Решение тригонометрических уравнений заменой неизвестного

Решение тригонометрических уравнений заменой неизвестного

Методы решения тригонометрических уравнений.

1. Алгебраический метод.

( метод замены переменной и подстановки ).

2. Разложение на множители.

П р и м е р 1. Решить уравнение: sin x + cos x = 1 .

Р е ш е н и е . Перенесём все члены уравнения влево:

sin x + cos x – 1 = 0 ,

преобразуем и разложим на множители выражение в

левой части уравнения:

П р и м е р 2. Решить уравнение: cos 2 x + sin x · cos x = 1.

Р е ш е н и е . cos 2 x + sin x · cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0 ,

sin x · cos x – sin 2 x = 0 ,

sin x · ( cos x – sin x ) = 0 ,

П р и м е р 3. Решить уравнение: cos 2 x – cos 8 x + cos 6 x = 1.

Р е ш е н и е . cos 2 x + cos 6 x = 1 + cos 8 x ,

2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x ,

cos 4x · ( cos 2x – cos 4x ) = 0 ,

cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 ,

1). cos 4x = 0 , 2). sin 3x = 0 , 3). sin x = 0 ,

3. Приведение к однородному уравнению.

а) перенести все его члены в левую часть;

б) вынести все общие множители за скобки;

в) приравнять все множители и скобки нулю;

г ) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на

cos ( или sin ) в старшей степени;

д) решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan .

П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.

Р е ш е н и е . 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,

sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,

tan 2 x + 4 tan x + 3 = 0 , отсюда y 2 + 4y +3 = 0 ,

корни этого уравнения: y ₁ = — 1, y ₂ = — 3, отсюда

1) tan x = –1, 2) tan x = –3,

4. Переход к половинному углу.

П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin x – 5 cos x = 7.

Р е ш е н и е . 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) – 5 cos ² ( x / 2 ) + 5 sin ² ( x / 2 ) =

= 7 sin ² ( x / 2 ) + 7 cos ² ( x / 2 ) ,

2 sin ² ( x / 2 ) – 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos ² ( x / 2 ) = 0 ,

tan ² ( x / 2 ) – 3 tan ( x / 2 ) + 6 = 0 ,

5. Введение вспомогательного угла.

где a , b , c – коэффициенты; x – неизвестное.

Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса , а именно : модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1 . Тогда можно обозначить их соответственно как cos и sin ( здесь — так называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение прини мает вид:

6. Преобразование произведения в сумму.

П р и м е р . Решить уравнение: 2 sin x · sin 3 x = cos 4 x .

Р е ш е н и е . Преобразуем левую часть в сумму:

Открытый урок по теме «Решение тригонометрических уравнений. Уравнения,сводящиеся к простейшим заменой неизвестного»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Открытый урок по алгебре и началам анализа учителя математики Боциевой А.А. в 10 «Б» классе МКОУ СОШ № 1 г. Дигора по УМК Никольского С.М.(3 ч в неделю)

Технологическая карта урока

Тема: « Решение тригонометрических уравнений. Уравнения, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного ».

Тип урока: Урок обобщения и систематизации знаний.

Предметные: обеспечить повторение и систематизацию учебного материала.

Научить при решении уравнений ориентироваться на координатной плоскости и правильно записывать решение уравнений, имея ввиду неоднозначность ответа,

Проконтролировать степень владения УУД.

Личностные: Формировать: независимость суждений, содействовать воспитанию интереса к математике и ее приложениям, умению объективно оценивать себя, активности, мобильности, умению общаться, общую культуру учащихся.

Метапредметные: способствовать формированию умений применять приемы: сравнения, обобщения, выявления главного, переноса знаний в новую ситуацию, развитию математического кругозора и зоркости, мышления и речи, внимания и памяти.

