Решение уравнений 4 степени курсовая

Решение уравнений четвертой степени

Для уравнений четвертой степени применимы все те общие схемы решения уравнений высших степеней, что мы разбирали в предыдущем материале. Однако существует ряд нюансов в решении двучленных, биквадратных и возвратных уравнений, на которых мы хотели бы остановиться подробнее.

Также в статье мы разберем искусственный метод разложения многочлена на множители, решение в радикалах и метод Феррари, который используется для того, чтобы свести решение уравнения четвертой степени к кубическому уравнению.

Решение двучленного уравнения четвертой степени

Это простейший тип уравнений четвертой степени. Запись уравнения имеет вид A x 4 + B = 0 .

Для решения этого типа уравнений применяются формулы сокращенного умножения:

A x 4 + B = 0 x 4 + B A = 0 x 4 + 2 B A x 2 + B A — 2 B A x 2 = 0 x 2 + B A 2 — 2 B A x 2 = 0 x 2 — 2 B A 4 x + B A x 2 + 2 B A 4 x + B A = 0

Остается лишь найти корни квадратных трехчленов.

Решить уравнение четвертой степени 4 x 4 + 1 = 0 .

Решение

Для начала проведем разложение многочлена 4 x 4 + 1 на множители:

4 x 4 + 1 = 4 x 4 + 4 x 2 + 1 = ( 2 x 2 + 1 ) 2 — 4 x 2 = 2 x 2 — 2 x + 1 ( 2 x 2 + 2 x + 1 )

Теперь найдем корни квадратных трехчленов.

2 x 2 — 2 x + 1 = 0 D = ( — 2 ) 2 — 4 · 2 · 1 = — 4 x 1 = 2 + D 2 · 2 = 1 2 + i x 2 = 2 — D 2 · 2 = 1 2 — i

2 x 2 + 2 x + 1 = 0 D = 2 2 — 4 · 2 · 1 = — 4 x 3 = — 2 + D 2 · 2 = — 1 2 + i x 4 = — 2 — D 2 · 2 = — 1 2 — i

Мы получили четыре комплексных корня.

Ответ: x = 1 2 ± i и x = — 1 2 ± i .

Решение возвратного уравнения четвертой степени

Возвратные уравнения четвертого порядка имеют вид A x 4 + B x 3 + C x 2 + B x + A = 0

х = 0 не является корнем этого уравнения: A · 0 4 + B · 0 3 + C · 0 2 + B · 0 + A = A ≠ 0 . Поэтому на x 2 можно смело разделить обе части этого уравнения:

A x 4 + B x 3 + C x 2 + B x + A = 0 A x 2 + B x + C + B x + A x 2 = 0 A x 2 + A x 2 + B x + B x + C = 0 A x 2 + 1 x 2 + B x + 1 x + C = 0

Проведем замену переменных x + 1 x = y ⇒ x + 1 x 2 = y 2 ⇒ x 2 + 1 x 2 = y 2 — 2 :

A x 2 + 1 x 2 + B x + 1 x + C = 0 A ( y 2 — 2 ) + B y + C = 0 A y 2 + B y + C — 2 A = 0

Так мы проведи сведение возвратного уравнения четвертой степени к квадратному уравнению.

Найти все комплексные корни уравнения 2 x 4 + 2 3 + 2 x 3 + 4 + 6 x 2 + 2 3 + 2 x + 2 = 0 .

Решение

Симметрия коэффициентов подсказывает нам, что мы имеем дело с возвратным уравнением четвертой степени. Проведем деление обеих частей на x 2 :

2 x 2 + 2 3 + 2 x + 4 + 6 + 2 3 + 2 x + 2 x 2 = 0

2 x 2 + 2 x 2 + 2 3 + 2 x + 2 3 + 2 x + 4 + 6 + = 0 2 x 2 + 1 x 2 + 2 3 + 2 x + 1 x + 4 + 6 = 0

