Решение уравнений функции корень степени

Как решать
показательные уравнения?

Решение уравнений – навык, который необходим каждому нацеленному на успешную сдачу ЕГЭ и ОГЭ школьнику. Это поможет решить задания №5, 13 и 15 из профильного уровня математики.

Одна из их разновидностей – степенные уравнения, которые иногда также называют показательными. Основная отличительная особенность – наличие переменной \(х\) не в основании степени, а в самом показателе. Как это выглядит:

Не бойтесь – это самый общий вид показательных уравнений. Реальные примеры выглядят как-то так:

Внимательно посмотрите на приведенные уравнения. В каждом из них присутствует, так называемая, показательная (степенная) функция. При решении необходимо помнить об основных свойствах степени, а также использовать особые правила, помогающие вычислить значение \(х\). Познакомиться с понятием степени и ее свойствами можно тут и тут.

И вам понадобится умение решать обыкновенные линейные и квадратные уравнения, те, что вы проходили в 7-8 классе. Вот такие:

И так, любое уравнение, в котором вы увидите показательную (степенную) функцию, называется показательным уравнением. Кроме самой показательной функции в уравнении могут быть любые другие математические конструкции – тригонометрические функции, логарифмы, корни, дроби и т.д. Если вы видите степень, значит перед вам показательное уравнение.

Ура! Теперь знаем, как выглядят показательные уравнения, но толку от этого не очень много. Было бы неплохо научиться их решать. Отличная новость – на наш взгляд показательные уравнения одни из самых простых типов уравнений, по сравнению с логарифмическими, тригонометрическими или иррациональными.

Простейшие показательные уравнения

Давайте начнем с самых простых типов уравнений и разберем сразу несколько примеров:

Что такое решить уравнение? Это значит, что нужно найти такое число, которое при подстановке в исходное уравнение вместо \(х\) даст верное равенство. В нашем примере нужно найти такое число, в которое нужно возвести двойку, чтобы получить восемь. Ну это просто:

Значит, если \(х=3\), то мы получим верное равенство, а значит мы решили уравнение.

Решим что-нибудь посложнее.

Такое уравнение выглядит сложнее. Попробуем преобразовать правую часть уравнения:

Мы применили свойство отрицательной степени по формуле:

Теперь наше уравнение будет выглядеть так:

Заметим, что слева и справа у нас стоят показательные функции, и там, и там основания одинаковые и равны \(3\), только вот степени разные – слева степень \((4х-1)\), а справа \((-2)\). Логично предположить, что если степени у такой конструкции будут равны, при условии, что основания одинаковые, то мы получим верное равенство. Так и поступим:

Такое мы решать умеем, ведь это обыкновенное линейное уравнение.

Поздравляю, мы нашли корень нашего показательного уравнения.

Попробуем поступить так, как в предыдущем примере – преобразуем левую и правую часть, чтобы слева и справа была показательная функция с одинаковым основанием. Как это сделать? Обращаем внимание, что \(125=5*5*5=5^3\), а \(25=5*5=5^2\), подставим:

Воспользуемся одним из свойств степеней \((a^n)^m=a^\):

И опять мы получили две показательные функции, у которых одинаковые основания и для того, чтобы равенство выполнялось, необходимо приравнять из степени:

И еще один пример:

Те, кто хорошо знает свойства степеней, знают, что показательная функция не может быть отрицательной. Действительно, попробуйте возводить \(2\) в различную степень, вы никогда не сможете получить отрицательное число.

Внимание! Показательная функция не может быть отрицательной, поэтому, когда вы встречаете примеры на подобии примера 4, то знайте, что такого быть не может. Здесь корней нет, потому что показательная функция всегда положительна.

Теперь давайте разработаем общий метод решения показательных уравнений. И научимся решать более сложные примеры.

Общий метод решения показательных уравнений

Пусть у нас есть вот такой пример:

Где \(a,b\) какие-то положительные числа. (\(a>0, \; b>0\).

Согласно разобранным выше примерам, логично предположить, что для того, чтобы решить данное уравнение, нужно его преобразовать к виду, где слева и справа стоят показательные функции с одинаковым основанием. Так и поступим.

