Решение уравнений графически в mathcad

Решение нелинейных уравнений и систем уравнений в пакете MathCAD

Решение нелинейных уравнений

Вычисление корней численными методами включает два основных этапа:

· уточнение корней до заданной точности.

Рассмотрим эти два этапа подробно.

Отделение корней нелинейного уравнения

Учитывая легкость построения графиков функций в MathCAD , в дальнейшем будет использоваться графический метод отделения корней.

Пример. Дано алгебраическое уравнение

.

Определить интервалы локализации корней этого уравнения.

Пример. Дано алгебраическое уравнение

.

Определить интервалы локализации корней этого уравнения.

На рисунке приведен график функции , построенный в MathCAD . Видно, что в качестве интервала изоляции можно принять интервал . Однако уравнение имеет три корня. Следовательно, можно сделать вывод о наличии еще двух комплексных корней. ¨

Уточнение корней нелинейного уравнения

Для уточнения корня используются специальные вычислительные методы такие, как метод деления отрезка пополам, метод хорд, метод касательных (метод Ньютона) и многие другие.

Функция root . В MathCAD для уточнения корней любого нелинейного уравнения (не обязательно только алгебраического) введена функция root , которая может иметь два или четыре аргумента, т.е. или , где – имя функции или арифметическое выражение, соответствующее решаемому нелинейному уравнению, – скалярная переменная, относительно которой решается уравнение, – границы интервала локализации корня.

Пример. Используя функцию , найти все три корня уравнения , включая и два комплексных.

Заметим, что для вычисления всех трех корней использовался прием понижения порядка алгебраического уравнения, рассмотренный в п. 8.1.1. ¨

Функция root с двумя аргументами требует задания (до обращения к функции) переменной начального значения корня из интервала локализации.

Пример 8.1.5. Используя функцию root , вычислить изменения корня нелинейного уравнения при изменении коэффициента а от 1 до 10 с шагом 1.

Функция polyroots . Для вычисления всех корней алгебраического уравнения порядка (не выше 5) рекомендуется использовать функцию polyroots . Обращение к этой функции имеет вид polyroots (v) , где v – вектор, состоящий из n +1 проекций, равных коэффициентам алгебраического уравнения, т.е. . Эта функция не требует проведения процедуры локализации корней.

Пример. Используя функцию polyroots , найти все три корня уравнения , включая и два комплексных

Блок Given . При уточнении корня нелинейного уравнения можно использовать специальный вычислительный блок Given , имеющий следующую структуру:

Решаемое уравнение задается в виде равенства, в котором используется «жирный» знак равно, вводимый с палитры Логичес­кий .

Ограничения содержат равенства или неравенства, которым должен удовлетворять искомый корень.

Функция Find уточняет корень уравнения, вызов этой функции имеет вид Find ( x ), где x – переменная, по которой уточняется корень. Если корня уравнения на заданном интервале не существует, то следует вызвать функцию Minerr ( x ), которая возвращает приближенное значение корня.

Для выбора алгоритма уточнения корня необходимо щелкнуть правой кнопкой мыши на имени функции Find ( x ) и в появившемся контекстном меню (см. рисунок) выбрать подходящий алгоритм.

Аналогично можно задать алгоритм решения и для функции Minerr ( x ).

Использование численных методов в функциях Find ( x ), Minerr ( x ) требует перед блоком Given задать начальные значения переменным, по которым осуществляется поиск корней уравнения.

Пример. Используя блок Given , вычислите корень уравнения в интервале отделения .

Решение систем уравнений

В зависимости от того, какие функции входят в систему уравнений, можно выделить два класса систем:

· алгебраические системы уравнений;

· трансцендентные системы уравнений.

Среди алгебраических систем уравнений особое место занимают системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

Системы линейных алгебраических уравнений

Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида:

В матричном виде систему можно записать как

,

где – матрица размерности , – вектор с проекциями.

Для вычисления решения СЛАУ следует использовать функцию lsolve , обращение к которой имеет вид: lsolve (А, b ), где А – матрица системы, – вектор правой части.

Решение систем нелинейных уравнений

MathCAD дает возможность находить решение системы уравнений численными методами, при этом максимальное число уравнений в MathCAD 2001 i доведено до 200.

Для решения системы уравнений необходимо выполнить следующие этапы.

Задание начального приближения для всех неизвестных, входящих в систему уравнений. При небольшом числе неизвестных этот этап можно выполнить графически, как показано в примере.

Пример. Дана система уравнений:

Определить начальные приближения для решений этой системы.

