Решение тригонометрических уравнений задания для самостоятельной работы

Решение тригонометрических уравнений задания для самостоятельной работы

1. Решить уравнение cos2x = 1/2.

Используем метод решения простейших тригонометрических уравнений и получаем:

2x = ±arccos(1/2) + 2πn = ±π/3 + 2πn (здесь и далее, n ∈ Z).

Откуда x = ±π/6 + πn.

Ответ: x = ±π/6 + πn.

2. Решить уравнение sin(3 — 2x) = -1/2.

Используем формулу из методов решений, имеем:

3 — 2x = (-1)n(arcsin(-1/2)) + πn = (-1)n(-π/6) + πn (здесь и далее n ∈ Z).

Делаем преобразование и получаем x = 3/2 + π/12(-1)n — πn/2.

Ответ: x = 3/2 + π/12(-1)n — πn/2.

3. Решить уравнение cos2x — 3sinx = 2.

Воспользуемся формулой удвоенного угла косинуса (cos2a = 1 — 2sin2a) и получим:

1 — 2sin2x — 3sinx = 2.

Воспользуемся методом замены, обозначим sinx = y. Уравнение примет вид:

Находим его корни: y1 = -1, y2 = -1/2.

Возвращаемся к исходной переменной и получаем совокупность sinx = -1 и sinx = -1/2.

Из первого получаем решение — x = -π/2 + 2πn, из второго — x = (-1)m(-π/6) + πm (m, n ∈ Z).

Ответ: x = -π/2 + 2πn или x = (-1)m(-π/6) + πm.

4. Решить уравнение 2tgx — 3ctgx = 1.

Так как ctgx = 1/tgx при x ≠ πn/2 (n ∈ Z) получаем уравнение

2tgx — 3/tgx = 1 или 2tg2x — tgx — 3 = 0.

Вводим новую переменную tgx = y и решаем квадратное уравнение 2y2 — y — 3 = 0 относительно y.

Оно имеет два решения y1 = 3/2, y2 = -1.

Возвращаемся к исходной переменной и решаем два уравнения:

tgx = 3/2, откуда x = arctg(3/2) + πn, n ∈ Z.

tgx = -1, откуда x = arctg(-1) + πm = -π/4 + πm, m ∈ Z.

Ответ: x = arctg(3/2) + πn или x = -π/4 + πm.

5. Решить уравнение 3cosx — sin2x = 1 — sin3x.

Сделаем следующее преобразование 3(cosx + sinx) = 1 + sin2x.

Замена cosx + sinx = t приведет к уравнению 3t = t2. Оно имеет корни t1 = 0, t2 = 3.

Берем первый корень, возвращаем замену и получаем cosx + sinx = 0, делим на cosx ≠ 0, откуда tgx = -1, x = -π/4 + πn (n ∈ Z).

Второй корень t2 дает уравнение cosx + sinx = 3. Это уравнение не имеет решений, т.к. и cosx, и cosx меньше равны 1, в сумме меньше равны 2.

Ответ: x = -π/4 + πn.

6. Решить уравнение cos2x + cos4x + cos6x = 0.

Проделаем следующие преобразования

(cos2x + cos6x) + cos4x = 0;

2cos4xcos2x + cos4x = 0;

cos 4 x (2 cos 2 x + 1) = 0.

Имеем два случая:

cos4x = 0, откуда 4x = π/2 + πn, x = π/8 + πn/4 (n ∈ Z).

2cos2x + 1 = 0 или cos2x = -1/2, откуда 2x = ±2π/3 + 2πm, x = ±π/3 + πm (m ∈ Z).

Ответ: x = π/8 + πn/4 или x = ±π/3 + πm.

7. Решить уравнение cos5x = cos2x.

Переносим в одну сторону и применяем формулу разницы косинусов:

sin (7 x /2) sin (3 x /2) = 0;

Откуда либо sin(7x/2) = 0, либо sin(3x/2) = 0.

Из первого: 7x/2 = πn или x = 2πn/7 (n ∈ Z).

Из второго: 3x/2 = πn или x = 2πm/3 (m ∈ Z).

Ответ: x = 2πn/7 или x = 2πm/3.

8. Решить уравнение sin3x — 2cos2xsinx = 0.

