Решение уравнений и неравенств с параметрами проект

Творческий проект » Задачи с параметрами».

Мы не случайно захотели рассмотреть данную тему. В последние годы на ГИА предлагались так называемые задачи с параметрами — уравнения, неравенства или системы уравнений, содержащие параметры . При решении задач с параметрами приходится все время производить несложные, но последовательные рассуждения, составлять для себя логическую схему решаемой задачи . Основная трудность их решения состоит в том, чтоб внимательно следить за возникающим ветвлением и аккуратно учитывать все возможности. Такие задачи — незаменимое средство для тренировки логического мышления, их решение позволяет намного лучше понять обычные, без параметров , задачи .

С учётом этого был разработан проект «Задачи с параметрами». Изучили теоретический материал по теме, обработали и систематизировали. В связи с этим вытекает следующая цель и задачи: .

Цель работы: Сформировать умения и навыки решения задач с параметрами для подготовки к ГИА.

1. Изучить алгоритм решения некоторых задач с параметрами. 2. Научиться выбирать способ решения задач с параметрами. 3.Развивать свои навыки исследовательской и познавательной деятельности.

Данный вопрос изучен всесторонне, но каждый заново открывает для себя искусство решения задач с параметрами .
Исследование поможет учителям и учащимся 7- 9х классов в подготовке к ГИА.
Главной особенностью работы является ориентированность её на возможность самостоятельного овладения учащимися содержанием.

Скачать:

Предварительный просмотр:

«Задачи с параметрами»

Автор работы: Куликова Олеся

Место выполнения работы:

МОУ СОШ №12, 10 класс

Руководитель: Полянская Нина Николаевна

учитель математики МОУ СОШ № 12

г.Новоалександровск, 2014 г

II. Основная часть………………………………………………………………………………4
1. Знакомство с параметром …………………………………………………………………4
2. Что значит решить задачу с параметрами . 5 3. Основные типы задач с параметрами……………………………………………………….5 4. Алгоритмы решения задач с параметрами………………………………………………….6

1. Решение линейных уравнений………………………………………………………6
2. Решений линейных неравенств………………………………………………. ……6
3. Решение систем линейных уравнений с параметрами…… ………………………7
4. Решение квадратных уравнений……………………………………………………..7
5. Решение квадратных неравенств…………………………………………………….8

5. Решение заданий с параметрами по текстам ГИА………………………………………….8

Приложение 1. Алгоритм решения уравнения с параметром первой степени.

Приложение 2. Алгоритм решения неравенства к(х) > b(a).

Приложение 3. Алгоритм решения квадратного уравнения с параметром А(а)х + В(а)х + С(а) =0 .

Приложение 4. Алгоритм решения квадратных неравенств А(а)х 2 + В(а)х + С(а)  0.

В последние годы на ГИА предлагались так называемые задачи с параметрами — уравнения, неравенства или системы уравнений, содержащие параметры . При решении задач с параметрами приходится все время производить несложные, но последовательные рассуждения, составлять для себя логическую схему решаемой задачи . Основная трудность их решения состоит в том, чтоб внимательно следить за возникающим ветвлением и аккуратно учитывать все возможности. Поэтому такие задачи — незаменимое средство для тренировки логического мышления, их решение позволяет намного лучше понять обычные, без параметров , задачи .

Данный вопрос изучен всесторонне, но каждый заново открывает для себя искусство решения задач с параметрами .
Исследование поможет учителям и учащимся 7- 9х классов в подготовке к ГИА.
Главной особенностью работы является ориентированность её на возможность самостоятельного овладения учащимися содержанием.

В работе задачи сформированы по основным темам алгебры 7-9 классов:

— решение линейных уравнений; — решение линейных неравенств; — решение квадратных уравнений; — решение квадратных неравенств; — решение системы уравнений, неравенств.

В каждой теме в начале дан алгоритм решения и представлено решение некоторых задач. Работа поможет учащимся привить интерес к решению задач с параметрами в процессе самоподготовки.
В связи с этим вытекает следующая цель и задачи: .

Цель работы : Сформировать умения и навыки решения задач с параметрами для подготовки к ГИА.

1. Изучить алгоритм решения некоторых задач с параметрами. 2. Научиться выбирать способ решения задач с параметрами. 3.Развивать свои навыки исследовательской и познавательной деятельности.

1. Знакомство с параметром

Если в уравнении некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, а уравнение параметрическим.

Поскольку в школьных учебниках нет определения параметра, мы предлагаем взять за основу следующий его простейший вариант.

Определение. Параметром называется независимая переменная, значение которой в задаче считается заданным фиксированным или произвольным действительным числом, или числом, принадлежащим заранее оговоренному множеству.