Проведем замену переменной x + 1 x = y ⇒ x + 1 x 2 = y 2 ⇒ x 2 + 1 x 2 = y 2 — 2

2 x 2 + 1 x 2 + 2 3 + 2 x + 1 x + 4 + 6 = 0 2 y 2 — 2 + 2 3 + 2 y + 4 + 6 = 0 2 y 2 + 2 3 + 2 y + 6 = 0

Решим полученное квадратное уравнение:

D = 2 3 + 2 2 — 4 · 2 · 6 = 12 + 4 6 + 2 — 8 6 = = 12 — 4 6 + 2 = 2 3 — 2 2 y 1 = — 2 3 — 2 + D 2 · 2 = — 2 3 — 2 + 2 3 — 2 4 = — 2 2 y 2 = — 2 3 — 2 — D 2 · 2 = — 2 3 — 2 — 2 3 + 2 4 = — 3

Вернемся к замене: x + 1 x = — 2 2 , x + 1 x = — 3 .

Решим первое уравнение:

x + 1 x = — 2 2 ⇒ 2 x 2 + 2 x + 2 = 0 D = 2 2 — 4 · 2 · 2 = — 14 x 1 = — 2 — D 2 · 2 = — 2 4 + i · 14 4 x 2 = — 2 — D 2 · 2 = — 2 4 — i · 14 4

Решим второе уравнение:

x + 1 x = — 3 ⇒ x 2 + 3 x + 1 = 0 D = 3 2 — 4 · 1 · 1 = — 1 x 3 = — 3 + D 2 = — 3 2 + i · 1 2 x 4 = — 3 — D 2 = — 3 2 — i · 1 2

Ответ: x = — 2 4 ± i · 14 4 и x = — 3 2 ± i · 1 2 .

Решение биквадратного уравнения

Биквадратные уравнения четвертой степени имеют вид A x 4 + B x 2 + C = 0 . Мы можем свести такое уравнение к квадратному A y 2 + B y + C = 0 путем замены y = x 2 . Это стандартный прием.

Решить биквадратное уравнение 2 x 4 + 5 x 2 — 3 = 0 .

Решение

Выполним замену переменной y = x 2 , что позволит нам свести исходное уравнение к квадратному:

2 y 2 + 5 y — 3 = 0 D = 5 2 — 4 · 2 · ( — 3 ) = 49 y 1 = — 5 + D 2 · 2 = — 5 + 7 4 = 1 2 y 2 = — 5 — D 2 · 2 = — 5 — 7 4 = — 3

Следовательно, x 2 = 1 2 или x 2 = — 3 .

Первое равенство позволяет нам получить корень x = ± 1 2 . Второе равенство не имеет действительных корней, зато имеет комплексно сопряженных корней x = ± i · 3 .

Ответ: x = ± 1 2 и x = ± i · 3 .

Найти все комплексные корни биквадратного уравнения 16 x 4 + 145 x 2 + 9 = 0 .

Решение

Используем метод замены y = x 2 для того, чтобы свести исходное биквадратное уравнение к квадратному:

16 y 2 + 145 y + 9 = 0 D = 145 2 — 4 · 16 · 9 = 20449 y 1 = — 145 + D 2 · 16 = — 145 + 143 32 = — 1 16 y 2 = — 145 — D 2 · 16 = — 145 — 143 32 = — 9

Поэтому, в силу замены переменной, x 2 = — 1 16 или x 2 = — 9 .

Ответ: x 1 , 2 = ± 1 4 · i , x 3 , 4 = ± 3 · i .

Решение уравнений четвертой степени с рациональными корнями

Алгоритм нахождения рациональных корней уравнения четвертой степени приведен в материале «Решение уравнений высших степеней».

Решение уравнений четвертой степени по методу Феррари

Уравнения четвертой степени вида x 4 + A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 в общем случае можно решить с применением метода Феррари. Для этого необходимо найти y 0 . Это любой из корней кубического уравнения y 3 — B y 2 + A C — 4 D y — A 2 D + 4 B D — C 2 = 0 . После этого необходимо решить два квадратных уравнения x 2 + A 2 x + y 0 2 + A 2 4 — B + y 0 x 2 + A 2 y 0 — C x + y 0 2 4 — D = 0 , у которых подкоренное выражение является полным квадратом.