Видно, что система имеет два решения: для первого решения в качестве начального приближения может быть принята точка (-2, 2), а для второго решения – точка (5, 20). ¨

Вычисление решения системы уравнений с заданной точностью . Для этого используется уже известный вычислительный блок Given .

Функция Find вычисляет решение системы уравнений с заданной точностью, и вызов этой функции имеет вид Find ( x ), где x – список переменных, по которым ищется решение. Начальные значения этим переменным задаются в блоке . Число аргументов функции должно быть равно числу неизвестных.

Следующие выражения недопустимы внутри блока решения:

· ограничения со знаком ¹ ;

· дискретная переменная или выражения, содержащие дискретную переменную в любой форме;

· блоки решения уравнений не могут быть вложены друг в друга, каждый блок может иметь только одно ключевое слово Given и имя функции Find (или Minerr ).

Пример. Используя блок Given , вычислить все решения системы предыдущего примера. Выполнить проверку найденных решений.

Пример. Используя функцию , вычислите решение системы уравнений

Графический способ решения систем алгебраических уравнений с использованием программного пакета MathCAD

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Графический способ решения систем алгебраических уравнений

с использованием программного пакета Mat h CAD

Автор работы : Сенашева Юлия Викторовна, ученица 7 класса

Научный руководитель : Несивкина Галина Анатольевна

учитель математики первой квалификационной категории.

Учреждение : МБОУ «Ширинская» средняя общеобразовательная школа №18

Ширинского района Республики Хакасия.

1.1.Алгоритм построения графика линейного уравнения с помощью MathCAD;……4

1.2. Исследование расположения прямой, в зависимости от изменения значения k,

в программе MathCAD . 5.

1.3 Алгоритм графического метода решения систем линейных уравнений

с помощью программы MathCAD………………………………………………………6

Актуальность работы : При изучении следующих разделов математики: взаимное расположение графиков линейных функций , графический способ решения системы линейных уравнений столкнулась с тем, что для глубокого исследования этих тем ,отводиться мало времени. Считаю, что изучение этого материала требует более детального рассмотрения, так как он прослеживается в различных заданиях повышенной сложности, в задачах математических олимпиад , в заданиях на ОГЭ, на ЕГЭ и вступительных экзаменов в Высшие Учебные Заведения.

Мотивация : как увеличить время на изучение тем: взаимное расположение графиков линейных функций, графический способ решения системы линейных уравнений.

Проблема: необходимо найти удобный , наглядный, а самое главное быстрый способ построения графиков уравнений.

Гипотеза : объект исследования «Линейная функция» ( А.Г.Мордкович ,Алгебра 7 класс,глава2),»Системы двух линейных уравнений с двумя переменными» (глава3).

Цель работы : показать графический способ решение систем алгебраических уравнений с применением популярного инженерного программного пакета MathCAD. Исследование предоставляет базовые знания работы с программой MathCAD, как они могут быть применены для решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными графическим методом.

Результаты исследования : в процессе исследования:

-из множества программ, позволяющих рисовать графики функций, выполнять построения, была выбрана MathCAD , которая является средой визуального программирования, то есть не требует знания специфического набора команд. Простота освоения пакета, дружественный интерфейс, относительная непритязательность к возможностям компьютера явились главными причинами того, что именно этот пакет был выбран мной для решения данной проблемы;

-изучила алгоритм построения графика линейного уравнения с помощью программы MathCAD;

-изучила графический метод решения систем линейных уравнений с помощью программы MathCAD и убедилась в том, что графический метод решения системы линейных уравнений имеет большое значение.

С помощью программы MathCAD мною были выполнены все задания из задачника Алгебра 7 класс по этой теме, ряд заданий олимпиадного характера и задания для подготовки к ОГЭ. Я смогла за короткий срок выполнить большой объем учебного материала, причем в очень наглядной и доступной форме.В процессе работы не тратила время на составление таблиц и построение графиков в тетради .Получился большой запас времени на отработку заданий повышенной сложности.

Перспективы: использовать программный продукт MathCAD., для дальнейшего изучения алгебры 7 класса (глава 8,параграф38.) ,решения задач повышенной сложности, решения заданий из ОГЭ.

В данной работе были рассмотрены примеры , каким образом решаются на MathCAD разнообразные математические задачи (решение систем линейных уравнений). Данная работа поможет ученикам быстро освоить основные навыки работы с пакетом MathCAD, а примеры и способы решения помогут их закрепить для решения новых задач.