В качестве примера рассмотрим уравнение: в(в – 1)х=в +в+2

в этом уравнении х обозначено неизвестное число, а буква в выполняет роль известного фиксированного числа. Это уравнение является линейным уравнением с параметром в .

Придавая в различные значения, мы будем получать различные уравнения с числовыми коэффициентами. При различных в получаем различные уравнения из данного семейства уравнений, определяемых параметром в .

в =2 2х=4 имеет единственный корень
в = – 0,5 0,75х = – 2,25 также имеет единственный корень
в = 1 0х = 0 множество корней

в = 0 0х = – 2 корней нет

Итак, решая уравнение в(в – 1)х=в +в+2 , мы должны рассмотреть случаи:

3) когда В результате получаем следующие возможные решения:

При уравнение имеет единственный корень

При уравнение корней не имеет

При в=1 уравнение имеет бесконечное множество корней

2. Что значит решить задачу с параметрами ?

Решить уравнение с параметрами означает

1. Определить, при каких значениях параметров существуют решения. 2. Для каждой допустимой системы значений параметров найти соответствующее множество решений.

3. Основные типы задач с параметрами.

Тип 1. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, которые необходимо решить либо для любого значения параметра (параметров), либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству. Этот тип задач является базовым при овладении темой «Задачи с параметрами», поскольку вложенный труд предопределяет успех и при решении задач всех других основных типов.

Тип 2. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра (параметров). При решении задач данного типа нет необходимости ни решать заданные уравнения, неравенства, их системы и совокупности и т. д., ни приводить эти решения; такая лишняя в большинстве случаев работа является тактической ошибкой, приводящей к неоправданным затратам времени.

Тип 3. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения, неравенства, их системы и совокупности имеют заданное число решений (в частности, не имеют или имеют бесконечное множество решений).

Тип 4. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения. Например, найти значения параметра, при которых: 1) уравнение выполняется для любого значения переменной из заданного промежутка;
2) множество решений первого уравнения является подмножеством множества решений второго уравнения и т. д.

4. Алгоритмы решения задач с параметрами.

4.1. Решение линейных уравнений с параметрами

Определение. Уравнение вида аx=b , где х – переменная , а и b — некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной .

Алгоритм решения уравнения с параметром первой степени. (Приложение 1)

Задание №1. Решите уравнение ax =1.

Решение: если а = 0 , то нет решения ; если а  0 , то х = Ответ: если а  0 , то х = ; если а = 0 , то нет решения.

Задание №2. Для каждого значения параметра а найдите количество корней уравнения ах=8. Рассмотрим уравнение: а =

у = а — семейство горизонтальных прямых;

у= — графиком является гипербола.

Ответ: Если а = о, то уравнение решений не имеет. Если а ≠ о, то одно решение.

Задание №3 . При каких значениях а, уравнение не имеет решений?

Решение : х  -2 , дробь равна нулю, когда х =а , значит уравнение не имеет решение если а = -2.

Ответ: при а = -2 нет решений

4.2.Решение линейных неравенств с параметром

Алгоритм решения неравенства к(х) > b(a) (Приложение 2)

Задание №4 .Решите неравенство: ( а -4) х + а -5>0.

Решение: ( а -4) х >5- a . если а >4,то х > если а х

если то х – любое из R . если , то нет решений .

Задание №5 . Для каждого значения параметра а найдете решение неравенства ax +1 >0.

Решение: если а =0,то 0 х +1>0, 0 x >-1 при любом х .

если а >0, то х >- если a х

Ответ: при а =0 , х любое ; при а >0, х >- ; при a х

4.3.Решение систем линейных уравнений с параметрами

Системой двух уравнений первой степени с двумя неизвестными х и у называется система вида

Решение данной системы — это пары чисел ( х; у ), являющиеся решениями одновременно и первого, и второго уравнения .

Если , то система имеет единственное решение. Если , то система не имеет решений. Если , то система имеет бесконечно много решений.

Задание №6 . При каких значениях параметра а система а) имеет бесконечное множество решений; б) имеет единственное решение?

Решение: а) , а =4; б) , а  4 .

Ответ: а) если а =4, то система имеет множество решений; б) если а  4 , то одно решение.

4.4.Решение квадратных уравнений с параметрами

Уравнение вида ах 2 + bx + c =0, где х – переменная, а  0 называется квадратным. Корни квадратных уравнений х 1 ; х 2 причем х 1  х 2 . Дискриминант квадратного уравнения D = b 2 –4 ac Теорема Виета: х 1 + х 2 = — , х 1 х 2 = .

