Решение уравнений 4 степени с комплексными корнями

Решение уравнений 4-ой степени. Метод Феррари

Схема метода Феррари

Приведение уравнений 4-ой степени

Разложение на множители. Кубическая резольвента

Пример решения уравнения 4-ой степени

Схема метода Феррари

Целью данного раздела является изложение метода Феррари , с помощью которого можно решать уравнения четвёртой степени

где a₀, a₁, a₂, a₃, a₄ – произвольные вещественные числа, причем

Метод Феррари состоит из двух этапов.

На первом этапе уравнения вида (1) приводятся к уравнениям четвертой степени, у которых отсутствует член с третьей степенью неизвестного.

На втором этапе полученные уравнения решаются при помощи разложения на множители, однако для того, чтобы найти требуемое разложение на множители, приходится решать кубические уравнения.

Приведение уравнений 4-ой степени

Разделим уравнение (1) на старший коэффициент a₀ . Тогда оно примет вид

где a, b, c, d – произвольные вещественные числа.

Сделаем в уравнении (2) замену

(3)

где y – новая переменная.

то уравнение (2) принимает вид

В результате уравнение (2) принимает вид

Если ввести обозначения

то уравнение (4) примет вид

где p, q, r – вещественные числа.

Первый этап метода Феррари завершён.

Разложение на множители. Кубическая резольвента

Добавив и вычитая в левой части уравнения (5) выражение

где s – некоторое число, которое мы определим чуть позже, из (5) получим

Следовательно, уравнение (5) принимает вид

Если теперь выбрать число s так, чтобы оно являлось каким-нибудь решением уравнения

то уравнение (6) примет вид

Избавляясь от знаменателя, уравнение (7) можно переписать в виде

или, раскрыв скобки, — в виде

Полученное кубическое уравнение (9), эквивалентное уравнению (7), называют кубической резольвентой уравнения 4-ой степени (5).

Если какое-нибудь решение кубической резольвенты (9) найдено, то уравнение (8) можно решить, разложив его левую часть на множители с помощью формулы сокращенного умножения «Разность квадратов».

Таким образом, для решения уравнения (8) остаётся решить квадратное уравнение

а также квадратное уравнение

Вывод метода Феррари завершен.

Пример решения уравнения 4-ой степени

Пример . Решить уравнение

Решение . В соответствии с (3) сделаем в уравнении (12) замену

то в результате замены (13) уравнение (12) принимает вид

В соответствии с (5) для коэффициентов уравнения (14) справедливы равенства

В силу (9) и (15) кубической резольвентой для уравнения (14) служит уравнение

которое при сокращении на 2 принимает вид:

Подставляя значения (15) и (17) в формулу (10), получаем уравнение

Подставляя значения (15) и (17) в формулу (11), получаем уравнение

В завершение, воспользовавшись формулой (13), из (18) и (19) находим корни уравнения (12):

Замечание . При решении примера мы попутно получили разложение левой части уравнения (14) на множители:

Предоставляем посетителю нашего сайта возможность убедиться в справедливости равенства (19) в качестве несложного упражнения.

Решение уравнений четвертой степени

Для уравнений четвертой степени применимы все те общие схемы решения уравнений высших степеней, что мы разбирали в предыдущем материале. Однако существует ряд нюансов в решении двучленных, биквадратных и возвратных уравнений, на которых мы хотели бы остановиться подробнее.

Также в статье мы разберем искусственный метод разложения многочлена на множители, решение в радикалах и метод Феррари, который используется для того, чтобы свести решение уравнения четвертой степени к кубическому уравнению.

Решение двучленного уравнения четвертой степени

Это простейший тип уравнений четвертой степени. Запись уравнения имеет вид A x 4 + B = 0 .

Для решения этого типа уравнений применяются формулы сокращенного умножения:

A x 4 + B = 0 x 4 + B A = 0 x 4 + 2 B A x 2 + B A — 2 B A x 2 = 0 x 2 + B A 2 — 2 B A x 2 = 0 x 2 — 2 B A 4 x + B A x 2 + 2 B A 4 x + B A = 0

Остается лишь найти корни квадратных трехчленов.

Решить уравнение четвертой степени 4 x 4 + 1 = 0 .

