Решение тригонометрических уравнений с помощью комплексных чисел

Тригонометрическая форма комплексных чисел

Второй урок по комплексным числам. Если вы только начинаете изучать эту тему (что такое комплексная единица, модуль, сопряжённые), см. первый урок: «Что такое комплексное число».

Сегодня мы узнаем:

Начнём с ключевого определения.

1. Тригонометрическая форма

Определение. Тригонометрическая форма комплексного числа — это выражение вида

\[z=\left| z \right|\cdot \left( \cos \text< >\!\!\varphi\!\!\text< >+i\sin \text< >\!\!\varphi\!\!\text < >\right)\]

где $\left| z \right|$ — модуль комплексного числа, $\text< >\!\!\varphi\!\!\text< >$ — некоторый угол, который называется аргумент комплексного числа (пишут $\text< >\!\!\varphi\!\!\text< >=\arg \left( z \right)$).

Любое число $z=a+bi$, отличное от нуля, можно записать с тригонометрической форме. Для этого нужно вычислить модуль и аргумент. Например:

Записать в тригонометрической форме число $z=\sqrt<3>+i$.

Переписываем исходное число в виде $z=\sqrt<3>+1\cdot i$ и считаем модуль:

Выносим модуль за скобки:

\[z=\sqrt<3>+1\cdot i=2\cdot \left( \frac<\sqrt<3>><2>+\frac<1><2>\cdot i \right)\]

Вспоминаем тригонометрию, 10-й класс:

Понятно, что вместо $\frac<\text< >\!\!\pi\!\!\text< >><6>$ с тем же успехом можно взять аргумент $\frac<13\text< >\!\!\pi\!\!\text< >><6>$. Синус и косинус не поменяется. Главное — выбрать такой аргумент, чтобы в тригонометрической форме не осталось никаких минусов. Все минусы должны уйти внутрь синуса и косинуса. Сравните:

Записать в тригонометрической форме число $z=-1-i$.

2. Умножение и деление комплексных чисел

Комплексные числа, записанные в тригонометрической форме, очень удобно умножать и делить.

Теорема. Пусть даны два комплексных числа:

\[\begin & <_<1>>=\left| <_<1>> \right|\cdot \left( \cos \alpha +i\sin \alpha \right) \\ & <_<2>>=\left| <_<2>> \right|\cdot \left( \cos \beta +i\sin \beta \right) \\ \end\]

Тогда их произведение равно

\[<_<1>>\cdot <_<2>>=\left| <_<1>> \right|\cdot \left| <_<2>> \right|\cdot \left( \cos \left( \alpha +\beta \right)+i\sin \left( \alpha +\beta \right) \right)\]

А если ещё и $\left| <_<2>> \right|\ne 0$, то их частное равно

Получается, что при умножении комплексных чисел мы просто умножаем их модули, а аргументы складываем. При делении — делим модули и вычитаем аргументы. И всё!

Найти произведение и частное двух комплексных чисел:

\[\begin <_<1>>\cdot <_<2>> & =2\cdot 5\cdot \left( \cos \left( \frac<\pi ><3>+\frac<\pi > <6>\right)+i\sin \left( \frac<\pi ><3>+\frac<\pi > <6>\right) \right)= \\ & =10\cdot \left( \cos \frac<\pi ><2>+i\sin \frac<\pi > <2>\right) \\ \end\]

\[\begin \frac<<_<1>>><<_<2>>> & =\frac<2><5>\cdot \left( \cos \left( \frac<\pi ><3>-\frac<\pi > <6>\right)+i\sin \left( \frac<\pi ><3>-\frac<\pi > <6>\right) \right)= \\ & =0,4\cdot \left( \cos \frac<\pi ><6>+i\sin \frac<\pi > <6>\right) \\ \end\]

По сравнению со стандартной (алгебраической) формой записи комплексных чисел экономия сил и времени налицо.:)

3. Формула Муавра

Пусть дано комплексное число в тригонометрической форме:

\[z=\left| z \right|\cdot \left( \cos \text< >\!\!\varphi\!\!\text< >+i\sin \text< >\!\!\varphi\!\!\text < >\right)\]

Возведём его в квадрат, умножив на само себя:

\[\begin <^<2>> & =z\cdot z = \\ & =\left| z \right|\left| z \right|\cdot \left( \cos \left( \text< >\!\!\varphi\!\!\text< + >\!\!\varphi\!\!\text < >\right)+i\sin \left( \text< >\!\!\varphi\!\!\text< + >\!\!\varphi\!\!\text < >\right) \right)= \\ & =<<\left| z \right|>^<2>>\cdot \left( \cos 2\text< >\!\!\varphi\!\!\text< >+i\sin 2\text< >\!\!\varphi\!\!\text < >\right) \\ \end\]

Затем возведём в куб, умножив на себя ещё раз:

Несложно догадаться, что будет дальше — при возведении в степень $n$. Это называется формула Муавра.

