Уравнения с одной переменной
Уравнением с одной переменной — это равенство, содержащее только одну переменную. Корнем (или решением) уравнения называется такое значение переменной, при котором уравнение превращается в верное числовое равенство.
Содержание:
Определение уравнения. Корни уравнения
Равенство с переменной f(x) = g (х) называют уравнением с одной переменной х, если поставлена задача найти все те же значения х, при которых равенство с переменной обращается в верное числовое равенство. Всякое значение переменной, при котором выражения /(х) и g(x) принимают равные числовые значения, называют корнем уравнения.
Решить уравнение — это значит найти все его корни или доказать, что их нет.
Пример 1.
Уравнение 3 + х = 7 имеет единственный корень 4, так как при этом и только при этом значении переменной равенство 3 + х = 7 является верным.
Пример 2.
Уравнение (х — 1)(х — 2) = 0 имеет два корня: 1 и 2.
Пример 3.
Уравнение не имеет действительных корней.
Заметим, что можно говорить и о мнимых корнях уравнений. Так, уравнение имеет два мнимых корня: (см. п. 47). Всюду ниже речь идет только о действительных корнях уравнений.
Равносильность уравнений
Уравнения, имеющие одни и те же корни, называют равносильными. Равносильными считаются и уравнения, каждое из которых не имеет корней.
Например, уравнения х + 2 = 5 и х + 5 = 8 равносильны, так как каждое из них имеет единственный корень — число 3. Равносильны и уравнения — ни одно из них не имеет корней.
Уравнения неравносильны, так как первое имеет только один корень 6, тогда как второе имеет два корня: 6 и — 6.
В процессе решения уравнения его стараются заменить более простым, но равносильным данному. Поэтому важно знать, при каких преобразованиях данное уравнение переходит в равносильное ему уравнение.
Теорема 1.
Если в уравнении какое-нибудь слагаемое перенести из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному.
Например, уравнение равносильно уравнению
Теорема 2.
Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.
Например, уравнение равносильно уравнению (обе части первого уравнения мы умножили на 3).
Линейные уравнения
Линейным уравнением с одной переменной х называют уравнение вида
где — действительные числа; называют коэффициентом при переменной, — свободным членом.
Для линейного уравнения могут представиться три случая:
1) ; в этом случае корень уравнения равен ;
2) ; в этом случае уравнение принимает вид , что верно при любом х, т. е. корнем уравнения служит любое действительное число;
3) ; в этом случае уравнение принимает вид , оно не имеет корней.
Многие уравнения в результате преобразований сводятся к линейным.
Пример 1.
Решить уравнение
Решение:
По теореме 1 (см. п. 135), данное уравнение равносильно уравнению . Если разделить обе части этого уравнения на коэффициент при х, то по теореме 2 получим равносильное данному уравнение . Итак, — корень уравнения.
Пример 2.
Решение:
Это уравнение сводится к линейному уравнению. Умножив обе части уравнения на 12 (наименьшее общее кратное знаменателей 3, 4, 6,12), получим
Квадратные уравнения
где — действительные числа, причем , называют квадратным уравнением. Если , то квадратное уравнение называют приведенным, если , то неприведенным. Коэффициенты имеют следующие названия: — первый коэффициент, — второй коэффициент, с — свободный член. Корни уравнения находят по формуле
Выражение называют дискриминантом квадратного уравнения (1). Если D О, то уравнение имеет два действительных корня.
В случае, когда D = О, иногда говорят, что квадратное уравнение имеет два одинаковых корня.
Используя обозначение , можно переписать формулу (2) в виде Если , то формулу (2) можно упростить:
Формула (3) особенно удобна, если — целое число, т. е. коэффициент — четное число.
Пример 1.
Решение:
Здесь . Имеем:
Так как , то уравнение имеет два корня, которые найдем по формуле (2):
Итак, — корни заданного уравнения.
Пример 2.
Решить уравнение
Решение:
Здесь По формуле (3) находим т. е. х = 3 — единственный корень уравнения.
Пример 3.
Решить уравнение
Решение:
Здесь Так как D 0, откуда х>3, и 5 — х > 0, откуда х 5, тогда как для уравнения (2) областью определения служит вся числовая прямая. Поэтому найденное значение х = 4, являющееся корнем уравнения (2), может оказаться посторонним корнем для уравнения (1). В данном случае именно это и происходит, поскольку х = 4 не принадлежит области определения уравнения (1) (не удовлетворяет неравенству х > 5). Итак, х = 4 — посторонний корень, т. е. заданное уравнение не имеет корней.