Решение

Для начала проведем разложение многочлена 4 x 4 + 1 на множители:

4 x 4 + 1 = 4 x 4 + 4 x 2 + 1 = ( 2 x 2 + 1 ) 2 — 4 x 2 = 2 x 2 — 2 x + 1 ( 2 x 2 + 2 x + 1 )

Теперь найдем корни квадратных трехчленов.

2 x 2 — 2 x + 1 = 0 D = ( — 2 ) 2 — 4 · 2 · 1 = — 4 x 1 = 2 + D 2 · 2 = 1 2 + i x 2 = 2 — D 2 · 2 = 1 2 — i

2 x 2 + 2 x + 1 = 0 D = 2 2 — 4 · 2 · 1 = — 4 x 3 = — 2 + D 2 · 2 = — 1 2 + i x 4 = — 2 — D 2 · 2 = — 1 2 — i

Мы получили четыре комплексных корня.

Ответ: x = 1 2 ± i и x = — 1 2 ± i .

Решение возвратного уравнения четвертой степени

Возвратные уравнения четвертого порядка имеют вид A x 4 + B x 3 + C x 2 + B x + A = 0

х = 0 не является корнем этого уравнения: A · 0 4 + B · 0 3 + C · 0 2 + B · 0 + A = A ≠ 0 . Поэтому на x 2 можно смело разделить обе части этого уравнения:

A x 4 + B x 3 + C x 2 + B x + A = 0 A x 2 + B x + C + B x + A x 2 = 0 A x 2 + A x 2 + B x + B x + C = 0 A x 2 + 1 x 2 + B x + 1 x + C = 0

Проведем замену переменных x + 1 x = y ⇒ x + 1 x 2 = y 2 ⇒ x 2 + 1 x 2 = y 2 — 2 :

A x 2 + 1 x 2 + B x + 1 x + C = 0 A ( y 2 — 2 ) + B y + C = 0 A y 2 + B y + C — 2 A = 0

Так мы проведи сведение возвратного уравнения четвертой степени к квадратному уравнению.

Найти все комплексные корни уравнения 2 x 4 + 2 3 + 2 x 3 + 4 + 6 x 2 + 2 3 + 2 x + 2 = 0 .

Решение

Симметрия коэффициентов подсказывает нам, что мы имеем дело с возвратным уравнением четвертой степени. Проведем деление обеих частей на x 2 :

2 x 2 + 2 3 + 2 x + 4 + 6 + 2 3 + 2 x + 2 x 2 = 0

2 x 2 + 2 x 2 + 2 3 + 2 x + 2 3 + 2 x + 4 + 6 + = 0 2 x 2 + 1 x 2 + 2 3 + 2 x + 1 x + 4 + 6 = 0

Проведем замену переменной x + 1 x = y ⇒ x + 1 x 2 = y 2 ⇒ x 2 + 1 x 2 = y 2 — 2

2 x 2 + 1 x 2 + 2 3 + 2 x + 1 x + 4 + 6 = 0 2 y 2 — 2 + 2 3 + 2 y + 4 + 6 = 0 2 y 2 + 2 3 + 2 y + 6 = 0

Решим полученное квадратное уравнение:

D = 2 3 + 2 2 — 4 · 2 · 6 = 12 + 4 6 + 2 — 8 6 = = 12 — 4 6 + 2 = 2 3 — 2 2 y 1 = — 2 3 — 2 + D 2 · 2 = — 2 3 — 2 + 2 3 — 2 4 = — 2 2 y 2 = — 2 3 — 2 — D 2 · 2 = — 2 3 — 2 — 2 3 + 2 4 = — 3

Вернемся к замене: x + 1 x = — 2 2 , x + 1 x = — 3 .

Решим первое уравнение:

x + 1 x = — 2 2 ⇒ 2 x 2 + 2 x + 2 = 0 D = 2 2 — 4 · 2 · 2 = — 14 x 1 = — 2 — D 2 · 2 = — 2 4 + i · 14 4 x 2 = — 2 — D 2 · 2 = — 2 4 — i · 14 4

Решим второе уравнение:

x + 1 x = — 3 ⇒ x 2 + 3 x + 1 = 0 D = 3 2 — 4 · 1 · 1 = — 1 x 3 = — 3 + D 2 = — 3 2 + i · 1 2 x 4 = — 3 — D 2 = — 3 2 — i · 1 2

Ответ: x = — 2 4 ± i · 14 4 и x = — 3 2 ± i · 1 2 .