Формула Муавра. При возведении всякого комплексного числа

\[z=\left| z \right|\cdot \left( \cos \varphi +i\sin \varphi \right)\]

в степень $n\in \mathbb$ получим

Простая формула, которая ускоряет вычисления раз в десять! И кстати: эта формула работает при любом $n\in \mathbb$, а не только натуральном. Но об этом позже. Сейчас примеры:

Представим первое число в тригонометрической форме:

\[\begin \sqrt<3>-i & = 2\cdot \left( \frac<\sqrt<3>><2>+i\cdot \left( -\frac<1> <2>\right) \right)= \\ & =2\cdot \left( \cos \left( -\frac<\pi > <6>\right)+i\sin \left( -\frac<\pi > <6>\right) \right) \\ \end\]

По формуле Муавра:

Последним шагом мы воспользовались периодичностью синуса и косинуса, уменьшив аргумент сразу на 28π.

Следующую задачу в разных вариациях любят давать на контрольных работах и экзаменах:

Теперь второе число запишем в комплексной форме:

По формуле Муавра:

Вот так всё просто! Следующие два раздела предназначены для углублённого изучения. Для тех, кто хочет действительно разобраться в комплексных числах.

4. Дополнение 1. Геометрический подход

Многие путают местами косинус и синус. Почему комплексная единица стоит именно у синуса? Вспомним, что есть декартова система координат, где точки задаются отступами по осям $x$ и $y$:

А есть полярная система координат, где точки задаются поворотом на угол $\varphi $ и расстоянием до центра $r$:

А теперь объединим эти картинки и попробуем перейти из декартовой системы координат в полярную:

Комплексное число $z=a+bi$ задаёт на плоскости точку $C$, удалённую от начала координат на расстояние

Треугольник $ABC$ — прямоугольный. Пусть $\angle BAC=\varphi $. Тогда:

\[\begin & AB=AC\cdot \cos \varphi =\left| z \right|\cdot \cos \varphi \\ & BC=AC\cdot \sin \varphi =\left| z \right|\cdot \sin \varphi \\ \end\]

С другой стороны, длины катетов $AB$ и $BC$ — это те самые отступы $a$ и $b$, с помощью которых мы задаём комплексное число. Поэтому:

\[\begin a+bi & =\left| z \right|\cos \varphi +i\cdot \left| z \right|\sin \varphi = \\ & =\left| z \right|\left( \cos \varphi +i\sin \varphi \right) \\ \end\]

Итак, мы перешли от пары $\left( a;b \right)$ к паре $\left( \left| z \right|;\varphi \right)$, где $\left| z \right|$ — модуль комплексного числа, $\varphi $ — его аргумент (проще говоря, угол поворота).

Важное замечание. А кто сказал, что такой угол $\varphi $ существует? Возьмём число $z=a+bi$ и вынесем модуль за скобку:

Осталось подобрать такой угол $\varphi $, чтобы выполнялось два равенства:

Такой угол обязательно найдётся, поскольку выполняется основное тригонометрическое тождество:

На практике основная трудность заключается именно в поиске подходящего аргумента.

5. Дополнение 2. Как найти аргумент?

В учебниках пишут много разной дичи, типа вот этой:

Формула правильная, но пользы от неё — ноль. Запомнить сложно, а применять и вовсе невозможно. Мы пойдём другим путём.

5.1. Точки на координатных осях

Для начала рассмотрим точки, лежащие осях координат.

Тут всё очевидно:

• На положительной полуоси абсцисс $\varphi =0$ (фиолетовая точка $A$).
• На отрицательной — $\varphi =\pi $ (синяя точка $B$).
• На положительной полуоси ординат $\varphi =\frac<\pi ><2>$ (зелёная точка $B$).
• На отрицательной — $\varphi =\frac<3\pi ><2>$ (красная точка $C$). Однако ничто не мешает рассмотреть $\varphi =-\frac<\pi ><2>$ — результат будет тем же самым.:)

5.2. Точки с арктангенсом

А если точки не лежат на осях, то в записи комплексного числа $a+bi$ числа $a\ne 0$ и $b\ne 0$. Рассмотрим вспомогательный угол

Очевидно, это острый угол:

Зная знаки чисел $a$ и $b$, мы немедленно определим координатную четверть, в которой располагается искомая точка. И нам останется лишь отложить вспомогательный угол $<<\varphi >_<1>>$ от горизонтальной оси в эту четверть.