Алгоритм решения квадратного уравнения с параметром А(а) х +В (а) х +С(а) =0 (Приложение 3).

Задание №7 . .Найти все значения параметра а, при которых уравнение

x 2 –2( а -2) х + а 2 –2 a -3=0 имеет два различных положительных корня.

Решение: D > 0, 4( а -2) 2 –4( а 2 -2 а -3)>0, а

По теореме Виета условием положительности корней будет a >3

4.5.Решение квадратных неравенств параметрами

Алгоритм решения квадратных неравенств А(а)х 2 + В(а)х + С(а)  0 (Приложение 4)

Задание №8 . . При каких значениях параметра а неравенство ( а +6) х 2 -( а +3) x +1

Решение: если нет решений

если нет решений

5. Решение заданий с параметрами по текстам ГИА.

Задание № 9 . Найдите значения р , при которых парабола у=-2х 2 +рх-50 касается оси х . Для каждого значения р определите координаты точки касания.

Решение: Парабола у=-2х 2 +рх-50 касается оси х значит квадратный трехчлен -2х 2 +рх-50 имеет единственный корень. Следовательно дискриминант этого квадратного трехчлена равен 0: D=p 2 -400, p 2 -400=0, p= ±20.

При p= -20, у=-2х 2 -20х-50, у=-2(х+5) 2 , х=-5 – абсцисса точки касания параболы с осью х , (-5;0) – координаты точки касания.

При p= 20, у=-2х 2 +20х-50, у=-2(х-5) 2 , х=5 – абсцисса точки касания параболы с осью х , (5;0) – координаты точки касания.

Ответ: при p= -20, координаты точки касания – (-5;0); при p= 20 — (5;0).

Задание № 10 . Найдите все отрицательные значения параметра а , при которых неравенство ах 2 + (а-6) х + а ≥ 0 не имеет решений.

Решение: Неравенство ах 2 + (а-6) х + а ≥ 0 не имеет решений при отрицательных а, если дискриминант уравнения ах 2 + (а-6) х + а ≥ 0 меньше нуля, т.е. D = (а-6) 2 -4а∙а Получаем:

Решая методом интервалов получим а

Задание № 11. Найдите все значения k, при которых прямая y=kx пересекает ровно в двух различных точках график функции, заданной условиями:

Решение: Построим график данной функции
у=

Прямая у= kx пересекает график функции в двух различных точках, если:

1. Угловой коэффициент прямой больше углового коэффициента прямой у=0 и меньше либо равен угловому коэффициенту прямой, проходящей через точку с координатами (-2;-1);
2. Угловой коэффициент прямой больше либо равен угловому коэффициенту прямой, параллельной прямой у=х-2 и меньше углового коэффициента прямой, параллельной прямой у=3х+5.

1. Найдем угловой коэффициент прямой, проходящей через точку с координатами (-2;-1): -1= -2k; k = 0,5.

Угловой коэффициент прямой у=0 равен 0. Получаем: 0

1. Угловой коэффициент прямой, параллельной прямой у = х-2, равен 1, а прямой, параллельной прямой у=3х+5, равен 3. Получаем: 1 ≤ k

Ответ: ( 0; 0,5 ] U [ 1; 3).

Итак, в ходе данного исследования я узнала, что такое параметры, параметрические уравнения и неравенства, что значит решить задачу с параметрами, мною изучен алгоритм решения наиболее распространенных задач с параметрами. Познакомилась с четырьмя основными типами задач с параметрами. Определены сложности, возникающие при решении этих задач. Причем самым трудным в их решении является выбор способа решения и отслеживание возникающих ветвлений.

Проделанная работа по созданию проекта не только обогатила меня новыми знаниями и умениями, требовала самостоятельности, способствовала развитию логического мышления, но и помогла при подготовке к ГИА.

1. Горбачев В.И. Общие методы решения уравнений и неравенств с параметрами. М., Математика в школе №6/99 с.60-68

2. Звавич Л.И. и др. Алгебра и начала анализа. 3600 задач для школьников и поступающих в вузы.- М.: Дрофа. 1999 г. – 382 с.

3. Кожухов С.К. Об одном классе параметрических задач. – М., Математика в школе, №3/96 с.45-49

4. Кожухов С.К Различные способы решений задач с параметрами. – М., Математика в школе, №6/98 с.9-12

5. Крамар В.С. Примеры с параметрами и их решения. Пособие для поступающих в вузы. – М.:АРКТИ 200 – 48 с.

