Решение тригонометрических уравнений задание 15 егэ

Решение тригонометрических уравнений. Отбор корней. Подготовка к ЕГЭ, 15 задание
презентация к уроку по алгебре (10 класс) на тему

Данная разработка предназначена для учащихся 10-11 классов. Презентацию можно разделить на два-три урока. Цели: подготовка к ЕГЭ, закрепление изученного материала, отбор корней с использованием окружности, а так же через двойное неравенство. В презентации присутствуют уравнения, где надо найти ошибки и выступить в роли эксперта ЕГЭ.

Скачать:

Вложение	Размер
Решение тригонометрических уравнений. Отбор корней. Подготовка к ЕГЭ. Презентация	1.53 МБ

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Решение тригонометрических уравнений С1 Балагурова-Шемота Н.Ю лицей №90

До экзамена осталось 160 дней лицей №90 Балагурова-Шемота Н.Ю. 2

Повторим лицей №90 Балагурова-Шемота Н.Ю. 3

Повторим лицей №90 Балагурова-Шемота Н.Ю. 4

лицей №90 Балагурова-Шемота Н.Ю. 5

лицей №90 Балагурова-Шемота Н.Ю. 6 sin α = №0 Мизинец 0 0 №1 Безымянный 30 0 №2 Средний 45 0 №3 Указательный 60 0 №4 Большой 90 0

лицей №90 Балагурова-Шемота Н.Ю. 7

лицей №90 Балагурова-Шемота Н.Ю. 8

Отбор корней лицей №90 Балагурова-Шемота Н.Ю. 9

Найти ошибку лицей №90 Балагурова-Шемота Н.Ю. 10

лицей №90 Балагурова-Шемота Н.Ю. 11

лицей №90 Балагурова-Шемота Н.Ю. 12

лицей №90 Балагурова-Шемота Н.Ю. 13

Ответ: лицей №90 Балагурова-Шемота Н.Ю. 14

лицей №90 Балагурова-Шемота Н.Ю. 15

лицей №90 Балагурова-Шемота Н.Ю. 16

лицей №90 Балагурова-Шемота Н.Ю. 17 , и .

Ответ: лицей №90 Балагурова-Шемота Н.Ю. 18

лицей №90 Балагурова-Шемота Н.Ю. 19

лицей №90 Балагурова-Шемота Н.Ю. 20

лицей №90 Балагурова-Шемота Н.Ю. 21

НАЙТИ ОШИБКУ лицей №90 Балагурова-Шемота Н.Ю. 22

http://mathege.ru/or/ege/Main Открытый банк заданий http://uztest.ru/exam?idexam=30 http :// egeurok . ru / generators / ege _ matem _2014/ generator _ variantov _ ege _ matem _2014. html Генератор вариантов http://alexlarin.net/ege14.html Ларин Александр Александрович http://reshuege.ru/ лицей №90 Балагурова-Шемота Н.Ю. 23

Повтори лицей №90 Балагурова-Шемота Н.Ю. 24

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Отбор корней при решении тригонометрических уравнений

Роль данного раздела математики на ЕГЭ исключительно велика. Одновременно с этим тригонометрический материал традиционно популярен при проведении всевозможных конкурсов, олимпиад и при отборе ма.

Контспект урока Решение тригонометрических уравнений и методы отбора корней 10 класс

Конспект урока Решение тригонометрических уравнений и методы отбора корней 10 класс.

презентация к уроку Решение тригонометрических уравнений и методы отбора корней 10 класс

Презентация к уроку Решение тригонометрических уравнений и методы отбора корней 10 класс.

Урок в 10 классе по теме «Отбор корней при решении тригонометрических уравнений»

Геометрический метод отбора корней при решении тригонометрических уравнений.

Методы отбора корней при решении тригонометрических уравнений

Данный материал поможет учителям математики, работающим в 10-11 классах подготовить обучающихся к выполнению задания С1 в ЕГЭ.