В правой полуплоскости мы откладываем от «нулевого» луча:

Точка $A\left( 3;4 \right)$ удалена от начала координат на расстояние 5:

\[\begin 3+4i & =5\cdot \left( \cos \varphi +i\sin \varphi \right) \\ \varphi & =\operatorname\frac<4> <3>\end\]

Для точки $B\left( 6;-6 \right)$ арктангенс оказался табличным:

\[6-6i=6\sqrt<2>\cdot \left( \cos \left( -\frac<\pi > <4>\right)+i\sin \left( -\frac<\pi > <4>\right) \right)\]

В левой полуплоскости откладываем от луча, соответствующего углу $\pi $:

Итого для точки $C\left( -2;5 \right)$ имеем:

\[\begin -2+5i & =\sqrt<29>\cdot \left( \cos \varphi +i\sin \varphi \right) \\ \varphi & =\pi -\operatorname\frac<5> <2>\end\]

И, наконец, для точки $D\left( -5;-3 \right)$:

\[\begin -5-3i & =\sqrt<34>\cdot \left( \cos \varphi +i\sin \varphi \right) \\ \varphi & =\pi +\operatorname\frac<3> <5>\end\]

Звучит просто, выглядит красиво, работает идеально! Но требует небольшой практики. Пробуйте, тренируйтесь и берите на вооружение.

А в следующем уроке мы научимся извлекать корни из комплексных чисел.:)

Решение уравнений с комплексными числами

Итак, необходимо решить уравнение с комплексными переменными, найти корни этого уравнения. Рассмотрим принцип решения комплексных уравнений, научимся извлекать корень из комплексного числа.

Для того, чтобы решить уравнение n-й степени с комплексными числами, используем общую формулу:

где |z| — модуль числа, φ = arg z — главное значение аргумента, n — степень корня, k — параметр, принимает значения : k = <0, 1, 2, 3, …n-1 >.

Пример 1. Найти все корни уравнения

Выразим z из уравнения:

Все корни заданного уравнения являются значениями корня третьей степени из комплексного числа

Воспользуемся общей формулой для вычисления корней степени n комплексного числа z. Найдем все необходимые значения для формулы:

Подставим найденные значения в формулу:

Последовательно подставляя вместо k значения 0, 1, 2 найдем три корня исходного уравнения.

Пример 2. Найти все корни уравнения

Найдем дискриминант уравнения:

Поскольку дискриминант отрицательный, уравнение имеет два комплексно-сопряженных корня. Вычислим корень из дискриминанта:

Найдем корни уравнения:

Ответ:

Пример 3. Найти все корни уравнения

Выразим z из уравнения:

Все корни заданного уравнения являются значениями корня четвертой степени из комплексного числа

Вновь используем общую формулу для нахождения корней уравнения n степени комплексного числа z.
n = 4 — количество корней данного уравнения. k = <0, 1, 2, 3>. Найдем модуль комплексного числа:

Подставим найденные значения в формулу:

Последовательно подставляя вместо k значения 0, 1, 2, 3 найдем все 4 корня уравнения:

Пример 4. Найти корни уравнения

Решение кубического уравнения комплексными числами:

Воспользуемся общей формулой для вычисления корней степени 3 комплексного числа z.

Найдем все необходимые значения для формулы:

Подставим найденные значения в формулу:

Последовательно подставляя вместо k значения 0, 1, 2 найдем три корня исходного уравнения:

Домашнее задание: Самостоятельно составить и решить уравнение с комплексными числами.

Условия: переменная z должна быть «спрятана» и представлена в качестве аргумента тригонометрической функции косинуса. Чтобы привести данное уравнение к привычной форме, нужно «вытащить» z, а для этого необходимо помнить, как решаются тригонометрические уравнения,а также знать, как применять свойства логарифмической функции от комплексного числа.

После того, как мы решили тригонометрическое уравнение с комплексным числом, получаем «голый» z, который представлен в качестве аргумента обратной тригонометрической функции. Чтобы преобразовать данное выражение, нужно использовать формулу разложения арккосинуса в логарифм.

Вместо z — выражение (3i/4) и дальше все делаем по приведенной выше формуле, преобразовывая выражение под корнем, используя свойства мнимой единицы i.

Как быть далее? Теперь будем использовать формулу для решения выражения с натуральным логарифмом.

Для того чтобы найти корни логарифмического уравнения, нужно найти модуль комплексного числа |z| и его аргумент φ = arg z. По сути, перед нами чисто мнимое число.

Теперь предлагаем ознакомиться с формулами, которые могут пригодиться при решении уравнений или неравенств с комплексными числами. Это формулы, где комплексное число выступает в роли аргумента тригонометрической функции, логарифмической функции или показательной функции.

Решение тригонометрических уравнений с помощью комплексных чисел

. Вы вводите его по ссылке решение уравнений онлайн , указываете, что i — это комплексная единица (после того как ввели уравнение и нажали кнопку «решить»), нажимаете кнопку под формой «Обновить» и получаете ответ как здесь. Если в ответе присутствуют корни из комплексных чисел, то можно воспользоваться калькулятором по упрощению комлексных чисел по ссылке

© Контрольная работа РУ — примеры решения задач