Решение уравнений 3 степени реферат

Заглянем в мир формул. Решение уравнений 3-й степени. Формула Кардано.

В работе рассмотрены приёмы и методы решения кубических уравнений. Применение формулы Кардано для решения задач при подготовке к ЕГЭ по математике.

Скачать:

Предварительный просмотр:

МОУ ДОД Дворец творчества детей и молодежи

Донская Академия Наук Юных Исследователей

Секция: математики — алгебра и теория чисел

«Заглянем в мир формул»

по теме «Решение уравнений 3 степени»

Автор работы: ученица 11 «А» класса Симонян Альбина Левоновна МОУ СОШ №7

Руководитель: учитель математики Бабина Наталья Алексеевна

Математическое образование, получаемое в общеобразовательных школах, является важнейшим компонентом общего образования и обшей культуры современного человека. Практически все, что окружает человека –это все так или иначе связано с математикой. А последние достижения в физике, технике, информационных технологиях не оставляет сомнения, что и в будущем положение вещей остается прежним. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научится решать. Линейные уравнения первой степени, нас учили решать еще в первом классе, и особого интереса к ним мы не проявляли. Интереснее нелинейные уравнения – уравнения больших степеней. Математика выявляет порядок, симметрию и определенность, а это – высшие виды прекрасного.

Целью моего проекта”Заглянем в мир формул” по теме “Решение кубических уравнений третий степени”, является систематизирование знаний о способах решения кубических уравнений, установление факта существования формулы для нахождения корней уравнения третий степени, а также связи между корнями и коэффициентами в кубическом уравнении. Мы на занятиях решали уравнения и кубические, и степени выше 3-х. Решая уравнения разными методами, мы складывали, вычитали, умножали, делили коэффициенты, возводили их в степень и извлекали из них корни, коротко говоря, выполняли алгебраические действия. Есть формула для решения квадратных уравнений. А существует ли формула для решения уравнения третьей степени, т.е. указания, в каком именно порядке и какие именно алгебраические действия надо произвести с коэффициентами, чтобы получить корни. Мне стало интересно узнать, не попытались ли известные математики отыскать общую формулу, пригодную для решения кубических уравнений? А если попытались, смогли ли они получить выражение корней через коэффициенты уравнения?

2. Основная часть:

В те далекие времена, когда мудрецы впервые стали задумываться о равенствах ,содержащих неизвестные величины, наверное, еще не было ни монет, ни кошельков. В древних математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества. Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Исключением является «Арифметика» греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) – собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений. Однако первым руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого IX в. Мухаммеда Бен Мусы ал-Хорезми.

Так у меня возникла идея создания проекта «Заглянем в мир формул…», основополагающими вопросами данного проекта стали:

1. установление, существует ли формула для решения кубических уравнений;
2. в случае положительного ответа — поиск формулы, выражающей корни кубического уравнения через конечное число алгебраических операций над его коэффициентами.

Так как в учебниках, да и в других книгах по математике, большинство рассуждений и доказательств проводится не на конкретных примерах, а в общем виде, то я решила искать частные примеры, подтверждающие или опровергающие мою мысль. В поисках формулы решения кубических уравнений я решила действовать по знакомым алгоритмам решения квадратных уравнений. Например, решая уравнение х 3 + 2х 2 — 5х -6=0 выделила полный куб, применив формулу (х+а) 3 =х 3 + 3х 2 а +3а 2 х+а 3 . Чтобы выделить полный куб из левой части взятого мной уравнения, превратила в нем 2х 2 в 3х 2 а, т.е. искала такое а, чтобы было справедливо равенство 2х 2 = 3х 2 а . Нетрудно было вычислить, что а = . Преобразовала левую часть данного уравнения следующим образом: х 3 + 2х 2 -5х-6=0

(х 3 +3х 2 а+ 3х . + ) — 3х . — — 5х — 6= (х+) 3 — 6х — 6 Сделала подстановку у = х + , т.е. х = у — у 3 — 6(у — ) — 6=0; у 3 — 6у + 4- 6=0; Исходное уравнение приняло вид: у 3 — 6у — 2=0; Получилось не очень-то красивое уравнение, ведь вместо целых коэффициентов у меня теперь дробные, хотя и исчез член уравнения, содержащий квадрат неизвестного! Приблизилась ли я к цели? Ведь член, содержащий первую степень неизвестного, остался. Может быть, надо было выделить полный куб так, чтобы исчез член – 5х? (х+а) 3 =х 3 +3х 2 а+ 3а 2 х + а 3 . Отыскала такое а, чтобы 3а 2 х = -5х ; т.е. чтобы а 2 = — Но тут-то получилось совсем нехорошо – в этом равенстве слева стоит положительное число, а справа – отрицательное. Такого равенства быть не может. Уравнение пока мне не удалось решить, я смогла его привести лишь к виду у 3 — 6у — 2=0.