урок в 10 классе «Отбор корней при решении тригонометрических уравнений, используя свойство периодичности тригонометрических функций»

Тема урока «Отбор корней при решении тригонометрических уравнений.

Презентация к уроку «Решение тригонометрических уравнений с отбором корней на заданном отрезке»

Презентация к уроку «Решение тригонометрических уравнений с отбором корней на заданном отрезке» может быть использована при подготовке к ЕГЭ.

Задания по теме «Тригонометрические уравнения»

Открытый банк заданий по теме тригонометрические уравнения. Задания C1 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задание №1179

Условие

а) Решите уравнение 2(\sin x-\cos x)=tgx-1.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \left[ \frac<3\pi >2;\,3\pi \right].

Решение

а) Раскрыв скобки и перенеся все слагаемые в левую часть, получим уравнение 1+2 \sin x-2 \cos x-tg x=0. Учитывая, что \cos x \neq 0, слагаемое 2 \sin x можно заменить на 2 tg x \cos x, получим уравнение 1+2 tg x \cos x-2 \cos x-tg x=0, которое способом группировки можно привести к виду (1-tg x)(1-2 \cos x)=0.

1) 1-tg x=0, tg x=1, x=\frac\pi 4+\pi n, n \in \mathbb Z;

2) 1-2 \cos x=0, \cos x=\frac12, x=\pm \frac\pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z.

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие промежутку \left[ \frac<3\pi >2;\, 3\pi \right].

x_1=\frac\pi 4+2\pi =\frac<9\pi >4,

x_2=\frac\pi 3+2\pi =\frac<7\pi >3,

x_3=-\frac\pi 3+2\pi =\frac<5\pi >3.

Ответ

а) \frac\pi 4+\pi n, \pm\frac\pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z;

б) \frac<5\pi >3, \frac<7\pi >3, \frac<9\pi >4.

Задание №1178

Условие

а) Решите уравнение (2\sin ^24x-3\cos 4x)\cdot \sqrt =0.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \left( 0;\,\frac<3\pi >2\right] ;

Решение

а) ОДЗ: \begin tgx\geqslant 0\\x\neq \frac\pi 2+\pi k,k \in \mathbb Z. \end

Исходное уравнение на ОДЗ равносильно совокупности уравнений

\left[\!\!\begin 2 \sin ^2 4x-3 \cos 4x=0,\\tg x=0. \end\right.

Решим первое уравнение. Для этого сделаем замену \cos 4x=t, t \in [-1; 1]. Тогда \sin^24x=1-t^2. Получим:

t_1=\frac12, t_2=-2, t_2\notin [-1; 1].

4x=\pm \frac\pi 3+2\pi n,

x=\pm \frac\pi <12>+\frac<\pi n>2, n \in \mathbb Z.

Решим второе уравнение.

tg x=0,\, x=\pi k, k \in \mathbb Z.

При помощи единичной окружности найдём решения, которые удовлетворяют ОДЗ.

Знаком «+» отмечены 1 -я и 3 -я четверти, в которых tg x>0.

Получим: x=\pi k, k \in \mathbb Z; x=\frac\pi <12>+\pi n, n \in \mathbb Z; x=\frac<5\pi ><12>+\pi m, m \in \mathbb Z.

б) Найдём корни, принадлежащие промежутку \left( 0;\,\frac<3\pi >2\right].

Ответ

а) \pi k, k \in \mathbb Z; \frac\pi <12>+\pi n, n \in \mathbb Z; \frac<5\pi ><12>+\pi m, m \in \mathbb Z.

Задание №1177

Условие

а) Решите уравнение: \cos ^2x+\cos ^2\frac\pi 6=\cos ^22x+\sin ^2\frac\pi 3;

б) Укажите все корни, принадлежащие промежутку \left( \frac<7\pi >2;\,\frac<9\pi >2\right].

Решение

а) Так как \sin \frac\pi 3=\cos \frac\pi 6, то \sin ^2\frac\pi 3=\cos ^2\frac\pi 6, значит, заданное уравнение равносильно уравнению \cos^2x=\cos ^22x, которое, в свою очередь, равносильно уравнению \cos^2x-\cos ^2 2x=0.