Для начала отметим, что можно вынести sinx за скобки:

sinx(sin2x — 2cos2x) = 0.

Уравнение распадается на два случая:

sinx = 0, откуда x = πn (n ∈ Z).

sin2x — 2cos2x = 0. Заметим, что данное уравнение однородное. Делим его на cos2x ≠ 0 и получаем:

Ответ: x = πn или x = ±arctg√2 + πm

9. Решить уравнение 4sin2x — 3sinxcosx + 5cos2x = 3.

Заметим, что если бы в правой части был ноль, данное уравнение было бы однородным и мы знали как его решить. Проведем преобразование и сделаем его таковым:

sin2x — 3sinxcosx + 2cos2 + 3(sin2x + cos2x) = 3;

sin2x — 3sinxcosx + 2cos2x = 0.

А вот это уравнение является однородным, потому делим обе его части на sin2x ≠ 0 (ведь, если sinx = 0, то и cosx = 0, что одновременно невозможно).

1 — 3ctgx + 2ctg2x = 0;

2ctg2x — 3ctgx + 1 = 0.

Теперь мы можем использовать замену переменной, а именно ctgx = t и решать квадратное уравнение относительно t:

Уравнение имеет корни t1 = 1, t2 = 1/2.

Возвращаемся к неизвестному x и получаем

из t1: ctgx = 1, откуда x = π/4 + πn (n ∈ Z);

из t2: ctgx = 1/2, откуда x = arcctg(1/2) + πm (m ∈ Z).

Ответ: x = π/4 + πn или x = arcctg(1/2) + πm.

10. Решить уравнение sinx + tg(x/2) = 2.

Заметим, что числа π + 2πn (n ∈ Z) не являются корнями данного уравнения, потому можно воспользоваться универсальной заменой tg(x/2) = t. Тогда уравнение примет вид:

t3 — 2t2 + 3t — 2 = 0;

t2(t — 1) — (t2 — 3t + 2) = 0;

t2(t — 1) — (t — 2)(t — 1) = 0;

(t — 1)(t2 — t + 2) = 0;

Так как второй множитель всегда положителен, то решение одно t = 1. Возвращаясь к исходному неизвестному получаем:

x = π/2 + 2πn, n ∈ Z.

Ответ: x = π/2 + 2πn.

11. Решить уравнение 4sinx — 3cosx = 3.

Применим универсальную замену tg(x/2) = y. Отметим, что числа π + 2πn (n ∈ Z) являются корнями указанного уравнения, потому добавляем их к ответу.

Замена же приводит к следующему уравнению:

Делая преобразования получаем 8y = 6;

Возвращаемся к исходной переменной tg(x/2) = 3/4, откуда

x = 2arctg(3/4) + 2 π n (n ∈ Z).

Ответ : x = 2arctg(3/4) + 2 π n или x = π + 2 π n.

12. Решить уравнение sin3x cos8x = 1.

Используем формулу произведения синуса и косинуса:

(sin(3x + 8x) + sin(3x — 8x))/2 = 1;

sin11x — sin5x = 2.

Отметим, что |sin11x| ≤ 1 и |sin5x| ≤ 1, а потому левая часть может равняться 2 лишь в случае, когда sin11x = 1 и sin5x = -1.

Решая первое уравнение sin11x = 1 приходим к ответу x = π/22 + 2πn/11 (n ∈ Z).

Решая второе уравнение sin5x = -1 приходим к ответу x = -π/10 + 2πm/5 (m ∈ Z).

Найдем те случаи, когда оба условия выполняются, т.е.

π/22 + 2πn/11 = -π/10 + 2πm/5;

(4n + 1)π/22 = (4m — 1)π/10;

5n = 11m — 4 (n, m ∈ Z).

Данное уравнение называется диофантовым и имеет следующие решения: m = 4 + 5t, n = 8 + 11t (n, t, m ∈ Z).

Откуда x = -π/10 + 2πm/5 = -π/10 + 2π(4 + 5t)/5 = 3π/2 + 2πt (t ∈ Z).

Ответ: x = 3π/2 + 2πt.

13. Решить уравнение ctg2x = cos22x — 1.

