Тригонометрические уравнения
Решение простейших тригонометрических уравнений
Градусы и радианы
Знакомство с тригонометрической окружностью
Повороты на тригонометрической окружности
Как много боли связано со словом тригонометрия. Эта тема появляется в 9 классе и уже никуда не исчезает. Тяжело приходится тем, кто чего-то не понял сразу. Попробуем это исправить, чтобы осветить ваше лицо улыбкой при слове тригонометрия или хотя бы добиться «poker face».
Начнем с того, что как длину можно выразить в метрах или милях, так и угол можно выразить в радианах или градусах .
1 радиан = 180/π ≈ 57,3 градусов
Но проще запомнить целые числа: 3,14 радиан = 180 градусов. Это все одно и то же значение числа π.
Вспомним, что если нас просят развернуться, то нам нужно повернуться на 180 градусов, а теперь можно так же сказать: Повернись на π!
О графиках синуса, косинуса и тангеса поговорим в другой статье.
А сейчас начем с декартовой (прямоугольной) системы координат.
Раньше она помогала строить графики, а теперь поможет с синусом и косинусом.
На пересечении оси Х и оси Y построим единичную (радиус равен 1) окружность:
Тогда ось косинусов будет совпадать с х, ось синусов с y. Оси тангенсов и котангенсов также показаны на рисунке.
А теперь отметим основные значения градусов и радиан на окружности.
Давай договоримся с тобой, как взрослые люди: на окружности мы будем отмечать угол в радианах, то есть через Пи.
Достаточно запомнить, что π = 180° (тогда π/6 = 180/6 = 30°; π/3 = 180/3 = 60°; π/4 = 180/4 = 45°).
А теперь давай покрутимся на окружности! За начало отчета принято брать крайнюю правую точку окружности (где 0°):
От нее задаем дальнейший поворот. Вращаться можем как в положительную сторону (против часовой), так и в отрицательную сторону (по часовой стрелке).
Повернуться на 45° можно двумя спобами: через левое плечо на 45° в (+) сторону, либо через правое плечо на 315° в (-).
Главное — направление, куда мы будем смотреть, а не угол!
Нужно направить пунктир на 100 баллов, а сколько оборотов и в какую сторону вокруг себя мы сделаем — без разницы!
Получить 100 баллов можно поворотом на 135° или 360°+135°, или -225°, или -225°-360°.
А теперь у тебя есть два пути:
Выучить всю окружность (тригонометр). Неплохой вариант, если с памятью у тебя все отлично, и ничего не вылетит из головы в ответственный момент:
А можно запомнить несколько табличных углов и соответствующие им значения, а потом использовать их.
Находите равные углы (вертикальные, соответственные) на тригонометрической окружности. Попасть в любую точку можно с помощью суммы или разности двух табличных значений.
Сразу попробуем разобрать на примере:
1) Помним, что ось cos(x) — это горизонтальная ось. На ней отмечаем значение ½ и проводим перпендикулярную (фиолетовую) прямую до пересечений с окружностью.
2) Получили две точки пересечения с окружностью, значение этих углов и будет решением уравнения.
Дело за малым — найти эти углы.
Лучше обойтись «малой кровью» и выучить значение синуса и косинуса для углов от 30° до 60°.
Или запомнить такой прием:
Пронумеруй пальцы от 0 до 4 от мизинца до большого. Угол задается между мизинцем и любым другим пальцем (от 0 до 90).
Например, требуется найти sin(π/2) : π/2 — это большой палец, n = 4 подставляем в формулу для синуса: sin(π/2) = √4/2 = 1 => sin(π/2) = 1.
cos(π/4) — ? π/4 соответсвует среднему пальцу (n = 2) => cos(π/4) = √2/2.
При значении cos(x) = ½ из таблицы или с помощью мнемонического правила находим x = 60° (первая точка x = +π/3 из-за того, что поворот происходил против часовой стерелки (+), угол показан черной дугой).
Вторая же точка соответствует точно такому же углу, только поворот будет по часовой стрелке (−). x = −π/3 (угол показан нижней черной дугой).
И последнее, прежде чем тебе, наконец, откроются тайные знания тригонометрии:
Когда требуется попасть в «100 баллов», мы можем в них попасть с помощью поворота на . =-225°=135°=495°=.