Корни, полученные в ходе вычислений, будут корнями исходного уравнения четвертой степени.

Найти корни уравнения x 4 + 3 x 3 + 3 x 2 — x — 6 = 0 .

Решение

Имеем А = 3 , В = 3 , С = — 1 , D = — 6 . Применим метод Феррари для решения данного уравнения.

Составим и решим кубическое уравнение:
y 3 — B y 2 + A C — 4 D y — A 2 D + 4 B D — C 2 = 0 y 3 — 3 y 2 + 21 y — 19 = 0

Одним из корней кубического уравнения будет y 0 = 1 , так как 1 3 — 3 · 1 2 + 21 · 1 — 19 = 0 .

Запишем два квадратных уравнения:
x 2 + A 2 x + y 0 2 ± A 2 4 — B + y 0 x 2 + A 2 y 0 — C x + y 0 2 4 — D = 0 x 2 + 3 2 x + 1 2 ± 1 4 x 2 + 5 2 x + 25 4 = 0 x 2 + 3 2 x + 1 2 ± 1 2 x + 5 2 2 = 0

x 2 + 3 2 x + 1 2 + 1 2 x + 5 2 = 0 или x 2 + 3 2 x + 1 2 — 1 2 x — 5 2 = 0

x 2 + 2 x + 3 = 0 или x 2 + x — 2 = 0

Корнями первого уравнения будут x = — 1 ± i · 2 , корнями второго х = 1 и х = — 2 .

Ответ: x 1 , 2 = — 1 ± i 2 , x 3 = 1 , x 4 = — 2 .

Курсовой проект по дисциплине Основы программирования и алгоритмизации на тему Решение алгебраических уравнений 3ей и 4ой степени в среде авсpascal

Название	Курсовой проект по дисциплине Основы программирования и алгоритмизации на тему Решение алгебраических уравнений 3ей и 4ой степени в среде авсpascal
Дата	19.01.2022
Размер	212.68 Kb.
Формат файла
Имя файла	Kursovaya_rabota_po_programmirovaniyu.docx
Тип	Курсовой проект #336351

Подборка по базе: Развитие проектной деят.doc, ПР №1 — Проектирование прототипа сайта по индивидуальному задани, 1. Основы трудового законодательства в охране труда в Республике, Оман Н. Основы.docx, Актуальность темы курсовой работы речь.docx, КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ к практическим занятиям по дисциплине «Гисто, Сборник лабораторных работ по дисциплине ОП.10 _Информационная б, РЕФЕРАТ ПО КУРСОВОЙ АРТЮШЕНОК.docx, КУРСОВОЙ ПРОЕКТ.docx, К. Р — Управление проектами, курсовая работа. — Программная инже

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ФИЛИАЛ ВОРОНЕЖСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

в городе Борисоглебске

КАФЕДРА «Информационные системы и технологии»
КУРСОВОЙ ПРОЕКТ
по дисциплине «Основы программирования и алгоритмизации »

« Решение алгебраических уравнений 3-ей и 4-ой степени в среде АВСPascal »

Гриценко Константин Андреевич

студента 1 курса, группы ФБ бИСТ-211

направления подготовки /специальность

09.03.02 «Информационные системы и технологии»

направленность (профиль) /специализация

«Информационные системы и технологии цифровизации»

очная формы обучения

Руководитель курсового проекта:
И.М. Брик, старший преподаватель

Проект допущен к защите

(подпись руководителя) (дата)

Проект выполнен

и защищен с оценкой	(оценка)	(дата)
Члены комиссии:

Борисоглебск 2021
УТВЕРЖДАЮ

Заведующий кафедрой «Информационные системы и технологии» Позднова Е.А.

________________
Факультет Филиал ФГБОУ ВО ВГТУ в городе Борисоглебске

Кафедра «Информационные системы и технологии»

Направление подготовки (специальность) 09.03.02 Информационные системы и технологии направленность (профиль) /специализация Информационные системы и технологии цифровизации
Задание на курсовую работу
Студента Гриценко Константина Андреевича
по дисциплине «Основы программирования и алгоритмизации »
Тема курсовой работы:

Решение уравнений 3-ей и 4-ой степени в среде ABCPascal

создание программного кода, что позволит решать уравнения 3-ей и 4-ой степени.