Рациональные уравнения
Уравнение f(x) = g(x) называют рациональным, если f(x) и g(x) — рациональные вьфажения. При этом если f(x) и g(x) — целые выражения, то уравнение называют целым; если же хотя бы одно из выражений f(х), g(x) является дробным, то рациональное уравнение f(x) = g(x) называют дробным.
Например, целыми являются линейные (см. п. 136), квадратные (см. п. 137) уравнения.
Чтобы решить рациональное уравнение, нужно:
1) найти общий знаменатель всех имеющихся дробей;
2) заменить данное уравнение целым, умножив обе его части на общий знаменатель;
3) решить полученное целое уравнение;
4) исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.
Пример:
Решение:
Общим знаменателем имеющихся дробей является 2х(2 — х). Найдя дополнительные множители для каждой дроби, освободимся от знаменателей. Имеем:
Из уравнения находим (см. п. 137). Осталось проверить, обращают ли найденные корни выражение 2х(2 — х) в нуль, т. е. проверить выполнение условия Замечаем, что 2 не удовлетворяет этому условию, а 4 удовлетворяет. Значит, х = 4 — единственный корень уравнения.
Решение уравнения р(х) = 0 методом разложения его левой части на множители
Суть этого метода состоит в следующем. Пусть нужно решить уравнение р(х) = 0, где р(х) — многочлен степени . Предположим, что удалось разложить многочлен на множители:, где — многочлены более низкой степени, чем . Тогда уравнение р(х) = 0 принимает вид . Если — корень уравнения а потому хотя бы одно из чисел равно нулю.
Значит, — корень хотя бы одного из уравнений
Верно и обратное: если — корень хотя бы одного из уравнений то — корень уравнения т. е. уравнения р (х) = 0.
Итак, если , где — многочлены, то вместо уравнения р(х) = 0 нужно решить совокупность уравнений Все найденные корни этих уравнений, и только они, будут корнями уравнения р(х) = 0.
Пример 1.
Решить уравнение
Решение:
Разложим на множители левую часть уравнения. Имеем откуда
Значит, либо х + 2 = 0, либо . Из первого уравнения находим х = — 2, второе уравнение не имеет корней. Итак, получили ответ: -2.
Метод разложения на множители применим к любым уравнениям вида р(х) = 0, где р(х) необязательно многочлен. Пусть но среди выражений есть выражения более сложного вида, чем многочлены (например, иррациональные, логарифмические и т. д.). Среди корней уравнений могут быть посторонние для уравнения р(х) = 0.
Пример 2.
Решить уравнение
Решение:
Имеем ; значит, либо , либо .Из уравнения находим х = 0, из уравнения находим .
Но х = -3 не удовлетворяет исходному уравнению, так как при этом значении не определено выражение . Это посторонний корень.
Итак, уравнение имеет два корня: 3; 0.
Решение уравнений методом введения новой переменной
Суть этого метода поясним на примерах.
Пример 1.
Решение:
Положив , получим уравнение
откуда находим . Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений
Первое квадратное уравнение не имеет действительных корней, так как его дискриминант отрицателен.
Из второго квадратного уравнения находим . Это корни заданного уравнения.
Пример 2.
Решение:
Положим , тогда
и уравнение примет вид
Решив это уравнение (см. п. 145), получим
Но . Значит, нам остается решить совокупность уравнений
Из первого уравнения находим , ; из второго уравнения получаем Тем самым найдены четыре корня заданного уравнения.
Биквадратные уравнения
Биквадратным уравнением называют уравнение вида
Биквадратное уравнение решается методом введения новой переменной: положив , придем к квадратному уравнению
Пример:
Решить уравнение .
Решение:
Положив , получим квадратное уравнение , откуда находим . Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений Первое уравнение не имеет действительных корней, из второго находим Это — корни заданного биквадратного уравнения.
Решение задач с помощью составления уравнений
С помощью уравнений решаются многочисленные задачи, к которым приводят самые разнообразные вопросы физики, механики, экономики и т. д. Прежде всего напомним общий порядок решения задач с помощью уравнений.