То же самое и здесь! Разные углы могут отражать одно и то же направление.
Абсолютно точно можно сказать, что нужно повернуться на требуемый угол, а дальше можно поворачиваться на 360° = 2π (синим цветом) сколько угодно раз и в любом направлении.
Таким образом, попасть в первое направление 60° можно: . 60°-360°, 60°, 60°+360°.
И как записать остальные углы, не записывать же бесконечное количество точек? (Хотел бы я на это посмотреть☻)
Поэтому правильно записать ответ: x = 60 + 360n, где n — целое число (n∈Ζ) (поворачиваемся на 60 градусов, а после кружимся сколько угодно раз, главное, чтобы направление осталось тем же). Аналогично x = −60 + 360n.
Но мы же договорились, что на окружности все записывают через π, поэтому cos(x) = ½ при x = π/3 + 2πn, n∈Ζ и x = −π/3 + 2πk, k∈Ζ.
Ответ: x = π/3 + 2πn, x= − π/3 + 2πk, (n, k) ∈Ζ.
Пример №2. 2sinx = √2
Первое, что следует сделать, это перенести 2-ку вправо => sinx=√2/2
1) sin(x) совпадает с осью Y. На оси sin(x) отмечаем √2/2 и проводим ⊥ фиолетовую прямую до пересечений с окружностью.
2) Из таблицы sinx = √2/2 при х = π/4, а вторую точку будем искать с помощью поворота до π, а затем нужно вернуться обратно на π/4.
Поэтому вторая точка будет x = π − π/4 = 3π/4, в нее также можно попасть и с помощью красных стрелочек или как-то по-другому.
И еще не забудем добавить +2πn, n∈Ζ.
Ответ: 3π/4 + 2πn и π/4 + 2πk, k и n − любые целые числа.
Пример №3. tg(x + π/4) = √3
Вроде все верно, тангенс равняется числу, но смущает π/4 в тангенсе. Тогда сделаем замену: y = x + π/4.
tg(y) = √3 выглядит уже не так страшно. Вспомним, где ось тангенсов.
1) А теперь на оси тангенсов отметим значение √3, это выше чем 1.
2) Проведем фиолетовую прямую через значение √3 и начало координат. Опять на пересечении с окружностью получается 2 точки.
По мнемоническому правилу при тангенсе √3 первое значение — это π/3.
3) Чтобы попасть во вторую точку, можно к первой точке (π/3) прибавить π => y = π/3 + π = 4π/3.
4) Но мы нашли только y , вернемся к х. y = π/3 + 2πn и y = x + π/4, тогда x + π/4 = π/3 + 2πn => x = π/12 + 2πn, n∈Ζ.
Второй корень: y = 4π/3 + 2πk и y = x + π/4, тогда x + π/4 = 4π/3 + 2πk => x = 13π/12 + 2πk, k∈Ζ.
Теперь корни на окружности будут здесь:
Ответ: π/12 + 2πn и 13π/12 + 2πk, k и n — любые целые числа.
Конечно, эти два ответа можно объединить в один. От 0 поворот на π/12, а дальше каждый корень будет повторяться через каждый π (180°).
Ответ можно записать и так: π/12 + πn, n∈Ζ.
Пример №4: −10ctg(x) = 10
Перенесем (−10) в другую часть: ctg(x) = −1. Отметим значение -1 на оси котангенсов.
1) Проведем прямую через эту точку и начало координат.
2) Придется опять вспомнить, когда деление косинуса на синус даст еденицу (это получается при π/4). Но здесь −1, поэтому одна точка будет −π/4. А вторую найдем поворотом до π, а потом назад на π/4 (π − π/4).
Можно это сделать по-другому (красным цветом), но мой вам совет: всегда отсчитывайте от целых значений пи (π, 2π, 3π. ) так намного меньше шансов запутаться.
Не забываем добавить к каждой точке 2πk.
Ответ: 3π/4 + 2πn и −π/4 + 2πk, k и n — любые целые числа.
Алгоритм решения тригонометрических уравнений (на примере cos(x) = − √ 3/2) :
- Отмечаем значение (−√3/2) на оси тригонометрической функции (косинусов, это ось Х).
- Проводим перпендикулярную прямую оси (косинусов) до пересечений с окружностью.
- Точки пересечения с окружностью и будут являться корнями уравнения.
- Значение одной точки (без разницы, как в нее попадете) +2πk.
Азов достаточно, прежде чем идти дальше закрепите полученные знания.
Решение задач по математике онлайн
//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘
Калькулятор онлайн.
Решение тригонометрических уравнений.
Этот математический калькулятор онлайн поможет вам решить тригонометрическое уравнение. Программа для решения тригонометрического уравнения не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс получения ответа.
Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
Обязательно ознакомьтесь с правилами ввода функций. Это сэкономит ваше время и нервы.
Правила ввода функций >> Почему решение на английском языке? >> С 9 января 2019 года вводится новый порядок получения подробного решения некоторых задач. Ознакомтесь с новыми правилами >> —> Введите тригонометрическое уравнение
Решить уравнение
Немного теории.
Тригонометрические уравнения
Уравнение cos(х) = а
Из определения косинуса следует, что \( -1 \leqslant \cos \alpha \leqslant 1 \). Поэтому если |a| > 1, то уравнение cos x = a не имеет корней. Например, уравнение cos х = -1,5 не имеет корней.
Уравнение cos x = а, где \( |a| \leqslant 1 \), имеет на отрезке \( 0 \leqslant x \leqslant \pi \) только один корень. Если \( a \geqslant 0 \), то корень заключён в промежутке \( \left[ 0; \; \frac<\pi> <2>\right] \); если a
Уравнение sin(х) = а
Из определения синуса следует, что \( -1 \leqslant \sin \alpha \leqslant 1 \). Поэтому если |a| > 1, то уравнение sin x = а не имеет корней. Например, уравнение sin x = 2 не имеет корней.
Уравнение sin х = а, где \( |a| \leqslant 1 \), на отрезке \( \left[ -\frac<\pi><2>; \; \frac<\pi> <2>\right] \) имеет только один корень. Если \( a \geqslant 0 \), то корень заключён в промежутке \( \left[ 0; \; \frac<\pi> <2>\right] \); если а
Уравнение tg(х) = а
Из определения тангенса следует, что tg x может принимать любое действительное значение. Поэтому уравнение tg x = а имеет корни при любом значении а.
Уравнение tg x = а для любого a имеет на интервале \( \left( -\frac<\pi><2>; \; \frac<\pi> <2>\right) \) только один корень. Если \( |a| \geqslant 0 \), то корень заключён в промежутке \( \left[ 0; \; \frac<\pi> <2>\right) \); если а
Решение тригонометрических уравнений
Выше были выведены формулы корней простейших тригонометрических уравнений sin(x) = a, cos(x) = а, tg(x) = а. К этим уравнеииям сводятся другие тригонометрические уравнения. Для решения большинства таких уравнений требуется применение различных формул и преобразований тригонометрических выражений. Рассмотрим некоторые примеры решения тригонометрических уравнений.
Уравнения, сводящиеся к квадратным
Решить уравнение 2 cos 2 (х) — 5 sin(х) + 1 = 0
Заменяя cos 2 (х) на 1 — sin 2 (х), получаем
2 (1 — sin 2 (х)) — 5 sin(х) + 1 = 0, или
2 sin 2 (х) + 5 sin(х) — 3 = 0.
Обозначая sin(х) = у, получаем 2у 2 + 5y — 3 = 0, откуда y1 = -3, y2 = 0,5
1) sin(х) = — 3 — уравнение не имеет корней, так как |-3| > 1;
2) sin(х) = 0,5; \( x = (-1)^n \text
Ответ \( x = (-1)^n \frac<\pi> <6>+ \pi n, \; n \in \mathbb
Решить уравнение 2 cos 2 (6х) + 8 sin(3х) cos(3x) — 4 = 0
Используя формулы
sin 2 (6x) + cos 2 (6x) = 1, sin(6х) = 2 sin(3x) cos(3x)
преобразуем уравнение:
3 (1 — sin 2 (6х)) + 4 sin(6х) — 4 = 0 => 3 sin 2 (6х) — 4 sin(6x) + 1 = 0
Обозначим sin 6x = y, получим уравнение
3y 2 — 4y +1 =0, откуда y1 = 1, y2 = 1/3
Уравнение вида a sin(x) + b cos(x) = c
Решить уравнение 2 sin(x) + cos(x) — 2 = 0
Используя формулы \( \sin(x) = 2\sin\frac
Поделив это уравнение на \( \cos^2 \frac
Обозначая \( \text
В общем случае уравнения вида a sin(x) + b cos(x) = c, при условиях \( a \neq 0, \; b \neq 0, \; c \neq 0, \; c^2 \leqslant b^2+c^2 \) можно решить методом введения вспомогательного угла.
