Решение уравнений функционально графическим методом презентация

Разработка урока «Функционально-графические методы решения комбинированных уравнений » 11 класс
презентация к уроку по алгебре (11 класс) по теме

Материал содержит разработку урока по теме «Функционально-графические методы решения комбинированных уравнений » для 11 класса по учебнику А.Г.Мордковича

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Урок в 11 классе «Функционально-графические методы решения комбинированных уравнений » Тип урока- урок комплексного применения знаний и способов действий. Оборудование — проектор, экран, презентация для сопровождения урока. Учебно-методическое обеспечение — Алгебра и начала анализа 11 класс. В 2 ч. Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень)/А.Г.Мордкович, П.В. Семенов.-4-е изд., доп.- М.:Мнемозина,2007. Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть – и в последствии подтвердить это, — что, следуя этому методу, мы достигнем цели . Г. Лейбниц Лапкина О.А. МБОУ СОШ №22 г.Нижний Новгород

Цели урока: Образовательные — обобщить и закрепить навыки применения свойств функций при решении уравнений, систематизировать знания учащихся по теме «Уравнения», создать содержательные и организационные условия для применения учащимися комплекса знаний и способов действий при решении нестандартных уравнений. Развивающие — развивать логическое мышление, навыки исследовательской деятельности ( планирование своей работы, выдвижение гипотез, анализ и обобщение полученных результатов), интерес и инициативу учащихся, повышать их математическую культуру; в процессе повторения ученики должны перейти от одного уровня математической деятельности к следующему, более высокому, сделав для себя открытия в этой теме. Воспитательные — развивать у учащихся трудолюбие, упорство в достижении поставленной цели, способствовать развитию творческой деятельности учащихся, потребности к самообразованию, помогать учащимся осуществлять самооценку своего труда.

Ход урока № Структурные элементы Время Деятельность учащихся 1 Организационный момент. 1 мин. Обсуждение 2 Проверка опорных моментов домашнего задания и постановка проблемы: -акцентирование теории по теме, -применение теории на практике, -выдвигаемая гипотеза. 3 мин 5 мин. 1 мин. Отвечают устно, проводят обсуждение ответов, самооценка. Выдвигают свои идеи по дальнейшему ходу действий 3 Первичный анализ наблюдений. 5 мин. Предлагают способы решения уравнения, анализируют ход решения и методы решения. 4 Исследование новых видов уравнений. Проверка усвоения изученных методов(самостоятельная работа) 12мин. 15мин. Учащиеся работают самостоятельно, при необходимости получают консультацию учителя, проверяя свои действия с помощью слайдов. Результаты проверочной работы выводятся на экран. Самооценка. 5 Подведение итогов. 2мин. Заполняют таблицы, подводят итог урока. 6 Домашнее задание. 1 мин. Записывают домашнее задание.

y x 1 -1 Найдите множество значений функции Ответ: Е(у): [ -2,5 ; 0, 5 ] . у= sin x у=1,5 sin x — 1 у= 1,5 sin x — 1 0

Метод оценки Найдите наибольшее целое значение функции Ответ: у=3.

Общие методы решения уравнений Функционально-графические По графику По свойствам Переход к равносильным уравнениям Метод разложения на множители Метод введения новой переменной Аналитические

Построение графиков функций левой и правой частей уравнения (решением являются абсциссы точек (точки) пересечения графиков) Функционально – графические методы Использование свойств функций левой и правой частей уравнения (монотонность, четность, нечетность) Использование ограниченности функций левой и правой частей уравнения (метод оценки)

y x x= 0 О 1 Графический способ решения уравнений

Оценка левой и правой частей уравнения log 2 (2x-x²+15) = x²-2x+5 1)2x-x²+15= -((x²-2x+1)-1- 1 5) = -(x-1)²+16 ≤ 16 Если 0 Мне нравится

Функционально- графические методы решения уравнений. — презентация

Презентация была опубликована 8 лет назад пользователемДемид Вырошников

Похожие презентации

Презентация на тему: » Функционально- графические методы решения уравнений.» — Транскрипт:

1 Функционально- графические методы решения уравнений

2 Аналитические методы решения уравнений Переход от уравнения вида h(f(x)) = h(g(x)) к уравнению f(x) = g(x), при условии монотонности функции h Метод разложения на множители, переход от уравнения h(х)f(x)g(x) = 0 к совокупности уравнений h(х) = 0; f(x) = 0; g(x) = 0 (проверка корней в ОДЗ) Метод введения новой переменной

3 x 3 – 5 + х = 0 g(x) = 5 — х f(x) = х 3 х 1,5 х 1,5 Решением является абсцисса точки пересечения графиков левой и правой частей уравнения х 3 = 5 — х

4 1) Решить уравнение = | x – 2 | 1 шаг: построить графики функций у = и у = | x – 2 | 2 шаг: найти абсциссы точек (или точки) пересечения графиков Ответ: x 1 = 1, х 2 = 4

5 1705 (а) 1705 (а) Ответ: одно решение Ответ: одно решение

6 1705 (г) 1705 (г) 1 Ответ: 7 решений Ответ: 7 решений

7 1 0 х у x = cos x y = x y = cos x x cos x 1 x = 0 y = 1 x = 1 cos x = 1

8 Графические методы решения уравнений Графические методы решения уравнений Построение графиков функций левой и правой частей уравнения (решением является абсциссы точек (точки) пересечения графиков) Построение графиков функций левой и правой частей уравнения (решением является абсциссы точек (точки) пересечения графиков) Функционально – графические методы Использование свойств функций левой и правой частей уравнения (монотонность, четность, нечетность) Использование свойств функций левой и правой частей уравнения (монотонность, четность, нечетность) Использование ограниченности функций левой и правой частей уравнения (метод оценки)

9 Общие методы решения уравнений уравнений АналитическиеФункционально-графические По графику По свойствам

10 Домашнее задание § , 1702, 1703 Итоги урока Каким вопросам был посвящен наш сегодняшний урок? Что научились делать? Какие новые методы решения уравнений рассмотрели? Какие этапы урока вам понравились больше всего? Что оказалось трудным для восприятия и понимания? Как вы думаете, много ли времени вам потребуется для подготовки домашнего задания? Определите свое состояние и настроение в цветовой гамме: красный – тревожно, не уверен в себе, синий – спокойно, у меня все получится, коричневый – безразлично, что будет, то и будет

11 Используемая литература 1. Алгебра и начала анализа кл.: В 2 частях. Ч.2: Учебник для общеобразоват. учреждений / А.Г. Мордкович и др. – М.: Мнемозина, Алгебра и начала анализа кл.: В 2 частях. Ч.2: Задачник для общеобразоват. учреждений / А.Г. Мордкович и др. – М.: Мнемозина, Александрова Л.А. Алгебра и начала анализа. 11 кл.: Самостоятельные работы: Учебное пособие для общеобразоват. Учреждений / – М.: Мнемозина, 2005.

Презентация к проектной работе по математике: «Функционально-графические методы при решении уравнений» (11 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Выполнила : учащаяся XI информационно-математического класса МОУ Богучарский лицей Шведова Мария Александровна Руководитель: Кобелева Татьяна Васильевна учитель математики ВКК МОУ Богучарский лицей Функционально — графические методы при решении уравнений ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ XXVI НАУЧНО – ПРАКТИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ УЧАЩИХСЯ СЕКЦИЯ «МАТЕМАТИКА» Воронеж 2011 г.

Использование монотонности и четности функции Использование ограниченности функции. Графический метод Нахождение области определения и области значения. Функциональные методы

Порядок решения уравнения функциональным методом: Определение свойств функции Нахождение ОДЗ или промежутков монотонности функции (в зависимости от свойства функции). Нахождение корня подбором, решение системы уравнений

Если в уравнении f(x)=g(x) f(x) – убывающая, а g(x) – возрастающая, то уравнение имеет не более 1 корня Теорема №1 Пример 1. 2X = 3 – x x= 1 является корнем уравнения, т.к. 21=3 – 1 2 = 2 – верное равенство А т.к. у = 2X – возрастающая, а у = 3 – х – убывающая, то уравнение корней более не имеет. Ответ: х=1 Пример 2. log1/3 x= x – 4 x = 3 – является корнем уравнения, т.к. log1/3 3 = 3 – 4 -1 = — 1 – верное равенство А т.к. у = log1/3 x – убывающая, а у = х – 4 – возрастающая, то уравнение корней более не имеет. Ответ: х = 3

Пример3. Решить уравнение х²+1 = 2-Х² х²+1 = 2-Х² х=0 является корнем уравнения, т.к. 0+1=20 1=1 – верное равенство А т.к. у= х²+1- возрастающая, а у=2-Х² — убывающая, то уравнение больше не имеет корней. Ответ: х=0.

