Решение тригонометрических уравнений с половинным аргументом

Формулы половинного угла в тригонометрии

Формулы половинного угла (аргумента) представляют собой противоположность формулам двойного угла , так как они выражают синус, косинус, тангенс и котангенс угла α 2 при помощи тригонометрических функций угла α . В статье раскрыты формулы половинного угла и добавлены их доказательства с примерами решений.

Список формул половинного угла

Стандартные формулы половинного угла:

sin 2 α 2 = 1 — cos α 2 cos 2 α 2 = 1 + cos α 2 t g 2 α 2 = 1 — cos α 1 + cos α c t g 2 α 2 = 1 + cos α 1 — cos α

Формулы для sin и cos половинного угла справедливы при любом значении заданного угла α . Формулу для t g любого угла α определяет t g α 2 , значение угла α ≠ π + 2 π · z при z равном любому целому числу ( выражение 1 + cos α с таким же значением α не должно принимать значение 0 ). Формула c t g угла считается справедливой для любого угла α , где половинный угол имеет место быть, α ≠ 2 π · z .

Самые значимые формулы половинного угла для квадратов тригонометрических функций выводятся через положительное или отрицательное значение арифметического квадратного корня. Имеем формулы половинного угла:

sin α 2 = ± 1 — cos α 2 , cos α 2 = ± 1 + cos α 2 , t g α 2 = ± 1 — cos α 1 + cos α , c t g α 2 = ± 1 + cos α 1 — cos α

Знак «-» указывает, что тригонометрическая функция принадлежит определенной четверти угла α 2 .

Применим формулы на практике.

Доказательство формул половинного угла

Доказательство формул половинного угла основывается на формулах cos двойного угла cos α = 1 — 2 · sin 2 α 2 и cos α = 2 · cos 2 α 2 — 1 . Упростив первое выражение по sin 2 α 2 , получим саму формулу половинного угла sin 2 α 2 = 1 — cos α 2 , второе выражение по cos 2 α 2 получим cos 2 α 2 = 1 + cos α 2 .

Чтобы доказать формулы половинного угла для t g и c t g угла α 2 , необходимо применить основные тригонометрические тождества t g α 2 = sin α 2 cos α 2 и c t g α 2 = cos α 2 sin α 2 , к ним необходимо добавить формулы половинного угла cos и sin , которые доказали выше. При подстановке получим выражения, имеющие вид:

t g 2 α 2 = sin 2 α 2 cos 2 α 2 = 1 — cos α 2 1 + cos α 2 = 1 — cos α 1 + cos α ; c t g 2 α 2 = cos 2 α 2 sin 2 α 2 = 1 — cos α 2 1 + cos α 2 = 1 + cos α 1 — cos α ;

Все формулы половинного угла были доказаны.

Примеры использования

Покажем применение формул половинного угла при решении примера.

Известно, что cos 30 ° = 3 2 . Необходимо вычислить значение cos 15 градусов, используя формулы половинного угла.

Данный пример рассматривает применение формулы половинного угла для косинуса, имеющей вид cos 2 α 2 = 1 + cos α 2 .

Следуя из условия, подставляем числовые значения и получаем: cos 2 15 ° = 1 + cos 30 ° 2 = 1 + 3 2 2 = 2 + 3 4 . После получения значения косинуса 15 градусов, необходимо найти само значение косинуса. Для этого вспомним, что угол в 15 градусов принадлежит первой четверти. Там косинус угла имеет положительное значение ( чтобы вспомнить знаки тригонометрических функций, необходимо повторить теорию знаков синуса, косинуса, тангенса и котангенса по четвертям). Следуя из вышесказанного, имеем cos 2 15 ° = 2 + 3 4 , тогда cos 15 ° = 2 + 3 4 = 2 + 3 2 . Ответ: cos 15 ° = 2 + 3 2 .

Применяя формулу половинного угла, стоит учитывать тот факт, что угол может быть не явного вида α 2 и α , а потребует дальнейшего приведения к стандартному виду. Главное условие – нахождение аргумента в правой части формул половинного угла было в 2 раза больше, чем в левой. Иначе применение формулы будет невозможно.

Если формула позволит записывать данное равенство таким образом sin 2 7 α = 1 — cos 14 α 2 или sin 2 5 α 17 = 1 — cos 10 α 17 2 , то формула будет применима.

Для правильного преобразования и применения формул половинного аргумента необходимо досконально изучить свойства тригонометрических функций. Не любое выражение поддается такому преобразованию в тригонометрии. Необходимо внимательно следить за значениями углов тригонометрических функций и их нахождение в четвертях для определения знака для выражения.

Все формулы половинного угла в тригонометрии:

Решение задач и уравнений

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На уроке рассматривается обобщенная задача по вычислению значений тригонометрических функций аргумента, половинного аргумента и удвоенного аргумента. В процессе ее решения выводятся формулы универсальной тригонометрической подстановки и рассматриваются особенности их области допустимых значений.