Сделаем преобразование cos22x — 1 = -sin22x и получим:

Отметим, что ctg2x ≥ 0, а -sin22x ≤ 0. Равенство выполняется, когда ctg2x = 0 и sin22x = 0.

Первое уравнение ctg2x = 0 имеет решение x = π/2 + πn (n ∈ Z).

Второе уравнение sin22x = 0 имеет решение x = πm/2 (m ∈ Z).

Найдем общее решение:

n = 3 + 2t, m = 1 + t (m, n, t ∈ Z).

Откуда x = π m/2 = (1 + t) π /2 = 3 π /2 + π t (t ∈ Z).

Ответ: x = 3π/2 + πt.

14. Решить уравнение sin3x cos5x = 1.

Используем формулу произведения синуса и косинуса:

(sin8x — sin2x)/2 = 1;

sin8x — sin2x = 2.

Уравнение будет иметь решения лишь тогда, когда sin8x = 1, а sin2x = -1.

Первое уравнение sin8x = 1 имеет решения x = π/16 + πn/4 (n ∈ Z) (*).

Второе уравнение sin2x = -1 имеет решения x = -π/4 + πm (m ∈ Z) (**).

Найдем решения, удовлетворяющие оба случая:

π/16 + πn/4 = -π/4 + πm;

Левая часть уравнения делится на 4, правая — нет. Потому данное уравнение не имеет решения в целых числах. А значит и общих решений у (*) и (**) нет.

Самостоятельная работа » Тригонометрические уравнения», 10 класс

Самостоятельная работа состоит из 32 вариантов одинакового уровня сложности. Ответы на последней странице

Просмотр содержимого документа
«Самостоятельная работа » Тригонометрические уравнения», 10 класс»

Решите тригонометрические уравнения:

1. 2sin 2 x – 5sin x – 7 = 0

2. 12sin 2 x + 20cos x – 19 = 0

3. 3sin 2 x + 14sin x cos x + 8cos 2 x = 0

4. 7 tg x – 10ctg x + 9 = 0

5. 5sin 2x – 14cos 2 x + 2 = 0

6. 9cos 2x – 4cos 2 x = 11sin 2x + 9

Решите тригонометрические уравнения:

1. 10cos 2 x – 17cos x + 6 = 0

2. 2cos 2 x + 5sin x + 5 = 0

3. 6sin 2 x + 13sin x cos x + 2cos 2 x = 0

4. 5 tg x – 4ctg x + 8 = 0

5. 6cos 2 x + 13sin 2x = –10

6. 2sin 2 x + 6sin 2x = 7(1 + cos 2x)

Решите тригонометрические уравнения:

1. 3sin 2 x – 7sin x + 4 = 0

2. 6sin 2 x – 11cos x – 10 = 0

3. sin 2 x + 5sin x cos x + 6cos 2 x = 0

4. 4 tg x – 12ctg x + 13 = 0

Решите тригонометрические уравнения:

1. 10cos 2 x + 17cos x + 6 = 0

2. 3cos 2 x + 10sin x – 10 = 0

3. 2sin 2 x + 9sin x cos x + 10cos 2 x = 0

4. 3 tg x – 12ctg x + 5 = 0

5. 10sin 2 x – 3sin 2x = 8

6. 11sin 2x – 6cos 2 x + 8cos 2x = 8

Решите тригонометрические уравнения:

1. 10sin 2 x + 11sin x – 8 = 0

2. 4sin 2 x – 11cos x – 11 = 0

3. 4sin 2 x + 9sin x cos x + 2cos 2 x = 0

4. 3 tg x – 8ctg x + 10 = 0

6. 10sin 2 x + 11sin 2x + 6cos 2x = –6

Решите тригонометрические уравнения:

1. 3cos 2 x – 10cos x + 7 = 0

2. 6cos 2 x + 7sin x – 1 = 0

3. 3sin 2 x + 10sin x cos x + 3cos 2 x = 0

4. 6 tg x – 14ctg x + 5 = 0

5. 6sin 2 x + 7sin 2x + 4 = 0

Решите тригонометрические уравнения:

1. 6sin 2 x – 7sin x – 5 = 0

2. 3sin 2 x + 10cos x – 10 = 0

3. 2sin 2 x + 11sin x cos x + 14cos 2 x = 0

4. 3 tg x – 5ctg x + 14 = 0

5. 10sin 2 x – sin 2x = 8cos 2 x

6. 1 – 6cos 2 x = 2sin 2x + cos 2x

Решите тригонометрические уравнения:

1. 3cos 2 x – 5cos x – 8 = 0

2. 8cos 2 x – 14sin x + 1 = 0

3. 5sin 2 x + 14sin x cos x + 8 cos 2 x = 0

4. 2 tg x – 9ctg x + 3 = 0

5. sin 2 x – 5cos 2 x = 2sin 2x

6. 5cos 2x + 5 = 8sin 2x – 6sin 2 x

Решите тригонометрические уравнения:

1. 6sin 2 x + 11sin x + 4 = 0

2. 4sin 2 x – cos x + 1 = 0

3. 3sin 2 x + 11sin x cos x + 6cos 2 x = 0

4. 5 tg x – 8ctg x + 6 = 0

6. 14cos 2 x + 3 = 3cos 2x – 10sin 2x

Карточки для самостоятельной работы по теме «Основные методы решения тригонометрических уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

1.-5. Решите уравнение

;

;

;

;

.

6. Сколько корней имеет уравнение ?

1.-5. Решите уравнение

;

;

;

;

.

6. Сколько корней имеет уравнение ?

1.-5. Решите уравнение

;

;

;

;

.

6. Сколько корней имеет уравнение ?

1.-5. Решите уравнение

;

;

;

;

;

6. Сколько корней имеет уравнение ?

1.-5. Решите уравнение

;

;

;

;

.

6. Сколько корней имеет уравнение ?

1.-5. Решите уравнение

;

;

;

;

.

6. Сколько корней имеет уравнение ?

1.-5. Решите уравнение

;

;

;

;

.

6. Сколько корней имеет уравнение ?

1.-5. Решите уравнение

;

;

;

;

.

6. Сколько корней имеет уравнение ?

1.-5. Решите уравнение

;

;

;

;

.

6. Сколько корней имеет уравнение ?

1.-5. Решите уравнение

;

;

;

;

.

6. Сколько корней имеет уравнение ?

1.-5. Решите уравнение

;

;

;

;

.

6. Сколько корней имеет уравнение ?

1.-5. Решите уравнение

;

;

;

;

.

6. Сколько корней имеет уравнение ?

1.-5. Решите уравнение

;

;

;

;

.

6. Сколько корней имеет уравнение ?

1.-5. Решите уравнение

;

;

;

;

.

6. Сколько корней имеет уравнение ?

1.-5. Решите уравнение

;

;

;

;

.

6. Сколько корней имеет уравнение ?

1.-5. Решите уравнение

;

;

;

;

.

6. Сколько корней имеет уравнение ?

1.-5. Решите уравнение

;

;

;

;

.

6. Сколько корней имеет уравнение ?

1.-5. Решите уравнение

;

;

;

;

.

6. Сколько корней имеет уравнение ?

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 939 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 686 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 313 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 587 487 материалов в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

• 23.10.2015
• 465
• 0

• 23.10.2015
• 3180
• 1

• 23.10.2015
• 861
• 0

• 23.10.2015
• 1916
• 0

• 23.10.2015
• 13512
• 1551

• 23.10.2015
• 9181
• 39

• 23.10.2015
• 873
• 0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 23.10.2015 4454
• DOCX 237 кбайт
• 110 скачиваний
• Рейтинг: 5 из 5
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Гусева Юлия Анатольевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 6 лет и 11 месяцев
• Подписчики: 4
• Всего просмотров: 191514
• Всего материалов: 15

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Ленобласть распределит в школы прибывающих из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

Рособрнадзор не планирует переносить досрочный период ЕГЭ

Время чтения: 0 минут

Университет им. Герцена и РАО создадут портрет современного школьника

Время чтения: 2 минуты

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

В ростовских школах рассматривают гибридный формат обучения с учетом эвакуированных

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения упростит процедуру подачи документов в детский сад

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Только 23 февраля!
Получите новую
специальность
по низкой цене

Цена от 1220 740 руб. Промокод на скидку Промокод скопирован в буфер обмена ПП2302 Выбрать курс Все курсы профессиональной переподготовки