1) Вводят переменные, т. е. буквами х, у, z обозначают неизвестные величины, которые либо требуется найти в задаче, либо они необходимы для отыскания искомых величин.
2) С помощью введенных переменных и данных в задаче чисел и их соотношений составляют систему уравнений (или одно уравнение).
3) Решают составленную систему уравнений (или уравнение) и из полученных решений отбирают те, которые подходят по смыслу задачи.
4) Если буквами х, у, z обозначили не искомые величины, то с помощью полученных решений находят ответ на вопрос задачи.
Задача 1.
Для перевозки 60 т груза из одного места в другое затребовали некоторое количество машин. Ввиду неисправности дороги на каждую машину пришлось грузить на 0,5 т меньше, чем предполагалось, поэтому дополнительно потребовались 4 машины. Какое количество машин было затребовано первоначально?
Решение: Обозначим через х количество машин, затребованных первоначально. Тогда на самом деле было вызвано (х + 4) машин. Так как надо было перевезти 60 т груза, то предполагалось, что на одну машину будут грузить т груза, а на самом деле грузили т груза, что на 0,5 т меньше, чем предполагалось. В результате мы приходим к уравнению
Это уравнение имеет два корня: х = -24, х = 20. Ясно, что по смыслу задачи значение х = —24 не подходит. Таким образом, первоначально было затребовано 20 машин.
Задача 2.
Моторная лодка, движущаяся со скоростью 20 км/ч, прошла расстояние между двумя пунктами по реке туда и обратно без остановок за 6 ч 15 мин. Расстояние между пунктами равно 60 км. Найти скорость течения реки.
Решение:
Пусть х км/ч — скорость течения реки. Тогда лодка, собственная скорость которой 20 км/ч, идет по течению со скоростью (20 + х) км/ч, а против течения — со скоростью (20 — х) км/ч. Время, за которое лодка пройдет путь между пунктами по течению, составит ч, а время, за которое лодка пройдет обратный путь, составит ч. Так как путь туда и обратно лодка проходит за 6 ч 15 мин, т. е. ч, приходим к уравнению
решив которое, находим два корня: х = 4, х = -4. Ясно, что значение х = -4 не подходит по смыслу задачи. Итак, скорость течения реки равна 4 км/ч.
Задача 3.
Найти двузначное число, зная, что цифра его единиц на 2 больше цифры десятков и что произведение искомого числа на сумму его цифр равно 144.
Решение:
Напомним, что любое двузначное число может быть записано в виде 10х + у, где х — цифра десятков, а у — цифра единиц. Согласно условию, если х — цифра десятков, то цифра единиц равна х + 2 и мы получаем
Решив это уравнение, найдем
Второй корень не подходит по смыслу задачи.
Итак, цифра десятков равна 2, цифра единиц равна 4; значит, искомое число равно 24.
Задача 4.
Двое рабочих, работая вместе, выполнили некоторую работу за 6 ч. Первый из них, работая отдельно, может выполнить всю работу на 5 ч скорее, чем второй рабочий, если последний будет работать отдельно. За сколько часов каждый из них, работая отдельно, может выполнить всю работу?
Решение:
Производительность труда, т. е. часть работы, выполняемая в единицу времени (обозначим ее через А), и время, необходимое для выполнения всей работы (обозначим его через t), — взаимно обратные величины, т. е. At = 1. Поэтому если обозначить через х ч время, необходимое для выполнения всей работы первому рабочему, а через (х + 5) ч — второму, то часть работы, выполняемая первым рабочим за 1 ч, равна , а часть работы, выполняемая вторым рабочим за 1 ч, равна Согласно условию, они, работая вместе, выполнили всю работу за 6 ч. Доля работы, выполненная за 6 ч первым рабочим, есть , а доля работы, выполненная за 6 ч вторым рабочим, есть Так как вместе они выполнили всю работу, т. е. доля выполненной работы равна 1, получаем уравнение
решив которое, найдем х = 10.
Итак, первый рабочий может выполнить всю работу за 10 ч, а второй — за 15 ч.
Задача 5.
Из сосуда емкостью 54 л, наполненного кислотой, вылили несколько литров и долили сосуд водой, потом опять вылили столько же литров смеси. Тогда в оставшейся в сосуде смеси оказалось 24 л чистой кислоты. Сколько кислоты вылили в первый раз?