Но \cos ^2x-\cos ^22x= (\cos x-\cos 2x)\cdot (\cos x+\cos 2x) и

\cos 2x=2 \cos ^2 x-1, поэтому уравнение примет вид

(\cos x-(2 \cos ^2 x-1))\,\cdot (\cos x+(2 \cos ^2 x-1))=0,

(2 \cos ^2 x-\cos x-1)\,\cdot (2 \cos ^2 x+\cos x-1)=0.

Тогда либо 2 \cos ^2 x-\cos x-1=0, либо 2 \cos ^2 x+\cos x-1=0.

Решая первое уравнение как квадратное уравнение относительно \cos x, получаем:

(\cos x)_<1,2>=\frac<1\pm\sqrt 9>4=\frac<1\pm3>4. Поэтому либо \cos x=1, либо \cos x=-\frac12. Если \cos x=1, то x=2k\pi , k \in \mathbb Z. Если \cos x=-\frac12, то x=\pm \frac<2\pi >3+2s\pi , s \in \mathbb Z.

Аналогично, решая второе уравнение, получаем либо \cos x=-1, либо \cos x=\frac12. Если \cos x=-1, то корни x=\pi +2m\pi , m \in \mathbb Z. Если \cos x=\frac12, то x=\pm \frac\pi 3+2n\pi , n \in \mathbb Z.

Объединим полученные решения:

x=m\pi , m \in \mathbb Z; x=\pm \frac\pi 3 +s\pi , s \in \mathbb Z.

б) Выберем корни, которые попали в заданный промежуток, с помощью числовой окружности.

Получим: x_1 =\frac<11\pi >3, x_2=4\pi , x_3 =\frac<13\pi >3.

Ответ

а) m\pi, m \in \mathbb Z; \pm \frac\pi 3 +s\pi , s \in \mathbb Z;

б) \frac<11\pi >3, 4\pi , \frac<13\pi >3.

Задание №1176

Условие

а) Решите уравнение 10\cos ^2\frac x2=\frac<11+5ctg\left( \dfrac<3\pi >2-x\right) ><1+tgx>.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие интервалу \left( -2\pi ; -\frac<3\pi >2\right).

Решение

а) 1. Согласно формуле приведения, ctg\left( \frac<3\pi >2-x\right) =tgx. Областью определения уравнения будут такие значения x , что \cos x \neq 0 и tg x \neq -1. Преобразуем уравнение, пользуясь формулой косинуса двойного угла 2 \cos ^2 \frac x2=1+\cos x. Получим уравнение: 5(1+\cos x) =\frac<11+5tgx><1+tgx>.

Заметим, что \frac<11+5tgx><1+tgx>= \frac<5(1+tgx)+6><1+tgx>= 5+\frac<6><1+tgx>, поэтому уравнение принимает вид: 5+5 \cos x=5 +\frac<6><1+tgx>. Отсюда \cos x =\frac<\dfrac65><1+tgx>, \cos x+\sin x =\frac65.

2. Преобразуем \sin x+\cos x по формуле приведения и формуле суммы косинусов: \sin x=\cos \left(\frac\pi 2-x\right), \cos x+\sin x= \cos x+\cos \left(\frac\pi 2-x\right)= 2\cos \frac\pi 4\cos \left(x-\frac\pi 4\right)= \sqrt 2\cos \left( x-\frac\pi 4\right) = \frac65.

Отсюда \cos \left(x-\frac\pi 4\right) =\frac<3\sqrt 2>5. Значит, x-\frac\pi 4= arc\cos \frac<3\sqrt 2>5+2\pi k, k \in \mathbb Z,

или x-\frac\pi 4= -arc\cos \frac<3\sqrt 2>5+2\pi t, t \in \mathbb Z.