Итак, итог проделанной мной работы на начальном этапе: смогла из кубического уравнения удалить член, содержащий вторую степень, т.е. если дается каноническое уравнение ах 3 +вх 2 +сх+d, то его можно привести к неполному кубическому уравнению х 3 +рх+q=0. Далее, работая с разной справочной литературой, я смогла узнать, что уравнение вида х 3 +рх=q удалось решить итальянскому математику Даль Ферро (1465- 1526). Почему для такого вида, а не для вида х 3 +рх+q=0? Это потому что, тогда еще не были введены отрицательные числа и уравнения рассматривались лишь с положительными коэффициентами. А отрицательные числа получили признание чуть попозже. Историческая справка: Даль Ферро подбирал многочисленные варианты по аналогии с формулой корней приведенного квадратного уравнения. Рассуждал он так: корень квадратного уравнения есть — ± т.е. имеет вид: х=t ± . Значит, корнем кубического уравнения тоже должна быть сумма или разность каких –то чисел, причем, наверное, среди них должны быть и корни третьей степени. Каких — же именно? Из многочисленных вариантов один оказался удачным: ответ он нашел в виде разности — Еще труднее было догадаться, что t и u надо подобрать так, чтобы =. Подставив вместо х разность — , а вместо р произведение получили: (- ) 3 +3 (- )=q. Раскрыли скобки: t — 3 +3- u+3- 3=q. После приведения подобных членов получили: t-u=q.

Получилась система уравнений:

t u = () 3 t-u=q. Возведем правую и левую части первого уравнения в квадрат, а второе уравнение умножим на 4 и сложим первое и второе уравнения. 4t 2 +2tu +u 2 =q 2 +4() 3 ; (t+u) 2 =4()+() 3 t+u =2 Из новой системы t+u=2 ; t -u=q имеем: t= + ; u= — . Подставив вместо х выражение — получили В ходе работы над проектом я узнала любопытнейшие материалы. Оказывается, Даль Ферро не опубликовал найденного им метода, но некоторые его ученики знали об этом открытии, и вскоре один из них, Антонио Фиор, решил этим воспользоваться. В те годы были распространены публичные диспуты по научным вопросам. Победители таких диспутов обычно получали неплохое вознаграждение, их часто приглашали на высокие должности.

В это же время в итальянском городе Верона жил небогатый учитель математики Николо (1499-1557), прозванный Тартальей (т.е. заикой). Он был очень талантливым и сумел заново открыть прием Даля Ферро(Приложение 1). Состоялся поединок между Фиором и Тартальей. По условию соперники обменялись тридцатью задачами, на решение которых отводилось 50 дней. Но т.к. Фиор знал по существу лишь одну задачу и был уверен, что какой-то учитель решить ее не может, то все 30 задач оказались однотипными. Тарталья справился с ними за 2 часа. Фиор же не смог решить ни одной задачи, предложенных противником. Победа прославила Тарталью на всю Италию, но вопрос до конца не был решен. .

Все это удалось сделать Джероламо Кардано. Ту самую формулу, которую открыл Даль Ферро и переоткрыл Тарталья называют формулой Кардано(Приложение 2).

Кардано Джироламо (24.9.1501-21.9.1576) — итальянский математик, механик и врач. Родился в Павии. Учился в университетах Павии и Падуи. В молодости занимался медициной. В 1534г. стал профессором математики в Милане и Болонье. В математике с именем Кардано обычно связывают формулу для решения кубического уравнения, которую он позаимствовал у Н. Тартальи. Эта формула была опубликована в книге Кардано «Великое искусство, или О правилах алгебры» (1545г.). С того времени Тарталья и Кардано стали смертельными врагами. В этой книге систематически изложены современные Кардано методы решения уравнений, главным образом кубических. Кардано выполнил линейное преобразование, позволяющее привести кубическое уравнение к виду, свободному от члена 2-ой степени и указал на зависимость между корнями и коэффициентами уравнения, на делимость многочлена на разность x –a, если a-его корень. Кардано одним из первых в Европе допускал существование отрицательных корней уравнений. В его работе впервые появляются мнимые величины. В механике Кардано занимался теорией рычагов и весов. Одно из движений отрезка по сторонам прямого угла механики называют карда новым движением. Итак, по формуле Кардано можно решать уравнения вида х 3 +рх+q=0 (Приложение 3)

Кажется, проблема решена. Есть формула для решения кубических уравнений.

Выражение, стоящее под корнем — дискриминант. D = () 2 + () 3 Я решила вернуться к моему уравнению и попытаться решить его по формуле Кардано: Моё уравнение имеет вид: у 3 — 6у — 2=0, где р= — 6=-; q = — 2 = — . Легко подсчитать, что () 3 = =- и () 2 = =, () 2 + () 3 = = — = — . А дальше? Из числителя этой дроби я корень извлекла легко, получилось 15. А что делать со знаменателем? Мало того, что корень не извлекается нацело, так ведь еще извлекать – то его надо из отрицательного числа! В чем же дело? Можно предположить, что это уравнение не имеет корней, ведь при D Итак, в ходе работы над проектом встретилась с очередной проблемой. В чем же дело? Я стала составлять уравнения, имеющие корни, но не содержащие члена квадрата неизвестного:

1. составила уравнение, имеющее корень х= — 4.

х 3 +15х+124=0 И действительно, проверкой убедилась, что -4 является корнем уравнения. (-4) 3 +15*(-4)+124=- 64 – 60 +124=0,

Проверила , можно ли получить этот корень по формуле Кардано х=+=+= =1- 5 =- 4

1. составила второе уравнение, имеющее действительный корень х=1: х 3 + 3х – 4 =0 и проверила формулу.

И в этом случае формула действовала безотказно.