Планируемые результаты: Учащийся научится: решать уравнения по обобщающей схеме: 1)сводить тригонометрическое уравнение к алгебраическому,

2)решать тригонометрические уравнения разложением на множители,

3)вводить новую переменную,

4)вводить вспомогательный аргумент,

5)решать тригонометрические уравнения переводом суммы в произведение

6)применять формулы понижения степени;

делать системные обобщения, выполнять самопроверку, выполнять взаимопроверку.

Основные понятия: синус угла, косинус угла, период, чётность функции, корень уравнения, тригонометрическая окружность.

Организационная структура урока.

6.Взаимопроверка и оценка

7.Систематизация знаний (профильный уровень)

7.Информация о домашнем задании

Ф — фронтальная работа И – индивидуальная работа П – парная работа

Альберт Эйнштейн (1879 – 1955) однажды заметил:

«Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако, уравнения гораздо важнее. Политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно».

Сегодня у нас заключительный урок по теме «Решение тригонометрических уравнений». Повторяем, обобщаем, приводим в систему изученные виды, типы уравнений, методы и приемы решений тригонометрических уравнений.

Решение какого уравнения показано на тригонометрической окружности?

Слайд 8. 5 – я схема лишняя, так как эта схема изображает решение уравнения вида ; 1, 2, 3, 4, 6 – изображают решение уравнений вида .

Слайд 9. 1 – я схема лишняя, так как она изображает решение уравнения вида ;

5 – я схема лишняя, так как эта схема изображает решение уравнения вида ;

2, 3, 4, 6 – изображают решение уравнений вида .

3.Самостоятельная работа по теме: «Решение тригонометрических уравнений» 10 класс

УМК С.М.Никольский (профильное преподавание предмета 4 ч/нед)

Каково будет решение уравнения при ?

При каком значении а уравнение имеет решение?

Какой формулой выражается это решение?

На какой оси откладывается значение а при решении уравнения ?

В каком промежутке находится ?

В каком промежутке находится значение а?

Каким будет решение уравнения ?

Каким будет решение уравнения ?

Каким будет решение уравнения ?

Чему равняется ?

В каком промежутке находится ?

Какой формулой выражается решение уравнения ?

Каково будет решение уравнения при ?

При каком значении а уравнение имеет решение?

Какой формулой выражается это решение?

На какой оси откладывается значение а при решении уравнения ?

В каком промежутке находится ?

В каком промежутке находится значение а?

Каким будет решение уравнения ?

Каким будет решение уравнения ?

Каким будет решение уравнения ?

Чему равняется ?

В каком промежутке находится ?

Какой формулой выражается решение уравнения ?

Слайд 15 – оценивание сам работы.

3. Классификация тригонометрических уравнений. Систематизация знаний.

Цель: привести в систему знания по типам и методам решения тригонометрических уравнений.

Слайды 16 – 21 . Составление таблицы по методам решения тригонометрических уравнений.

Учащимся предлагается решить уравнения ( по вариантам) предварительно определив, что это за уравнение и каким методом оно решается. У доски данную работу выполняет один ученик – решение уравнения одного варианта. Учащиеся, выполняющие работу другого варианта, решают уравнение на листочках.

В а р и а н т 1.

В а р и а н т 2.

1) Уравнения сводимые к алгебраическим. Слайд 16

2) Разложение на множители. Слайд 17

3) Введение новой переменной. Слайд 18

4) Введение вспомогательного аргумента. Слайд 19 *

5) Уравнения решаемые с помощью формул сложения.Слайд 20

6)Применение формул понижения степени.

