Решение уравнение с методом итерации на маткаде

Практическая работа №5

Цель работы:

• научиться решать нелинейное уравнение в Mathcad, используя вычислительный алгоритм метода простых итераций;

Задание №1.Решить нелинейное уравнение методом итераций.

Метод простых итераций является одним из наиболее важных способов численного решения уравнений. Этот метод состоит в следующем. Пусть дано уравнение

где f(x)  непрерывная функция, требуется определить вещественные корни этого уравнения. Запишем уравнение (1) равносильным уравнением

x= (x) (2)

Выберем каким-либо способом, например графически, приближенное значение корня x₀ и подставим его в правую часть уравнения (2). Получим некоторое число

x₁= (x₀) (3)

Подставим теперь в правую часть уравнения (3) вместо x₀ число x₁. Получим новое число x₂= (x₁). Повторяя этот процесс, получим последовательность чисел x_n= (x_n-1) (n=1,2,…). Если эта последовательность сходится, то найдется число , которое и будет корнем уравнения (2). Итерационный процесс x_n= (x_n-1) сходится, если . Критерием окончания итерационного процесса является выполнение неравенства

, где ε 3-x-1=0

Практическая работа №6

Цель работы:

• научиться решать нелинейное уравнение в Mathcad, используя вычислительный алгоритм метода бисекции (половинного деления).

Задание №1.Решить нелинейное уравнение методом бисекции.

Метод бисекции (половинного деления) состоит в следующем.

Пусть дано уравнение

Деление продолжать до получения отрезка длиной ε ≤ 10-3.

• Определите левую часть нелинейного уравнения как функцию f(x).
• Построим график функции f(x), точка пересечения которого с осью и даст приближенное значение корня исходного уравнения. Определим по графику значения концов отрезка, содержащего корень уравнения: a=0, b=1.
• Задайте значения концов отрезка [a,b] в векторной форме. Для этого, используя палитру векторов и матриц, получите, оператор вектора на два элемента и заполните его идентификаторами концов отрезка a₀ и b₀. При помощи клавиши пробела выведите курсор за знак оператора, нажмите клавишу :, введите еще один оператор вектора на два элемента и заполните его значениями концов отрезка: 0 и 1.
• Задайте дискретную переменную i (от 0 до 10), определяющую количество этапов деления отрезка [a,b], за которое мы рассчитываем получить решение уравнения.
• Определите формулы вычисления концов отрезка на каждом этапе деления его пополам. На отрезке [a_i,b_i] серединой будет точка .

Если (знаки функции на концах разделенного отрезка разные), то начало нового отрезка для вычислений a_i+1 совпадет с a_i, т.е. a_i+1=a_i. В противном случае (знаки функции на концах разделенного отрезка одинаковые) a_i+1 совпадет с точкой половинного деления отрезка, т.е. .

Подобная операция необходима для другого конца отрезка [a_i, b_i], для b_i. Если , то конец нового отрезка для вычислений b_i+1 совпадет с точкой половинного деления отрезка, т.е. ; в противном случае b_i+1 совпадет с концом отрезка [a_i, b_i], т.е. b_i+1=b_i. Если же , то точка будет являться корнем нелинейного уравнения. Для реализации описанного процесса в Mathcad запишем формулы для определения начала и конца разделенного отрезка, воспользовавшись условным оператором if в векторной форме. Такая форма записи позволяет в вычислениях Mathcad использовать результаты предыдущих операций. Введем оператор вектора на три элемента и заполним его идентификаторами искомых величин a_i+1, b_i+1, g_i (g_i  для вычисления ). Введем знак присвоения и еще один оператор вектора на три элемента. Последний оператор заполните следующими формулами:

Условный оператор if работает следующим образом. Если логическое выражение, записанное в скобках, истинно, то переменная слева от знака := принимает значение выражения или величины, стоящей первой после логического выражения, в противном случае переменной присваивается значение выражения, или величины, стоящей на втором месте после логического выражения.

• Чтобы увидеть результат вычислений, введите последовательно a=,b=,g=. Вектор a покажет начала всех разделенных отрезков, b  концы этих отрезков. Вектор g содержит значения функции f(x) в серединах всех отрезков [a,b]. Среди значений вектора a или вектора b будет корень исходного уравнения.
• Определим корень уравнения следующим образом. Вычислим длину отрезка [a_i,b_i]i=0,…,10, определив ее как . Проанализируем значения вектора ε. Найдем элемент вектора, значение которого меньше заданной в условии задачи минимальной длины отрезка [a_i,b_i]. В нашем примере это значение элемента ε₁₀. Корнем уравнения будет значение .

Результат на экране:

Л евая часть нелинейного уравнения, определенная как функция f(x).

Локализация корня уравнения.

Д
искретная переменная i.

Формулы для определения начала и конца отрезка и определения значения f(x) в середине отрезка.

Значения длины вычисляемых отрезков.
Р
езультаты вычислений.
Длина отрезка [a₁₀, b₁₀] -3 .
З начение f(x) наиболее близкое к нулю.