Разделим обе части этого уравнения на \( \sqrt \):
Решить уравнение 4 sin(x) + 3 cos(x) = 5
Здесь a = 4, b = 3, \( \sqrt = 5 \). Поделим обе части уравнения на 5:
Уравнения, решаемые разложением левой части на множители
Многие тригонометрические уравнения, правая часть которых равна нулю, решаются разложением их левой части на множители.
Решить уравнение sin(2х) — sin(x) = 0
Используя формулу синуса двойного аргумента, запишем уравнепие в виде 2 sin(x) cos(x) — sin(x) = 0. Вынося общий множитель sin(x) за скобки, получаем sin(x) (2 cos x — 1) = 0
Решить уравнение cos(3х) cos(x) = cos(2x)
cos(2х) = cos (3х — х) = cos(3х) cos(x) + sin(3х) sin(x), поэтому уравнение примет вид sin(x) sin(3х) = 0
Решить уравнение 6 sin 2 (x) + 2 sin 2 (2x) = 5
Выразим sin 2 (x) через cos(2x)
Так как cos(2x) = cos 2 (x) — sin 2 (x), то
cos(2x) = 1 — sin 2 (x) — sin 2 (x), cos(2x) = 1 — 2 sin 2 (x), откуда
sin 2 (x) = 1/2 (1 — cos(2x))
Поэтому исходное уравнение можно записать так:
3(1 — cos(2x)) + 2 (1 — cos 2 (2х)) = 5
2 cos 2 (2х) + 3 cos(2х) = 0
cos(2х) (2 cos(2x) + 3) = 0
Простейшие тригонометрические уравнения. Часть 1
Простейшими называются тригонометрические уравнения следующих четырёх видов:
Любое тригонометрическое уравнение в конечном счёте сводится к решению одного или нескольких простейших. К сожалению, на этом заключительном стандартном шаге школьники часто допускают ошибки, что ведет к потере баллов на ЕГЭ. Именно поэтому так важна данная тема.
Существуют два подхода к решению простейших тригонометрических уравнений.
Первый подход — бессмысленный и тяжёлый. Следуя ему, надо выучить по шпаргалке общие формулы, а также все частные случаи. Польза от этого столь же невелика, как от зубрежки шестнадцати строк заклинаний на непонятном языке. Мы отказываемся от такого подхода раз и навсегда.
Второй подход — логический и наглядный. Для решения простейших тригонометрических уравнений мы пользуемся тригонометрическим кругом и определениями тригонометрических функций.
Уравнения и
Напомним, что — абсцисса точки на единичной окружности, соответствующей углу , а — её ордината.
Из определения синуса и косинуса следует, что уравнения и имеют решения только при условии .
Абитуриент, будь внимателен! Уравнения или решений не имеют!
Начнём с самых простых уравнений.
. .
Мы видим, что на единичной окружности имеется лишь одна точка с абсциссой 1:
Эта точка соответствует бесконечному множеству углов: . Все они получаются из нулевого угла прибавлением целого числа полных углов (т. е. нескольких полных оборотов как в одну, так и в другую сторону).
Следовательно, все эти углы могут быть записаны одной формулой:
Это и есть множество решений данного уравнения. Напоминаем, что — это множество целых чисел.
Снова видим, что на единичной окружности есть лишь одна точка с абсциссой :
Эта точка соответствует углу и всем углам, отличающихся от на несколько полных оборотов в обе стороны, т. е. на целое число полных углов. Следовательно, все решения данного уравнения записываются формулой:
. .
Отмечаем на тригонометрическом круге единственную точку с ординатой :
И записываем ответ:
Обсуждать тут уже нечего, не так ли? 🙂
Можете, кстати, записать ответ и в другом виде:
Это — дело исключительно вашего вкуса.