Поэтому x=\frac\pi 4+arc\cos \frac<3\sqrt 2>5+2\pi k,k \in \mathbb Z,

или x =\frac\pi 4-arc\cos \frac<3\sqrt 2>5+2\pi t,t \in \mathbb Z.

Найденные значения x принадлежат области определения.

б) Выясним сначала куда попадают корни уравнения при k=0 и t=0. Это будут соответственно числа a=\frac\pi 4+arccos \frac<3\sqrt 2>5 и b=\frac\pi 4-arccos \frac<3\sqrt 2>5.

1. Докажем вспомогательное неравенство:

Заметим также, что \left( \frac<3\sqrt 2>5\right) ^2=\frac<18> <25>значит \frac<3\sqrt 2>5

2. Из неравенств (1) по свойству арккосинуса получаем:

Отсюда \frac\pi 4+0

Аналогично, -\frac\pi 4

0=\frac\pi 4-\frac\pi 4 \frac\pi 4

При k=-1 и t=-1 получаем корни уравнения a-2\pi и b-2\pi.

\Bigg( a-2\pi =-\frac74\pi +arccos \frac<3\sqrt 2>5,\, b-2\pi =-\frac74\pi -arccos \frac<3\sqrt 2>5\Bigg). При этом -2\pi

-2\pi Значит, эти корни принадлежат заданному промежутку \left( -2\pi , -\frac<3\pi >2\right).

При остальных значениях k и t корни уравнения не принадлежат заданному промежутку.

Действительно, если k\geqslant 1 и t\geqslant 1, то корни больше 2\pi. Если k\leqslant -2 и t\leqslant -2, то корни меньше -\frac<7\pi >2.

Ответ

а) \frac\pi4\pm arccos\frac<3\sqrt2>5+2\pi k, k\in\mathbb Z;

б) -\frac<7\pi>4\pm arccos\frac<3\sqrt2>5.

Задание №1175

Условие

а) Решите уравнение \sin \left( \frac\pi 2+x\right) =\sin (-2x).

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [0; \pi ];

Решение

а) Преобразуем уравнение:

\cos x+2 \sin x \cos x=0,

x =\frac\pi 2+\pi n, n \in \mathbb Z;

x=(-1)^\cdot \frac\pi 6+\pi k, k \in \mathbb Z.

б) Корни, принадлежащие отрезку [0; \pi ], найдём с помощью единичной окружности.

Указанному промежутку принадлежит единственное число \frac\pi 2.

Ответ

а) \frac\pi 2+\pi n, n \in \mathbb Z; (-1)^\cdot \frac\pi 6+\pi k, k \in \mathbb Z;

б) \frac\pi 2.

Задание №1174

Условие

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \left[ -\frac<3\pi ><2>; -\frac<\pi >2 \right].

Решение

а) Найдём ОДЗ уравнения: \cos 2x \neq -1, \cos (\pi +x) \neq -1; Отсюда ОДЗ: x \neq \frac \pi 2+\pi k,

k \in \mathbb Z, x \neq 2\pi n, n \in \mathbb Z. Заметим, что при \sin x=1, x=\frac \pi 2+2\pi k, k \in \mathbb Z.

Полученное множество значений x не входит в ОДЗ.

Значит, \sin x \neq 1.

Разделим обе части уравнения на множитель (\sin x-1), отличный от нуля. Получим уравнение \frac 1<1+\cos 2x>=\frac 1<1+\cos (\pi +x)>, или уравнение 1+\cos 2x=1+\cos (\pi +x). Применяя в левой части формулу понижения степени, а в правой — формулу приведения, получим уравнение 2 \cos ^2 x=1-\cos x. Это уравнение с помощью замены \cos x=t, где -1 \leqslant t \leqslant 1 сводим к квадратному: 2t^2+t-1=0, корни которого t_1=-1 и t_2=\frac12. Возвращаясь к переменной x , получим \cos x = \frac12 или \cos x=-1, откуда x=\frac \pi 3+2\pi m, m \in \mathbb Z, x=-\frac \pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z, x=\pi +2\pi k, k \in \mathbb Z.

