Решение уравнений и неравенств с модулем 9 класс

Урок алгебры в 9-м классе (занятие элективного курса) по теме «Решение уравнений и неравенств, содержащих модули»

Презентация к уроку

На занятии изучается методика решения уравнений и неравенств, содержащих модули. Даётся подробная классификация уравнений и неравенств с модулем.

Введение. Определение модуля и его геометрический смысл.

«Модуль» (от лат. modulus-мера) ввёл английский математик Р. Котес (1682–1716). Знак модуля – немецкий математик (в 1841г.) К. Вейерштрасс (1815–1897).

Модуль числа a есть расстояние от нуля до точки a,

Модуль разности двух чисел равен расстоянию между точками числовой прямой, соответствующим этим точкам.

Используя определение модуля и его геометрический смысл, можно решить простейшие уравнения и неравенства с модулем. Простейшие уравнения и неравенства удобно решать с помощью равносильных преобразований: возведение в квадрат и т.д.

Изучение нового материала

Учитель даёт систематизацию материала, классификацию уравнений и неравенств с модулем. Показывает презентацию. Таблица №1

Таблица №1 Классификация уравнений и неравенств с модулем

Уравнения с модулем

Эта статья посвящена приёмам решения различных уравнений и неравенств, содержащих
переменную под знаком модуля.

Если на экзамене вам попадётся уравнение или неравенство с модулем, его можно решить,
вообще не зная никаких специальных методов и пользуясь только определением модуля. Правда,
занять это может часа полтора драгоценного экзаменационного времени.

Поэтому мы и хотим рассказать вам о приёмах, упрощающих решение таких задач.

Прежде всего вспомним, что

Рассмотрим различные типы уравнений с модулем. (К неравенствам перейдём позже.)

Слева модуль, справа число

Это самый простой случай. Решим уравнение

Есть только два числа, модули которых равны четырём. Это 4 и −4. Следовательно, уравнение
равносильно совокупности двух простых:

Второе уравнение не имеет решений. Решения первого: x = 0 и x = 5.

Переменная как под модулем, так и вне модуля

Здесь приходится раскрывать модуль по определению. . . или соображать!

Уравнение распадается на два случая, в зависимости от знака выражения под модулем.
Другими словами, оно равносильно совокупности двух систем:

Решение первой системы: . У второй системы решений нет.
Ответ: 1.

Первый случай: x ≥ 3. Снимаем модуль:

Число , будучи отрицательным, не удовлетворяет условию x ≥ 3 и потому не является корнем исходного уравнения.

Выясним, удовлетворяет ли данному условию число . Для этого составим разность и определим её знак:

Значит, больше трёх и потому является корнем исходного уравнения

Стало быть, годятся лишь и .

Ответ:

Квадратные уравнения с заменой |x| = t

Поскольку , удобно сделать замену |x| = t. Получаем:

Модуль равен модулю

Речь идёт об уравнениях вида |A| = |B|. Это — подарок судьбы. Никаких раскрытий модуля по определению! Всё просто:

Например, рассмотрим уравнение: . Оно равносильно следующей совокупности:

Остаётся решить каждое из уравнений совокупности и записать ответ.

Два или несколько модулей

Не будем возиться с каждым модулем по отдельности и раскрывать его по определению — слишком много получится вариантов. Существует более рациональный способ — метод интервалов.

Выражения под модулями обращаются в нуль в точках x = 1, x = 2 и x = 3. Эти точки делят числовую прямую на четыре промежутка (интервала). Отметим на числовой прямой эти точки и расставим знаки для каждого из выражений под модулями на полученных интервалах. (Порядок следования знаков совпадает с порядком следования соответствующих модулей в уравнении.)

Таким образом, нам нужно рассмотреть четыре случая — когда x находится в каждом из интервалов.

Случай 1: x ≥ 3. Все модули снимаются «с плюсом»:

Полученное значение x = 5 удовлетворяет условию x ≥ 3 и потому является корнем исходного уравнения.

Случай 2: 2 ≤ x ≤ 3. Последний модуль теперь снимается «с минусом»:

Полученное значение x также годится — оно принадлежит рассматриваемому промежутку.

Случай 3: 1 ≤ x ≤ 2. Второй и третий модули снимаются «с минусом»:

Мы получили верное числовое равенство при любом x из рассматриваемого промежутка [1; 2] служат решениями данного уравнения.

Случай 4: x ≤ 1 ≤ 1. Второй и третий модули снимаются «с минусом»:

Ничего нового. Мы и так знаем, что x = 1 является решением.

Модуль в модуле

Начинаем с раскрытия внутреннего модуля.

1) x ≤ 3. Получаем:

Выражение под модулем обращается в нуль при . Данная точка принадлежит рассматриваемому
промежутку. Поэтому приходится разбирать два подслучая.

1.1) Получаем в этом случае:

Это значение x не годится, так как не принадлежит рассматриваемому промежутку.

1.2) . Тогда:

Это значение x также не годится.

Итак, при x ≤ 3 решений нет. Переходим ко второму случаю.

Здесь нам повезло: выражение x + 2 положительно в рассматриваемом промежутке! Поэтому никаких подслучаев уже не будет: модуль снимается «с плюсом»:

Это значение x находится в рассматриваемом промежутке и потому является корнем исходного уравнения.

Так решаются все задачи данного типа — раскрываем вложенные модули по очереди, начиная с внутреннего.

Читайте также о том, как решать неравенства с модулем.

Элективный курс «Уравнения и неравенства с модулем в курсе 9 класса»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Муниципальное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №58 »

«Уравнения и неравенства с модулем

в курсе 9 класса»

Подготовила: учитель математики

г. Магнитогорск, 2010

«Уравнения и неравенства с модулем в курсе 9 класса»

г. Магнитогорск, МОУ СОШ №58

Высшее назначение математики…
состоит в том, чтобы находить
скрытый порядок в хаосе,
который нас окружает

Разработанный курс составлен для учащихся 9 класса и рассчитан на 10 часов.

Понятие модуля, решение простейших уравнений и неравенств изучается в курсе математики 6-9 классов фрагментарно, вводятся основные понятия по данной теме.

Предлагаемый курс является развитием системы ранее приобретенных программных знаний, его цель – создать целостное представление о теме и значительно расширить спектр задач, посильных для учащихся.

Анализ результатов экзаменов показывает, что при решении уравнений и неравенств с модулем учащиеся испытывают определенные трудности. Это обусловлено тем, что общеобразовательные стандарты по математике предусматривают решение заданий базового уровня, поэтому учащиеся слабо владеют одним из основных способов решения задач: анализ через синтез; редко могут ответить для себя на вопрос какого рода должны быть взаимосвязи между рассматриваемыми компонентами. Не всегда могут разбить задачу на подзадачи, чтобы прийти к цели, теряются при виде уравнения и неравенства с модулем.

Предлагаемый курс предполагает научить решать уравнений и неравенства с модулем, в том числе использовать логические приемы решения уравнений и неравенств.

Задачи, предлагаемые в данном курсе, интересны и часто не просты в решении, что позволяет повысить учебную мотивацию учащихся и проверить свои способности к математике. Вместе с тем, содержание курса позволяет ученику любого уровня активно включиться в учебно-познавательный процесс и максимально проявить себя: занятия могут проводиться на высоком уровне сложности, но включать в себя вопросы, доступные и интересные всем учащимся.

Основой проведения занятий может служить технология деятельностного метода, которая обеспечивает системное включение ребенка в процесс

самостоятельного построения им нового знания и позволяет проводить разноуровневое обучение. Желательно использовать такие формы, как выступления с докладами, дополняющими лекционные выступления учителя. Возможны и разные формы индивидуальной или групповой работы.

Цель курса: Создание целостного представления о теме “Модуль», подготовить учащихся к успешному решению уравнений и неравенств с модулем, содержащих в заданиях ЕГЭ

Систематизировать ранее полученные знания о модуле.

Расширить спектр задач, посильных для учащихся.

Научить оценивать свои возможности по математике, и более осознано выбирать профиль дальнейшего обучения.

Совершенствовать и развивать математические знания и умения, повышать интерес к математике.

Общие требования к уровню усвоения содержания курса.

В результате изучения данного курса учащиеся должны

Знать: методы решения уравнений и неравенств с модулем;

Уметь: решать уравнения, содержащие один или несколько модулей; неравенства, содержащие модуль; выполнять построение графиков, содержащих модуль, а также расширить свои знания по теме “Модуль и его применение”.

Содержание курса состоит из теоретического материала, а также набора заданий различных уровней сложности, поэтому предполагает работу с различными источниками математической литературы.

Содержание каждой темы элективного курса включает в себя самостоятельную работу учащихся.

Формой итогового контроля может стать самостоятельная работа, тестовая работа, собеседование, доклад, защита проекта и т.д.

На изучение элективного курса выделено 10 часов.

Модуль числа (понятие, определение, применение в других областях науки и техники). Простейшие уравнения с модулем (решение уравнений по определению)

Решение уравнений с модулем (продолжение). Уравнения, содержащие два модуля

Уравнения, содержащие два модуля и более модуля

Неравенства с модулем

Графики функций, содержащие модуль

Простейшие системы уравнений и неравенств с модулем

Решение простейших уравнений и неравенств с модулем

Тема 1. Модуль числа (понятие, определение, применение в других областях науки и техники). Простейшие уравнения с модулем (решение уравнений по определению). Решение простейших уравнений с модулем вида:

Определение: абсолютной величиной (или модулем) числа, а называется:

Пример 1. Решить уравнение:

Решение. По определению имеем:

Пример 2. . Решить уравнение: |

Решение.

Пример 3. Решить уравнение:

Решение. По свойству модуля выражение | неотрицательно, поэтому это выражение, никогда не может быть равно (-20).

Уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.

Пример 4. Решить уравнение:

Решение. 1). Найдем значения переменной, при которых выражение, стоящее под знаком модуля, обращается в нуль

2). разбивает область допустимых значений переменной на промежутки, на каждом из которых выражение, стоящее под знаком модуля, сохраняет знак.

_{-1 х}

3). На каждом из найденных промежутков решаем уравнение без знака модуля. а).

б). система не имеет решений, т.к. не входит в рассматриваемый промежуток .

4). Совокупность (объединение) решений и составляет все решения рассматриваемого уравнения.

Задачи для самостоятельной работы.

Решите уравнения, используя определение модуля.

.

.

.

.

|.

.

.

Свойства модуля действительного числа.

Тема 2. Решение уравнений с модулем (продолжение).

Уравнения, содержащие два модуля. Решение уравнений вида

При решении уравнений вида традиционным способом, в несложных случаях можно возвести обе части уравнения в квадрат, избавившись от модуля и получив равносильное уравнение

Пример 1. Решить уравнение: .

Решение. Возведем обе части уравнения в квадрат. Получим квадратное уравнение ,

Ответ:

Задачи для самостоятельной работы.

.

.

2

Решите уравнение

Если уравнение имеет несколько корней, то в ответе запишите их сумму.

Найдите разность между наибольшим и наименьшим корнем уравнения .

Тема 3 . Уравнения, содержащие два модуля и более. Решение уравнений вида:

(уравнения с “вложенными” модулями),

При решении уравнений, содержащих два или более модулей можно использовать, кроме обычных способов, метод интервалов.

Пример 1. Решить уравнение

Решение. 1. Найдем значения переменной, при которых подмодульные выражения обращаются в нуль:

Определим знаки подмодульных выражений на трех образовавшихся промежутках:

— — + — + +

3 х

3. Оба модуля раскрываются со знаком «+»

Первый модуль раскрываем со знаком «+», а второй – со знаком «-»

система не имеет решений.

Оба модуля раскрываются со знаком «-»

Ответ:

Пример 2. Решить уравнение

Решение. 1. Раскрываем внутренний модуль со знаком «+»

или

.

Раскрываем внутренний модуль со знаком «-»

или

система не имеет решений. система не имеет решений.

Задачи для самостоятельной работы.

Найдите разность между наибольшим и наименьшим корнем уравнения .

Найдите сумму корней уравнения

5.Решите уравнение

Тема 4. Неравенства, содержащие модуль.

Решение неравенств вида:

.

Принцип решения неравенств, содержащих модули, аналогичен решению соответствующих уравнений. Отличие состоит в том, что при решении уравнений широко используется проверка, а при решении неравенств это часто вызывает затруднения. Следовательно, при решении неравенств необходимо использовать равносильные переходы, некоторые неравенства решаются с помощью замены переменной. Но более рационально — перейти к двойному неравенству или к равносильной системе двух неравенств

а также переходя к равносильной совокупности двух неравенств

Пример 1. Решить неравенство:

Решение. Так как , то . Обозначим Получим квадратное неравенство относительно : решив которое получим . , а т.к. модуль всегда неотрицателен, то левая часть этого двойного неравенства выполняется при всех значениях , поэтому надо решить

Пример 2. Решить неравенство:

Решение. 1. ; .

2. — — — + + +

В результате раскрытия модулей получаем три системы:

которые необходимо решить.

Пример 3. Решить неравенство: 2.

Решение. 2

Ответ:

Задачи для самостоятельной работы.

Решит e неравенство и для каждого укажите наименьшее положительное число

1).

2).

3).

4).

1).

2).

Тема 5. Построение графиков функций

Построение графика функции части графика функции лежащие выше оси ОХ и на оси ОХ, остаются без изменения, а лежащие ниже оси ОХ – симметрично отражаются относительно этой оси (вверх).

Замечание: функция неотрицательна (ее график расположен в верхней полуплоскости).

Построение графика функции часть графика функции лежащая левее оси ОУ, удаляется, а часть, лежащая правее оси ОУ — остается без изменения и, кроме того, симметрично отражается относительно оси ОУ (влево). Точка графика, лежащая на оси ОУ, остается неизменной.

Замечание: функция четная (её график симметричен относительно оси ОУ).

Пример 1. Построить график функции у =

Построение. 1. Построим график функции у = 2х.

у