Модули. Применение геометрического смысла модуля при решений уравнений и неравенств
Классы: 9 , 10 , 11
Ключевые слова: модуль числа , свойства модуля , геометрический смысл модуля
Цель: Актуализировать знания школьников о смысле понятия «модуль». Учить их применять эти знания при решении уравнении, неравенств и систем уравнении с модулями.
Для того, чтобы научиться решать уравнения и неравенства с модулем, необходимо хорошо разобраться с понятием модуля, его геометрическим смыслом и свойствами.
С рассмотрения этого материала мы и начнем наше занятие.
1. Определение: Модулем числа называется само число, если оно неотрицательно, или число противоположное данному, если оно отрицательно.
Следовательно, при любых значениях переменной |а| есть число неотрицательное.
2. Рассмотрим основные свойства модуля, которые используются при решении уравнений и неравенств, содержащих модуль.
Свойства модуля
— Модуль числа есть величина неотрицательная: |а|>0 или равно 0.
— Модули противоположенных чисел равны: |а|= |-а|
— Модуль произведения равен произведению модулей множителей: |а*в|= |а|*|в|.
— Модуль частного равен частному модулей числителя и знаменателя: |а/в|=|а|/|в|, где в не равен нулю.
— Модуль суммы не больше суммы модулей ее слагаемых: |а+в|≤|а|+|в|.
При этом равенство |а+в|=|а|+|в| имеет место тогда и только тогда, когда слагаемые одного знака или одно из слагаемых равно нулю.
— Два числа, модули которых равны, либо равны между собой, либо отличаются только знаками, то есть являются противоположными: |а|=|в|, если, а=в или, а=–в.
Преобразование выражений, содержащих модули
При решении уравнении и неравенств с модулем, часто приходится преобразовывать их, раскрывая знак модуля.
Рассмотрим, по каким правилам раскрывается модуль.
Из определения модуля следует: чтобы раскрыть знак модуля, надо знать знак подмодульного выражения.
Составим схему раскрытия модуля:
а) если знак подмодульного выражения неотрицателен, то знак модуля опускается: |а| =а.
б) если знак подмодульного выражения отрицателен, то подмодульное выражение умножается на (-1), то есть заменяется противоположенным выражением: |а| =-1а.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1.1
а) т.к. с 0, то -7х 5;
б) |3+х|, если х 5, то х-2 > 0, поэтому |х-2|=х-2;
Это задание можно предложить сильным школьникам для домашней работы с последующей проверкой на уроке.
Решения и ответы:
1. Для решения уравнении используем рисунок на доске и правило: «Модуль — это расстояние»:
2. Для решения неравенства сделаем ещё два рисунка.
Значение выражения, стоящего под модулем, не должно превышать 2, значит
Значение выражения, стоящего под модулем, должно быть больше, чем 48 единиц, значит:
18 – х ≥ 48 или 18 – х ≤ -48 => х ≤ -30 или х ≥66.
Геометрический способ решения уравнений и неравенств с модулем, 9-й класс
Геометрический способ решения уравнений и неравенств с модулем, 9-й класс
Цель: рассмотреть геометрическое определение модуля. Уметь применять его для решения уравнений и неравенств с модулем, развивать умение исследовать уравнения с параметрами.
|x| 2 1 б) Если а>4, то уравнение имеет 2 корня в) Если а
Модуль числа
О чем эта статья:
Определение модуля числа
Алгебра дает четкое определение модуля числа. Модуль числа в математике — это расстояние от начала отсчёта до точки координатной прямой, соответствующей этому числу.
Если мы возьмем некоторое число «a» и изобразим его на координатной прямой точкой A — расстояние от точки A до начала отсчёта (то есть до нуля) длина отрезка OA будет называться модулем числа «a».
Знак модуля: |a| = OA.
Разберем на примере:
Точка В, которая соответствует числу −3, находится на расстоянии 3 единичных отрезков от точки O (то есть от начала отсчёта). Значит, длина отрезка OB равна 3 единицам.
Число 3 (длину отрезка OB) называют модулем числа −3.
Обозначение модуля: |−3| = 3 (читают: «модуль числа минус три равен трём»).
Точка С, которая соответствует числу +4, находится на расстоянии четырех единичных отрезков от начала отсчёта, то есть длина отрезка OС равна четырем единицам.
Число 4 называют модулем числа +4 и обозначают так: |+4| = 4.
Также можно опустить плюс и записать значение, как |4| = 4.
Онлайн-курсы математики для детей помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.
Свойства модуля числа
Давайте рассмотрим семь основных свойств модуля. Независимо от того, в какой класс перешел ребенок — эти правила пригодятся всегда.
1. Модуль числа — это расстояние, а расстояние не может быть отрицательным. Поэтому и модуль числа не бывает отрицательным:
2. Модуль положительного числа равен самому числу.
3. Модуль отрицательного числа равен противоположному числу.
4. Модуль нуля равен нулю.
5. Противоположные числа имеют равные модули.
6. Модуль произведения равен произведению модулей этих чисел.
−(a · b), когда a · b
Геометрическая интерпретация модуля
Как мы уже знаем, модуль числа — это расстояние от нуля до данного числа. То есть расстояние от точки −5 до нуля равно 5.
Нарисуем числовую прямую и отобразим это на ней.
Эта геометрическая интерпретация используется для решения уравнений и неравенств с модулем. Давайте рассмотрим на примерах.
Решим уравнение: |х| = 5.
Мы видим, что на числовой прямой есть две точки, расстояние от которых до нуля равно 5. Это точки 5 и −5. Значит, уравнение имеет два решения: x = 5 и x = −5.
Когда у нас есть два числа a и b, то их разность |a — b| равна расстоянию между ними на числовой прямой или длине отрезка АВ.
Расстояние от точки a до точки b равно расстоянию от точки b до точки a, тогда |a — b| = |b — a|.
Решим уравнение: |a — 3| = 4 . Запись читаем так: расстояние от точки а до точки 3 равно 4. Отметим на числовой прямой точки, удовлетворяющие этому условию.
Уравнение имеет два решения: −1 и 7. Мы из 3 вычли 4 — и это один ответ, а также к 3 мы прибавили 4 — и это второй ответ.
Решим неравенство: |a + 7|
График функции
График функции равен y = |х|.
Для x > 0 имеем y = x.
Этот график можно использовать при решении уравнений и неравенств.
Корень из квадрата
В контрольной работе или на ЕГЭ может встретиться задачка, в которой нужно вычислить √ a 2 , где a – некоторое число или выражение.
При этом, √ a 2 = |a|.
По определению арифметического квадратного корня √ a 2 — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен a 2 .
Оно равно a при а > 0 и −а, при а
Модуль рационального числа
Как найти модуль рационального числа — это расстояние от начала отсчёта до точки координатной прямой, которая соответствует этому числу.