Формулы двойного и половинного аргумента. Универсальная подстановка

п.1. Формулы двойного аргумента

Выведем формулы двойного аргумента, исходя из формул суммы (см. §13 и §14 данного справочника)

\begin sin2\alpha=sin(\alpha+\alpha)=sin\alpha cos\alpha+cos\alpha sin\alpha=2sin\alpha cos\alpha\\ cos2\alpha=cos(\alpha+\alpha)=cos\alpha cos\alpha-sin\alpha sin\alpha=cos^2\alpha-sin^2\alpha\\ tg2\alpha=tg(\alpha+\alpha)=\frac<1-tg\alpha\cdot tg\alpha>=\frac<2tg\alpha> <1-tg^2\alpha>\end

Умножим полученное выражение на котангенс вверху и внизу дроби, и получим еще одно полезное выражение:

Например:
Найдем \(sin2\alpha\) и \(tg2\alpha\), если \(sin\alpha=0,8,\ \frac\pi2\lt\alpha\lt\pi\)
Угол \(\alpha\) во 2-й четверти, косинус отрицательный:
\(cos\alpha=-\sqrt<1-sin^2\alpha>=-\sqrt<1-0,8^2>=-0,6\)
\(tg\alpha=\frac=\frac<0,8><-0,6>=-\frac43\)
Синус двойного угла: \(sin2\alpha=2sin\alpha cos\alpha=2\cdot 0,8\cdot(-0,6)=-0,96\)
Тангенс двойного угла: \(tg2\alpha=\frac<2tg\alpha><1-tg^2\alpha>=\frac<2\cdot \left(-\frac43\right)><1-\left(-\frac43\right)^2>=\frac<-\frac83><1-\frac<16><9>>=\frac83 : \frac79=\frac83\cdot\frac97=\frac<24><7>=3\frac37\)

п.2. Формулы половинного аргумента

По формуле двойного аргумента для косинуса: \(cos2\alpha=2cos^2\alpha-1\)
Заменим слева угол \(2\alpha\rightarrow \alpha\), а справа угол \(\alpha\rightarrow\frac<\alpha><2>\).
Получаем: \begin cos\alpha=2cos^2\frac<\alpha><2>-1\Rightarrow 2cos^2\frac<\alpha><2>=1+cos\alpha\Rightarrow cos^2\frac<\alpha><2>=\frac<1+cos\alpha> <2>\end Из другой формулы двойного аргумента для косинуса: \(cos2\alpha=1-2sin^2\alpha\), получаем: \begin cos\alpha=1-2sin^2\frac<\alpha><2>\Rightarrow 2sin^2\frac<\alpha><2>=1-cos\alpha\Rightarrow sin^2\frac<\alpha><2>=\frac<1-cos\alpha> <2>\end Для квадрата тангенса и котангенса половинного угла: \begin tg^2\frac<\alpha><2>=\frac<2>><2>>=\frac<1-cos\alpha><1+cos\alpha>,\ \ \ ctg^2\frac<\alpha><2>=\frac<1><2>>=\frac<1+cos\alpha> <1-cos\alpha>\end

п.3. Формулы универсальной подстановки

Универсальная подстановка эффективна при решении тригонометрических уравнений, а также интегрировании.

п.4. Примеры

в) \( \sqrt<2+\sqrt<2+2cos4\alpha>> \), где \(0\le \alpha\le\frac\pi2\) \begin \sqrt<2+\sqrt<2+2cos4\alpha>>=\sqrt<2+\sqrt<2(1+cos4\alpha)>>=\sqrt<2+\sqrt<2\cdot 2cos^2 2\alpha>>=\\ =\sqrt<2+2\cdot |cos2\alpha|>=\sqrt<2(1+|cos2\alpha|)>= \left[ \begin \sqrt<2(1+cos2\alpha)>,\ \ cos2\alpha\geq 0\\ \sqrt<2(1-cos2\alpha)>,\ \ cos2\alpha\lt 0 \end \right. =\\ = \left[ \begin \sqrt<2\cdot 2cos^2\alpha>,\ \ 0\leq 2\alpha\leq\frac\pi2\\ \sqrt<2\cdot 2sin^2\alpha>,\ \ \frac\pi2\lt 2\alpha\leq \pi \end \right. = \left[ \begin 2cos\alpha,\ \ 0\leq \alpha\leq\frac\pi4\\ 2sin\alpha,\ \ \frac\pi4\lt \alpha\leq \frac\pi2 \end \right. \end Ответ: \(2cos\alpha\) при \(0\leq \alpha\leq\frac\pi4;\ \ 2sin\alpha\) при \(\frac\pi4\lt \alpha\leq \frac\pi2\)
г) \( 4(sin^4x+cos^4x)-4(sin^6x+cos^6x)-1 \)
Основное тригонометрическое тождество: \(sin^2x+cos^2x=1\)
Возведём в квадрат: \begin (sin^2x+cos^2x)^2=sin^4x+cos^4x+2sin^2x cos^2x=1\\ sin^4x+cos^4x=1-\frac<(2sinx cosx)^2><2>=1-\frac <2>\end Возведём в куб: \begin (sin^2x+cos^2x)^3=sin^6x+cos^6x+3sin2x cos^4x+3sin^4x cos^2x=1\\ sin^6x+cos^6x = 1-3sin^2x cos^2x\underbrace<(cos^2x+sin^2x)>_<=1>=\\ =1-\frac34(2sinx cosx)^2=1-\frac<3sin^2 2x> <4>\end

Подставляем: \begin 4\left(1-\frac<2>\right)-4\left(1-\frac<3sin^2 2x><4>\right)=1=4-2sin^2 2x-4+3sin^2 2x-1=\\ =sin^2 2x-1=-cos^2 2x \end Ответ: \(-cos^2 2x\)