Решение

cos 2 x – sin 2 x+ sin 2 x+ sinx- ¼ = 0

1- sin 2 x+ sinx- ¼ =0

sin 2 x- sinx- ¾ =0

sinx = 3/2 sinx = — ½

решений нет x = -π/6 +2 πn n € Z

3 cos 2 x- 3 sin 2 x — 5 cosx – 1=0

3 cos 2 x- 3(1 — cos 2 x)- 5 cosx – 1=0

6 cos 2 x-5 cosx – 4=0

решений нет x ₁= 2 π /3 + 2 πk k € Z

x ₂= 4 π /3 +2 πn n € Z

sinx ( 3sinx — √3 cosx)=0

sinx=0 или 3sinx — √3 cosx=0

k € Z x =5 π /6 + πn n € Z

√3с osx (√3 cosx — sinx)=0

√3 cosx + 1 =0 или ctgx = — √3/3

x = π /2 + πn x =2 π /3 + πk k € Z

k € Z n € Z

3 cos 2 x-5 sin 2 x-2 sinx cosx=0

3-5tg 2 x- 2 tgx =0

5 tg 2 x+2 tgx – 3=0

x=arctg 0,6 + π n n€Z x=3π/4 + πk k€Z

2 cos 2 x- sin 2 x+cosxsinx=0 : sin 2 x

2 с tg 2 x + с tgx -1=0

t ₁ = t ₂ = -1

с tgx= с tgx= -1

x=arcctg + πk x= + πn

Ответ : x=arcctg + πk x= + πn

4)

— =1

— x )=1

— x = + 2 πn

— x = — +2 πn

x = — + 2 πn n € Z

Ответ: x = — + 2 πn n € Z

4)

+=

+ =

+ x ) =

+ x = +2 πn или + x = +2 πk

x = — +2 πn n € Z x = +2 πk k € Z

Ответ: x = — +2 πn n € Z x = +2 πk k € Z

2 = 4cos 3 x

2 = 4cos 3 x I : со s x

2 = 4 cos 2 x

4 cos 2 x I :4 с osx

=

x= +πn n€Z

Ответ : x= +πn n€Z

5)

-2=

2=

2— =0

(2-1)= 0

или 2-1= 0

x ₁= πn =

n € Z x ₂= +2 πk x ₃= +2 πm

x ₂= +2 πk k € Z

x ₃= +2 πm m € Z

6)

++=0

cos4x (2 cos2x +1)=0

cos4x=0 или 2cos2x = -1

4x = +πn cos2x = —

x= + 2x= + 2πk или 2x = — +2 π m

n€Z x= + k€Z x= — + πm m€Z

Ответ : x= + n€Z

x= + k€Z

x= — + πm m€Z

6)

2с os 2 x + 2 с os 2 2 x +2 с os 2 3 x = 3

cos 2 x + с os 4 x + с os 6 x 0

2 cos3x cos4x + cos4x =0

cos4x (2 cos2x +1)=0

cos4x=0 или 2 cos2x = -1

4x = +πn cos2x = —

x ₁ = + n€Z 2x= + 2πk или 2x=- +2πk

x ₂ = + x ₃ = — +πm

Ответ : x ₁ = + n€Z

x ₂ = + k€Z

x ₃ = — +πm m€Z

§20. РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ, ОТЛИЧАЮЩИХСЯ ОТ ПРОСТЕЙШИХ.

Как правило, решение тригонометрических уравнений сводится к решению простейших уравнений с помощью преобразований тригонометрических выражений, разложения на множители и замены переменных.

20.1. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ ПРИ РЕШЕНИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ.

Следует помнить общий ориентир, когда замена переменных может выполняться без преобразования данных тригонометрических выражений.

Если в уравнение, неравенство или тождество переменная входит в одном и том же виде, то удобно соответствующее выражение с переменной обозначить одной буквой (новой переменной).

Задача 1. Решите уравнение

З а м е ч а н и е.

Записывая решения задачи 1, можно при введении замены sin x = t учесть, что | sin x | ≤1 , и записать ограничения | t | ≤ 1 , а далее заметить, что один из корней t = 3 не удовлетворяет условию | t | ≤1 , и после этого обратную замену выполнять только для t = 1/2 .

Задача 2. Решите уравнение .

К о м м е н т а р и й

В заданное уравнение переменная входит только в виде tg 2x. Поэтому
удобно ввести новую переменную tg 2x = t. После выполнения обратной
замены и решения полученных простейших тригонометрических уравнений
следует в ответ записать все полученные корни.