б) Решим неравенства

1) -\frac<3\pi >2 \leqslant \frac<\pi >3+2\pi m \leqslant -\frac \pi 2 ,

2) -\frac<3\pi >2 \leqslant -\frac \pi 3+2\pi n \leqslant -\frac \pi

3) -\frac<3\pi >2 \leqslant \pi+2\pi k \leqslant -\frac \pi 2 , m, n, k \in \mathbb Z.

1) -\frac<3\pi >2 \leqslant \frac<\pi >3+2\pi m \leqslant -\frac \pi 2 , -\frac32 \leqslant \frac13+2m \leqslant -\frac12 -\frac<11>6 \leqslant 2m \leqslant -\frac56 , -\frac<11> <12>\leqslant m \leqslant -\frac5<12>.

Нет целых чисел, принадлежащих промежутку \left [-\frac<11><12>;-\frac5<12>\right] .

2) -\frac <3\pi>2 \leqslant -\frac<\pi >3+2\pi n \leqslant -\frac<\pi ><2>, -\frac32 \leqslant -\frac13 +2n \leqslant -\frac12 , -\frac76 \leqslant 2n \leqslant -\frac1<6>, -\frac7 <12>\leqslant n \leqslant -\frac1<12>.

Нет целых чисел, принадлежащих промежутку \left[ -\frac7 <12>; -\frac1 <12>\right].

3) -\frac<3\pi >2 \leqslant \pi +2\pi k\leqslant -\frac<\pi >2, -\frac32 \leqslant 1+2k\leqslant -\frac12, -\frac52 \leqslant 2k \leqslant -\frac32, -\frac54 \leqslant k \leqslant -\frac34.

Этому неравенству удовлетворяет k=-1, тогда x=-\pi.

Ответ

а) \frac \pi 3+2\pi m; -\frac \pi 3+2\pi n; \pi +2\pi k, m, n, k \in \mathbb Z;

Исследовательская работа на тему» Тригонометрические уравнения в заданиях ЕГЭ»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

МБОУ « Мордовско-Паёвская СОШ» Инсарского района РМ

Выполнила: Пантилейкина Надежда,

ученица 11 класса

Руководитель: Кадышкина Н.В.,

Глава I. О тригонометрических уравнениях…………………………………..…5

1) Основные типы тригонометрических уравнениях и методы их решения:

1. Уравнения, сводящиеся к простейшим. …………………………………..5

2. Уравнения, сводящиеся к квадратным…………………………………….5

3. Однородные уравнения acosx + b sin x = 0………………………………. 6

4.Уравнения вида acosx + b sin x = c , с≠ 0…………………………………7

5. Уравнения, решаемые разложением на множители…………………. ….7

6. Нестандартные уравнения………………………………………………….8

Глава II. Основные понятия и формулы тригонометрии…………………….8-10

Глава II I . Уравнения предлагавшиеся на ЕГЭ прошлых лет…………. ……10-14

«Единственный путь, ведущий к знаниям — это деятельность. »

Бернард Шоу

Через несколько месяцев я заканчиваю школу.

Чтобы не было проблем с дальнейшим выбором жизненного пути, необходимо получить школьный аттестат, а для того чтобы получить школьный аттестат, необходимо сдать два обязательных экзамена в форме ЕГЭ — и один из них математика . Что уж там говорить, выпускные экзамены — ответственный период в жизни любого школьника, от которого зависит не только итоговая оценка в аттестате, но и его профессиональное будущее, доход и карьера.

Единый Государственный Экзамен – это важный тест перед переходом в новую жизнь и поступлением в университет или колледж. Особенно важно сдать его на хорошие баллы. ЕГЭ по математике — серьезное испытание и без хорошей базы ученик не сможет претендовать на приличный результат.