– узнать для чего используются подобные уравнения;

Перевести формулы для решения в среду ABCPascal;
Написать программу, позволяющую быстро решать такие уравнения.

Список рекомендуемых источников

2.Срок защиты студентом курсового проекта «»20 21г.

Дата выдачи задания «»20 21 г. Руководитель курсового проекта

Задание принял к исполнению студент Гриценко Константин Андреевич

формы обучения очной курса 1 группы ФБ бИСТ — 201

на курсовую работу студента курса 1 группы ФБ бИСТ-201

Гриценко Константин Андреевич

Тема: «Язык программирования высокого уровня PASCAL»

Выводы, сделанные в Заключении, соответствуют целям, поставленным во Введении.

Проанализирован необходимый объем литературы.

За время работы студент проявил себя как Таким образом, работа выполнена науровне, соответствует требованиям, предъявляемым к курсовым работам, и заслуживает оценку.

Cтарший преподаватель	И.М.Брик

Ключевые особенности PascalABC.NET 4

ИСТОРИЯ УРАВНЕНИЙ N-НОЙ СТЕПЕНИ 5

Приведение кубических уравнений к трехчленному виду 7

Сведение трёхчленных кубических уравнений к квадратным уравнениям при помощи метода Никколо Тартальи 9

Формула Кардано 10

Приведение уравнений 4-ой степени 14

Разложение на множители. Кубическая резольвента 15

Пример решения уравнения 4-ой степени 18

ВВЕДЕНИЕ

С развитием человечества начали применяться всё более сложные вычисления, при применении которых математики могли задавать функциональные операторы и команды, оперируя непосредственно только пером и бумагой.

Но, стоит отметить, тот факт, что непосредственное использование компьютеров для рационализации сложных вычислений было очень полезным.

Поэтому со временем пришлось отказаться от старых методов вычисления ответов на сложные задачи.

В результате, при развитии языков программирования высокого уровня, появилась принципиально новая возможность для обработки данных с использованием уже ранее созданных программ или программных модулей, которые в себе содержали составные части программного кода. Вместе с этим были созданы первые образцы программ, которые использовали графический пользовательский интерфейс.

Целью написания работы является создание программного кода, что позволит решать уравнения 3-ей и 4-ой степени.

Задачи курсовой работы следующие:

– изучить методы решения данных видов уравнений;

– узнать для чего используются подобные уравнения;

Перевести формулы для решения в среду ABCPascal;
Написать программу, позволяющую быстро решать такие уравнения.

Объектом работы является среда ABCPascal.

Предмет работы – функции и процедуры.

По мере развития компьютерной техники были создавалисьсамые разные подходы к написанию программ, которыми занимались многие ученные и специалисты в проектировании программного обеспечения.

СЛОВО ОБ ABCPASCAL
В XXI веке растёт спрос на языки программирования, позволяющие писать высокоуровневый код в лёгкой, компактной и понятной форме. Современные реализации языка Паскаль, такие как PascalABC.NET , здесь могут многое предложить.

PascalABC.NET – это язык программирования Паскаль нового поколения , сочетающий простоту классического языка Паскаль, ряд современных расширений и огромные возможности платформы Microsoft .NET.

PascalABC.NET разрабатывается под свободной лицензией LGPLv3 в первую очередь как язык программирования для сферы образования и научных исследований и вбирает в себя лучшее, что предлагают другие современные языки, такие как C#, Kotlin, Python, Haskell и другие.

PascalABC.NET включает бесплатную, простую и мощную среду разработки с подсказками по коду, автоформатированием и образцами кода для начинающих.

PascalABC.NET – мощный язык с простым и логичным синтаксисом, хорошо понятным начинающим программистам. Это позволяет писать компактные, эффективные и понятные программы и делает данный язык идеальным выбором для обучения современному программированию в широком смысле: от учеников начальной школы до студентов профильных ИТ-направлений. Кроме того, он превосходно подходит как для создания консольных приложений малого и среднего размера, так и в качестве средства программирования «на каждый день».

