \; k \in \mathbb
4) При \(а \leqslant -1 \) неравенство не имеет решений.
Неравенства вида \( \cos x > a \) и \( \cos x
Пусть дано простейшее неравенство \( \cos x > a \).
1) При \(-1 1\) решением неравенства является любое действительное число: \( x \in \mathbb
3) При \(a \leqslant -1\) неравенство не имеет решений.
4) При \(a = 1\) решением неравенства является любое действительное число, отличное от \( 2\pi k, \; k \in \mathbb
Неравенства вида \( tg \;x > a \) и \( tg \;x
Пусть дано простейшее неравенство \( tg \;x > a \).
Множество всех решений данного тригонометрического неравенства будем искать с помощью тригонометрического круга.
Из данного рисунка видно, что при любом \(a \in \mathbb
$$ x \in \left(arctg \;a + \pi k; \;\; \frac<\pi> <2>+ \pi k \right), \; k \in \mathbb
Пусть дано простейшее неравенство \( tg \;x
Неравенства вида \( ctg \;x > a \) и \( ctg \;x
Пусть дано простейшее неравенство \( ctg \;x > a \).
Множество всех решений данного тригонометрического неравенства будем искать с помощью тригонометрического круга.
Из данного рисунка видно, что при любом \(a \in \mathbb
$$ x \in ( \pi k; \;\; arcctg \;a + \pi k ), \; k \in \mathbb
Пусть дано простейшее неравенство \( ctg \;x
Решение тригонометрических неравенств
ПРИМЕР 1. Решим неравенство \( \sin x > \frac<1> <2>\).
Так как \( -1 \frac<1> <2>\).
Так как \( -1 1 \).
Очевидно, что решение неравенства будет таким:
$$ x \in \left(\frac<\pi> <4>+ \pi k; \;\; \frac<\pi> <2>+ \pi k\right), \; k \in \mathbb
ПРИМЕР 6. Решим неравенство \( tg \;x \frac<\sqrt<3>> <3>\).
Очевидно, что решение неравенства будет таким:
$$ x \in \left( \pi k; \;\; \frac<\pi> <3>+ \pi k \right), \; k \in \mathbb
ПРИМЕР 8. Решим неравенство \( ctg \;x
http://itest.kz/ru/ent/matematika/10-klass/lecture/sistemy-trigonometricheskih-neravenstv-i-metody-ih-resheniya
http://www.math-solution.ru/math-task/trigonometry-inequality