1. подобрала уравнение х 3 +6х+2=0, имеющее один иррациональный корень.

Решив данное уравнение, я получила этот корень х = — И тут- то у меня появилось предположение: формула срабатывала, если уравнение имело всего один корень. А моё уравнение, решение которого загнало меня в тупик, имело три корня! Вот где нужно искать причину! Теперь я взяла уравнение, имеющее три корня: 1; 2; -3. х 3 – 7х +6=0 p= -7; q = 6. Проверила дискриминант: D = () 2 + () 3 = () 3 + (-) 3 = 9 —

Как я и предположила, под знаком квадратного корня опять оказалось отрицательное число. Я пришла к выводу: путь к трем корням уравнения х 3 +рх+q=0 ведет через невозможную операцию извлечения квадратного корня из отрицательного числа.

1. Теперь мне осталось узнать, с чем же я столкнусь в случае, когда уравнение имеет два корня. Выбрала уравнение, имеющее два корня: х 3 – 12 х + 16 = 0. p = -12, q = 16.

D=() 2 +() 3 =() 2 +() 3 =64-64=0 D = 64 – 64 = 0. Теперь можно было сделать вывод, что число корней кубического уравнения вида х 3 +рх+q=0 зависит от знака дискриминанта D=() 2 +() 3 следующим образом:

Если D>0, то уравнение имеет 1 решение.

Если D=0, то уравнение имеет 2 решение.

Подтверждение моего вывода я нашла в справочнике по математике, автор Н.И.Бронштейн. Итак, мой вывод : формулой Кардано можно пользоваться, когда мы уверены, что корень единственный. Мне удалось установить, что существует формула для поиска корней кубического уравнения, но для вида х 3 +рх+q=0.

Исследовательская работа по математике » Кубическое уравнение и методы его решения»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

МБОУ « Мордовско-Паевская средняя общеобразовательная школа»

Районная научно — практическая конференция

Секция «Точные науки. Математика»

Выполнил : ученик 11 класса МБОУ

Кубическое уравнение и корни кубического уравнения …………………3

2.1.Простейшие кубические уравнения……………………………………….4

2.2. Способ разложения левой части уравнения на множители…………… 5

2.3. Способ понижения степени уравнения…………………………………..5

2.4.Теорема Виета для кубического уравнения………………………………6

2.6. Метод неопределенных коэффициентов…………………………………..12

2.7. Использование монотонности функции……………… ………………….13

Решение кубических уравнений и некоторые выводы о рациональности

Увлечение математикой начинается с размышления над какой-то интересной задачей или проблемой. Любому завороженному математическими тайнами человеку интересно знать историю математических открытий, разные способы решения задач, уметь использовать математические теоремы для решения сложных задач. Заинтересовался методами решения уравнений третьей степени c произвольными действительными коэффициентами. Так как в учебниках, да и в других книгах по математике, большинство рассуждений и доказательств проводится не на конкретных примерах, а в общем виде, то я решил искать частные примеры, подтверждающие ли опровергающие мою мысль. Рассмотрев немало практических примеров, мне удалось в результате исследования сделать выводы о рациональных способах решения кубических уравнений. В моей работе я рассмотрел кубические уравнения и способы их решения, которые не изучаются в школьной программе.

Однако моей главной задачей в ходе работы было нахождение более рационального способа для решения уравнений третьей степени.

Цель работы : узнать о кубических уравнениях больше, чем позволяет школьная программа, найти наиболее простой и наглядный способ решения кубического уравнения, выявить наиболее рациональные способы решения .

Для достижения поставленной цели необходимо выполнить задачи :

Подобрать необходимую литературу.

Отобрать материал для исследования, выбрать главную, интересную, понятную информацию.

Проанализировать и систематизировать полученную информацию.

Найти различные методы и приёмы решений уравнений третьей степени.

Создать электронную презентацию работы.

Актуальность: Практически все, что окружает современного человека – все так или иначе связано с математикой. А последние достижения в физике, технике и информационных технологиях не оставляют никакого сомнения, что и в будущем положение вещей останется прежним. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, в том числе и кубических, которые необходимо научиться решать.

Объект : кубическое уравнение и способы его решения.

Предмет исследования — различные способы решения кубических уравнений.

Гипотеза — предположение о том, что существует связь между коэффициентами кубического уравнения и его корнями, при решении таких уравнений можно применять разнообразные способы.

В процессе выполнения работы применялись такие методы исследования : — сравнение, обобщение, аналогии, изучение литературных и Интернет-ресурсов, анализ и классификация информации.

I . Кубическое уравне́ние — алгебраическое уравнение третьей степени, общий вид которого следующий: ax 3 + b x 2 + cx + d =0, аǂ (1) где x-переменная, a,b,c,d, — некоторые числа. Если а=1,то уравнение называют приведенным кубическим уравнением: х 3 +bх 2 +cx+d=0 (2).

Корни уравнения Согласно основной теореме алгебры, кубическое уравнение может иметь три корня (с учетом кратности). Из справочной литературы я узнал, что для кубических уравнений тоже существует дискриминант, как и для квадратных уравнений, с помощью которого различаются три случая существования корней кубического уравнения (1), о котором речь пойдёт ниже.

Пока я не нашёл ответ на вопрос, существуют ли общие формулы для корней кубических уравнений, рассмотрим частные случаи.

