Решение уравнений арифметической прогрессии онлайн

Арифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессия — это некая последовательность чисел, каждый следующий член которой отличается от предыдущего на одно и то же число d, называемое шаг прогрессии или разность прогрессии. Калькулятор арифметической прогрессии, используя следующие формулы, может найти первый член арифметической прогрессии , n-ный член прогрессии, найти сумму первых членов или разность.

Арифметическая прогрессия как последовательность, составленная из действительных чисел, связывает их между собой заданной закономерностью ряда. Как правило, числовой ряд начинается с того, что дан первый член арифметической прогрессии, как отправная точка. Далее каждый следующий член прогрессии получается путем прибавления к предыдущему одного и того же параметра, называемого разность арифметической прогрессии или шаг арифметической прогрессии. Если разность является положительным числом, то вся последовательность будет стремиться к плюс бесконечности, так как значения членов будут увеличиваться по мере возрастания их порядковых номеров.

Если разность арифметической прогрессии представлена отрицательным числом, каждый следующий член будет меньше предыдущего и вся последовательность будет стремиться к минус бесконечности. В некоторых случаях предел арифметической прогрессии будет конкретным числом. Это происходит, если шаг прогрессии (разность) равен нулю, тогда первый член арифметической прогрессии совпадает со всеми остальными.

Формулы арифметической прогрессии включают в себя следующие равенства:

• формула первого члена арифметической прогрессии;

• формула n-ного члена прогрессии;

• формула разности арифметической прогрессии;

• формула суммы первых членов арифметической прогрессии или суммы определенной выборки членов.

По всем формулам онлайн калькулятор рассчитывает необходимые значения, используя условия, по которым дана арифметическая прогрессия. Числа, выстроенные в симметричной последовательности, дают возможность вычислить любой член или сумму прогрессии, опираясь всего на два или три параметра в зависимости от уровня сложности задания.

Решение задач по математике онлайн

//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘

Калькулятор онлайн.
Решение арифметической прогрессии.
Дано: a₁, d, n
Найти: a_n и первых n членов.

Эта математическая программа находит \( a_n \) и первых \( n \) членов арифметической прогрессии, исходя из заданных пользователем чисел \( a_1, d \) и \( n \).
Числа \( a_1\) и \( d \) можно задать не только целые, но и дробные. Причём, дробное число можно ввести в виде десятичной дроби ( \( 2,5 \) ) и в виде обыкновенной дроби ( \( -5\frac<2> <7>\) ).

Программа не только даёт ответ задачи, но и отображает процесс нахождения решения.

Этот калькулятор онлайн может быть полезен учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Если вы не знакомы с правилами ввода чисел, рекомендуем с ними ознакомиться.

Числа \( a_1\) и \( d \) можно задать не только целые, но и дробные.
Число \( n\) может быть только целое положительное.

Правила ввода десятичных дробей.
Целая и дробная часть в десятичных дробях может разделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так 2.5 или так 2,5

Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.

Знаменатель не может быть отрицательным.

При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Ввод:
Результат: \( -\frac<2> <3>\)

Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод:
Результат: \( -1\frac<2> <3>\)

Введите числа a₁, d, n Найти a_n и первых n членов

Немного теории.

Числовая последовательность

В повседневной практике часто используется нумерация различных предметов, чтобы указать порядок их расположения. Например, дома на каждой улице нумеруются. В библиотеке нумеруются читательские абонементы и затем располагаются в порядке присвоенных номеров в специальных картотеках.

В сберегательном банке по номеру лицевого счёта вкладчика можно легко найти этот счёт и посмотреть, какой вклад на нём лежит. Пусть на счёте № 1 лежит вклад а1 рублей, на счёте № 2 лежит вклад а2 рублей и т. д. Получается числовая последовательность
a₁, a₂, a₃, . a_N
где N — число всех счетов. Здесь каждому натуральному числу n от 1 до N поставлено в соответствие число a_n.

В математике также изучаются бесконечные числовые последовательности:
a₁, a₂, a₃, . a_n, . .
Число a₁ называют первым членом последовательности, число a₂ — вторым членом последовательности, число a₃ — третьим членом последовательности и т. д.
Число a_n называют n-м (энным) членом последовательности, а натуральное число n — его номером.

Например, в последовательности квадратов натуральных чисел 1, 4, 9, 16, 25, . n 2 , (n + 1) 2 , . а₁ = 1 — первый член последовательности; а_n = n 2 является n-м членом последовательности; a_n+1= (n + 1) 2 является (n + 1)-м (эн плюс первым) членом последовательности. Часто последовательность можно задать формулой её n-го члена. Например, формулой \( a_n=\frac<1>, \; n \in \mathbb \) задана последовательность \( 1, \; \frac<1> <2>, \; \frac<1> <3>, \; \frac<1> <4>, \dots,\frac<1> , \dots \)

Арифметическая прогрессия

Продолжительность года приблизительно равна 365 суткам. Более точное значение равно \( 365\frac<1> <4>\) суток, поэтому каждые четыре года накапливается погрешность, равная одним суткам.

Для учёта этой погрешности к каждому четвёртому году добавляются сутки, и удлинённый год называют високосным.

Например, в третьем тысячелетии високосными годами являются годы 2004, 2008, 2012, 2016, . .

В этой последовательности каждый её член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом 4. Такие последовательности называют арифметическими прогрессиями.

Определение.
Числовая последовательность a₁, a₂, a₃, . a_n, . называется арифметической прогрессией, если для всех натуральных n выполняется равенство
\( a_ = a_n+d, \)
где d — некоторое число.

Из этой формулы следует, что a_n+1 — a_n = d. Число d называют разностью арифметической прогрессии.

По определению арифметической прогрессии имеем:
\( a_=a_n+d, \quad a_=a_n-d, \)
откуда
\( a_n= \frac +a_> <2>\), где \( n>1 \)

Таким образом, каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов. Этим объясняется название «арифметическая» прогрессия.

Отметим, что если a₁ и d заданы, то остальные члены арифметической прогрессии можно вычислить по рекуррентной формуле a_n+1 = a_n + d. Таким способом нетрудно вычислить несколько первых членов прогрессии, однако, например, для a₁₀₀ уже потребуется много вычислений. Обычно для этого используется формула n-го члена. По определению арифметической прогрессии
\( a_2=a_1+d, \)
\( a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\( a_4=a_3+d=a_1+3d \)
и т.д.
Вообще,
\( a_n=a_1+(n-1)d, \)
так как n-й член арифметической прогрессии получается из первого члена прибавлением (n-1) раз числа d.
Эту формулу называют формулой n-го члена арифметической прогрессии.

Сумма n первых членов арифметической прогрессии

Найдём сумму всех натуральных чисел от 1 до 100.
Запишем эту сумму двумя способами:
S = 1 + 2 + 3 + . + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + . + 2 + 1.
Сложим почленно эти равенства:
2S = 101 + 101 + 101 + . + 101 + 101.
В этой сумме 100 слагаемых
Следовательно, 2S = 101 * 100, откуда S = 101 * 50 = 5050.

Рассмотрим теперь произвольную арифметическую прогрессию
a₁, a₂, a₃, . a_n, .
Пусть S_n — сумма n первых членов этой прогрессии:
S_n = a₁, a₂, a₃, . a_n
Тогда сумма n первых членов арифметической прогрессии равна
$$ S_n = n \cdot \frac <2>$$

Так как \( a_n=a_1+(n-1)d \), то заменив в этой формуле a_n получим еще одну формулу для нахождения суммы n первых членов арифметической прогрессии:
$$ S_n = n \cdot \frac<2a_1+(n-1)d> <2>$$

Онлайн калькулятор. Сумма арифметической прогрессии.

Используя этот онлайн калькулятор для вычисления суммы арифметической прогрессии, вы сможете очень просто и быстро найти значение суммы арифметической прогрессии зная значения двух членов арифметической прогрессии, или значения одного члена прогрессии и шага прогрессии или значения первого и последнего члена арифметической прогрессии.

Воспользовавшись онлайн калькулятором для вычисления суммы арифметической прогрессии, вы получите детальное решение вашего примера, которое позволит понять алгоритм решения задач и закрепить пройденный материал.

Найти сумму арифметической прогрессии

Найти значение суммы первых n членов арифметической прогрессии

Ввод данных в калькулятор суммы арифметической прогрессии

В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Дополнительные возможности калькулятора суммы арифметической прогрессии

• Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши «вправо» и «влево» на клавиатуре.

Сумма арифметической прогрессии

Сумма первых n членов арифметической прогрессии S_n = a ₁ + a ₂ + . + a_n может быть найдена по формулам:

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.