Заодно сделаем первое полезное наблюдение. Чтобы описать множество углов, отвечающих одной-единственной точке тригонометрического круга, нужно взять какой-либо один угол из этого множества и прибавить .
На тригонометрическом круге имеются две точки с ординатой 0:
Эти точки соответствуют углам Все эти углы получаются из нулевого угла прибавлением целого числа углов (т. е. с помощью нескольких полуоборотов в обе стороны). Таким образом,
Точки, лежащие на концах диаметра тригонометрического круга, мы будем называть диаметральной парой.
Точки с абсциссой 0 также образуют диаметральную пару, на сей раз вертикальную:
Все углы, отвечающие этим точкам, получаются из — прибавлением целого числа углов (полуоборотов):
Теперь мы можем сделать и второе полезное наблюдение.
Чтобы описать множество углов, отвечающих диаметральной паре точек тригонометрического круга, нужно взять какой-либо один угол из этого множества и прибавить .
Переходим к следующему этапу. Теперь в правой части будет стоять табличное значение синуса или косинуса (отличное от 0 или ). Начинаем с косинуса.
Имеем вертикальную пару точек с абсциссой :
Все углы, соответствующие верхней точке, описываются формулой (вспомните первое полезное наблюдение!):
Аналогично, все углы, соответствующие нижней точке, описываются формулой:
Обе серии решений можно описать одной формулой:
Остальные уравнения с косинусом решаются совершенно аналогично. Мы приводим лишь рисунок и ответ.
Теперь рассмотрим уравнения с синусом. Тут ситуация немного сложнее.
Имеем горизонтальную пару точек с ординатой :
Углы, отвечающие правой точке:
Углы, отвечающие левой точке:
Описывать эти две серии одной формулой никто не заставляет. Можно записать ответ в таком виде:
Тем не менее, объединяющая формула существует, и её надо знать. Выглядит она так:
На первый взгляд совершенно не ясно, каким образом она дает обе серии решений. Но давайте посмотрим, что получается при чётных . Если , то
Мы получили первую серию решений . А если — нечетно, , то
Это вторая серия .
Обратим внимание, что в качестве множителя при обычно ставится правая точка, в данном случае .
Остальные уравнения с синусом решаются точно так же. Мы приводим рисунок, запись ответа в виде совокупности двух серий и объединяющую формулу.
На этом с синусом и косинусом пока всё. Переходим к тангенсу.
Линия тангенсов.
Начнём с геометрической интерпретации тангенса — так называемой линии тангенсов. Это касательная к единичной окружности, параллельная оси ординат (см. рисунок).
Из подобия треугольников и имеем:
Мы рассмотрели случай, когда находится в первой четверти. Аналогично рассматриваются случаи, когда находится в остальных четвертях. В результате мы приходим к следующей геометрической интерпретации тангенса.
Тангенс угла равен ординате точки , которая является точкой пересечения линии тангенсов и прямой , соединяющей точку с началом координат.
Вот рисунок в случае, когда находится во второй четверти. Тангенс угла отрицателен.
Уравнение
Заметим, что тангенс может принимать любые действительные значения. Иными словами, уравнение имеет решения при любом .
.
Имеем диаметральную горизонтальную пару точек:
Эта пара, как мы уже знаем, описывается формулой:
Имеем диаметральную пару:
Вспоминаем второе полезное наблюдение и пишем ответ:
Остальные уравнения с тангенсом решаются аналогично. Мы приводим лишь рисунки и ответы.
На этом заканчиваем пока и с тангенсом.
Уравнение нет смысла рассматривать особо. Дело в том, что:
уравнение равносильно уравнению ;
при уравнение равносильно уравнению .
Впрочем, существует также и линия котангенсов, но. . . Об этом мы вам расскажем на занятиях 🙂
Итак, мы разобрали простейшие тригонометрические уравнения, содержащие в правой части табличные значения тригонометрических функций. Именно такие задачи встречаются в части В вариантов ЕГЭ.
А что делать, например, с уравнением ? Для этого надо сначала познакомиться с обратными тригонометрическими функциями. О них мы расскажем вам в следующей статье.
http://www.math-solution.ru/math-task/trigonometry-equality
http://ege-study.ru/prostejshie-trigonometricheskie-uravneniya-chast-1/