6. Мещерякова Г.П. Задачи с параметром, сводящиеся к квадратным уравнениям. М., Математика в школе, №5/2001 с.60-62

7. Ястребинецкий Г.А. Уравнения и неравенства, содержащие параметры. М.: Просвещение, 1972г.

Рецензируемая работа посвящена актуальной проблеме – решению задач с параметрами для подготовки к государственной итоговой аттестации. Задачи с параметрами традиционно представляют для учащихся сложность в логическом, техническом и психологическом плане. Однако именно решение таких задач открывает перед учащимися большое число эвристических приемов общего характера, применяемых в исследованиях на любом математическом материале. Автор работы понимает, что д анный вопрос в математике изучен всесторонне, но ученица заново открывает для себя искусство решения задач с параметрами.

Основная часть рецензируемой работы представляет собой изучение теоретических сведений о задачах с параметрами.

В работе задачи сформированы по основным темам алгебры 7-9 классов:

— решение линейных уравнений;

— решение линейных неравенств;

— решение квадратных уравнений;

— решение квадратных неравенств;

— решение системы уравнений, неравенств.

В каждой теме в начале дан алгоритм решения и представлено решение некоторых задач. Работа написана живо и хорошим математическим языком. Автором и зучен алгоритм решения некоторых задач с параметрами. Она научилась выбирать способ решения задач с параметрами. Автор работы проявила личную заинтересованность и самостоятельность в проделанной работе, научилась отдельным приёмам исследовательской работы. В конце работы приведён довольно большой список использованной литературы.

Работа представляет практический интерес, поскольку может быть использована как пособие для элективных курсов и факультативных занятий. Главной методической особенностью работы является ориентированность её на возможность самостоятельного овладения учащимися содержанием.

Рецензировала учитель математики Полянская Н.Н

Творческие проекты и работы учащихся

В процессе работы над индивидуальным проектом по математике «Решение уравнений с параметром» учеником 11 класса школы была поставлена и реализована цель, изучить различные способы решения задач с параметрами, решить ряд аналогичных заданий, чтобы подготовиться к решению примеров с параметрами на ЕГЭ.

Подробнее о проекте:

В готовом творческом и исследовательском проекте по математике «Решение уравнений с параметром» автор анализирует задания с параметром из ЕГЭ прошлых лет, систематизирует все задания по видам, показывает способы решения в общем виде, подбирает по несколько подобных примеров на каждый вид для самостоятельного решения. К концу учебного года 19/20 автор планирует создать методичку для подготовки к решению заданий с параметром из ЕГЭ.

Оглавление

Введение
1. Методы решения заданий с параметром.
1.1. Аналитический метод.
1.2. Графический метод.
1.3. Метод решения относительно параметра.
2. Виды уравнений с параметром.
3. Решение уравнений с параметром.
4. Задания для самостоятельного решения.
Заключение
Литература

Введение

На ЕГЭ встречаются два типа задач с параметрами. Первый «для каждого значения параметра найти все решения некоторого уравнения или неравенства». Второй «найти все значения параметра, при каждом из которых решения уравнения или неравенства удовлетворяют заданным условиям».

И ответы в задачах этих двух типов различаются по существу. В задачах первого типа ответ выглядит так: перечисляются все возможные значения параметра и для каждого из этих значений записываются решения уравнения. В ответах второго типа задач с параметром перечисляются все значения параметра, при которых выполнены условия задачи.

Противоречие: многие ученики не приступают к решению задания с параметром на ЕГЭ, даже несмотря на то, что оно высоко оценивается.

Проблема: как подготовиться к решению заданий с параметрами из ЕГЭ

Цель проекта: изучение различных способов решения задач с параметрами.

Задачи:

• Проанализировать задания с параметром из ЕГЭ прошлых лет
• Систематизировать все задания по видам
• Показать способы решения в общем виде
• Подобрать по несколько подобных примеров на каждый вид для самостоятельного решения
• к концу учебного года 19/20 создать методичку для подготовки к решению заданий с параметром из ЕГЭ

Данная методическая разработка «Решение уравнений с параметрами» предназначена для учащихся 11-х классов, желающих углубить и расширить свои знания по математике. Для тех, кто готовится к поступлению в высшие учебные заведения.

Актуальность проекта обусловлена тем, что многим ученикам будет гораздо легче подготовиться к ЕГЭ, используя эту разработку.

По данным только около 10% выпускников приступают к решению таких задач, и процент верного решения всего 2–3%, поэтому приобретение навыков решения трудных, нестандартных заданий, в том числе задач с параметрами, учащимися школ по-прежнему остается актуальным.

Продукт проекта: методическая разработка для подготовки к ЕГЭ (задание с параметром).