I I . Методы решения

2.1.Начнем с простейшего случая, когда свободный член d =0, в этом случае, то есть уравнение имеет вид. Решается вынесением х за скобки. В скобках останется квадратный трехчлен, корни которого легко найти через дискриминант.

Пример. Найти действительные корни уравнения.

Решение. , x=0 или. меньше нуля, то действительных корней трехчлен не имеет.

Если в кубическом уравнении(1) b=c=0, то оно имеет достаточно простой вид: ax 3 + d =0. В этом случае . Пример. Найти действительные корни кубического уравнения

Решение:

2.2. Способ разложения левой части уравнения на множители

Симметрические или возвратные уравнения.

Уравнение вида ах 3 + bx 2 + bх + a = 0 называется возвратным или симметрическими , если его коэффициенты , стоящие на симметричных относительно середины позициях, равны.

Левую часть уравнения можно разложить на множители:

Такое уравнение обязательно имеет корень х = -1, корни квадратного уравнения легко находятся через дискриминант

Пример:, — корень уравнения, , , D =36-4=32,

Ответ: ,

Пример: Решить уравнение: х 3 + 2x 2 + 2х + 1 = 0.

У исходного уравнения обязательно есть корень х = -1, поэтому разделим х 3 + 2x 2 + 2х + 1 на (х + 1) по схеме Горнера:

х 3 + 2x 2 + 2х + 1 = (х + 1)(x 2 + х + 1) = 0. Квадратное уравнение x 2 + х + 1 = 0 не имеет корней.

Пример. Решить кубическое уравнение .

Решение. Это уравнение возвратное. Проведем группировку:

Очевидно, x = -1 является корнем уравнения. Находим корни квадратного трехчлена .

Ответ:

Уравнение вида называется кососимметрическим кубическим уравнением. Такое уравнение обязательно имеет корень и сводится к квадратному.

Например: .

Используя корень , сводим уравнение к квадратному , которое не имеет действительных корней.

Ответ: .

Рассмотрим решение уравнения в комплексных числах

или , D = 1 – 36 = — 35, D

,

Ответ: ,

Для разложения многочлена на множители можно использовать различные способы: вынесение за скобки общего множителя, способ группировки, деление многочлена на многочлен, метод неопределенных коэффициентов, разложение по формулам сокращенного умножения и т.д.

2.3. Способ понижения степени уравнения.

Способ основан на теореме Безу и делении многочленов. Алгоритм его выполнения сводится к нижеследующему:

Первоначально подберем один из корней уравнения, использовав свойство, что у кубического уравнения неизменно присутствует, по крайней мере, один действительный корень , причем целый корень кубического уравнения с целыми коэффициентами будет делителем свободного члена d .

И, соответственно, требуется обнаружить корень среди этих чисел и проверить его путём подстановки в уравнение. Примем данный корень за x ₁ .

На следующем этапе разделим многочлен ax 3 + b x 2 + cx + d на двучлен x – x ₁ .

Применим теореме Безу (деление многочлена на линейный двучлен), согласно которой это деление без остатка возможно, и по итогу вычислений получаем многочлен второй степени , который равен нулю. Решая полученное квадратное уравнение , мы найдём (или нет!) два других корня.

Делители свободного члена: 0, ± 1, ± 2, ± 3. Получаем, что 1 является корнем . Далее разделим левую часть этого уравнения на двучлен x- 1 , и получим: x 2 – 2 x – 15. Корни квадратного уравнения : x 2 – 2 x – 15 = 0. x ₁ = – 3 и x ₂ = 5.

Также кубическое уравнение можно решить, используя схему Горнера.

Далее в своей работе подробно остановлюсь на методах, на которых применил элементы своего исследования. Начну с метода неопределённых коэффициентов, основывающийся на утверждениях, которые помогут при выводе формул Виета и Кардано для нахождения корней кубического уравнения.

2.4. Метод неопределенных коэффициентов.

Суть этого метода состоит в том, что заранее предполагается вид множителей – многочленов, на которые разлагается данный многочлен. Этот метод опирается на следующие утверждения:

-два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях х; — любой многочлен третьей степени разлагается в произведение линейного и квадратного множителей.

Пример: Будем искать многочлены и такие, что справедливо тождественное равенство , выполняя умножение и группируя слагаемые, получаем .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях равенства, получаем систему условий: после решения системы получаем: , т. е. после разложения на множители и после решения квадратного уравнения Ответ:

2.5. Теорема Виета для кубического уравнения.

Для приведенного квадратного уравнения

т.е. х ₁ +х ₂ = -р, х ₁ · х ₂ =q. Это верно, так как два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при соответствующих степенях переменной.

Рассуждая аналогичным образом, я убедился, что теорема Виета верна и для кубического уравнения (2).

Пусть х ₁ , х ₂ , х ₃ – корни этого уравнения, тогда справедливо равенство х 3 +bх 2 +сх+d = (х-х ₁ ) · (х-х ₂ ) · (х-х ₃ ). Преобразуем его правую часть: (х-х ₁ ) · (х-х ₁ ·)(х-х ₃ )=х 3 -(х ₁ +х ₂ +х ₃ ) · х 2 +(х ₁ х ₂ +х ₁ х ₃ +х ₂ х ₃ ) · х- х ₁ ·х ₂ ·х ₃ ;

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему равенств:

Формулы Виета для уравнения ax 3 + b x 2 + cx + d=0

По теореме Виета корни кубического уравнения связаны с коэффициентами следующими соотношениями:

Делением указанных тождеств друг на друга можно получить ещё несколько справедливых соотношений:

Пример. Решить уравнение х 3 -3х 2 -х+3=0 с помощью формул Виета:

Подбором найдем, что х ₁ = -1, х ₂ =1, х ₃ =3.