Как не допустить провала на экзамене и получить хорошие баллы? Для этого необходимо хорошо решить задания. Я не претендую на максимальный балл, тем не менее старательно готовлюсь. И заметила, что даже на первом задании части С, а, именно, на решении тригонометрических уравнениях и их системах допускаю ошибки. На первый взгляд, задача С1 – это относительно несложное уравнение или система уравнений, которое может содержать тригонометрические функции, одним из основных подходов к решению которых состоит в их последовательном упрощении с целью сведения к одному или нескольким простейшим. Так почему я ошибаюсь?

Актуальность темы определяется тем, что учащиеся должны разбираться в тех или иных способах решения тригонометрических уравнений.

Поэтому, перед собой я поставила следующую цель:

Систематизировать, расширить знания и умения, связанные с применением методов решения тригонометрических уравнений.

Объектом исследования является изучение тригонометрических уравнений в заданиях ЕГЭ.

Предмет исследования — является решение тригонометрических уравнений

Таким образом, основной целью написания данной курсовой работы является изучение тригонометрических уравнений и их систем, способы их решения.

В соответствии с целями, объектом и предметом исследования определены следующие задачи:

1). Изучить все задания, связанные с решением тригонометрических уравнений, предлагавшиеся на ЕГЭ работ предыдущих лет и при выполнении диагностических работ;

2) Изучить методы решения тригонометрических уравнений.

3). Выявить основные возможные ошибки при решении таких уравнений;

4). Выяснить причину допущения таких ошибок.

5)Рассмотреть рекомендации по решению тригонометрических уравнений;

6). Сделать выводы.

В своей работе я решу несколько тригонометрических уравнений, покажу возможные ошибки при их решении и постараюсь ответить на следующие вопросы:

1). Можно ли избежать ошибок при выполнении заданий типаС1

2) Если я буду тренироваться в решении уравнений такого типа, то я смогу

ли безошибочно выполнять такие задания?

Для этой цели я изучила все демонстрационные и тренировочные задания, проводимые с нами, материалы ЕГЭ предыдущих лет;

изучила справочные источники;

самостоятельно решала задания из Интернета;

консультировалась со своим учителем в случае затруднения;

училась анализировать и правильно оформлять результаты.

Глава I . О тригонометрических уравнениях.

1) Определение 1. Тригонометрическим уравнением называется уравнение, содержащее переменную под знаком тригонометрических функций.

Простейшие тригонометрические уравнения — это уравнения вида sin x = a ,

cos x=a, tg x=a, ctg x = a.

В таких уравнениях переменная находится под знаком тригонометрической функции, а — данное число.

Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов: преобразование уравнения для получения его простейшего вида и решение полученного простейшего тригонометрического уравнения.

2)Основные типы тригонометрических уравнений.

Уравнения, сводящиеся к простейшим.

Решение:

Ответ:

Уравнения, сводящиеся к квадратным.

1) Решить уравнение 2 sin 2 x – cosx –1 = 0.

Ответ:

Однородные уравнения : asinx + bcosx = 0

a sin 2 x + b sinxcosx + c cos 2 x = 0.

Решить уравнение 2sinx – 3cosx = 0

Решение: Пусть cosx = 0, тогда 2sinx = 0 и sinx = 0 – противоречие с тем,

что sin 2 x + cos 2 x = 1. Значит cosx ≠ 0 и можно поделить уравнение на cosx.

Ответ:

Уравнения вида a sinx + b cosx = с, с ≠ 0.

Пример: Решить уравнение

Решение:

Ответ:

Уравнения, решаемые разложением на множители.

Припер: Решить уравнение sin2x – sinx = 0.

Решение: Используя формулу sin2x = 2sinxcosx, получим

2sinxcosx – sinx = 0,

sinx (2cosx – 1) = 0.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

Ответ:

Решить уравнение cosx = х 2 + 1.

Глава II . Основные понятия и формулы тригонометрии.

Тригонометрические уравнения — обязательная тема любого экзамена по математике.

О х, сколько мучений доставляет ученикам изучение тригонометрии.

Определенные сложности возникают даже в том случае, если рядом учитель по математике и объясняет каждую мелочь. Это и понятно, одних только базовых формул существует более двадцати. А уж если считать их производные … Ученик путается в вычислениях и никак не может запомнить механизмы, при помощи которых эти формулы позволяют найти, например, .