PascalABC.NET – мультипарадигменный язык. На нём можно писать программы в разных стилях : процедурном , объектном , объектно-ориентированном , функциональном , а также сочетать эти стили, что позволяет формировать различные образовательные траектории в зависимости от уровня и возраста обучаемых.

Ключевые особенности PascalABC.NET

Ряд расширений языка Pascal, в числе которых оператор foreach, внутриблочные описания переменных, автоопределение типа при описании, встроенные множества произвольных типов, case по строкам, упрощенный синтаксис модулей, методы в записях, операция new для создания объектов, определение тел методов внутри классов, целые произвольной длины, многомерные динамические массивы.

Самые современные средства языков программирования: обобщенные классы и подпрограммы, интерфейсы, перегрузка операций, λ-выражения, исключения, сборка мусора, методы расширения, безымянные классы, автоклассы.

Генерация эффективного кода для платформы .NET.

Высокая совместимость с Delphi.

Высокая скорость выполнения программ .

Возможность доступа к огромному количеству .NET-библиотек от контейнерных классов до средств работы с сетью.

Среда разработки с встроенным отладчиком, обеспечивающая подсказки по коду, переход к определению и реализации подпрограммы, шаблоны кода, автоформатирование кода.

Встроенный в среду разработки дизайнер форм для быстрого создания оконных приложений.

Простые и эффективные графические библиотеки (растровая, векторная и трёхмерная) для создания простых визуализаций и анимаций.

Средства параллельного программирования в виде директив OpenMP.

Встроенный электронный задачник Programming Taskbook .

Модули исполнителей Робот и Чертежник, используемых в школьной информатике.

Механизм проверяемых заданий, обеспечивающий автоматическую постановку и проверку заданий.

ИСТОРИЯ УРАВНЕНИЙ N-НОЙ СТЕПЕНИ

Решение алгебраических уравнений с одни неизвестным представляет собой одну из труднейших и древнейших математических задач. Этими задачами занимались самые выдающиеся математики древности. Первые упоминания об уравнениях и решении линейных уравнений появились с начала II тысячелетия до н.э. в Древнем Вавилоне.

В Древней Греции уравнения решались при помощи геометрической фигуры. Числа отождествлялись с длинами отрезков. Нахождение неизвестной величины означало построение искомого отрезка.
С VI века в средневековой Индии и Китае, в странах Арабского Востока появляются решения квадратных уравнений. В развитии алгебры уравнений велика роль французского математика и юриста Ф. Виета (1540-1603). Особое значение имеет установление им зависимости между корнями и коэффициентами уравнений.

В XVI веке изучение алгебры началось в Западной Европе. Первым крупным достижением западноевропейских учёных было открытие формулы для решения кубических уравнений. Это было заслугой итальянских учёных алгебраистов Никколо Тарталья (1499-1557), Джироламо Кардано (1501- 1576) и Л.Феррари (1522-1565).

Французский матаматик Этьен Безу (1730-1783) сформулировал свою известную теорему о делении многочлена на линейный двучлен, позволяющий снизить степень алгебраических уравнений.
АКТУАЛЬНОСТЬ РАБОТЫ

Степень бывает разной: целой, рациональной, комплексной, вещественной. И она используются в различных сферах жизни людей. Прежде всего в вычислительной технике: микрокалькуляторы, вычислительные процессоры и прочие устройства и компоненты. В медицинской технике, для построения различных графиков. В физике, для вычисления характеристик, свойств, переменных, также для решения расчетных задач. И можно привести еще много примеров, но одно известно точно, что изучать степень необходимо и применять полученные знания на практике.

2.РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ N-НОЙ СТЕПЕНИ В МАТЕМАТИКЕ

СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ

УРАВНЕНИЯ 3-ЕЙ СТЕПЕНИ

Целью данного раздела является вывод формулы Кардано для решения уравнений третьей степени (кубических уравнений)

Cтарший преподаватель	И.М. Брик

a ₀ x 3 + a ₁ x 2 + a ₂ x + a ₃= 0,

(1)

где a ₀, a ₁, a ₂, a ₃ – произвольные вещественные числа,

Вывод формулы Кардано состоит из двух этапов.