Известно, что формула изначально была открыта Тартальей и передана Кардано уже в готовом виде, однако сам Кардано отрицал этот факт, хотя и не отрицал причастность Тартальи к созданию формулы. За формулой прочно укоренилось название «формула Кардано», в честь ученого, который фактически объяснил и представил её публике.

Так как от уравнения ax 3 + b x 2 + cx + d=0 всегда можно перейти к уравнению х 3 +bх 2 +cx+d=0, то рассмотрим уравнение вида: х 3 +bx 2 +сх+d=0. Снова обратимся за аналогией к квадратным уравнениям. При решении квадратных уравнений применено выделение полного квадрата. Стоит попытаться в кубическом уравнении выделить полный куб, используя формулу (а+b) 3 =a 3 +b 3 +3ab·(a+b). (3)

Чтобы избежать громоздких выкладок в буквенном виде, я взял уравнение x 3 +4x 2 +x-6=0.

Выделим полный куб , после раскрытия скобок и группировки, получим уравнение:

Сделаем подстановку: , отсюда .

Имеем:,,

т.е. удалось получить кубическое уравнение, не содержащее слагаемое с квадратом переменной. Значит, любое кубическое уравнение можно привести к уравнению вида x 3 +px+q=0 . (4)

Общий подход к решению уравнений вида (4) разработал Джероламо Кардано (1501-1576гг.).

Приведенное кубическое уравнение с помощью замены

Если ввести обозначения

дает неполное кубическое уравнение вида

Найдём корни этого уравнения.

В формуле (а+b) 3 =a 3 +b 3 +3ab·(a+b) пусть , тогда получим , откуда . Значит, откуда .

Пусть

По теореме, обратной теореме Виета а 3 = t ₁ и b 3 = t ₂ являются корнями приведённого квадратного уравнения ,

. Значит,

, Решение кубического уравнения — сумма этих корней:

Обозначим— дискриминант , тогда , после деления трёхчлена у 3 +pу +q на (у-у ₁ ) рассмотреть квадратное уравнение, найти у ₂ и у _3, и вычислить х из .

Эта формула очень громоздкая и сложная, так как содержит несколько радикалов. Применяется она крайне редко.

Пример: Решить уравнение :

Замена ,

,

т.е.

По схеме Горнера разделим на, получим ,

Квадратное уравнение имеет 2 комплексных корня: , тогда при ;

при при .

Исходное уравнение имеет два комплексных корня и один действительный.

Ответ. , , .

Формула Кардано — методика определения корней кубического уравнения в поле комплексных чисел . Неполное кубическое уравнение всегда имеет хотя бы один действительный корень.

Пусть,

1) если D > 0, то y ₂ и у ₃ сопряженные комплексные числа;

2) если D = 0, p ≠0 , q ≠0 , то уравнение имеет три действительных корня, два из которых совпадают; при p = q = 0 получаем 3 совпадающих корня у _1;2;3 = 0.

Рассмотрим использование формул Кардано подробнее на примерах:

1),

p = 15, q = 124, ,

,

D > 0 , тогда есть один действительный корень х ₁ = А + В, х ₁ =1 – 5 = — 4, и два комплексно- сопряженных .

Ответ: .

2),

p = — 12, q = 16 ,

D = 0, тогда уравнение имеет три действительных корня, два из которых совпадают

,

3) ,

p = -21, q = 20 ,

Получилось, что для вычисления корня моего уравнения по формуле надо извлечь корень квадратный из отрицательного числа. А может быть по аналогии с квадратным уравнением предположить, что в этом случае нет корней, поскольку . Ведь корни у этого уравнения есть: они легко находятся. Эти корни можно найти, применив вариант формулы Кардано для области комплексных чисел. Однако применение такого варианта формулы Кардано изучается в высшей математике.

Итак, я понял, что не всё так просто и легко от того, что имеем формулу Кардано.

Конечно, мне это показалось удивительным: все коэффициенты действительные, все корни действительные, а промежуточные вычисления приводят к несуществующим числам. Из справочной литературы я узнал, что это и есть тот «неприводимый случай», который заинтересовал многих математиков в XVI веке и привел к расширению множества действительных чисел. Значит, причина непопулярности формулы нахождения корней кубического уравнения не только в её громоздкости, а в её ненадежности. Его способ во всём уступает теореме Виета и схеме Горнера. Тогда зачем же она нужна? Во-первых, что формула дает ответ на вопрос о «разрешимости уравнений третьей степени в радикалах».

Во-вторых, применяется при решении уравнений с параметрами.

Пример1. При каком наименьшем натуральном а уравнение х 3 -3х +4-а=0 имеет одно действительное решение?

Так как по условию найти одно решение, то это возможно , если D >0.