Вы знаете формулы — вам легко решать. Не знаете — не поймете, даже если дадут формулу.
Формулу нужно не просто тупо знать, а знать куда ее можно применить, как раскрыть и в чем суть формулы, а для этого вам нужно решать примеры именно для тех задач, которые даются с трудом.

Мне поначалу казалось, тригонометрия — это скучный набор формул и графиков. Однако, знакомясь с новыми понятиями тригонометрии и методами решения тригонометрических уравнений, каждый раз убеждалась, насколько интересен и увлекателен мир тригонометрии.

Во- первых, для успешного решения тригонометрических уравнений нужно хорошо знать тригонометрические формулы, причем не только основные, но и дополнительные (преобразование суммы тригонометрических функций в произведение и произведения в сумму, формулы понижения степени и другие), так как использование на ЕГЭ шпаргалок и мобильных телефонов запрещается

Во- вторых , мы должны четко знать стандартные формулы корней простейших тригонометрических уравнений (полезно помнить или уметь получать с помощью тригонометрической окружности упрощенные формулы для корней уравнений)

Каждое из таких уравнений решается по формулам, которые следует знать. Вот эти формулы:

а) Функция y = sin x . Функция ограниченная: находится в пределах [-1; 1]. Это значит, что при решении уравнений типа sinx =2 или sinx =-5 в ответе получается: нет корней. Формулы для функции у= sinx

1) sinx =a, x= (-1) n arc sin a +n,nZ

2) sinx = — a, x= (-1) n+1 arc sin a +n,nZ

Также, нужно знать частные случаи: 1) sinx =- 1,

2) sinx =0,

3) sinx = a ,

Также нужно уметь решение в виде двух серий корней

2 . Функция y = cos x . Функция ограниченная: находится в пределах [-1; 1]. Это значит, что при решении уравнений типа cos x =2 или cos x =-5 в ответе получается: нет корней. Формулы для функции у= cos x :

1. cosx =a, X=± arccos a+2n,nZ

2. cos x=-a, X=±(  — arccos a)+2n,nZ

Частные случаи: 1. cosx =-1, X =  +2 n , nZ

2. cosx =0,

3. cosx =1, X= 2n,nZ

3. Функция y = tg x .

Тут всего одна формула, без частных случаев: tg x = ± a .

х = ± arctg a+n,nZ

В-третьих, надо знать значения тригонометрических функций;

В- четвёртых, Если в уравнении тригонометрическая функция находится под знаком радикала, то такое тригонометрическое уравнение будет иррациональным. В таких уравнениях следует соблюдать все правила, которыми пользуются при решении обычных иррациональных уравнений (учитывается область допустимых значений как самого уравнения, так и при освобождении от корня четной степени).

V . Уравнения, предлагавшиеся на ЕГЭ прошлых лет.

«Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть – и впоследствии подтвердить это, — что, следуя этому методу, мы достигнем цели».

1. Уравнения, сводящиеся к квадратному.

С1. Решить уравнение:

Решение: Воспользовавшись основным тригонометрическим тождеством, перепишем уравнение в виде

Заменой cos = t уравнение сводится к квадратному:2 t 2 + 9 t -5 =0, которое имеет корни t ₁ = ½ и t ₂ = -5. Возвращаясь к переменной х, получим ,

Второе уравнение корней не имеет так как | cosx |≥1, а из первого x =±+6 k , kZ

Ответ: =±+6 k , kZ

Вывод: вводя новую переменную, нужно учитывать, что значения sin x и cos x ограничены отрезком , а иначе появятся посторонние корни.

2. Уравнения, решаемые разложением на множители

Задание С1 ( 2011 г.)

а) Решить уравнение

б) Указать корни уравнения, принадлежащие отрезку

Решение: а) решаем разложением левой части на множители:

группируем и выносим общий множитель за скобки, получим

Уравнение 1) решений не имеет.