При поиске плана решения более сложных тригонометрических уравнений
можно воспользоваться таким о р и е н т и р о м.

1. Пробуем привести все тригонометрические функции к одному аргументу.

2. Если удалось привести к одному аргументу, то пробуем все тригонометрические выражения привести к одной функции.

3. Если к одному аргументу удалось привести, а к одной функции — нет,
тогда пробуем привести уравнение к однородному.

4. В других случаях переносим все члены в одну сторону и пробуем получить
произведение или используем специальные приемы решения.

20.2. РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
ПРИВЕДЕНИЕМ К ОДНОЙ ФУНКЦИИ (С ОДИНАКОВЫМ
АРГУМЕНТОМ)

Задача 1 Решите уравнение соs 2x – 5 sin x – 3 = 0.

З а м е ч а н и е.

При желании ответ можно записать в виде:

Задача 2 Решите уравнение tg x + 2 сtg x = 3.

20.3. РЕШЕНИЕ ОДНОРОДНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
И ПРИ­ВЕДЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
К ОДНОРОДНОМ

Все одночлены, стоящие в левой части этого уравнения, имеют степень 2
(напомним, что степень одночлена uv также равна 2). В этом случае уравнение (2) (и соответственно уравнение (1)) называется однородным, и для распознавания таких уравнений и их решения можно применять такой о р и е н т и р.

Если все члены уравнения, в левой и правой частях которого стоят
многочлены от двух переменных (или от двух функций одной переменной), имеют одинаковую суммарную степень* , то уравнение называется однородным. Решается однородное уравнение делением на наибольшую степень одной из переменных.

З а м е ч а н и е.

Придерживаясь этого ориентира, приходится делить обе части уравнения на выражение с переменной. При этом можно потерять корни
(если корнями являются те числа, при которых делитель равен нулю). Чтобы избежать этого, необходимо отдельно рассмотреть случай, когда выражение, на которое мы собираемся делить обе части уравнения, равно нулю,
и только после этого выполнять деление на выражение, не равное нулю.

Задача 1 Решите уравнение

Задача 2 Решите уравнение sin 3x = 5 соs 3x.

Задача 3 Решите уравнение

20.4. РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ВИДА f (x) = 0
С ПОМОЩЬЮ РАЗЛОЖЕНИЯ НА МНОЖИТЕЛИ

Задача 1 Решите уравнение sin 7x = sin 5x.

Задача 2 Решите уравнение sin x + sin 3x = sin 4x.

20.5. ОТБОР КОРНЕЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Если при решении тригонометрических уравнений необходимо выполнять отбор корней, то чаще всего это делается так:

находят (желательно наименьший) общий период всех тригонометрических функций, входящих в запись уравнения (конечно, если этот общий период существует); потом на этом периоде отбирают корни (отбрасывают посторонние), а те, которые остаются, периодически продолжают.

Пример Решите уравнение

І способ решения

З а м е ч а н и е.

При решении уравнения (1) мы не следили за равносильностью выполненых преобразований, но выполняли преобразования, не приводящие к потере корней. Тогда говорят (см. § 3), что мы пользовались
уравнениями-следствиями (если все корни первого уравнения являются
корнями второго уравнения, то второе уравнение называется следствием
первого). В этом случае мы могли получить посторонние для данного уравнения корни (то есть те корни последнего уравнения, которые не являются
корнями данного). Чтобы этого не случилось, можно пользоваться следующим о р и е н т и р о м.

Если при решении уравнения мы пользовались уравнениями-следствиями, то проверка полученных корней подстановкой в исходное уравнение является обязательной составной частью решения.

Если для решения этого же уравнения (1) мы будем использовать равносильные преобразования, то отбор корней будет организован немного иначе. А именно, нам придется учесть ОДЗ уравнения, то есть общую область
определения для всех функций, входящих в запись уравнения.

ІІ способ решения уравнения sin 4x tg x = 0.