1.1 Алгоритм построения графика линейного уравнения с помощью программы MathCAD;

№ 7.17. На координатной плоскости хОу постройте график уравнения:

1.Задать функцию, приведенную выше. Вставить оператор абсолютного значения

2.На вкладке Графики в группе Кривые щелкнуть Вставить график , а затем выбрать График ХУ .

Появиться пустой пустой график

3.В местозаполнителе оси У ,в левой или правой части ввести функцию у = -х+4.

4.В местозаполнителе оси Х внизу графика ввести х. Нажать клавишу «Ввод», появиться линейная кривая.

№ 8.28. Постройте график линейной функции у = х+4 и у=2х

а) координаты точек пресечения графика с осями координат;

б) значение у, соответствующее значению х=—2;-1;1.

в ) значение х ,которому соответствует значение у, равное-2;2;4.

1.Задать функцию, приведенную выше. Вставить оператор абсолютного значения

2.На вкладке Графики в группе Кривые щелкнуть Вставить график , а затем выбрать График ХУ

Появиться пустой график.

3.В местозаполнителе оси У ,в левой или правой части ввести функцию у = х+4.

4.В местозаполнителе оси Х внизу графика ввести х. Нажать клавишу «Ввод», появиться линейная

5.Установить курсор справа от функции. Щелкнуть Добавить кривую .

Появиться новый местозапонитель оси У под текущим местозаполнителем

.

А ) Найти координаты точек пресечения графика с осями координат.

На графике точки пересечения: х=0,у=- 4

Б) Найти значение у, соответствующее значению х = —2;-1;1.

В) Найти значение х ,которому соответствует значение у, равное-2;2;4.

Внесем данные и получим следующее распределение по столбцам .

1.2. Исследование расположения прямой, в зависимости от изменения значения k, в программе MathCAD;

у=3х+4, у=3х, у = -3х,у=2х, у=3х-4,

1.3.Алгоритм графического метода решения систем линейных уравнений с помощью программы MathCAD;

№ 11.10 .Решить графически систему уравнений (задачник Алгебра7 класс, часть 2)

Ответ: система имеет одно решение (2;2)

Пример1.Решить систему уравнений

Ответ: система не имеет решений

Решить систему уравнений

Ответ: система имеет бесконечно много решений.

Вывод : графический метод решения системы линейных уравнений имеет большое значение. С его помощью можно сделать следующие важные выводы:

— графиком обоих уравнений системы линейных уравнений являются прямые;

-эти прямые могут пересекаться, причем только в одной точке,- это значит, что система имеет единственное решение;

-эти прямые могут быть параллельны — это значит, что система не имеет решений( система несовместна);

-эти прямые могут совпасть — это значит, что система имеет бесконечно много решений (система не определена).

Mathcad и графическое решение уравнений Текст научной статьи по специальности « Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Гибадуллин Артур Амирзянович

Статья посвящена графическому способу решения уравнений в области действительных чисел. Использование программного обеспечения Mathcad позволяет наглядно показать учащимся данный способ.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Гибадуллин Артур Амирзянович

Текст научной работы на тему «Mathcad и графическое решение уравнений»

Mathcad и графическое решение уравнений Гибадуллин А. А.

Гибадуллин Артур Амирзянович / Gibadullin Artur Amirzyanovich — студент, кафедра физико-математического образования, факультет информационных технологий и математики, Нижневартовский государственный университет, г. Нижневартовск

Аннотация: статья посвящена графическому способу решения уравнений в области действительных чисел. Использование программного обеспечения Mathcad позволяет наглядно показать учащимся данный способ.

Abstract: the article focuses on graphical method for solving equations in real numbers. Using the software «Mathcad» allows students to illustrate this method.

Ключевые слова: маткад, уравнения, график, решение, математика. Keywords: mathcad, equation, maths, graphics, solution, time-space.

Mathcad — инженерное математическое программное обеспечение для выполнения технических расчетов, которое позволяет представлять сложные вычисления в понятной человеку форме. Эти вычисления могут сопровождаться диаграммами, графиками, текстом и изображениями.

Функционал программы включает сотни встроенных математических функций. Маткад можно использовать в роли калькулятора. Он позволяет вычислять и упрощать символьные выражения. Решать алгебраические уравнения и их системы. Можно строить графики, диаграммы. Позволяет работать с матрицами и определителями, находить интегралы, решать дифференциальные уравнения.

Уравнения — это равенства, содержащие неизвестные. Самый простой случай и рассматриваемый в школьном курсе — уравнения с одним неизвестным. В случае если мы рассматриваем уравнения вида f(x)=g(x), — решение находится в точке пересечения графиков двух функций f(x) и g(x). Его можно привести к уравнению вида f(x)=0 — тогда решением будет пересечение графика с осью абсцисс. Таким образом, учащимся можно наглядно показать процесс нахождения корней уравнений и закономерности, связанные с ними.

Оси координат имеют направленность, что позволяет представить ось в виде времени [1]. Поэтому следует отметить следующие особенности визуализации с помощью графиков. Графики подходят для изучения процессов, связанных с жизнью [2]. Однонаправленность осей позволяет отображать закономерности временных пространств [3]. Декартовая и полярная система координат строятся в евклидовом пространстве. Поэтому временные пространства наглядно можно показать на примере евклидовоподобных временных пространств [4]. Возможно графическое изображение зарядов и зарядовой делимости, их связь с размерностью [5]. Переход к квантовой гравитации с помощью теории стрел [6]. Построение сетки на графиках с дискретным шагом [7]. Что пригодится для модели квантованной материи и взаимодействий, динамики на решетке [8].

Временные пространства применимы и в области наукометрии [9]. Отметим, что множество графиков однозначных функций представляют незамкнутую геометрию [10]. То есть можно разложить полученное пространство по одномерным временам [11]. Отразить некоторые важные аспекты временных пространств, используя привычную геометрию. И в итоге прийти к общим временным основам и чисел, и пространства [12].

СОВРЕМЕННЫЕ ИННОВАЦИИ № 11(13) 2016 | 56 |

1. Гибадуллин А. А. Асимметричность времени. Виды времен // Современные инновации, 2016. № 4 (6). С. 14-15.

2. Гибадуллин А. А. Биоориентированная наука // European research, 2016. № 7 (18). С. 19-20.

3. Гибадуллин А. А. Динамическое пространство с неопределенностями // International scientific review, 2016. № 13 (23). С. 16-17.

4. Гибадуллин А. А. Евклидовоподобное временное пространство // International scientific review, 2016. № 6 (16). С. 8-9.

5. Гибадуллин А. А. Зарядовая делимость и новая стандартная модель частиц // International scientific review, 2016. № 8 (18). С. 9-10.

6. Гибадуллин А. А. Квантовая гравитация во временных пространствах // International scientific review, 2016. № 7 (17). С. 10-11.

7. Гибадуллин А. А. Квантовая решетка в многовременном пространстве // European research, 2016. № 8 (19). С. 17-18.

8. Гибадуллин А. А. Материя и взаимодействие во временных пространствах // International scientific review, 2016. № 11 (21). С. 8-9.

9. Гибадуллин А. А. Науковедение и наукометрия, оценка вклада в науку по образцу // International scientific review, 2016. № 12 (22). С. 7-8.

10. Гибадуллин А. А. Незамкнутая геометрия и одномеризация пространства-времени // International scientific review, 2016. № 13 (23). С. 17-19.

11. Гибадуллин А. А. Разложение пространства по временам — идея, породившая временные пространства // European research, 2016. № 4 (15). С. 17-18.

12. Гибадуллин А. А. Унификация в науке и теория всего // International scientific review, 2016. № 5 (15). С. 66-67.

Mathcad на уроках физики Гибадуллин А. А.

Гибадуллин Артур Амирзянович / Gibadullin Artur Amirzyanovich — студент, кафедра физико-математического образования, факультет информационных технологий и математики, Нижневартовский государственный университет, г. Нижневартовск

Аннотация: статья посвящена применению программного обеспечения Mathcad для решения задач по физике. Рассмотрена возможность его применения для широкого круга задач, включая временные пространства.

Abstract: the article focuses on the use of the software Mathcad to solve problems in physics. The possibility of its use for a wide range ofproblems including temporary space is considered.

Ключевые слова: маткад, физика, задачи, формулы, константы. Keywords: Mathcad, physics, tasks, formula, constant, solution, time.

Программное обеспечение Mathcad удобно и легко в применении даже для людей, не разбирающихся в программировании. Его интерфейс близок к интуитивному и не требует специальных знаний. Можно использовать готовые формулы, вводя в них значения соответствующих параметров. Формулы практически любой сложности, не посильные инженерным калькуляторам. Операции выполняются и над комплексными числами. Наличие горячих клавиш позволяет облегчить ввод данных с клавиатуры.

Данное программное обеспечение удобно для решения физических задач. Достаточно ввести математическую формулировку любого закона, а перед ней ввести