; ;;

,

Решая методом интервалов, получаем . Наименьшее натуральное число из этих промежутков –число 1. Ответ: 1

Пример2 . В зависимости от параметра а найти число корней уравнения х 3 -3х-а=0.

p = –3; q =- a , ;

Решив методом интервалов, получаем: D >0 при -1 решение

D =0 при а =2 и при а=-2- 2 решения

2.7. Использование монотонности функции .

Этот способ основан на следующих утверждениях: 1) строго монотонная функция принимает каждое свое значение ровно один раз; 2)если одна функция возрастает, а другая убывает на одном и том же промежутке, то графики их либо только один раз пересекутся, либо вообще не пересекутся, а это означает, что уравнение f(х)=g(х) имеет не более одного решения; 3)если на некотором промежутке одна из функций убывает (возрастает), а другая принимает постоянные значения, то уравнение f(х)=g(х) либо имеет единственный корень, либо не имеет корней. Этот способ можно использовать для решения следующих типов уравнений: уравнения, в обеих частях которых стоят функции разного вида; уравнения, в одной части которых убывающая, а в другой – возрастающая на данном промежутке функции; уравнения, одна часть которых – возрастающая или убывающая функция, а вторая – число.

Пример . Решить уравнение : . Решение: рассмотрим функцию у = и представим в виде суммы двух функций у = х 3 и у = 3х – 4.Обе функции определены на множестве R и являются возрастающими. Следовательно, их сумма – возрастающая функция. А так как всякая монотонная функция каждое своё значение может принимать лишь при одном значении аргумента, то и значение, равное нулю, она может принимать лишь при одном значении х. Значит, такое уравнение если имеет действительный корень, то только один. Испытывая делители свободного члена, находим, что х = 1. Ответ: х = 1.

Пример 2. Решить уравнение: х 3 +х-2=0. Решение. Запишем уравнение в виде: x 3 =2-x. Рассмотрим функции у=x 3 и у =2-x.Функция у=x 3 возрастает на всей области определения, а функция у =2-x убывает на области определения. Следовательно, данное уравнение имеет не более одного корня. Подбором находим, что х=1.Проверкой убеждаемся, что х=1 действительно корень уравнения. Ответ: 1

2.8. Графический способ.

Для решения уравнения запишем его в виде . Построим в одной системе координат графики функций и . Графики пересекаются в точке, с абсцисс0й

С помощью графического метода можно приближенно находить корни уравнения или решать вопрос о количестве рациональных корней уравнения.

I I I . Решение кубических уравнений и некоторые выводы о рациональности способов решения.

Решить уравнение: x 3 – 3 x 2 – 13 x + 15 = 0 .

Р е ш е н и е . 1 способ: метод понижения степени Из делителей свободного члена находим, что 1 является корнем. Делим левую часть этого уравнения на двучлен x – 1, и получаем: x 2 – 2 x – 15 Решая квадратное уравнение: x 2 – 2 x – 15 = 0, находим корни: x ₁ = – 3 и x ₂ = 5 . Ответ : 1; -3; 5.
2 способ: T еорема Виета: Методом подбора:х=1; х=-3; х-5

3 способ: Формула Кардано:

Ввести замену х=у+1( ), получим , откуда у=0,у=4,у=-4. Подставив значения у в замену, получим значения х: х=1, х=5, х=-3.

4 способ: Метод неопределенных коэффициентов.

Попытка решить эту систему в общем виде вернула бы назад, к решению исходного уравнения. Но целые корни, если они существуют, нетрудно найти и подбором.

Так как а·d =15 , то будем искать решения среди вариантов:

Из равенства с-а=-3 получаем , что а=-5;с=2, а из d-10=-13 , d=-3, т.е. после разложения корнями будут числа х=1, х=5, х=-3.

Решая уравнения различными способами, я показал универсальность каждого метода, его оригинальность и рациональность. Сравнения различные способы решения кубических уравнений, можно сделать вывод : В каждом из методов решения есть свои плюсы и минусы, во многом они дополняют друг друга, например если у кубического уравнения слишком большие коэффициенты, его можно решить с помощью схемы Горнера и проверить теоремой Виета и каждый способ нужен для решения своих задач в математике. Ясно одно, что формулу Кардано нужно применить лишь в самом крайнем случае, когда все остальные способы не дадут точного ответа.

Просмотрев множество способов решения кубических уравнений я остался верен двум, на мой взгляд, самым надёжным и практичным способам — это теорема Виета и схема Горнера, они позволяют быть уверенным в своем ответе.

Я выдвинул гипотезу о существовании связи между коэффициентами кубического уравнения и его корнями и убедился, что такая формула существует.

В данной работе достигнуты цель и выполнены основные задачи: показаны и изучены новые, ранее неизвестные формулы. Я рассмотрел много примеров. Были исследованы различные методы решения уравнений третьей степени.

Предлагаемая работа рассчитана на учеников 9 – 11 классов, желающих повысить уровень математической подготовки, узнать больше о кубических уравнениях и способах их решения

Алгебра и начала анализа, 10-11классы. Алимов Ш.А. Колягин Ю.М.Москва. Просвещение, 2014г.

Глейзер Г.И. История математики в школе 9-11кл.

Математический энциклопедический словарь/гл. ред. Ю.В. Прохорова.— М. Современная энциклопедия, 1988.

Решение кубических уравнений

Кубическое уравнение, содержащее коэффициенты с действительным корнем, остальные два считаются комплексно-сопряженной парой. Будут рассмотрены уравнения с двучленами и возвратные, а также с поиском рациональных корней. Вся информация будет подкреплена примерами.

Решение двучленного кубического уравнения вида A x 3 + B = 0

Кубическое уравнение, содержащее двучлен, имеет вид A x 3 + B = 0 . Его необходимо приводить к x 3 + B A = 0 с помощью деления на А , отличного от нуля. После чего можно применять формулу сокращенного умножения суммы кубов. Получаем, что

x 3 + B A = 0 x + B A 3 x 2 — B A 3 x + B A 2 3 = 0

Результат первой скобки примет вид x = — B A 3 , а квадратный трехчлен — x 2 — B A 3 x + B A 2 3 , причем только с комплексными корнями.

Найти корни кубического уравнения 2 x 3 — 3 = 0 .

Решение

Необходимо найти х из уравнения. Запишем:

2 x 3 — 3 = 0 x 3 — 3 2 = 0

Необходимо применить формулу сокращенного умножения. Тогда получим, что

x 3 — 3 2 = 0 x — 3 3 2 6 x 2 + 3 3 2 6 x + 9 2 3 = 0

Раскроем первую скобку и получим x = 3 3 2 6 . Вторая скобка не имеет действительных корней, потому как дискриминант меньше нуля.

Ответ: x = 3 3 2 6 .

Решение возвратного кубического уравнения вида A x 3 + B x 2 + B x + A = 0

Вид квадратного уравнения — A x 3 + B x 2 + B x + A = 0 , где значения А и В являются коэффициентами. Необходимо произвести группировку. Получим, что

A x 3 + B x 2 + B x + A = A x 3 + 1 + B x 2 + x = = A x + 1 x 2 — x + 1 + B x x + 1 = x + 1 A x 2 + x B — A + A

Корень уравнения равен х = — 1 , тогда для получения корней квадратного трехчлена A x 2 + x B — A + A необходимо задействовать через нахождение дискриминанта.

Решить уравнение вида 5 x 3 — 8 x 2 — 8 x + 5 = 0 .

Решение

Уравнение является возвратным. Необходимо произвести группировку. Получим, что

5 x 3 — 8 x 2 — 8 x + 5 = 5 x 3 + 1 — 8 x 2 + x = = 5 x + 1 x 2 — x + 1 — 8 x x + 1 = x + 1 5 x 2 — 5 x + 5 — 8 x = = x + 1 5 x 2 — 13 x + 5 = 0

Если х = — 1 является корнем уравнения, тогда необходимо найти корни заданного трехчлена 5 x 2 — 13 x + 5 :

5 x 2 — 13 x + 5 = 0 D = ( — 13 ) 2 — 4 · 5 · 5 = 69 x 1 = 13 + 69 2 · 5 = 13 10 + 69 10 x 2 = 13 — 69 2 · 5 = 13 10 — 69 10

Ответ:

x 1 = 13 10 + 69 10 x 2 = 13 10 — 69 10 x 3 = — 1

Решение кубических уравнений с рациональными корнями

Если х = 0 , то он является корнем уравнения вида A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 . При свободном члене D = 0 уравнение принимает вид A x 3 + B x 2 + C x = 0 . При вынесении х за скобки получим, что уравнение изменится. При решении через дискриминант или Виета оно примет вид x A x 2 + B x + C = 0 .

Найти корни заданного уравнения 3 x 3 + 4 x 2 + 2 x = 0 .

Решение

3 x 3 + 4 x 2 + 2 x = 0 x 3 x 2 + 4 x + 2 = 0

Х = 0 – это корень уравнения. Следует найти корни квадратного трехчлена вида 3 x 2 + 4 x + 2 . Для этого необходимо приравнять к нулю и продолжить решение при помощи дискриминанта. Получим, что

D = 4 2 — 4 · 3 · 2 = — 8 . Так как его значение отрицательное, то корней трехчлена нет.

Ответ: х = 0 .

Когда коэффициенты уравнения A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 целые, то в ответе можно получить иррациональные корни. Если A ≠ 1 , тогда при умножении на A 2 обеих частей уравнения проводится замена переменных, то есть у = А х :

A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 A 3 · x 3 + B · A 2 · x 2 + C · A · A · x + D · A 2 = 0 y = A · x ⇒ y 3 + B · y 2 + C · A · y + D · A 2

Приходим к виду кубического уравнения. Корни могут быть целыми или рациональными. Чтобы получить тождественное равенство, необходимо произвести подстановку делителей в полученное уравнение. Тогда полученный y 1 будет являться корнем. Значит и корнем исходного уравнения вида x 1 = y 1 A . Необходимо произвести деление многочлена A x 3 + B x 2 + C x + D на x — x 1 . Тогда сможем найти корни квадратного трехчлена.

Найти корни заданного уравнения 2 x 3 — 11 x 2 + 12 x + 9 = 0 .

Решение

Необходимо произвести преобразование с помощью умножения на 2 2 обеих частей, причем с заменой переменной типа у = 2 х . Получаем, что

2 x 3 — 11 x 2 + 12 x + 9 = 0 2 3 x 3 — 11 · 2 2 x 2 + 24 · 2 x + 36 = 0 y = 2 x ⇒ y 3 — 11 y 2 + 24 y + 36 = 0

Свободный член равняется 36 , тогда необходимо зафиксировать все его делители:

± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 4 , ± 6 , ± 9 , ± 12 , ± 36

Необходимо произвести подстановку y 3 — 11 y 2 + 24 y + 36 = 0 , чтобы получить тождество вида

1 3 — 11 · 1 2 + 24 · 1 + 36 = 50 ≠ 0 ( — 1 ) 3 — 11 · ( — 1 ) 2 + 24 · ( — 1 ) + 36 = 0

Отсюда видим, что у = — 1 – это корень. Значит, x = y 2 = — 1 2 .

Далее следует деление 2 x 3 — 11 x 2 + 12 x + 9 на x + 1 2 при помощи схемы Горнера:

2 x 3 — 11 x 2 + 12 x + 9 = x + 1 2 2 x 2 — 12 x + 18 = = 2 x + 1 2 x 2 — 6 x + 9

После чего необходимо найти корни квадратного уравнения вида x 2 — 6 x + 9 . Имеем, что уравнение следует привести к виду x 2 — 6 x + 9 = x — 3 2 , где х = 3 будет его корнем.

Ответ: x 1 = — 1 2 , x 2 , 3 = 3 .

Алгоритм можно применять для возвратных уравнений. Видно, что — 1 – это его корень, значит, левая часть может быть поделена на х + 1 . Только тогда можно будет найти корни квадратного трехчлена. При отсутствии рациональных корней применяются другие способы решения для разложения многочлена на множители.

Решение кубических уравнений по формуле Кардано

Нахождение кубических корней возможно при помощи формулы Кардано. При A 0 x 3 + A 1 x 2 + A 2 x + A 3 = 0 необходимо найти B 1 = A 1 A 0 , B 2 = A 2 A 0 , B 3 = A 3 A 0 .

После чего p = — B 1 2 3 + B 2 и q = 2 B 1 3 27 — B 1 B 2 3 + B 3 .

Полученные p и q в формулу Кардано. Получим, что

y = — q 2 + q 2 4 + p 3 27 3 + — q 2 — q 2 4 + p 3 27 3

Подбор кубических корней должен удовлетворять на выходе значению — p 3 . Тогда корни исходного уравнения x = y — B 1 3 . Рассмотрим решение предыдущего примера, используя формулу Кардано.

Найти корни заданного уравнения 2 x 3 — 11 x 2 + 12 x + 9 = 0 .

Решение

Видно, что A 0 = 2 , A 1 = — 11 , A 2 = 12 , A 3 = 9 .

Необходимо найти B 1 = A 1 A 0 = — 11 2 , B 2 = A 2 A 0 = 12 2 = 6 , B 3 = A 3 A 0 = 9 2 .

Отсюда следует, что

p = — B 1 2 3 + B 2 = — — 11 2 2 3 + 6 = — 121 12 + 6 = — 49 12 q = 2 B 1 3 27 — B 1 B 2 3 + B 3 = 2 · — 11 2 3 27 — — 11 2 · 6 3 + 9 2 = 343 108

Производим подстановку в формулу Кордано и получим

y = — q 2 + q 2 4 + p 3 27 3 + — q 2 — — q 2 4 + p 3 27 3 = = — 343 216 + 343 2 4 · 108 2 — 49 3 27 · 12 3 3 + — 343 216 — 343 2 4 · 108 2 — 49 3 27 · 12 3 3 = = — 343 216 3 + — 343 216 3

— 343 216 3 имеет три значения. Рассмотрим их ниже.

— 343 216 3 = 7 6 cos π + 2 π · k 3 + i · sin π + 2 π · k 3 , k = 0 , 1 , 2

Если k = 0 , тогда — 343 216 3 = 7 6 cos π 3 + i · sin π 3 = 7 6 1 2 + i · 3 2

Если k = 1 , тогда — 343 216 3 = 7 6 cosπ + i · sinπ = — 7 6

Если k = 2 , тогда — 343 216 3 = 7 6 cos 5 π 3 + i · sin 5 π 3 = 7 6 1 2 — i · 3 2

Необходимо произвести разбиение по парам, тогда получим — p 3 = 49 36 .

Тогда получим пары: 7 6 1 2 + i · 3 2 и 7 6 1 2 — i · 3 2 , — 7 6 и — 7 6 , 7 6 1 2 — i · 3 2 и 7 6 1 2 + i · 3 2 .

Преобразуем при помощи формулы Кордано:

y 1 = — 343 216 3 + — 343 216 3 = = 7 6 1 2 + i · 3 2 + 7 6 1 2 — i · 3 2 = 7 6 1 4 + 3 4 = 7 6 y 2 = — 343 216 3 + — 343 216 3 = — 7 6 + — 7 6 = — 14 6 y 3 = — 343 216 3 + — 343 216 3 = = 7 6 1 2 — i · 3 2 + 7 6 1 2 + i · 3 2 = 7 6 1 4 + 3 4 = 7 6

x 1 = y 1 — B 1 3 = 7 6 + 11 6 = 3 x 2 = y 2 — B 1 3 = — 14 6 + 11 6 = — 1 2 x 3 = y 3 — B 1 3 = 7 6 + 11 6 = 3

Ответ: x 1 = — 1 2 , x 2 , 3 = 3

При решении кубических уравнений можно встретить сведение к решению уравнений 4 степени методом Феррари.