На первом этапе кубические уравнения вида (1) приводятся к кубическим уравнениям, у которых отсутствует член со второй степенью неизвестного. Такие кубические уравнения называют трёхчленными кубическими уравнениями.

На втором этапе трёхчленные кубические уравнения решаются при помощи сведения их к квадратным уравнениям .

Приведение кубических уравнений к трехчленному виду

Разделим уравнение (1) на старший коэффициент a ₀ . Тогда оно примет вид

x 3 + ax 2 + bx + c = 0,

(2)

где a, b, c – произвольные вещественные числа.

Заменим в уравнении (2) переменную x на новую переменную y по формуле:

(3)

Тогда, поскольку

то уравнение (2) примет вид

(4)

Если ввести обозначения

то уравнение (4) примет вид

y 3 + py + q = 0,

(5)

где p, q – вещественные числа.

Уравнения вида (5) и являются трёхчленными кубическими уравнениями, у которых отсутствует член со второй степенью неизвестного.

Первый этап вывода формулы Кардано завершён.

Сведение трёхчленных кубических уравнений к квадратным уравнениям при помощи метода Никколо Тартальи

Следуя методу, примененому Никколо Тартальей (1499-1557) для решения трехчленных кубических уравнений, будем искать решение уравнения (5) в виде

(6)

где t – новая переменная.

то выполнено равенство:

Следовательно, уравнение (5) переписывается в виде

(7)

Если теперь уравнение (7) умножить на t, то мы получим квадратное уравнение относительно t :

(8)

Формула Кардано

Решение уравнения (8) имеет вид:

В соответствии с (6), отсюда вытекает, что уравнение (5) имеет два решения:

(9)

В развернутой форме эти решения записываются так:

	(10)
	(11)

Покажем, что, несмотря на кажущиеся различия, решения (10) и (11) совпадают.

С другой стороны,

и для решения уравнения (5) мы получили формулу

(12)

которая и называется «Формула Кардано».

Замечание. Поскольку у каждого комплексного числа, отличного от нуля, существуют три различных кубических корня , то, для того, чтобы избежать ошибок при решении кубических уравнений в области комплексных чисел, рекомендуется использовать формулу Кардано в виде (10) или (11).

Предположим, что кубическое уравнение ax3 + bx2 + cx + d = 0 (14) имеет три корня x1, x2 и x3. Тогда многочлен в левой части уравнения раскладывается на множители: ax3 + bx2 + cx + d = a(x − x1)(x − x2)(x − x3).

Раскроем в этом равенстве скобки и приведём подобные слагаемые:

ax3 + bx2 + cx + d = ax3 − a(x1 + x2 + x3)x 2 + a(x1x2 + x1x3 + x2x3)x − ax1x2x3. (15)

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем:

x1 + x2 + x3 = − b a ,

x1x2 + x1x3 + x2x3 = c a ,

x1x2x3 = − d a . (5)

Соотношения (16) называются формулами Виета для кубического уравнения (14).

СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ЧЕТВЁРТОЙ СТЕПЕНИ
Для решения этого типа уравнений применяются формулы сокращенного умножения:

A x 4 + B = 0 x 4 + B A = 0

x 4 + 2 √ B A x 2 + B A − 2 √ B A x 2 = 0

( x 2 + √ B A ) 2 − 2 √ B A x 2 = 0

( x 2 − √ 2 4 √ B A x + √ B A ) ( x 2 + √ 2 4 √ B A x + √ B A ) = 0

Схема метода Феррари

Целью данного раздела является изложение метода Феррари, с помощью которого можно решать уравнения четвёртой степени

a₀ x 4 + a₁ x 3 + a₂ x 2 + a₃ x + a₄ = 0,

(1)

где a₀, a₁, a₂, a₃, a₄ – произвольные вещественные числа, причем

Метод Феррари состоит из двух этапов.

На первом этапе уравнения вида (1) приводятся к уравнениям четвертой степени, у которых отсутствует член с третьей степенью неизвестного.