Решение:
Пусть в первый раз было вылито х л кислоты. Тогда в сосуде осталось (54 — х) л кислоты. Долив сосуд водой, получили 54 л смеси, в которой растворилось (54 — х) л кислоты. Значит, в 1 л смеси содержится л кислоты (концентрация раствора). Во второй раз из сосуда вылили х л смеси, в этом количестве смеси содержалось л кислоты. Таким образом, в первый раз было вылито х л кислоты, во второй л кислоты, а всего
за два раза вылито 54 — 24 = 30 л кислоты. В результате приходим к уравнению
Решив это уравнение, найдем два корня: и . Ясно, что значение 90 не удовлетворяет условию задачи.
Итак, в первый раз было вылито 18 л кислоты.
Задача 6.
Имеется кусок сплава меди с оловом массой 12 кг, содержащий 45% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому куску, чтобы получившийся новый сплав содержал 40% меди?
Решение:
Пусть масса добавленного олова составляет х кг. Тогда получится сплав массой (12 + х) кг, содержащий 40% меди. Значит, в новом сплаве имеется 0,4(12 + х) кг меди. Исходный сплав массой 12 кг содержал 45% меди, т. е. меди в нем было . Так как масса меди и в имевшемся, и в новом сплаве одна и та же, приходим к уравнению
Решив это уравнение, получим х = 1,5. Таким образом, к исходному сплаву надо добавить 1,5 кг олова.
Задача 7.
Имеется сталь двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%. Сколько стали того и другого сорта надо взять, чтобы после переплавки получить 140 т стали с содержанием никеля 30% ?
Решение:
Пусть масса стали первого сорта равна х т, тогда стали второго сорта надо взять (140 — х) т. Содержание никеля в стали первого сорта составляет 5%; значит, в х т стали первого сорта содержится 0,05л; т никеля. Содержание никеля в стали второго сорта составляет 40%; значит, в (140 — х) т стеши второго сорта содержится 0,4 (140 — х) т никеля. По условию после соединения взятых двух сортов должно получиться 140 т стали с 30% -ным содержанием никеля, т. е. после переплавки в полученной стали должно быть 0,3 * 140 т никеля. Но это количество никеля складывается из 0,05л; т, содержащихся в стали первого сорта, и из 0,4 (140 — х) т, содержащихся в стали второго сорта. Таким образом, приходим к уравнению
0,05х + 0,4 (140 — х) = 0,3 * 140,
из которого находим х = 40. Следовательно, надо взять 40 т стали с 5% -ным и 100 т стали с 40% -ным содержанием никеля.
Иррациональные уравнения
Иррациональным называют уравнение, в котором переменная содержится под знаком радикала или под знаком возведения в дробную степень. Например, иррациональными являются уравнения
Используются два основных метода решения иррациональных уравнений:
1) метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень;
2) метод введения новых переменных (см. п. 147).
Метод возведения обеих частей уравнения в одну
и ту же степень состоит в следующем:
а) преобразуют заданное иррациональное уравнение к виду
б) возводят обе части полученного уравнения в п-ю степень:
в) учитывая, что , получают уравнение
г) решают уравнение и, в случае четного п, делают проверку, так как возведение обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень может привести к появлению посторонних корней (см. п. 142). Эта проверка чаще всего осуществляется с помощью подстановки найденных значений переменной в исходное уравнение.
Пример 1.
Решить уравнение
Решение:
Возведем обе части уравнения в шестую степень; получим х — 3 = 64, откуда х = 67.
Проверка:
Подставив 67 вместо х в данное уравнение, получим , т. е. 2 = 2 — верное равенство.
Ответ: 67.
Пример 2.
Решение:
Преобразуем уравнение к виду
и возведем обе части его в квадрат. Получим
Еще раз возведем обе части уравнения в квадрат:
откуда
Проверка:
1) При х = 5 имеем
— верное равенство.
Таким образом, х = 5 является корнем заданного уравнения.
2) При х = 197 имеем Таким образом, х = 197 — посторонний корень.
Ответ: 5.
Пример 3.
Решение:
Применим метод введения новой переменной.
Положим и мы получаем уравнение , откуда находим
Теперь задача свелась к решению совокупности уравнений
Возведя обе части уравнения в пятую степень, получим х — 2 = 32, откуда х = 34.
Уравнение не имеет корней, поскольку под знаком возведения в дробную степень может содержаться только неотрицательное число, а любая степень неотрицательного числа неотрицательна.
Ответ: 34.
Показательные уравнения
Показательное уравнение вида
где равносильно уравнению f(х) = g(x).
Имеются два основных метода решения показательных уравнений:
1) метод уравнивания показателей, т. е. преобразование заданного уравнения к виду а затем к виду f(х) = g(x);
2) метод введения новой переменной.
Пример 1.
Решить уравнение
Решение:
Данное уравнение равносильно уравнению откуда находим Решив это квадратное уравнение, получим
Пример 2.
Решение:
Приведем все степени к одному основанию . Получим уравнение которое преобразуем к виду Уравнение равносильно уравнению х = 2х — 3, откуда находим х = 3.
Пример 3.
Решить уравнение
Решение:
Применим метод введения новой переменной. Так как ,то данное уравнение можно переписать в виде
Введем новую переменную, положив Получим квадратное уравнение с корнями Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений
Из первого уравнения находим х = 2. Второе уравнение не имеет корней, так как при любых значениях х.
Ответ: 2.
Логарифмические уравнения
Чтобы решить логарифмическое уравнение вида
где нужно:
1) решить уравнение f(x) = g(x);
2) из найденных корней отобрать те, которые удовлетворяют неравенствам f(x) > 0 и g(x) > 0; остальные корни уравнения f(x) = g(x) являются посторонними для уравнения (1).
Имеются два основных метода решения логарифмических уравнений:
1) метод, заключающийся в преобразовании уравнения к виду затем к виду f(x) = g(x);
2) метод введения новой переменной.
Пример 1.
Решение:
Перейдем от заданного уравнения к уравнению и решим его. Имеем Проверку найденных значений х выполним с помощью неравенств Число -3 этим неравенствам удовлетворяет, а число 4 — нет. Значит, 4 — посторонний корень.
Ответ: -3.
Пример 2.
Решение:
Воспользовавшись тем, что сумма логарифмов равна логарифму произведения (см. п. 120), преобразуем уравнение к виду
Из последнего уравнения находим
Осталось сделать проверку. Ее можно выполнить с помощью системы неравенств
Подставив поочередно найденные значения -1 и -5,5 в эти неравенства, убеждаемся, что -1 удовлетворяет всем неравенствам, а -5,5 — нет, например при этом значении не выполняется первое неравенство. Значит, -5,5 — посторонний корень.
Ответ: -1.
Пример 3.
Решение:
Так как заданное уравнение можно переписать следующим образом:
Введем новую переменную, положив Получим
Но ; из уравнения находим х = 4.
Ответ: 4.
Примеры решения показательно-логарифмических уравнений
Пример 1.
Решение:
Область определения уравнения: х > 0. При этом условии выражения, входящие в обе части уравнения (1), принимают только положительные значения. Прологарифмировав обе части уравнения (1) по основанию 10, получим уравнение
равносильное уравнению (1). Далее имеем
Полагая получим уравнение , откуда Остается решить совокупность уравнений Из этой совокупности получим — корни уравнения (1).
Здесь применен метод логарифмирования, заключающийся в переходе от уравнения f(x) = g(x) к уравнению
Пример 2.
(2)
Решение:
Воспользовавшись определением логарифма, преобразуем уравнение (2) к виду
Полагая , получим уравнение корнями которого являются
Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений
Так как , а -1 0 и мы получаем
если , то D = 0 и мы получаем , т. е. (поскольку ) .
Итак, если то действительных корней нет; если = 1, то ; если ,то ; если и , то
Пример 3.
При каких значениях параметра уравнение
имеет два различных отрицательных корня?
Решение:
Так как уравнение должно иметь два различных действительных корня его дискриминант должен быть положительным. Имеем
Значит, должно выполняться неравенство
По теореме Виета для заданного уравнения имеем
Так как, по условию, , то и
В итоге мы приходим к системе неравенств (см. п. 177):
Из первого неравенства системы находим (см. п. 180, 183) ; из второго ; из третьего . С помощью координатной прямой (рис. 1.107) находим, что либо , либо
Эта лекция взята со страницы полного курса лекций по изучению предмета «Математика»:
Смотрите также дополнительные лекции по предмету «Математика»:
Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔
Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.
Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.
Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.
Решение уравнений разного уровня сложности
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Петрова Галина Михайловна
учитель начальных классов
высшей квалифицированной категории
Урок математики по программе М.И.Моро в 3 классе на тему
«Решение уравнений разного уровня сложности»
Цели урока: создание условий для конкретизации способа решения уравнений в изменившихся условиях;применять алгоритм решения сложных уравнений.
Планируемые результаты: уметь классифицировать уравнения по уровню сложности; применять имеющиеся знания;планировать свои действия (пошагово комментировать свои действия);
Регулятивные: умение определять и формулировать тему и цель на уроке; проговаривать последовательность действий на уроке; оценивать учебные действия в соответствии с поставленной задачей. В конце урока совместно с учителем и другими учениками давать оценку деятельности своих партнеров.
К оммуникативные: уметь строить продуктивное взаимодействие и сотрудничество со сверстниками и взрослыми; умение слушать и выражать свои мысли; участвовать в коллективном обсуждении проблем; уметь устанавливать рабочие отношения;
Познавательные: стремиться к расширению своей познавательной деятельности, стараться производить логические мыслительные операции (анализ, сравнение) для расширения познавательной задачи.
Личностные: способность к самооценке на основе критерия успешности учебной деятельности (признают собственные ошибки); проявляют положительные эмоции, интерес к урокам математики.
Формы работы: групповая работа, работа в парах, фронтальная работа, индивидуальная.
Оборудование : учебник, презентация, музыкальная физминутка, листок самооценки.
(Работа в группах)
1.Планирование работы группы.
— Каждая группа на карточке получила задание.
— Что надо сделать? (решить уравнения)
— Что можно сказать про эти уравнения? (они разного уровня сложности)
— Посоветовавшись сдругдругом, запишите по порядку уравнения, начиная с самого легкого уравнения.
2. Самостоятельная работа групп.
3. Выслушивание мнений групп.
2. Этап разрыва между знанием и незнанием.
-Выскажите предположение, какое из этих уравнений самое простое? Почему?
-Какое следующее по уровню сложности? Почему?
-Какое самое сложное? Почему?
— Итак, вы выдвинули гипотезу (предположение) об уровне сложности и о корнях уравнений.
— Как вы думаете, какие корни будут у этих уравнений?
— Как проверить эту гипотезу? (решить уравнения)
-Почему у нас получились 2 группы уравнений? (1группа – мы умеем решать, 2 группа – никогда не решали).
— Чем отличаются эти уравнения?
— Имеют несколько решений.
— Какова цель урока?( найти способ решения уравнений нового вида).
4. Этап конкретизации способа действия.
1. – Прежде чем решить эти уравнения повторим изученные уравнения для того, чтобы усвоить каким способом мы их решаем.
Детям даются листки для самооценки.
2 первых примера дети решают в уме. Они пишут только ответ на листке самооценки. Затем устно фронтально под руководством учителя проверяют решенные уравнения и ставят знаки + или -.
– А теперь решите упражнения в паре. Кто решит первым, тот объяснит всем, как они нашли корень уравнения.
10хУ=70 Уравнение простое, потому оно содержит одно действие. Величины связаны отношением кратности.
У=70:10 Неизвестен второй множитель, поэтому произведение делим на первый множитель.
Решите уравнение второй сложности.
Х+440=800+60 Это усложненное упражнение. Надо упростить уравнение.
Х+440=860 Решаем правую часть уравнения. Получили простое уравнение
Х=860-440 Отношение целого и части. Неизвестное слагаемое находим вычитанием.
Решите уравнение третьей сложности.
(38+У)-18=31 Это сложное уравнение, так как есть два действия. Находим последнее
38+У= 31+18 действие (вычитание), отмечаем целое и части. Неизвестное целое.
38+У= 49 Получили простое уравнение, отношение целого и части.
У=49-38 неизвестное слагаемое. Из суммы вычитаем первое слагаемое.
Решите уравнение четвертой сложности.
(У-4) х3= 10+5 Это сложное уравнение, так как есть два действия и еще усложнено в правой части. Решаем правую часть уравнения. Получаем сложное уравнение.
(У-4) х3 =15 Последнее действие умножение. Неизвестен первый множитель. Находим.
У-4=5 Получили простое уравнение. Неизвестен уменьшаемый. Находим.
(9-4) х 3=15 проверяем
3 . Итак, алгоритм решения сложного уравнения:
Решаем правую часть уравнения.
Находим последнее действие.
Исходя из отношения между компонентами, отмечаем неизвестную часть.
4. Постановка проблемы:
— В чем отличие этого уравнений отуже решенных? (это уравнение имеет три решения).
5. Решение проблемы
(работа в группах)
— что мы будем делать, чтобы решить такие уравнения?
— что надо сделать, чтобы в равнении было одно решение(простое уравнение)
Дети работают в паре. Кто как решил показывают у доски.
40 : (14-Х) х2 =815 Последнее действие умножение. Неизвестен первый множитель.
40 : (14-Х)=8:2 Находим
40 : (14-Х)=4 Последнее действие деление. Неизвестен делитель.
14-Х=10Получили простое уравнение. Неизвестен уменьшаемый. Находим.
40 : (14-4) х2 =8 проверяем
Идет обсуждение, как и почему так решили.
Ответы пишут на листке самооценки.
Группа, которая закончила, выходит к доске и показывает свой вариант решения. Идет обсуждение как и почему так решили.
5.Сделаем вывод: алгоритм решения сложного уравнения изменился?
Выход на эталон.
5.Этап первичного закрепления. Самостоятельная работа.
Дети решают уравнения самостоятельно. Записывают на листке самооценки ответы и показывают решенные уравнения и листы самооценки.
-Что мы прошли на уроке, над какой темой мы работали?
— Удалось ли решить поставленную задачу?
-В чём испытывали трудности?
— Оцените работу вашего партнера и себя на листке достижений. Покажите друг другу результаты ваших оценок и поздравьте друзей с успешным окончание работы.
Выберите один из фраз для себя т ответьте.
Мне ещё нужно поработать….
Я бы хотел похвалить……
2.Домашнее задание: решить 2 уравнения.
Краткое описание документа:
Цели урока: создание условий для конкретизации способа решения уравнений в изменившихся условиях;применять алгоритм решения сложных уравнений.
Планируемые результаты: уметь классифицировать уравнения по уровню сложности; применять имеющиеся знания;планировать свои действия (пошагово комментировать свои действия);
УУД:
Регулятивные: умение определять и формулировать тему и цель на уроке; проговаривать последовательность действий на уроке; оценивать учебные действия в соответствии с поставленной задачей. В конце урока совместно с учителем и другими учениками давать оценку деятельности своих партнеров.
К оммуникативные: уметь строить продуктивное взаимодействие и сотрудничество со сверстниками и взрослыми;умение слушать и выражать свои мысли; участвоватьв коллективном обсуждении проблем; уметь устанавливать рабочие отношения;
Познавательные: стремиться к расширению своей познавательной деятельности, стараться производить логические мыслительные операции (анализ, сравнение) для расширения познавательной задачи.
Личностные: способность к самооценке на основе критерия успешности учебной деятельности (признают собственные ошибки); проявляют положительные эмоции, интерес к урокам математики.
Формы работы: групповая работа, работа в парах, фронтальная работа, индивидуальная.
Оборудование: учебник, презентация, музыкальная физминутка, листок самооценки.
Решение сложных уравнений. 3 класс.
Овладение детьми способом решения уравнений в начальной школе создает прочную основу для дальнейшего обучения алгебры, химии, физики и других предметов.
Начиная с 3-го класса, ученикам встречаются сложные уравнения, но справиться с ними очень просто.
Дети уже умеют решать простые уравнения, читай об этом здесь.
А эта статья будет посвящена решению сложных уравнений в 2-3 действия.
Очень часто родители, желая помочь, объясняют так: вот смотри, сейчас вот это число перенести в другую часть от знака равенства, надо поменять знак на противоположный: было умножение, меняем на деление; было сложение меняем на вычитание.
В начальной школе это объяснение не срабатывает, т.к. ребенок не знаком с законами алгебры.
Как сложное уравнение привести к тому, которые мы уже умеем решать, а именно к уравнению в 1 действие?
Рассмотрим уравнение в 2 действия:
х + 56 = 98 — 2 — оно достаточно легкое.
Здесь особого труда не будет в решении, потому что ребенок сразу догадается, что сначала надо 98-2.
х + 56 = 98 — 2
х + 56 = 96 – это простое уравнение. А его решаем очень быстро!
Сейчас мы рассмотрим уравнение:
Такое уравнение можно решить несколькими способами.
- У нас здесь неизвестное число х. Мы не знаем, что спрятано за этим числом.
А когда к х + 5 – это число тоже известно.
Закроем его и пусть это будет другое число, например b .
Мы видим, что у нас получилось самое простое уравнение в 1 действие.
2 • b = 30
А чтобы найти а, нам нужно 30 : на 2.
А b не что иное, как х + 5.
х + 5 = 30 : 2
х + 5 = 15
х = 15 – 5
х = 10
Проверку делаем как обычно: переписываем первое уравнение: 2 • (10 + 5) = 30.
30 – переписываем, а левую часть считаем — будет 30.
30 = 30, значит, уравнение решили правильно.
При решении таких сложных уравнений самое главное – понять, что заменить на другое неизвестное число. Когда в уравнении всего 2 действия – это очень просто.
- Более удобно и понятно, как показывает практика, если использовать решение сложных уравнений на основе зависимости между компонентами действий.
Наше уравнение 2 • (х + 5) = 30 читаем так: число 2 умножить на сумму х и пяти, получится 30. В данном случае – нам неизвестна сумма, чтобы ее найти, надо 30:2.
48 : (16 – а) = 4.
Если опять заменять часть уравнения другим неизвестным числом, можно запутаться. Поэтому легче использовать взаимосвязи компонентов и результата действия: число 48 разделить на разность.
Нам неизвестна разность, поэтому сначала нужно узнать чему она равна. Надо 48 : 4.
16 — а = 48 : 4
16 — а = 12 – это простое уравнение.
а = 16 — 12
а = 4
Проверка: 48 : (16 — 4) = 4
Давайте посмотрим еще одно:
Из 96 надо вычесть разность с и 16. Чтобы найти разность, надо 96-94.
Проверка: 96 — (16 — 14) = 94
А сейчас мы переходим к тем уравнениям, у которых не 2, а 3 действия. Как же нам поступать в этом случае? При решении таких сложных уравнения используем знания порядка выполнения действий в выражениях со скобками и без них.
Рассмотрим уравнение: 36 – (8 • у + 5) = 7
Прежде всего, нужно внимательно оценить левую часть уравнения: ту, которая с неизвестным числом. Вы должны четко себе представить какое вы будете делать действие первым, какое – вторым, какое – третьим: сначала делается умножение, потом сложение и последним – вычитание.
И вот то, которое вы будете делать третьим, с него и начнем, т.е. начинаем упрощать уравнение с последнего действия. Последнее действие – вычитание. С него и начнем: из числа 36 вычесть то, что в скобках и получим 7.
Значит, то что в скобках – вычитаемое, чтобы его найти, надо 36 — 7.
По правилам математики в данной записи скобки – не ставим.
8 • у + 5 = 29 – уравнение сложное. Нужно его упростить. Данное уравнение читаем так: к произведению 8 и у прибавили 5 и получилось 29. Нам неизвестно произведение, чтобы его найти, надо 29-5.
8 • у = 24 – это уравнение простое.
Проверка: 36 — (8 • у + 5) = 7 . Правую часть – 7 — переписываем, а левую считаем.
Итак: 7 = 7. Значит, уравнение решили правильно.
(36 + d) : 4 + 8 = 18. Определяем порядок действий: первое – сложение в скобках, второе – деление, третье сложение вне скобок. Значит, все, что до 8 – это первое слагаемое, чтобы его найти, надо 18 — 8
(36 + d) : 4 = 18 — 8
(36 + d) : 4 = 10 – уравнение сложное, теперь последнее действие — :, значит
36 + d = 40 – уравнение простое и его мы решаем легко!
Для удобства и быстроты решения сложных уравнений можете пользоваться данной памяткой
Дело в том, что при кажущейся сложности, если внимательно изучить все приемы, которые я вам сегодня показала, эти уравнения дети будете щелкать как семечки. Обязательно напишите в комментариях, какой способ вам более удобен.
Насколько публикация полезна?
Нажмите на звезду, чтобы оценить!
Средняя оценка 5 / 5. Количество оценок: 58
http://infourok.ru/reshenie-uravnenij-raznogo-urovnya-slozhnosti-4137892.html
http://galina48.ru/3-klass/reshenie-slozhnyh-uravnenij-3-klass