Если в уравнении f(x) = c f(x) – монотонна, а с = const, то уравнение имеет не более одного корня. Теорема №2 Пример 1.

Пример 2. 2x + 3x + 4x = 9x 2x + 3x = 9x — 4x 2x + 3x = (2x + 3x)(2x — 3x ) (2x + 3x) — (2x + 3x)(2x — 3x) = 0 (2x + 3x )(1 – (2x + 3x)) = 0 2x + 3x = 0 или 1 – (2x + 3x)=0 Т.к. ax > 0, то уравнение 1 — 2x — 3x =0 корней не имеет. 2x + 1 = 3x | : 3x ≠0 (2/3)x + (1/3)x = 1 x = 1 является корнем уравнения. А т.к. y = (2/3)x – убывающая, у = (1/3)x – убывающая, следовательно у = (2/3)x + (1/3)x –убывающая и 1 = const, то уравнение не имеет больше корней. Ответ: х = 1

Если на множестве φ наибольшее значение одной из функций y=f(x), y=g(x) равно φ и наименьшее значение другой функции тоже равно φ, то уравнение f(x)=g(x) равносильно на множестве φ системе уравнений: g(x)=φ f(x) =φ Теорема №3 (Метод Мажорант) Пример 1. x2+3 = cosx + 2 x2 +1 = cosx y=x2 + 1 : E(f) х2≥0 x2 + 1=1 х2+1≥1 cosx=1 x=0 y = cosx : E(f) -1≤cosx≤1 Ответ: x=0

Пример 2. Решить уравнение log3(x2 + 4x +13) = cosπx – sin Решение. Найдем области значений данных функций log3(x2 + 4x +13) ≥2, т.к. x2 + 4x +13≥9, т.к. log39=2 cosπx – sin≤2, т.к. cosπx≤1 и – sin≤1 Т.к. первая функция больше или равна двух, а вторая меньше или равна двух, то данное уравнение равносильно системе уравнений log3(x2 + 4x +13) =2 cosπx – sin≤2 Первое уравнение имеет только один корень х=-2, подставляя это значение во второе уравнение, получаем верное числовое равенство. Следовательно, корнем уравнения является -2. Ответ: х=-2

Пример3. Решить уравнение sin5π=x2 – 4x + 5 4 1

Четность функции Пример1.

При решении уравнений иногда очень полезно применять свойства функции, учитывая сформулированные теоремы.

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!

Краткое описание документа:

Работа была представлена на XXVI конференции НОУ ВГУ

в секции: «Математика»

Цель данной работы – показать возможность применения свойств функций при решении уравнений и показать рациональность применения этих методов по сравнению с другими.

Функциональный метод, как правило, используется для уравнений, содержащих разные функции. Но не всякое уравнение вида f(x)=g(x) в результате преобразований может быть приведено к уравнению того или иного стандартного вида, для которого подходят обычные методы решения. В таких случаях имеет смысл использовать такие свойства функций f(x) и g(x) как монотонность, ограниченность, четность, периодичность и др.

Ф ункционально – графические методы основаны на:

– — использовании монотонности и четности функции;

– — использовании ограниченности функции;

– — построении и «чтении» графиков функции ;

– — нахождении области определения и области значения функции.

Обычно функционально- графические методы применяют, когда в обеих частях уравнения стоят функции разного вида, когда в одной части уравнения стоит функция, ограниченная сверху или снизу, а в другой – конкретное число и когда в одной части уравнения функция, ограниченная сверху, а в другой – ограниченная снизу.

Порядок решения уравнения функциональным методом:

– определение свойств функции

– нахождение ОДЗ или промежутков монотонности функции (в зависимости от свойства функции).

– нахождение корня подбором, решение системы уравнений.