Второе уравнение однородное, решается делением почленно на cosx ≠0, получим , откуда

б)

Ответ: а) б)

1.При решении уравнения такого вида, во – первых, нужно знать, что | sin х|≤1 и | cosx |≤1, и уравнение sinx =-2 решений не имеет;

2.Во – вторых, обосновать деление на cosx ≠о ( так как , если cosx =0,то sin х=0 , а это невозможно;

в- третьих, обоснованно произвести отбор корней, принадлежащие данному промежутку

3.Уравнение на применение формул приведения

С1 ( 2010 г.) Дано уравнение

а) решить уравнение;

б) Указать корни, принадлежащие отрезку

Решение: Используя формулы приведения, получим :

sin 2 x – cos x =0,

2 sinx cosx- cosx =0,

с osx (2 sinx -1 )=0, откуда cosx= 0 или sinx =½,

б) Найдем значения к, при которых корни будут принадлежать

указанному промежутку. Для того, чтобы выбрать корни. принадлежащие заданному промежутку, решение представим в виде :

б) Найдем значения к, при которых корни будут принадлежать указанному промежутку .

Решая это неравенство, целого

значения к не получим.

Ответ: а)

б)

При решении уравнения такого вида, необходимо знать формулы приведенного уравнения и правильно её применить; уметь представлять решениена две серии корней; правильно выбрать корни, принадлежащие заданному отрезку.

4. Системы тригонометрических уравнений

С1 (2010). Решить систему уравнений

Решение: О.Д.З

Дробь равна нулю, если числитель равен 0, а знаменатель не равен 0.

Из уравнения 2 sin 2 x – 3 sinx +1 =0, решая методом введения новой переменной, находим

или sin x =1.

1)Пусть , тогда и у = cos x = ›0 ( используя основное тригонометрическое тождество)

либо и — нет решения.

2) Пусть sinx = 1, тогда у = cos x = 0 – нет решения.

Ответ: и у =

Вывод: 1) нужно учитывать ограниченность тригонометрических

2) Записывать и учитывать О.Д.З.

5. С1 ( ЕГЭ 2011 г.) Решить уравнение:

О.Д.З. – cos x ≥ 0, sin х ≤ 0.

4sin 2 x + 12 sinx + 5 = 0 или cos x =0

sinx = t

4 t 2 + 12 t + 5=0, откуда t ₁=-½ , t ₂ = —

sinx = -½ sinx =- — не имеет решения

х =

с учётом О.Д.З. х =

Ответ: х =

Вывод: Ответ записать с учётом О.Д.З.

В проделанной мною работе были изучены решения тригонометрических уравнений, рассмотрены рекомендации по решению тригонометрических уравнений, методы решения тригонометрических уравнений и рассмотрены ошибки, которые возможны при их решении.

Я пришла к следующим выводам:

1. Задания типа С1 проверяют умение решать тригонометрические уравнения. Эти задания являются, действительно, несложными, что придаёт лишнюю самоуверенность и усыпляют внимательность. Единственной сложностью этих заданий является то, что, решив уравнение или систему уравнений, отбросить посторонние корни.

2. Задача С1 – это самая простая задача группы С. При ее решении не должны возникать громоздкие преобразования и сложные вычисления. Если же они появились – немедленно нужно остановиться, проверить решение и попробовать понять, что же здесь не так.

3. В конечном итоге, главное требование — решение должно быть математически грамотным, из него должен быть понятен ход рассуждений. Нужно постараться записать свое решение кратко и понятно, но главное – правильно!

4. И самое главное — чтобы научиться без ошибок решать уравнения , надо их решать! Ведь, как говорил Пойа, « Если хотите научиться плавать, то смело ныряйте в воду, а если хотите научиться решать задачи, надо их решать!»

Приложение 1 ( основные формулы тригонометрии)

1) основное тригонометрическое тождество sin 2 α + cos 2 α= 1,

Деля это уравнение на квадрат косинуса и синуса соответственно имеем