Слева у нас уже стоит \(a^x\), с этим ничего делать не будем, а вот справа у нас стоит загадочное число \(b\), которое нужно попытаться представить в виде \(b=a^m\). Тогда уравнение принимает вид:

Раз основания одинаковые, то мы можем просто приравнять степени:

Вот и весь алгоритм решения. Просто нужно преобразовать исходное уравнение таким образом, чтобы слева и справа стояли показательные функции с одинаковыми основаниями, тогда приравниваем степени и вуаля – сложное показательное уравнение решено. Осталось только разобраться, как так преобразовывать. Опять разберем на примерах:

Замечаем, что \(16=2*2*2*2=2^4\) это степень двойки:

Основания одинаковые, значит можно приравнять степени:

$$x=4.$$
Пример 6 $$5^<-x>=125 \Rightarrow 5^<-x>=5*5*5 \Rightarrow 5^<-x>=5^3 \Rightarrow –x=3 \Rightarrow x=-3.$$
Пример 7 $$9^<4x>=81 \Rightarrow (3*3)^<4x>=3*3*3*3 \Rightarrow(3^2)^<4x>=3^4 \Rightarrow 3^<8x>=3^4 \Rightarrow 8x=4 \Rightarrow x=\frac<1><2>.$$

Здесь мы заметили, что \(9=3^2\) и \(81=3^4\) являются степенями \(3\).

Все здорово, но проблема в том, что такая схема решения показательных уравнений работает не всегда. Что делать, если привести к одинаковому основанию не получается. Например:

\(3\) и \(2\) привести к одинаковому основанию затруднительно. Но тем не менее мы должны это сделать. Воспользуемся следующей схемой преобразований: пусть есть некоторое положительное число \(b>0\), тогда его можно представить в виде степени любого, нужного вам, положительного числа не равного единице \(a>0, \; a \neq 1\):

Эта очень важная формула, рекомендуем ее выучить. Вернемся к нашему примеру и по формуле представим \(2\) в виде \(3\) в какой-то степени, где \(a=3\), а \(b=2\):

Подставим данное преобразование в наш пример:

Получили равенство двух показательных функций с одинаковым основанием, значит можем приравнять их степени:

Так в ответ и запишем. Никакой ошибки здесь нет, дело в том, что такие логарифмы можно посчитать только на калькуляторе, поэтому на ЕГЭ или в контрольной работе вы просто оставляете ответ в таком виде.

Кто забыл, что такое логарифм, можно посмотреть здесь.

Рассмотрим еще несколько аналогичных примеров.

Те, кто хорошо знает свойства логарифмов, могут поиграться с последней формулой и получить ответ в разном виде:

Все эти варианты ответа верные, их можно смело писать в ответ.

И так, мы с вами научились решать любые показательные уравнения вот такого вида: \(a^x=b\), где \(a>0; \; b>0\).

Но это еще далеко не все. Часто вы будете встречать показательные уравнения гораздо более сложного типа. В ЕГЭ по профильной математике это номер 15 из 2й части. Но бояться тут не нужно, все на первый взгляд сложные уравнения при помощи обычно не самых сложных преобразований сводятся к уравнениям типа \(a^x=b\), где \(a>0; \; b>0\). Рассмотрим типы сложных уравнений, которые могут попасться:

Решение показательных уравнений при помощи замены

Самое первое, что вы должны всегда делать, это пытаться привести все имеющиеся показательные функции к одинаковому основанию.

Здесь это сделать легко, замечаем, что \(9=3^2\), тогда \(9^x=(3^2)^x=3^<2x>=(3^x)^2\). Здесь мы воспользовались свойством степеней: \((a^n)^m=a^\). Подставим:

Обратим внимание, что во всем уравнении все \(х\) «входят» в одинаковую функцию — \(3^x\). Сделаем замену \(t=3^x, \; t>0\), так как показательная функция всегда положительна.

Квадратное уравнение, которое решается через дискриминант:

Оба корня больше нуля, значит оба нам подходят. Сделаем обратную замену и уравнение сводится к решению двух простых показательных уравнений:

И второй корень:

И еще один пример на замену:

Воспользуемся нашим правилом, что все нужно приводить к одинаковому основанию – а стоп, тут и так у всех показательных функций основание \(3\). Давайте еще внимательно посмотрим на наш пример, очень похоже на то, что он тоже делается через замену. Но у нас тут нет одинаковых показательных функций, основания то одинаковые, а вот степени отличаются. Но если быть внимательным, то можно заметить, что в первой степени можно разбить свободный член \(3=2+1\) и вынести общий множитель \(2\):

Подставим в исходное уравнение:

Теперь показательные функции одинаковы и можно сделать замену:

Обратная замена, и наше уравнение сводится к простейшему:

И второе значение \(t\):

Тут у нас две показательные функции с основаниями \(7\) и \(3\), и как сделать из них одинаковые основания непонятно. Этот пример решается при помощи деления. Давайте поделим все наша уравнение на \(3^x\):

Здесь нам придется воспользоваться свойствами степеней:

Разберем каждое слагаемое:

Теперь подставим получившееся преобразования в исходное уравнение:

Теперь видно, что в нашем уравнении есть одинаковая функция, которую можно убрать в замену \(t=(\frac<7><3>)^x\):

Сделаем обратную замену:

И последний пример на замену:

Первым делом нужно сделать так, чтобы все показательные функции были с одинаковым основанием и в идеале с одинаковой степенью. Для этого нам понадобятся формулы для степеней:

Разберем каждое слагаемое нашего уравнения:

Все десятичные дроби всегда разумно представить в виде обыкновенных дробей. И будьте внимательны — отрицательная степень не имеет никакого отношения к знаку показательной функции!

И последнее слагаемое со степенью:

Подставим все наши преобразования в исходное уравнение:

Теперь можно сделать замену \(t=2^x\) или можно обойтись без замены, просто приведя подобные слагаемые (вынести общий множитель \(2^x\)):

Особенно стоит подчеркнуть прием, который мы использовали при решении 13-го примера. Всегда старайтесь избавляться от десятичных дробей. Переводите их в обыкновенные дроби.

И другой тип степенных уравнений, где обычно не нужно делать замену, а необходимо отлично знать все свойства степеней, некоторые из них мы уже обсудили выше. Все про свойства степеней можно посмотреть тут

Вот такое уравнение, в котором у нас, во-первых, показательных функции перемножаются, а еще хуже то, что у них у всех разные основания. Катастрофа, а не пример. Но ничего, все не так страшно, как кажется. Внимательно посмотрите на основания: у нас есть в основании \(2\), \(5\) и \(10\). Очевидно, что \(10=2*5\). Воспользуемся этим и подставим в наше уравнение:

Воспользуемся формулой \((a*b)^n=a^n*b^n\):

И перекинем все показательные функции с основанием \(2\) влево, а с основанием \(5\) вправо:

Сокращаем и воспользуемся формулами \(a^n*a^m=a^\) и \(\frac=a^\):

Самая главная идея при решении показательных уравнений – это любыми доступными способами свести все имеющиеся степенные функции к одинаковому основанию. А еще лучше и к одинаковой степени. Вот почему необходимо знать все свойства степеней, без этого решить уравнения будет проблематично.

Как же понять, где какие преобразования использовать? Не бойтесь, это придет с опытом, чем больше примеров решите, тем увереннее будете себя чувствовать на контрольных в школе или на ЕГЭ по профильной математике. Сначала потренируйтесь на простых примерах и постепенно повышайте уровень сложности. Успехов в изучении математики!

Степенная функция и корни — определение, свойства и формулы

Определение

Для натуральных значений показателя , степенная функция есть произведение n чисел, равных x :
.
Она определена для всех действительных .

Для положительных рациональных значений показателя , степенная функция есть произведение n корней степени m из числа x :
.
Для нечетных m , она определена для всех действительных x . Для четных m , степенная функция определена для неотрицательных .

Для отрицательных , степенная функция определяется по формуле:
.
Поэтому она не определена в точке .

Для иррациональных значений показателя p , степенная функция определяется по формуле:
,
где a – произвольное положительное число, не равное единице: .
При , она определена для .
При , степенная функция определена для .

Непрерывность. Степенная функция непрерывна на своей области определения.

Свойства и формулы степенной функции при x ≥ 0

Здесь мы рассмотрим свойства степенной функции при неотрицательных значениях аргумента x . Как указано выше, при некоторых значениях показателя p , степенная функция определена и для отрицательных значений x . В этом случае, ее свойства можно получить из свойств при , используя четность или нечетность. Эти случаи подробно рассмотрены и проиллюстрированы на странице «Степенная функция, ее свойства и графики».

Корни – определение, формулы, свойства

Также можно сказать, что корень из числа x степени n – это корень (то есть решение) уравнения
.
Заметим, что функция является обратной к функции .

Квадратный корень из числа x – это корень степени 2: .
Кубический корень из числа x – это корень степени 3: .

Четная степень

Для четных степеней n = 2 m , корень определен при x ≥ 0 . Часто используется формула, справедливая как для положительных, так и для отрицательных x :
.
Для квадратного корня:
.

Здесь важен порядок, в котором выполняются операции – то есть сначала производится возведение в квадрат, в результате чего получается неотрицательное число, а затем из него извлекается корень (из неотрицательного числа можно извлекать квадратный корень). Если бы мы изменили порядок: , то при отрицательных x корень был бы не определен, а вместе с ним не определено и все выражение.