К орень уравнения, который можно принять для десяти этапов деления отрезка.
Задачи для самостоятельного решения.

Методом бисекции (половинного деления) уточнить корень уравнения.

1. x3+x-1000=0 с точностью до 10-4 .
2. tg(x)=x на отрезке с точностью до 0.0001.

Практическая работа №7

Цель работы:

• научиться решать нелинейное уравнение в Mathcad, используя вычислительный алгоритм метода Ньютона (метод касательных).

Задание №1.Решить нелинейное уравнение методом Ньютона.

Знаменитый метод Ньютона является одним из наиболее эффективных способов численного решения нелинейных уравнений. Этот метод состоит в следующем. Пусть дано уравнение

где f(x)  непрерывная функция, требуется определить вещественные корни этого уравнения с точностью ε. Расчетная формула метода Ньютона имеет следующий вид

(2)

Выберем каким-либо способом, например, графически, приближенное значение корня x₀ и, подставляя его в правую часть уравнения (2), можем начать итерационный процесс вычисления корня уравнения.

Условием завершения итерационного процесса является выполнение условия

(3)

В случае выполнения неравенства (3), корнем уравнения (1) будем считать значение x_k+1.
Рассмотрим реализацию алгоритма метода Ньютона в Mathcad на следующем примере.

Найти действительные корни уравнения

с точностью до трех значащих цифр.

• Установим формат чисел так, чтобы результаты вычислений отображались с нужным количеством знаков после десятичной точки (запятой).
• Преобразуем заданное уравнение к виду (1) и определим его правую часть как функцию f(x).
• Определим приближенное значение корня уравнения графически. Для этого построим график функции . Этим значением будет значение x=a в точке пересечения графика функции с осью абсцисс.
• Определим начальное значение для вычислений следующим образом:

x₀:a.

• Определим дискретный аргумент k:=0..9, задающий количество итераций (вычисляемых значений x_k).
• Определим первую производную функции f(x) как функцию d(x):

• Определим вычислительную формулу Ньютона в векторной форме:

• Для получения вектора результатов в свободном месте рабочего пространства Mathcad напишите: x=. Введите условие оценки погрешности вычислений . Результат вычислений погрешности выведите на экран. Корнем уравнения будет x₂=1.171.

Результат на экране:

Нелинейное уравнение определено в виде функции.

Локализация корней уравнения графическим способом.

Приближенное значения корня уравнения.

К оличество итераций.

Н ачальное значение неизвестного для решения уравнения.

Вычислительная формула Ньютона.

Результат вычислений. Расчет погрешности вычислений.

Погрешность вычислений становится допустимой на второй итерации , поэтому допустимое решение получено на второй итерации .
Задачи для самостоятельного решения.

Используя метод Ньютона, найти с точностью ε=10-6 положительный корень уравнений

Метод простых итераций

Дата добавления: 2015-07-23 ; просмотров: 7342 ; Нарушение авторских прав

Лабораторная работа №5

Тема: Решение СЛАУ итерационным методом в MathCAD.

Цель: изучение приемов численного решения систем линейных уравнений с помощью функций MathCAD.

Порядок выполнения работы

1. Ознакомиться с теоретическими положениями.

2. Рассмотреть пример решения СЛАУ итерационным методом в MathCAD.

3. Выполнить практическое задание.

4. Ответить на контрольные вопросы.

Содержание отчета

1. Тема, цель работы.

2. Практическое задание:

2.1. Постановка задачи.

2.2. Результаты выполнения.

3. Ответы на контрольные вопросы.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Итерационные методы – это методы, позволяющие получить решение системы с заданной точностью путем сходящихся итерационных процессов (метод итерации, метод Зейделя и др.).

Вследствие неизбежных округлений результаты даже точных методов являются приближенными. При использовании итерационных методов, сверх того, добавляется погрешность метода.

Эффективное применение итерационных методов существенно зависит от удачного выбора начального приближения и быстроты сходимости процесса.

Метод простых итераций

Пусть дана линейная система (1).

(1)

Систему (1) коротко можно записать в виде матричного уравнения:

Предполагая, что диагональные коэффициенты

разрешим первое уравнение системы (1) относительно х₁, второе – относительно х₂ и т. д. Тогда получим эквивалентную систему

(3)

при i ¹ j

Систему (3) можно записать в матричной форме

x = b + ax,

а любое (k + 1) приближение вычисляется по формуле

Напишем формулы приближений в развернутом виде:

(4¢)

Приведем достаточное условие сходимости метода итераций.

Теорема:Процесс итерации для приведенной линейной системы (18) сходится к единственному ее решению, если какая-нибудь каноническая норма матрицы a меньше единицы, т.е. для итерационного процесса (19) достаточное условие есть

(5)

Следствие 1. Процесс итерации для системы (3) сходится, если:

1) (k +1) .

Пример решения СЛАУ итерационным методом в MathCAD.

Решить систему методом простых итераций:

Результат на экране: