Решение уравнений g i решает

Иррациональные уравнения с кубическими радикалами

Разделы: Математика

Тема: «Иррациональные уравнения вида , .»

(Методическая разработка.)

Основные понятия

Иррациональными уравнениями называются уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня (радикала) или знаком возведения в дробную степень.

Уравнение вида f(x)=g(x), где хотя бы одно из выражений f(x) или g(x) иррационально является иррациональным уравнением.

Основные свойства радикалов:

• Все радикалы четной степени являются арифметическими, т.е. если подкоренное выражение отрицательно, то радикал не имеет смысла (не существует); если подкоренное выражение равно нулю, то радикал тоже равен нулю; если подкоренное выражение положительно, то значение радикала существует и положительно.
• Все радикалы нечетной степени определены при любом значении подкоренного выражения. При этом радикал отрицателен, если подкоренное выражение отрицательно; равен нулю, если подкоренное выражение равно нулю; положителен, если покоренное выражение положительно.

Методы решения иррациональных уравнений

Решить иррациональное уравнение – значит найти все действительные значения переменной, при подстановке которых в исходное уравнение оно обращается в верное числовое равенство, либо доказать, что таких значений не существует. Иррациональные уравнения решаются на множестве действительных чисел R.

Областью допустимых значений уравнения состоит из тех значений переменной, при которых неотрицательны все выражения, стоящие под знаком радикалов четной степени.

Основными методами решения иррациональных уравнений являются:

а) метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень;

б) метод введения новых переменных (метод замен);

в) искусственные приемы решения иррациональных уравнений.

В данной статье остановимся на рассмотрении уравнений определённого выше вида и приведём 6 методов решения таких уравнений.

1 метод. Возведение в куб.

Этот способ требует применения формул сокращённого умножения и не содержит «подводных» камней, т.е. не приводит к появлению посторонних корней.

Пример 1. Решить уравнение

Перепишем уравнение в виде и возведём в куб обе его части. Получим уравнение равносильное данному уравнению ,

,

,

Пример 2. Решить уравнение .

Перепишем уравнение в виде и возведём в куб обе его части. Получим уравнение равносильное данному уравнению

,

,

,

и рассмотрим полученное уравнение как квадратное относительно одного из корней

,

,

следовательно, дискриминант равен 0,а уравнение может иметь решение х=-2.

Проверка:

Замечание: Проверка может быть опущена, в том случае, если дорешивается квадратное уравнение.

2 метод. Возведение в куб по формуле.

По-прежнему будем возводить уравнение в куб, но при этом пользоваться модифицированными формулами сокращенного умножения.

,

(незначительная модификация известной формулы), тогда

Пример3. Решить уравнение .

Возведём уравнение в куб с использованием формул, приведённых выше.

,

Но выражение должно быть равно правой части. Поэтому имеем:

, откуда

.

Теперь при возведении в куб получаем обычное квадратное уравнение:

, и два его корня

,

Оба значения, как показывает проверка, правильные.

Но все ли преобразования здесь равносильны? Прежде чем ответить на этот вопрос, решим ещё одно уравнение.

Пример4. Решить уравнение .

Возводя, как и ранее, обе части в третью степень, имеем:

.

Откуда (учитывая, что выражение в скобках равно ), получаем:

, значит

. Получаем, .Сделаем проверку и убедимся х=0 –посторонний корень.

Ответ: .

Ответим на вопрос: «Почему возникли посторонние корни?»

Равенство влечёт равенство . Заменим с на –с, получим:

и .

Нетрудно проверить тождество

,

Итак, если , то либо , либо . Уравнение можно представить в виде , .

Заменяя с на –с, получаем: если , то либо , либо

Поэтому при использовании этого метода решения обязательно нужно сделать проверку и убедиться что посторонних корней нет.

3 метод. Метод системы.

Пример 5. Решить уравнение .

Введём замену, составим и решим систему уравнений.

Пусть , . Тогда:

откуда очевидно, что

Второе уравнение системы получается таким образом, чтобы линейная комбинация подкоренных выражений не зависела от исходной переменной.

Легко убедиться , что система не имеет решения, следовательно и исходное уравнение не имеет решения.

Ответ: Корней нет.

Пример 6. Решить уравнение .

Введём замену, составим и решим систему уравнений.

Пусть , . Тогда

или

Возвращаясь к исходной переменной имеем:

х=0.

4 метод. Использование монотонности функций.

Прежде чем использовать данный метод обратимся к теории.

Нам понадобятся следующие свойства:

• Если функции y=f(x) и y=g(x) возрастают (убывают) на некотором множестве, то функция y=f(x)+g(x) также возрастает (убывает ) на этом множестве.
• Если функции y=f(x) и y=g(x) возрастают (убывают) на некотором множестве, при чем обе они принимают неотрицательные значения при всех допустимых х, то функция y=f(x)g(x) возрастает (убывает) на данном множестве.
• Если функция y=f(x) монотонная, то уравнение f(x)=a имеет не более одного решения.
• Если функции y=f(x) и y=g(x) имеют разный характер монотонности, то уравнение f(x)=g(x) имеет не более одного решения.
• Функция вида возрастает при к>0 и убывает при к 30.05.2009

Использование возрастания и убывания при решении уравнений

Одно из направлений функционально-графического метода решения уравнений связано с использованием возрастания и убывания функций, отвечающих частям уравнения. В этой статье мы подробно разберем соответствующий метод решения уравнений. Сначала скажем, для решения каких уравнений он предназначен, в чем он состоит, на чем базируется, и приведем его обоснование. Далее запишем алгоритм метода и дадим рекомендации к проведению его шагов. Наконец, рассмотрим решения характерных примеров.

Какие уравнения решаются через возрастание/убывание?

Для начала следует разобраться, какие уравнения могут быть решены посредством использования возрастания/убывания функций, отвечающих частям уравнения.

Во-первых, это уравнения f(x)=C , где f(x) – некоторое выражение с переменной x , а C – некоторое число, причем эти уравнения должны удовлетворять следующим критериям:

• Не видно альтернативных более простых методов решения уравнения.
• ОДЗ для уравнения есть некоторый числовой промежуток (позже в этом пункте мы скажем и про уравнения, ОДЗ для которых есть не отдельный числовой промежуток, а объединение нескольких промежутков).
• Есть возможность определить корень уравнения каким-либо способом, часто путем подбора.
• Есть возможность доказать возрастание или убывание функции f .

В качестве примера приведем уравнение . Это уравнение вида f(x)=C , где , C=4 . Сразу видно, что для решения этого уравнения может подойти разве что функционально-графический метод, так как переменная находится под знаками «разнородных» функций: функции извлечения корня и функции арктангенс. Причем строить график функции, отвечающей левой части уравнения, довольно сложно. Более простых привычных способов решения не видно. ОДЗ для этого уравнения определяется условием , откуда находим, что ОДЗ есть числовой промежуток . Учитывая рекомендации по определению корней уравнения, которые мы дадим в одном из следующих пунктов текущей статьи, несложно подобрать корень уравнения, им является число 1 . Рекомендации по обоснованию возрастания/убывания, которые мы также дадим чуть позже, позволяют показать возрастание функции, отвечающей левой части уравнения. То есть, выполняются все критерии, которым должно удовлетворять уравнение для его решения посредством использования возрастания/убывания.

Во-вторых, через возрастание/убывание решаются уравнения f(x)=g(x) , где f(x) и g(x) – это некоторые выражения с переменной x , удовлетворяющие следующим критериям:

• Не видно других более простых методов решения.
• ОДЗ для уравнения есть отдельный числовой промежуток (про уравнения, ОДЗ для которых есть объединение нескольких числовых промежутков, скажем чуть позже).
• Есть возможность определить корень уравнения.
• Есть возможность доказать возрастание одной из функций f или g и убывание другой.

Поясним на примере. Для этого подойдет уравнение . Это уравнение вида f(x)=g(x) , где и . Здесь переменная есть в показателе степени и под знаком натурального логарифма. Это сразу существенно ограничивает набор методов, подходящих для его решения, оставляя только функционально-графический или какие-либо специфические методы. Графики здесь мало что дают в плане нахождения корней. Остается опираться лишь на свойства функций. При этом легко определить область допустимых значений переменной x для уравнения, она представляет собой числовой промежуток . Также легко подбирается корень уравнения, им является число 3 , и легко обосновывается убывание функции, отвечающей левой части уравнения, и возрастание функции, отвечающей правой части уравнения. Значит, это уравнение может быть решено посредством использования возрастания/убывания.

Теперь про уравнения f(x)=C и f(x)=g(x) , ОДЗ для которых есть объединение нескольких числовых промежутков. Если они на отдельно взятом промежутке области допустимых значений удовлетворяют записанным выше критериям, то на этом промежутке можно получить их решение посредством использования возрастания/убывания. Если это сделать на каждом промежутке области допустимых значений, то будет получено решение уравнения в целом.

И вновь обратимся к конкретному примеру. Рассмотрим уравнение . Для него не просматривается простое решения привычными методами, отличными от направления функционально-графического метода, подразумевающего использование возрастания/убывания. ОДЗ для этого уравнения представляет собой не отдельно взятый числовой промежуток, а объединение двух числовых промежутков (−∞, 0) и (0, +∞) . На каждом из этих промежутков несложно подобрать корни уравнения. Корнем на первом промежутке является число −8 , а на втором – число 27 . Также на каждом промежутке легко обосновать убывание функции, отвечающей левой части уравнения, и возрастание функции, отвечающей правой части уравнения. Значит, это уравнение может быть решено через возрастание/убывание.

То есть, решение уравнений f(x)=C и f(x)=g(x) , ОДЗ для которых есть объединение нескольких числовых промежутков, сводится к решению этих уравнений на отдельно взятых промежутках. По этой причине метод решения можно постигать на уравнениях f(x)=C и f(x)=g(x) , ОДЗ для которых представляет отдельный числовой промежуток.

В чем состоит метод и на чем он базируется

Метод состоит в нахождении корней решаемого уравнения любым доступным способом, часто подбором, и использовании возрастания/убывания для доказательства того, что других корней нет.

В основе метода лежат два следующих утверждения:

Если функция y=f(x) определена и возрастает или убывает на некотором промежутке X , и уравнение f(x)=C , где C – некоторое число, имеет корень на X , то этот корень единственный на X .

Если функции y=f(x) и y=g(x) определены на некотором промежутке X , причем одна из них убывает на этом промежутке, а другая – возрастает, и если уравнение f(x)=g(x) имеет на X корень, то этот корень единственный на X .

Обоснование метода

Начнем с доказательства первого утверждения.

Пусть функция y=f(x) определена и возрастает или убывает на промежутке X , и пусть x₀ – корень уравнения f(x)=C , где C – некоторое число, причем x₀∈X . Докажем, что x₀ – единственный корень уравнения f(x)=C на промежутке X .

Предположим, что уравнение имеет еще один корень на X , отличный от x₀ , обозначим его x₁ . Так как x₀ и x₁ — корни уравнения f(x)=C , то числовые равенства f(x₀)=C и f(x₁)=C – верные. Осуществив почленное вычитание этих числовых равенств, получим верное числовое равенство f(x₀)−f(x₁)=0 (см. свойства числовых равенств), откуда f(x₀)=f(x₁) . Но последнее равенство невозможно, так как функция f возрастающая или убывающая на X . Так методом от противного доказано, что x₀ – единственный корень.

Теперь докажем второе утверждение.

Пусть функции y=f(x) и y=g(x) определены на промежутке X , одна из них возрастает, пусть это будет функция f , а другая функция g – убывает, и пусть уравнение f(x)=g(x) имеет на X корень x₀ . Докажем, что x₀ – единственный корень указанного уравнения на X . (Можно считать, что f – убывающая функция, а g – возрастающая, доказательство при этом аналогично).

Предположим, что уравнение f(x)=g(x) имеет еще один корень на X , отличный от x₀ , обозначим его x₁ . Так как корни x₀ и x₁ – корни уравнения f(x)=g(x) , то f(x₀)=g(x₀) и f(x₁)=g(x₁) — верные числовые равенства. Так как корни x₀ и x₁ различные, то либо x₀ , либо x₀>x₁ . Разберем эти случаи по очереди.

Пусть x₀ . При этом, так как функция f — возрастающая, то f(x₀) , откуда f(x₁)>f(x₀) , а так как функция g – убывающая, то g(x₀)>g(x₁) . Из неравенства f(x₁)>f(x₀) и равенства f(x₀)=g(x₀) следует, что f(x₁)>g(x₀) , а из этого неравенства и неравенства g(x₀)>g(x₁) в силу свойства транзитивности (см. свойства числовых неравенств) следует, что f(x₁)>g(x₁) . Полученное неравенство означает, что x₁ не является корнем уравнения f(x)=g(x) , что противоречит нашему предположению.

Пусть x₀>x₁ . При этом, так как функция f — возрастающая, то f(x₀)>f(x₁ ), откуда f(x₁) , а так как функция g – убывающая, то g(x₀) . Из неравенства f(x₁) и равенства f(x₀)=g(x₀) следует, что f(x₁) , а из этого неравенства и неравенства g(x₀) в силу свойства транзитивности следует, что f(x₁) . Полученное неравенство означает, что x₁ не является корнем уравнения f(x)=g(x) , опять получили противоречие нашему предположению.

Так методом от противного доказано второе утверждение из предыдущего пункта.

Алгоритмы метода

Сначала запишем алгоритмы решения уравнений f(x)=C и f(x)=g(x) , ОДЗ для которых есть числовой промежуток. После этого запишем алгоритм для случаев, когда ОДЗ представляет собой объединение нескольких числовых промежутков. Разъяснения к проведению шагов будут даны в следующих пунктах этой статьи.

Алгоритм решения уравнения f(x)=C , для которого ОДЗ есть числовой промежуток, посредством использования возрастания/убывания:

• Находим ОДЗ, убеждаемся, что она представляет собой некоторый числовой промежуток.
• Определяем корень уравнения любым доступным способом.
• Доказываем возрастание или убывание функции f . Это позволит утверждать, что найденный на предыдущем шаге корень является единственным корнем решаемого уравнения.

Алгоритм решения уравнения f(x)=g(x) , для которого ОДЗ есть числовой промежуток, через использование возрастания/убывания:

• Определяем ОДЗ, убеждаемся, что она представляет собой некоторый числовой промежуток.
• Определяем корень уравнения любым доступным способом.
• Доказываем возрастание одной из функций, отвечающих частям решаемого уравнения, и убывание другой. После этого можно делать вывод, что найденный на предыдущем шаге корень является единственным.

Для решения уравнений f(x)=C и f(x)=g(x) , ОДЗ для которых есть объединение нескольких числовых промежутков, посредством использования возрастания/убывания, надо проделать шаги, аналогичные шагам записанных алгоритмов, но на каждом отдельно взятом промежутке, составляющем ОДЗ, после чего взять объединение всех найденных корней.

То есть, для решения уравнения f(x)=C через возрастание/убывание, надо

• Определить ОДЗ.
• На каждом промежутке, составляющем ОДЗ, определить корень любым доступным способом.
• На каждом промежутке доказать убывание или возрастание функции f .
• Взять объединение корней, найденных на втором шаге. Это и есть искомое решение.

А для решения уравнения f(x)=g(x) через возрастание/убывание, надо

• Определить ОДЗ.
• На каждом промежутке, составляющем ОДЗ, определить корень любым доступным способом.
• На каждом промежутке доказать убывание одной из функций f или g , и возрастание другой функции.
• Взять объединение корней, найденных на втором шаге. Это и есть искомое решение.

Рекомендации к определению корня

Корень характерных уравнений, которые решаются посредством использования возрастания/убывания, либо очевиден, либо довольно легко находится подбором. Дадим рекомендации, которые обычно позволяют справиться с подбором корня.

Первая рекомендация касается случаев, когда ОДЗ для уравнения представляет собой числовой отрезок, числовой полуинтервал или числовой интервал, содержащий некоторое небольшое количество целых чисел. В этих случаях корнем уравнения часто бывает одно из целых чисел области допустимых значений или одна из границ ОДЗ. Приведем пример.

В качестве примера возьмем уравнение . Его ОДЗ есть числовой отрезок [−1/3, 1] . Подбор корня стоит начинать с границ ОДЗ и целых чисел, входящих в ОДЗ. В нашем случае это числа −1/3 , 0 и 1 . Осуществив проверку подстановкой, выясняем, что 1 – корень уравнения.

Переходим ко второй рекомендации по подбору корня. Корнем уравнения часто служит число, при котором находятся точные значения составляющих это уравнение выражений (корней, степеней, логарифмов, тригонометрических функций и т.д.). Примеры возьмем из первого пункта текущей статьи.

Взглянем на первое уравнение . Мы знаем точные значения арктангенса лишь семи чисел . А при каком значении переменной из этих семи мы можем извлечь корень ? Лишь при x=1 . Значит, число 1 – лучший кандидат в корни уравнения. Проверка показывает, что это число действительно является корнем уравнения.

Теперь взглянем на второе уравнение . Для каких значений переменной мы можем вычислить и значение степени , и значение логарифма ? Очевидно, для x=3 . Проверка подстановкой показывает, что это число есть корень уравнения.

Еще мы приводили в пример уравнение . Напомним, что ОДЗ для этого уравнения состоит из двух промежутков (−∞, 0) и (0, +∞) . Здесь приходится подбирать по корню в каждом промежутке. Подбор корней целесообразно начинать с перебора целых чисел, из которых извлекается кубический корень. Это кубы целых чисел, то есть, числа ±1, ±8, ±27, ±64, … Дальше можно пробовать дроби ±1/8, ±1/27, … В нашем случае до дробей дело не доходит, так как корнем первого промежутка оказывается −8 , а корнем второго промежутка оказывается число 27 .

Две приведенные рекомендации позволяют подобрать корень уравнения в подавляющем большинстве случаев, когда этого вообще возможно сделать без обладания сверхспособностями.

Рекомендации к обоснованию возрастания/убывания функций

Одним из путей доказательства возрастания или убывания функции является обращение к производной (см. нахождение промежутков возрастания/убывания функции). Например, через производную можно доказать, что на ОДЗ для уравнения функция, отвечающая левой части уравнения, возрастает, а функция, отвечающая правой части, — убывает.

Однако иногда можно обойтись без обращения к производной. Разберемся когда.

В первую очередь, не обязательно обращаться к производной для доказательства возрастания/убывания, когда мы имеем дело с хорошо изученными функциями, в частности, основными элементарными. Например, нам совсем не обязательно доказывать возрастание функции y=x 7 на промежутке (−7, 1) через производную, мы и так прекрасно знаем, что эта степенная функция возрастает на всей области определения, значит, она возрастает и на указанном промежутке.

Также для обоснования возрастания/убывания удобно привлекать свойства возрастающих и убывающих функций. Перечислим основные свойства, имеющие непосредственное отношение к нашей теме:

• Если функция y=f(x) возрастает (убывает) на некотором числовом промежутке X , то функция y=f(x)+C , где C – некоторое число, тоже возрастает (убывает) на X . Приведем пример использования записанного свойства. Допустим, нас интересует, как ведет себя функция y=arccosx−4 на интервале (−0,5, 0,1) . Мы знаем, что функция y=arccosx убывает на всей области своего определения [−1, 1] , значит, она убывает и на интервале (−0,5, 0,1) . Тогда, оперевшись на записанное свойство, мы можем утверждать, что функция y=arccosx−4 тоже убывает на (−0,5, 0,1) .
• Если функция y=f(x) возрастает на числовом промежутке X , то функция y=k·f(x) при k>0 возрастает на X , а при k убывает на X . Если функция y=f(x) убывает на числовом промежутке X , то функция y=k·f(x) при k>0 убывает на X , а при k возрастает на X . Приведем пример. Допустим, столкнувшись с задачей решить некоторое уравнение, мы пришли к выводу, что оно может быть решено посредством использования возрастания/убывания. Нашли ОДЗ для этого уравнения, ею оказался промежуток [0, +∞) . Подобрали корень – число 9 . Доказали, что функция, отвечающая левой части уравнения возрастает на множестве [0, +∞) . И осталось доказать, что функция , отвечающая правой части уравнения, убывает на [0, +∞) . Как это сделать с использованием записанного свойства? Очень просто. Мы знаем, что функция — возрастает на [0, +∞) . Значит, в силу записанного свойства, функция убывает на [0, +∞) .
  • Следствие. Если функция y=f(x) возрастает (убывает) на X , то функция y=−f(x) убывает (возрастает) на X . Например, степенная функция убывает на промежутке (0, +∞) , значит, функция возрастает на этом промежутке (0, +∞) .
• Если функции y=f₁(x) и y=f₂(x) возрастающие (убывающие) на промежутке X , то функция y=f₁(x)+f₂(x) – возрастающая (убывающая) на X . Это свойство естественным образом распространяется на три и большее количество функций. Для удобства запоминания условно можно считать, что сумма возрастающих функций есть возрастающая функция, а сумма убывающих – убывающая функция. Например, функция y=x+x 3 +x 7 – возрастающая на множестве R , так как каждая из функций y=x , y=x 3 , y=x 7 возрастает на R . Другой пример: — убывающая на промежутке (0, +∞) как сумма убывающей показательной функции и убывающей логарифмической функции .
• Следующее свойство относится к сложным функциям. Приведем его условную формулировку, так как она хорошо запоминается из-за схожести с правилами умножения чисел с разными знаками. Возрастающая от возрастающей и убывающая от убывающей есть функция возрастающая, а возрастающая от убывающей и убывающая от возрастающей есть функция убывающая. Здесь придется привести несколько примеров. Для начала рассмотрим функцию и определим ее поведение на промежутке [3, 9] . Мы имеем дело со сложной функцией. Внутренняя функция – это логарифмическая функция , внешняя функция – это степенная функция . Так как основание логарифмической функции меньше единицы, то она убывает на всей своей области определения. Так как показатель степенной функции равен −1/2 , то функция убывает на своей области определения. Тогда функция возрастает на своей области определения как убывающая от убывающей. В частности, она возрастает на интересующем нас промежутке [3, 9] . Другой пример. Как ведет себя функция ? Убывает как возрастающая от возрастающей от убывающей.
  • Следствие. Если функция y=f(x) возрастает (убывает) на некотором числовом промежутке X и не обращается на нем в нуль, то функция y=1/f(x) убывает (возрастает) на X . Например, функция y=1/arcctgx – возрастает на всей области определения, так как функция y=arcctgx на своей области определения убывает и не обращается в нуль.

Умелое использование перечисленных свойств в соответствующих случаях дает возможность чуть ли не с одного взгляда на функцию определять ее возрастание или убывание.

Наконец, иногда для обоснования возрастания или убывания функции удобно использовать не производную, а определение возрастающей и убывающей функции в купе со свойствами верных числовых неравенств. Для примера обоснуем, что функция — возрастает на промежутке . Нам хорошо известно поведение функций и y=tgx , и мы можем сразу сказать, что на указанном промежутке они возрастают. Пусть x₁ и x₂ два числа из промежутка , причем x₁ . Тогда, в силу возрастания функций и y=tgx , верны числовые неравенства и tgx₁ . Также мы знаем, что функции и y=tgx на промежутке принимают только положительные значения, значит , tgx₁>0 , tgx₂>0 . Все это позволяет нам опереться на свойство умножения верных числовых неравенств одинакового смысла (см. свойства числовых неравенств), почленно перемножить неравенства и tgx₁ , что дает верное числовое неравенство . Из этого неравенства и определения возрастающей функции следует, что функция возрастает на промежутке .

Решение примеров

На страницах школьных учебников алгебры, начиная с 9 класса, встречается немало уравнений, решенных посредством обращения к возрастанию/убыванию соответствующих функций. В 9 классе изучаются степенные функции с натуральным показателем, после чего, естественно, показывается применение степенных функций и их свойств к решению уравнений. В этом свете в учебнике Мордковича представлено решение уравнения x 5 =3−2·x сначала графическим методом, затем – методом, предполагающим использование возрастания/убывания, причем сначала приведено утверждение, на котором базируется метод, с доказательством [1, с.120-121]. С решением этого уравнения все просто: легко подбирается корень x=1 , очевидно возрастание степенной функции y=x 5 и убывание линейной функции y=3−2·x , откуда следует, что найденный корень является единственным.

В учебнике для 10 классов в рамках разговора про обратные тригонометрические функции приводится решение уравнения [2, с. 163]. Там к возрастанию и убыванию обращаются для строгого обоснования единственности корня x=1 , который находится графически. Позже изучается производная и ее применение к исследованию функций на монотонность. Под эту тему приходится кстати уравнение 5·cosx+sin(4·x)−10·x=x 3 +5 [2, с. 354]. Оно решается посредством использования возрастания/убывания: корень x=1 легко подбирается, возрастание функции, отвечающей правой части уравнения, очевидно, а убывание функции, отвечающей левой части уравнения, доказывается через производную, так доказывается единственность найденного корня. Решение более сложного уравнения , в котором для доказательства убывания/возрастания привлекается производная, можете посмотреть здесь.

В 11 классе в арсенал учащихся добавляются степенные функции с дробным показателем и иррациональным показателем, показательные и логарифмические функции. Естественно, там же встречаются соответствующие уравнения, решение которых завязано на использовании свойств этих функций, например, , и lgx=11−x [3, с. 62, 93, 111]. Они являются типичными представителями уравнений, которые решаются через подбор корня и доказательство его единственности через обоснование возрастания одной из функций, отвечающих его частям, и убывание другой.

Давайте покажем полное решение одного из уравнений, которые мы приводили в пример в первом пункте этой статьи.

Решите уравнение

Уравнения с параметрами.

Исследование и решение уравнений с параметрами считается не самым простым разделом школьной математики. Однако, параметр, как понятие, часто воспринимается школьниками гораздо более сложным, чем есть в действительности. Здесь в первом пункте представлены очень простые вводные примеры использования параметров в уравнениях. Те, для кого это понятие не составляет большой трудности, могут сразу перейти к решению задач, которые представлены ниже.

Что такое уравнение с параметром?

Допустим нам нужно решить уравнение 2х + 5 = 2 − x.
Решение: 2x + x = 2 − 5; 3x = −3; x = −3/3 = −1.

Теперь нужно решить уравнение 2x + 5 = 3 − x.
Решение: 2x + x = 3 − 5; 3x = −2; x = −2/3

Затем нужно решить уравнение 2x + 5 = 0,5 − x.
Решение: 2x + x = 0,5 − 5; 3x = −4,5; x = −4,5/3 = −1,5.

А потом может потребоваться решить уравнение 2x + 5 = 10,7 − x или уравнение 2x + 5 = −0,19 − x.
Понятно, что уравнения похожи, а потому их решение будет сопровождаться теми же действиями, что выше. Возникает естественный вопрос — сколько можно делать одно и то же?

Уменьшим себе трудозатраты. Заметим, что все эти уравнения отличаются только одним числом в правой части. Обозначим это число символом a .
Получим уравнение 2х + 5 = a − х,
где a — переменная величина, вместо которой можно подставить нужное числовое значение и получить нужное уравнение. Эта переменная и называется параметром.

Решим это уравнение так же, как и все предыдущие.
Решение: 2х + 5 = a − x; 2x + x = a − 5; 3x = a − 5; x = (a − 5)/3.

Теперь для того, чтобы найти ответы для двух последних примеров, мы можем не повторять полностью всё решение каждого уравнения, а просто подставить в полученную формулу для х числовое значение параметра а:
x = (10,7 − 5)/3 = 5,7/3 = 1,9;
x = (−0,19 − 5)/3 = −5,19/3 = −1,73.

Таким образом, под термином «уравнение с параметром», фактически, скрывается целое семейство «почти одинаковых уравнений» , которые отличаются друг от друга только одним числом (одним слагаемым или одним коэффициентом) и одинаково решаются. Параметр — это число, которое меняется от уравнения к уравнению.
Полученную формулу для корня уравнения мы можем запрограммировать на компьютере. Достаточно будет только ввести значение параметра a, чтобы получить решение любого такого уравнения.

Рассмотрим еще один пример.

Замечаем, что они похожи друг на друга и отличаются только первым коэффициентом. Обозначим его, например, символом k.
Решим уравнение kх + 5 = 2 − x с параметром k.

С помощью этой формулы вычислим все ответы для приведенных уравнений.
x = −3/(2 + 1) = −1
x = −3/(3 + 1) = −0,75
x = −3/(−4 + 1) = 1
x = −3/(17 + 1) = −1/6

Можем ли мы теперь запрограммировать эту формулу и сказать, что с её помощью можно решить любое аналогичное уравнение?
Запрограммировать можем. Компьютер справится как с очень большими значениями коэффициента, так и с очень маленькими.
Например, если введём k = 945739721, то для уравнения заданного вида будет получен корень примерно равный −0,0000000031721201195353831188, если k = 0,0000004, то получим корень ≈ −2,9999988000004799998080000768.
Но, если мы введем в программу, казалось бы, более простое значение k = −1, то компьютер зависнет.
Почему?

Посмотрим внимательнее на формулу x = −3/(−1 + 1) = −3/0. Деление на ноль.
Посмотрим на соответствующее уравнение −1·х + 5 = 2 − x.
Преобразуем его −х + x = 2 − 5.
Оказывается, оно равносильно уравнению 0 = −3 (. ) и не может иметь корней.
Таким образом, из общего подхода к решению «почти одинаковых уравнений» могут существовать исключения, о которых нужно позаботиться отдельно. Т.е. провести предварительное исследование всего семейства уравнений. Именно этому и учатся на уроках математики с помощью так называемых задач с параметрами.

Графические способы решения уравнений

Сначала вспомним, что представляет собой графический способ решения обычного уравнения (без параметра).
Пусть дано уравнение вида f(x) = g(x) . Построим графики функций y = f(x) и y = g(x) и найдём точки пересечения этих графиков. Абсциссы точек пересечения и есть корни уравнения.

Для быстрого построения эскизов графиков повторите еще раз графики элементарных функций, которые изучаются в школьном курсе математики, и правила преобразования графиков функций.

Рассмотрим примеры.

1. Решить уравнение
2х + 5 = 2 − x

Ответ: x = −1.

2. Решить уравнение
2х 2 + 4х − 1 = 2х + 3

3. Решить уравнение
log₂х = −0,5х + 4

Ответ: x = 2.

Первые два из приведенных уравнений вы можете решить и аналитически, так как это обычные линейное и квадратное уравнения. Второе уравнение содержит функции разных классов — степенную (здесь линейную) и трансцендентную (здесь логарифмическую). Для таких случаев выбор способов решения у школьников очень ограничен. Фактически, единственным доступным способом является именно графическое решение.

Внимание: Для корней, найденных графическим способом, обязательна проверка! Вы уверены, что на третьем рисунке пересечение именно в точке х = 4 , а не в точке 3,9 или 4,1? А если на реальном экзамене у вас нет возможности построить график достаточно точно? На чертеже «от руки» разброс может быть еще больше. Поэтому алгоритм действий должен быть следующим:

1. Предварительный вывод: х ≈ 4.
2. Проверка: log₂4 = −0,5·4 + 4; 2 = −2 + 4; 2 ≡ 2.
3. Окончательный вывод х = 4.

Чтобы графически решать уравнения с параметрами надо строить не отдельные графики, а их семейства.

Решение уравнений с параметрами с помощью графиков.

Задача 1.

Найти все значения параметра q при которых уравнение |x + 1| − |x − 3| − x = q 2 − 8q + 13 имеет ровно 2 корня.

При каждом значении параметра q можно вычислить значение выражения q 2 − 8q + 13 . Результат обозначим переменной а.
Т.е. примем q 2 − 8q + 13 = a и решим уравнение с параметром |x + 1| − |x − 3| − x = a

Строим график функции y = |x + 1| − |x − 3| − x , расположенной в левой части уравнения.
Для этого разобьём числовую ось на отрезки точками, в которых каждый из встречающихся модулей принимает нулевое значение.

Для каждого из этих участков раскроем модули с учётом знаков.
Вспомним: по определению |x| = x, если х ≥ 0, и |x| = −x, если х Чтобы проверить знаки модулей на участке достаточно подставить любое промежуточное значение x из этого отрезка, например, −2, 0 и 4.

Таким образом на участке I, где −∞ имеем −(x + 1) + (x − 3) − x = − x − 4.
Следовательно, должны построить график функции y = − x − 4 .
Это линейная функция. Её график прямая линия, которую можно построить по двум точкам, например, x = 0, y = −4 и у = 0, x = −4. Cтроим всю прямую бледной линией, а затем выделяем часть графика, относящуюся только к рассматриваемому участку.

Аналогично, разбираемся с оставшимися двумя участками.

На участке II, где −1 имеем (x + 1) + (x − 3) − x = x − 2
и должны построить соответствующую часть графика функции y = x − 2 .

На участке III, где 3 , имеем (x + 1) − (x − 3) − x = − x + 4
и должны построить соответствующую часть графика функции y = − x + 4 .

Последовательное построение итогового графика показано ниже. (Чтобы увеличить рисунок, нужно щелкнуть по нему левой кнопкой мыши.)

Замечание: если вы освоили тему Преобразование графиков функций, то с этой частью задачи сможете справиться быстрее, чем показано в примере.

Итак, построение графика функции, расположенной в левой части уравнения, мы завершили. Посмотрим, что находится в правой части.

График функции y = a представляет собой прямую линию, параллельную оси абсцисс (Ox), и пересекающую ось ординат (Oy) в точке а. Так как а — параметр, который может принимать разные значения, то нужно построить целое семейство таких параллельных линий, пересекающих ось ординат на разной высоте. Очевидно, что все графики семейства построить мы не сможем, поскольку их бесконечное множество. Изобразим для примера несколько штук в районе уже построенного графика функции. Ниже прямые семейства y = a показаны красным цветом.

Из рисунка видно, что количество точек пересечения каждой из красных прямых с ранее построенным (зелёным) графиком зависит от высоты, на которой расположена эта прямая, т.е. от параметра а. Прямые, расположенные ниже y = −3 , пересекают график в одной точке, а значит эти уравнения имеют только одно решение. Прямые, проходящие на уровне −3 имеют по три точки пересечения, значит соответствующие уравнения будут иметь по три решения. Прямые, расположенные выше точки y = 1 , снова имеют только по одной точке пересечения.
Ровно две точки пересечения с зелёным графиком будут иметь только прямые y = 1 и y = −3 . Соответствующие уравнения будут иметь ровно два корня, что и требовалось определить в задании.

Однако мы нашли значения введённого нами параметра а, при котором заданное уравнение имеет 2 корня, а вопрос задачи состоял в том, чтобы найти все значения параметра q. Для этого придётся решить следующую совокупность уравнений:

Это обычные квадратные уравнения, которые решаются через дискриминант или по теореме Виета.

Таким образом, окончательный ответ: <2;4;6>.

Задача 2.

Найти все значения параметра a, при которых уравнение (2 − x)x(x − 4) = a имеет ровно 3 корня.

Рассмотрим функцию y = (2 − x)x(x − 4) . Видно, что если раскрыть скобки, то старший член будет −х 3 . Т.е. графиком функции должна быть кубическая парабола, причем на при x, стремящемcя к +∞, y → −∞, а при x, стремящемся к −∞, y → +∞.
Поскольку уравнение (2 − x)x(x − 4) = 0 имеет три корня 2, 0 и 4, то график функции будет пересекать ось абсцисс трижды.
Понятно, что при упомянутых условиях график непрерывной функции должен иметь участок с «волной». Строим от руки эскиз графика.

Правая часть уравнения y = a такая же, как в предыдущей задаче. Поэтому дальнейшие построения не требуют комментариев. Смотрите рисунки. Чтобы увеличить, используйте щелчок мышью.

Из рисунков видно, что прямые, отделяющие линии с тремя точками пересечения от других случаев, проходят через экстремумы кубической функции. Поэтому определяем значения y_max и y_min через производную. (Исследовать функцию полностью не нужно, так как примерное положение точек экстремума мы видим на эскизе графика.) Обратите внимание на то, что при вычислении значений функции используются точные значения x и формулы сокращенного умножения. Приближенные значения в промежуточных вычислениях не используют.

Ответ:

Задача для самостоятельного решения

Задача 3.

При каком наибольшем отрицательном значении параметра а уравнение имеет один корень?

Ответ: -1,625

Задача реального экзамена ЗНО-2013 (http://www.osvita.ua/).

Переход на главную страницу сайта «Математичка».

Есть вопросы? пожелания? замечания?
Обращайтесь — mathematichka@yandex.ru

Внимание, ©mathematichka. Прямое копирование материалов на других сайтах запрещено. Ставьте гиперссылку.