На втором этапе полученные уравнения решаются при помощи разложения на множители, однако для того, чтобы найти требуемое разложение на множители, приходится решать кубические уравнения.

Приведение уравнений 4-ой степени

Разделим уравнение (1) на старший коэффициент a₀ . Тогда оно примет вид

x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + d = 0,

(2)

где a, b, c, d – произвольные вещественные числа.

Сделаем в уравнении (2) замену

(3)

где y – новая переменная.

то уравнение (2) принимает вид

(4)

Если ввести обозначения

то уравнение (4) примет вид

y 4 + py 2 + qy + r = 0,

(5)

где p, q, r – вещественные числа.

Первый этап метода Феррари завершён.

Разложение на множители. Кубическая резольвента

Добавив и вычитая в левой части уравнения (5) выражение

где s – некоторое число, которое мы определим чуть позже, из (5) получим

Следовательно, уравнение (5) принимает вид

(6)

Если теперь выбрать число s так, чтобы оно являлось каким-нибудь решением уравнения

(7)

то уравнение (6) примет вид

(8)

Избавляясь от знаменателя, уравнение (7) можно переписать в виде

или, раскрыв скобки, — в виде

(9)

Полученное кубическое уравнение (9), эквивалентное уравнению (7), называют кубической резольвентой уравнения 4-ой степени (5).

Если какое-нибудь решение кубической резольвенты (9) найдено, то уравнение (8) можно решить, разложив его левую часть на множители с помощью формулы сокращенного умножения «Разность квадратов».

Таким образом, для решения уравнения (8) остаётся решить квадратное уравнение

(10)

а также квадратное уравнение

(11)

Вывод метода Феррари завершен.

Пример решения уравнения 4-ой степени

Пример. Решить уравнение

x 4 + 4 x 3 – 4 x 2 – 20 x – 5 = 0.

(12)

Решение. В соответствии с (3) сделаем в уравнении (12) замену

x = y – 1.

(13)

Поскольку

x 4 + 4 x 3 – 4 x 2 – 20 x – 5 =
= ( y – 1) 4 + 4( y – 1) 3 – 4( y – 1) 2 – 20( y – 1)– 5 =
= y 4 – 4 y 3 + 6 y 2 – 4 y + 1 + 4 y 3 – 12 y 2 + 12 y – 4 –
– 4 y 2 + 8 y – 4 – 20 y + 20 – 5 =
= y 4 – 10 y 2 – 4 y + 8,

то в результате замены (13) уравнение (12) принимает вид

y 4 – 10 y 2 – 4 y + 8 = 0.

(14)

В соответствии с (5) для коэффициентов уравнения (14) справедливы равенства

p = – 10, q = – 4, r = 8.

(15)

В силу (9) и (15) кубической резольвентой для уравнения (14) служит уравнение

2 s 3 + 10 s 2 – 16 s – 84 = 0,

которое при сокращении на 2 принимает вид:

s 3 + 5 s 2 – 8 s – 42 = 0.

(16)

Проверяя, какой из делителей свободного члена уравнения (16) является целым корнем этого уравнения, находим, что целым корнем кубической резольвенты является число

s = – 3.

(17)

Подставляя значения (15) и (17) в формулу (10), получаем уравнение

корни которого имеют вид:

(18)

Подставляя значения (15) и (17) в формулу (11), получаем уравнение

корни которого имеют вид:

(19)

В завершение, воспользовавшись формулой (13), из (18) и (19) находим корни уравнения (12):

Замечание. При решении примера мы попутно получили разложение левой части уравнения (14) на множители:

y 4 – 10 y 2 – 4 y + 8 = ( y 2 – 2 y – 4) ( y 2 + 2 y – 2).

(20)

ТЕОРЕМА ВИЕТА ДЛЯ УРАВНЕНИЙ 4-ОЙ СТЕПЕНИ

Корни уравнения четвёртой степени x 1 , x 2 , x 3 , x 4 связаны с коэффициентами a, b, c, d, e следующим образом:

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 =− b/a ,

x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 1 x 4 + x 2 x 3 + x 2 x 4 + x 3 x 4 = c/a,

x 1 x 2 x 3 x 4 = e / a .

3. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ N-НОЙ СТЕПЕНИ В ABCPascal

Задача данной курсовой работы состоит в написании программного кода в среде ABCPascal для автоматизированного решения уравнений третьей и четвёртой степени. Использовалось две отдельные программы для каждого вида уравнений.

Программа для решения уравнения 3-ей степени:

function sgn(x: double): double;

sgn := ord(x > 0) — ord(x 0

then sqrt_3 := exp(ln(x) / 3)

q := (a * a — 3 * b) / 9;

r := (2 * a * a * a — 9 * a * b + 27 * c) / 54;

s := q * q * q — r * r;

f := arccos(r / sqrt(q * q * q)) / 3;

x[1].re := t * cos(f) — a / 3;

x[2].re := t * cos(f + 2 / 3 * pi) — a / 3;

x[3].re := t * cos(f — 2 / 3 * pi) — a / 3

x[2].re := sqrt_3(r) — a / 3;

x[1].re := -2 * sqrt_3(r) — a / 3

x[1].re := -sqrt_3(c — a * a * a / 27) — a / 3;

x[2].re := (a + x[1].re) / -2;

x[2].im := sqrt(abs((a — 3 * x[1].re) * (a + x[1].re) — 4 * b)) / 2;

f := arch(abs(r) / sqrt(q * q * q)) / 3;

x[1].re := -2 * sgn(r) * sqrt(q) * ch(f) — a / 3;

x[2].re := sgn(r) * sqrt(q) * ch(f) — a / 3;

x[2].im := sqrt(3 * q) * sh(f);

f := arsh(abs(r) / sqrt(abs(q * q * q))) / 3;

x[1].re := -2 * sgn(r) * sqrt(abs(q)) * sh(f) — a / 3;

x[2].re := sgn(r) * sqrt(abs(q)) * sh(f) — a / 3;

x[2].im := sqrt(3 * abs(q)) * ch(f);

write(‘x’, i, ‘ = ‘, x[i].re);

Программа для решения уравнения 4-ой степени:

function Bisec(xn,xk:real):real; //функция уточнения корня методом бисекции

Решение алгебраических уравнений высших степеней

Автор: Пользователь скрыл имя, 25 Апреля 2012 в 20:33, курсовая работа

Описание работы

Цель работы заключается в ознакомлении с основными методами решения алгебраических уравнений высших степеней.
В соответствии с целью, объектом и предметом исследования были поставлены следующие задачи:
1. Собрать сведения из истории математики о решении алгебраических уравнений высших степеней.
2. Изучить теоретические основы решения алгебраических уравнений высших степеней: дать определение уравнениям, алгебраическим уравнениям, корням многочленов
3. Исследовать основные приемы и методы решения алгебраических уравнений высших степеней: вынесение общего множителя, применение формул сокращенного умножения, подбор рационального корня многочлена по его старшему коэффициенту и свободному члену, и привести примеры их использования.

Содержание

Введение 4
1. Историческая справка 6
2. Общие понятия 15
2.1. Уравнения. 15
2.2. Алгебраические уравнения. 16
2.3. Корни многочленов. 16
3. Элементарные методы решения уравнений высших степеней 18
3.1. Вынесение общего множителя 18
3.2. Применение формул сокращенного умножения 19
3.3. Подбор рационального корня многочлена по его старшему коэффициенту и свободному члену 22
3.4. Симметрические уравнения 23
3.5. Возвратные уравнения 26
4. Решение кубических уравнений 29
4.1. Формула Кардано 30
4.2. Тригонометрическая формула Виета 32
5. Решение уравнений 4-й степени 34
5.1. Биквадратные уравнения 34
5.2. Метод Феррари 34
Заключение 37
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 38

источники:

http://topuch.ru/kursovoj-proekt-po-discipline-osnovi-programmirovaniya-i-algor/index.html

http://www.stud24.ru/mathematic/reshenie-algebraicheskih-uravnenij-vysshih-stepenej/368804.html