Решение биквадратного уравнения

Биквадратные уравнения четвертой степени имеют вид A x 4 + B x 2 + C = 0 . Мы можем свести такое уравнение к квадратному A y 2 + B y + C = 0 путем замены y = x 2 . Это стандартный прием.

Решить биквадратное уравнение 2 x 4 + 5 x 2 — 3 = 0 .

Решение

Выполним замену переменной y = x 2 , что позволит нам свести исходное уравнение к квадратному:

2 y 2 + 5 y — 3 = 0 D = 5 2 — 4 · 2 · ( — 3 ) = 49 y 1 = — 5 + D 2 · 2 = — 5 + 7 4 = 1 2 y 2 = — 5 — D 2 · 2 = — 5 — 7 4 = — 3

Следовательно, x 2 = 1 2 или x 2 = — 3 .

Первое равенство позволяет нам получить корень x = ± 1 2 . Второе равенство не имеет действительных корней, зато имеет комплексно сопряженных корней x = ± i · 3 .

Ответ: x = ± 1 2 и x = ± i · 3 .

Найти все комплексные корни биквадратного уравнения 16 x 4 + 145 x 2 + 9 = 0 .

Решение

Используем метод замены y = x 2 для того, чтобы свести исходное биквадратное уравнение к квадратному:

16 y 2 + 145 y + 9 = 0 D = 145 2 — 4 · 16 · 9 = 20449 y 1 = — 145 + D 2 · 16 = — 145 + 143 32 = — 1 16 y 2 = — 145 — D 2 · 16 = — 145 — 143 32 = — 9

Поэтому, в силу замены переменной, x 2 = — 1 16 или x 2 = — 9 .

Ответ: x 1 , 2 = ± 1 4 · i , x 3 , 4 = ± 3 · i .

Решение уравнений четвертой степени с рациональными корнями

Алгоритм нахождения рациональных корней уравнения четвертой степени приведен в материале «Решение уравнений высших степеней».

Решение уравнений четвертой степени по методу Феррари

Уравнения четвертой степени вида x 4 + A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 в общем случае можно решить с применением метода Феррари. Для этого необходимо найти y 0 . Это любой из корней кубического уравнения y 3 — B y 2 + A C — 4 D y — A 2 D + 4 B D — C 2 = 0 . После этого необходимо решить два квадратных уравнения x 2 + A 2 x + y 0 2 + A 2 4 — B + y 0 x 2 + A 2 y 0 — C x + y 0 2 4 — D = 0 , у которых подкоренное выражение является полным квадратом.

Корни, полученные в ходе вычислений, будут корнями исходного уравнения четвертой степени.

Найти корни уравнения x 4 + 3 x 3 + 3 x 2 — x — 6 = 0 .

Решение

Имеем А = 3 , В = 3 , С = — 1 , D = — 6 . Применим метод Феррари для решения данного уравнения.

Составим и решим кубическое уравнение:
y 3 — B y 2 + A C — 4 D y — A 2 D + 4 B D — C 2 = 0 y 3 — 3 y 2 + 21 y — 19 = 0

Одним из корней кубического уравнения будет y 0 = 1 , так как 1 3 — 3 · 1 2 + 21 · 1 — 19 = 0 .

Запишем два квадратных уравнения:
x 2 + A 2 x + y 0 2 ± A 2 4 — B + y 0 x 2 + A 2 y 0 — C x + y 0 2 4 — D = 0 x 2 + 3 2 x + 1 2 ± 1 4 x 2 + 5 2 x + 25 4 = 0 x 2 + 3 2 x + 1 2 ± 1 2 x + 5 2 2 = 0

x 2 + 3 2 x + 1 2 + 1 2 x + 5 2 = 0 или x 2 + 3 2 x + 1 2 — 1 2 x — 5 2 = 0

x 2 + 2 x + 3 = 0 или x 2 + x — 2 = 0

Корнями первого уравнения будут x = — 1 ± i · 2 , корнями второго х = 1 и х = — 2 .

Ответ: x 1 , 2 = — 1 ± i 2 , x 3 = 1 , x 4 = — 2 .

Комплексные числа и их приложение к решению уравнений третьей и четвертой степени (стр. 1 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4 5

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ИХ

ПРИЛОЖЕНИЕ К РЕШЕНИЮ

И ЧЕТВЕРТОЙ СТЕПЕНИ

Учебное пособие для студентов

кандидат физико-математических наук, доцент

Комплексные числа и их приложение к решению уравнений 3-й и 4-й степени. Учебное пособие для студентов физико-математического факультета / сост.: – Воронежский госпедуниверситет, 2010. – 92 с.

Учебное пособие представляет собой курс лекций и практических занятий по теме «Комплексные числа». Пособие делится на четыре части: комплексные числа в алгебраической форме, геометрическая интерпретация комплексных чисел, комплексные числа в тригонометрической форме, приложение теории комплексных чисел к решению кубических уравнений и уравнений 4-й степени. В заключение приводится краткий исторический обзор формирования понятия комплексного числа и действий над комплексными числами.

Предназначено для студентов физико-математического факультета Воронежского госпедуниверситета.

Теория комплексных чисел является составной частью курса «Высшая алгебра» в педагогических вузах и предполагает глубокое знание ее основ, а также методов и приемов, применяемых при решении широкого класса задач как алгебраического, так и геометрического содержания. Будущие учителя должны грамотно и непринужденно оперировать с основными понятиями, действиями и интерпретациями комплексных чисел, поскольку азы теории комплексных чисел являются частью учебной программы по математике для профильных классов. Это объясняется тем, что, будучи непосредственным обобщением понятия действительного числа, комплексное число является завершающим элементом в стройной и строгой логической
конструкции понятия числа.

Алгебраическая природа комплексного числа состоит в том, что комплексное число есть элемент алгебраического расширения С поля действительных чисел R , получаемого присоединением к полю R корня i многочлена f(x) = x2 + 1 . Получающееся таким путем поле С называется полем комплексных чисел.

Наиболее важное свойство комплексных чисел состоит в том, что оно алгебраически замкнуто, т. е. любой многочлен с коэффициентами из С разлагается на линейные множители. Иначе это свойство алгебраической замкнутости выражается в том, что любой многочлен степени n ≥ 1 с коэффициентами из С имеет в поле комплексных чисел по крайней мере один корень (теорема Даламбера – Гаусса).

Изучение теории комплексных чисел выполняет следующие образовательные функции.

1) Расширение математического кругозора и повышение математической культуры учащихся.

Наличие у комплексных чисел более тесной, нежели у других числовых множеств, связи с геометрией (в частности, с векторным исчислением) представляет широкие возможности, с одной стороны, применения алгебраических методов к решению геометрических
задач (задачи на построение ГМТ), а с другой стороны, наглядных геометрических интерпретаций различных алгебраических операций (действий с комплексными числами в тригонометрической форме).

2) Логическое завершения развития понятия числа.

3) Выделение из множества всех алгебраических уравнении лишь тех, которые решаются в радикалах, т. е. для которых существуют формулы, выражающие корни уравнения через его коэффициенты.

Сюда относится решение уравнений 3-й степени (и сводящихся к ним уравнений 4-й степени), поскольку по теореме Абеля: «Ни для какого натурального числа нельзя указать формулу, которая выражала бы корни любого уравнения п-й степени через его коэффициенты при помощи радикалов».

В первой главе пособия сначала вводится понятие комплексного числа в алгебраической форме, определяются операции сложения, вычитания, умножения, деления, а также операция сопряжения для комплексных чисел в алгебраической форме; излагается правило извлечения квадратного корня из комплексного числа.

Во второй главе изучается геометрическая интерпретация комплексных чисел в виде точек или векторов комплексной плоскости.

В третьей главе рассмотрены действия над комплексными числами в тригонометрической форме.

Четвертая глава посвящена решению уравнений 3-й и 4-й степеней.

Завершает пособие краткая историческая справка о возникновении понятия комплексного числа.

Особенностью изложения материала является форма в виде лекционных и практических занятий. Эта форма выбрана для удобства использования представленного материала как преподавателями, так и студентами. В конце каждой из первых трех глав приведены примерные варианты контрольных работ.

Глава 1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА В АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ФОРМЕ

Занятие 1. Введение понятия комплексного числа.

Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел. Степени мнимой единицы

Понятие числа прошло длинный исторический путь. В процессе развития математики числовая система расширялась не один раз. Уже на ранних этапах развития человечества в результате счета возникают натуральные числа. Постепенно складывается представление о бесконечности множества натуральных чисел и появляется понятие натурального ряда бесконечной последовательности чисел 1, 2, 3, 4, 5, . . Затем возникают дроби, нуль, отрицательные числа, необходимые для
решения линейных уравнений вида

Поскольку рациональных чисел было достаточно для того, чтобы с любой степенью точности выразить результат любого измерения, то долгое время считали, что результат измерения всегда выражается или натуральным числом, или отношением двух таких чисел, т. е. дробью.

Однако еще в школе Пифагора был обнаружен тот факт, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной и поэтому не может быть точно выражена рациональным числом. Это открытие привело в конце концов к тому, что в математику вошли иррациональные числа.

Рациональные числа вместе с иррациональными образуют множество действительных чисел, которое является расширением множества рациональных чисел, поскольку на нем также определены четыре арифметических действия: сложение, вычитание, умножение и деление (кроме деления на нуль).

Важное место в алгебре занимает решение алгебраических уравнений, т. е. уравнений вида

,

где а0, а1, . . . , аn — действительные числа. Однако оказалось, что для решения таких уравнений действительных чисел явно не достаточно. Например, действительных корней не имеет квадратное уравнение с отрицательным дискриминантом. Простейшим таким уравнением является уравнение

Для того чтобы это уравнение имело решение, необходимо расширить множество действительных чисел путем присоединения к нему корня уравнения

Обозначим этот корень через i. Таким образом, по определению

Символ i называется мнимой единицей. С его помощью и с помощью пары действительных чисел а и b составляется выражение вида

Полученные выражения назвали комплексными числами, поскольку они содержали как действительную, так и мнимую части (от французских слов rее1 – действительный и imaginaire – мнимый, воображаемый). Название комплексное переводится как составное — по виду выражения z = a+bi.

Итак, комплексными числами называются выражения вида

где а и b – действительные числа, а i – некоторый символ,
удовлетворяющий условию i= . Число а называется
действительной частью комплексного числа z=a+bi, а
число b его мнимой частью. Для их обозначения используются символы

Комплексные числа вида z=a+0∙i=а являются
действительными числами и, следовательно, множество комплексных чисел содержит в себе множество действительных чисел. Если потребовать, как мы сделаем это ниже, чтобы операции сложения и умножения комплексных чисел не выводили за пределы множества комплексных чисел и обладали всеми свойствами одноименных операций на множестве действительных чисел, то множество комплексных чисел будет расширением множества действительных чисел.

Комплексные числа вида z=0+bi называются чисто
мнимыми.

Два комплексных числа z1=a1+b1i и z2=a2+b2i
называются равными, если равны их действительные и мнимые части, т. е. если выполняются равенства

Определим операции сложения и умножения комплексных чисел.

Суммой двух комплексных чисел и называется комплексное число вида

.

Произведение двух комплексных чисел z1=a1+b1i и z2=a2+b2i можно найти, почленно умножая числа z1 и z2:

.

Таким образом, произведением двух комплексных чисел z1=a1+b1i и z2=a2+b2i называется комплексное число z1 ∙ z2 вида

.

Пример. Найдите сумму комплексных чисел z1= 2 + 3i и z2= –3 – i.

Пример. Найдите произведение комплексных чисел z1= 2 + 3i и z2= –1 – i .

Свойства операций сложения и умножения комплексных чисел

Каковы бы ни были комплексные числа , справедливы следующие равенства.

1. Коммутативный (переместительный) закон сложения:

.

2. Ассоциативный (сочетательный) закон сложения:

.

3. Коммутативный закон умножения:

.

4. Ассоциативный закон умножения:

.

5. Дистрибутивный (распределительный) закон умножения относительно сложения:

.

Проведем доказательство свойства 3 (остальные свойства доказываются аналогично).

Доказательство. Пусть , . Тогда поскольку а1 , b1 , a2 и b2 – действительные числа, для которых умножение коммутативно, получаем:

Кроме того, в множестве комплексных чисел есть «особые» элементы

0 = 0 + 0i и 1= l + 0i ,

которые обладают такими же свойствами, что и на множестве действительных чисел, а именно, для любого комплексного числа z = а + bi имеют место равенства:

8. Произведение двух комплексных чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

Доказательство. Пусть , и . Тогда по определению равенства и произведения двух комплексных чисел получаем систему уравнений :

Умножив уравнение (1) на а2 , а уравнение (2) на b2 и сложив полученные уравнения, приходим к системе :

Возможны два случая.

Тогда из уравнения (1)* следует, что b1b2 = 0.
a) Если b1 = 0 , а b2 ≠ 0, то z1 = a1 + b1i = 0.
б) Если b2 = 0 , а b1 ≠ 0 то из уравнения (2) следует, что a2b1 = 0 , значит, а2 = 0 , т. е. z2 = a2 + b2i = 0.

в) Если b1 = b2 = 0 , то z1 = 0 .

Тогда из уравнения (2)* следует, что, a22 + b22 = 0 , т. е. а2 = b2 = 0 , значит, z2 = 0.

10. Любому комплексному числу z=а+bi соответствует противоположное комплексное число (–z) такое, что z + (–z) = 0 .

11. Всякому комплексному числу z=а+bi, отличному от нуля, соответствует обратное комплексное число z–1 такое, что z ∙ z–1 = 1 .

Доказательство. Условие z ≠ 0 равносильно условию а2 + b2 > 0 . Вычислим z–1.

.

Пользуясь понятиями противоположного и обратного комплексного числа, определим операции вычитания и деления комплексных чисел.

Для того чтобы найти разность двух комплексных чисел и , достаточно сложить число z1 с числом, противоположным числу z2 , т. е.

.

Пример. Вычислите z1 – z2 , если z1 = 5 – 2i ,

Для того чтобы разделить комплексное число на комплексное число , не равное нулю, достаточно умножить число z1 на число, обратное числу z2 , т. е.

Пример. Вычислите .

.

Степени мнимой единицы

Вычислим степени мнимой единицы i. Прежде всего, как и для действительных чисел, положим i0 = 1 . Тогда

i2 = –1 (по определению мнимой единицы);

Вообще, если натуральный показатель степени mпри делении на 4 дает в остатке r , т. е. если m = 4n+r , где n – натуральное число, то

;

Пример. Вычислите а) i233 ; b) i102; с) i67 ; d) i516.

Решение. а) i233 = i232 + 1 = i ;

Занятие 2. Операция сопряжения и ее свойства.

Модуль комплексного числа.

Извлечение корня квадратного из комплексного числа

Комплексное число называется сопряженным комплексному числу, если

.

Пример. .

Свойства операции сопряжения

2. Для любого действительного числа а справедливо равенство .

3. Для любого действительного числа b справедливо равенство .

Справедливость свойств 1-3 следует непосредственно из определения операции сопряжения.

4. .

Доказательство. Пусть , . Тогда , . Поэтому

.

Доказательство. Пусть , . Тогда

С другой стороны,

.

Полученные одинаковые результаты доказывают справедливость свойства 5 .

Следствие из свойства 5. Для любого натурального числа n справедливо равенство

.

6. .

Справедливость данного равенства следует из равенства и свойства 5: .

7. Сумма и произведение двух комплексно сопряженных чисел являются действительными числами.

.

Модулем комплексного числа z = а + bi называется действительное число вида

.

Непосредственно из свойства 7 следует, что

.

8. Теорема о сопряженном корне.

Если число является корнем уравнения

(1)

с действительными коэффициентами а0, a1 , . . . , аn , то число также является корнем уравнения (1) .

Доказательство. По определению корня имеем :

;

(2)

Применим к обеим частям равенства (2) операцию сопряжения. Из свойств операции сопряжения следует, что

так как все коэффициенты ai — действительные числа (по условию). Кроме того,

; .

.

Последнее равенство означает, что число z = а – bi является корнем уравнения (1) .

Пример. Зная, что корнем уравнения

является число z1 = 2 + i , найти все корни данного уравнения.

Решение. Поскольку все коэффициенты уравнения (3) – действительные числа, то на основании теоремы 8 делаем вывод, что число z2 = 2 – i также является корнем уравнения (3).

Пусть z3 – неизвестный корень уравнения (3), тогда

Разделив обе части последнего равенства на х2 – 4х + 5 , получим

Следовательно, z3 = 3 .

Найдем значение корня квадратного из числа z=а+bi . Пусть

,

где х и у — неизвестные действительные числа. Возводя обе части этого равенства в квадрат, получаем:

.

Последнее уравнение равносильно системе уравнений

Возведем каждое уравнение системы в квадрат и сложим полученные равенства. Решим систему:

Из второго уравнения последней системы находим

,

где в правой части равенства следует иметь в виду арифметический корень, так как сумма х2+у2 неотрицательна. Учитывая, кроме того, что х2 –­­ у2 = а , получаем:

.

Так как , то оба полученные числа положительны. Извлекая из них квадратные корни, получим действительные значения для х и у :

.