Нечетная степень

Для нечетных степеней , корень определен для всех x :
;
.

Свойства и формулы корней

Корень из x является степенной функцией:
.
При x ≥ 0 имеют место следующие формулы:
;
;
, ;
.

Эти формулы также могут быть применимы и при отрицательных значениях переменных . Нужно только следить за тем, чтобы подкоренное выражение четных степеней не было отрицательным.

Частные значения

Корень 0 равен 0: .
Корень 1 равен 1: .
Квадратный корень 0 равен 0: .
Квадратный корень 1 равен 1: .

Пример. Корень из корней

Рассмотрим пример квадратного корня из корней:
.
Преобразуем внутренний квадратный корень, применяя приведенные выше формулы:
.
Теперь преобразуем исходный корень:
.
Итак,
.

Графики степенной функции

Графики степенной функции y = x p при различных значениях показателя p .

Здесь приводятся графики функции при неотрицательных значениях аргумента x . Графики степенной функции, определенной при отрицательных значениях x , приводятся на странице «Степенная функция, ее свойства и графики»

Обратная функция

Обратной для степенной функции с показателем p является степенная функция с показателем 1/p .

Если 0)» style=»width:122px;height:20px;vertical-align:-11px;background-position:-592px -466px»> , то .

Производная степенной функции

Интеграл от степенной функции

Разложение в степенной ряд

При – 1 1 имеет место следующее разложение:

Выражения через комплексные числа

Рассмотрим функцию комплексного переменного z :
f ( z ) = z t .
Выразим комплексную переменную z через модуль r и аргумент φ ( r = |z| ):
z = r e i φ .
Комплексное число t представим в виде действительной и мнимой частей:
t = p + i q .
Имеем:

Далее учтем, что аргумент φ определен не однозначно:
,

Рассмотрим случай, когда q = 0 , то есть показатель степени — действительное число, t = p . Тогда
.

Если p — целое, то и kp — целое. Тогда, в силу периодичности тригонометрических функций:
.
То есть показательная функция при целом показателе степени, для заданного z , имеет только одно значение и поэтому является однозначной.

Если p — иррациональное, то произведения kp ни при каком k не дают целого числа. Поскольку k пробегает бесконечный ряд значений k = 0, ±1, ±2, ±3, . , то функция z p имеет бесконечно много значений. Всякий раз, когда аргумент z получает приращение 2 π (один оборот), мы переходим на новую ветвь функции.

Если p — рациональное, то его можно представить в виде:
, где m, n — целые, не содержащие общих делителей. Тогда
.
Первые n величин, при k = k ₀ = 0, 1, 2, . n-1 , дают n различных значений kp :
.
Однако последующие величины дают значения, отличающиеся от предыдущих на целое число. Например, при k = k ₀ + n имеем:
.
Тригонометрические функции, аргументы которых различаются на величины, кратные 2 π , имеют равные значения. Поэтому при дальнейшем увеличении k мы получаем те же значения z p , что и для k = k ₀ = 0, 1, 2, . n-1 .

Таким образом, показательная функция с рациональным показателем степени является многозначной и имеет n значений (ветвей). Всякий раз, когда аргумент z получает приращение 2 π (один оборот), мы переходим на новую ветвь функции. Через n таких оборотов мы возвращаемся на первую ветвь, с которой начинался отсчет.

В частности, корень степени n имеет n значений. В качестве примера рассмотрим корень n – й степени действительного положительного числа z = x . В этом случае φ ₀ = 0 , z = r = |z| = x , .
.
Так, для квадратного корня, n = 2 ,
.
Для четных k, ( – 1 ) k = 1 . Для нечетных k, ( – 1 ) k = – 1 .
То есть квадратный корень имеет два значения: + и – .

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 01-08-2014 Изменено: 12-12-2018

Иррациональные уравнения с кубическими радикалами

Разделы: Математика

Тема: «Иррациональные уравнения вида , .»

(Методическая разработка.)

Основные понятия

Иррациональными уравнениями называются уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня (радикала) или знаком возведения в дробную степень.

Уравнение вида f(x)=g(x), где хотя бы одно из выражений f(x) или g(x) иррационально является иррациональным уравнением.

Основные свойства радикалов:

• Все радикалы четной степени являются арифметическими, т.е. если подкоренное выражение отрицательно, то радикал не имеет смысла (не существует); если подкоренное выражение равно нулю, то радикал тоже равен нулю; если подкоренное выражение положительно, то значение радикала существует и положительно.
• Все радикалы нечетной степени определены при любом значении подкоренного выражения. При этом радикал отрицателен, если подкоренное выражение отрицательно; равен нулю, если подкоренное выражение равно нулю; положителен, если покоренное выражение положительно.

Методы решения иррациональных уравнений

Решить иррациональное уравнение – значит найти все действительные значения переменной, при подстановке которых в исходное уравнение оно обращается в верное числовое равенство, либо доказать, что таких значений не существует. Иррациональные уравнения решаются на множестве действительных чисел R.

Областью допустимых значений уравнения состоит из тех значений переменной, при которых неотрицательны все выражения, стоящие под знаком радикалов четной степени.

Основными методами решения иррациональных уравнений являются:

а) метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень;

б) метод введения новых переменных (метод замен);

в) искусственные приемы решения иррациональных уравнений.

В данной статье остановимся на рассмотрении уравнений определённого выше вида и приведём 6 методов решения таких уравнений.

1 метод. Возведение в куб.

Этот способ требует применения формул сокращённого умножения и не содержит «подводных» камней, т.е. не приводит к появлению посторонних корней.

Пример 1. Решить уравнение

Перепишем уравнение в виде и возведём в куб обе его части. Получим уравнение равносильное данному уравнению ,

,

,

Пример 2. Решить уравнение .

Перепишем уравнение в виде и возведём в куб обе его части. Получим уравнение равносильное данному уравнению

,

,

,

и рассмотрим полученное уравнение как квадратное относительно одного из корней

,

,

следовательно, дискриминант равен 0,а уравнение может иметь решение х=-2.

Проверка:

Замечание: Проверка может быть опущена, в том случае, если дорешивается квадратное уравнение.

2 метод. Возведение в куб по формуле.

По-прежнему будем возводить уравнение в куб, но при этом пользоваться модифицированными формулами сокращенного умножения.

,

(незначительная модификация известной формулы), тогда

Пример3. Решить уравнение .

Возведём уравнение в куб с использованием формул, приведённых выше.

,

Но выражение должно быть равно правой части. Поэтому имеем:

, откуда

.

Теперь при возведении в куб получаем обычное квадратное уравнение:

, и два его корня

,

Оба значения, как показывает проверка, правильные.

Но все ли преобразования здесь равносильны? Прежде чем ответить на этот вопрос, решим ещё одно уравнение.

Пример4. Решить уравнение .

Возводя, как и ранее, обе части в третью степень, имеем:

.

Откуда (учитывая, что выражение в скобках равно ), получаем:

, значит

. Получаем, .Сделаем проверку и убедимся х=0 –посторонний корень.

Ответ: .

Ответим на вопрос: «Почему возникли посторонние корни?»

Равенство влечёт равенство . Заменим с на –с, получим:

и .

Нетрудно проверить тождество

,

Итак, если , то либо , либо . Уравнение можно представить в виде , .

Заменяя с на –с, получаем: если , то либо , либо

Поэтому при использовании этого метода решения обязательно нужно сделать проверку и убедиться что посторонних корней нет.

3 метод. Метод системы.

Пример 5. Решить уравнение .

Введём замену, составим и решим систему уравнений.

Пусть , . Тогда:

откуда очевидно, что

Второе уравнение системы получается таким образом, чтобы линейная комбинация подкоренных выражений не зависела от исходной переменной.

Легко убедиться , что система не имеет решения, следовательно и исходное уравнение не имеет решения.

Ответ: Корней нет.

Пример 6. Решить уравнение .

Введём замену, составим и решим систему уравнений.

Пусть , . Тогда

или

Возвращаясь к исходной переменной имеем:

х=0.

4 метод. Использование монотонности функций.

Прежде чем использовать данный метод обратимся к теории.

Нам понадобятся следующие свойства:

• Если функции y=f(x) и y=g(x) возрастают (убывают) на некотором множестве, то функция y=f(x)+g(x) также возрастает (убывает ) на этом множестве.
• Если функции y=f(x) и y=g(x) возрастают (убывают) на некотором множестве, при чем обе они принимают неотрицательные значения при всех допустимых х, то функция y=f(x)g(x) возрастает (убывает) на данном множестве.
• Если функция y=f(x) монотонная, то уравнение f(x)=a имеет не более одного решения.
• Если функции y=f(x) и y=g(x) имеют разный характер монотонности, то уравнение f(x)=g(x) имеет не более одного решения.
• Функция вида возрастает при к>0 и убывает при к 30.05.2009