Этапы работы над проектом:

Заключение

Во время создания данного проекта я взялся за детальное рассмотрение параметра на примерах математических задач. Ведь параметры встречаются гораздо чаще, чем мы себе представляем. Изучение многих процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. Включая такое большое количество столкновений, пусть и косвенных, с параметром, я пришел к выводу, что необходимо изучать данную тему более детально. Также, решение уравнений с параметром способствует развитию логического и вариативного мышление человека, что позволит ему улучшить свои знания и умения. В моей работе рассмотрены часто встречающиеся типы уравнений, и я надеюсь, что знания, которые я получил в процессе работы, а также использовал при выполнении данной проектной работы, помогут мне и другим одиннадцатиклассникам при сдаче ЕГЭ. Выполняя данную работу, я ставил цель более глубокого изучения этой темы, выявления наиболее рациональных способов решения. На мой взгляд, графо-аналитический метод является самым удобным и наглядным способом решения уравнений с параметрами, так как при таком решении можно наглядно увидеть все корни и гораздо легче заметить ошибки.

Исследовательская работа по математике «Уравнения с параметрами»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Научное общество учащихся «Поиск»

БОУ «Тарская гимназия № 1 им. А.М. Луппова»

Тема: Решение уравнений,

Научное направление: математика

Ученица 8 «Б» класса

БОУ «Тарская гимназия № 1

Драгун Анна Петровна

БОУ «Тарская гимназия № 1

Селюкова Любовь Владимировна

Глава 1. Уравнения с параметром…………………………………………………. …. …5

Глава 2. Методы решения уравнений, содержащих параметр…………………………. 8

Глава 3. Решение уравнений с параметром……………………………………………. 10

Список используемой литературы………………………………………………………. 15

Для современного школьника основной задачей в школе является успешная сдача ОГЭ, а затем ЕГЭ. Но, к сожалению, времени на уроках недостаточно для глубокого и основательного изучения некоторых тем.

В 7 классе мы изучали линейные уравнения вида ax = b , в 8 познакомились с квадратными уравнениями ax 2 + bx + c = 0 , содержащими параметр .

Задания с параметром очень интересные, однако они требуют особого внимания к себе. Для успешного решения таких задач нужно овладеть основными приёмами и методами исследования условия задачи, научиться классифицировать задания по виду и по способам решения. Это связано с тем, что каждое уравнение с параметром представляет собой целый класс обычных уравнений, для каждого из которых должно быть получено решение.

В школьных учебниках по математике в последнее время всё чаще стали появляться уравнения, неравенства и системы, содержащие параметр. Также подобные задачи включены в ОГЭ и ЕГЭ.

Анализ предыдущих результатов ГИА и ЕГЭ показывает, что школьники с большим трудом решают задания с параметром, а многие даже не приступают к ним, либо приводят громоздкие вычисления [11]. Причиной этого является отсутствие системы знаний по данной теме.

При решении заданий с параметром в 8 классе возникает много сложностей, поэтому чтобы лучше понять, усвоить материал, мы решили заняться подробным изучением и исследованием темы «Решение уравнений, содержащих параметр».

В данной работе мы рассмотрим различные методы решения уравнений с параметром, это поможет в будущем успешно сдать экзамены. Наша работа состоит из двух частей: теоретической и практической. В теоретической части мы попытаемся определить понятие «уравнения с параметром» и описать все способы решения подобных уравнений. В практической части мы предложим решение для некоторых уравнений, содержащих параметр.

Задачи с параметром помогают овладеть формулами элементарной математики, методами решения уравнений и неравенств, умением выстраивать цепочку рассуждений, повышают уровень логического мышления у учащихся, что необходимо для успешной сдачи ОГЭ и ЕГЭ, поэтому нашу работу можно назвать актуальной.

Объектом исследовательской работы являются уравнения с параметром.

Предметом исследования мы избрали различные методы решения уравнений, содержащих параметр.

Целью работы является углубленное изучение методов решения уравнений с параметром.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи :

Изучить литературу по теме исследования

Раскрыть понятие «уравнение с параметром»

Рассмотреть различные методы и способы решения уравнений с параметром

Решить некоторые уравнения, содержащие параметр с помощью различных методов

Для построения графиков использовать программу FX Draw

Глава 1. Уравнения с параметром

Уравнение с параметром – это уравнение, в котором некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами (параметрами). Такие уравнения называют еще параметрическими. [7; с. 164]

Задачи с параметром можно условно разделить на два типа:

В условии сказано: решить уравнение (неравенство, систему) – это значит, для всех значений параметра найти все решения. Если хотя бы один случай остался неисследованным, признать такое решение удовлетворительным нельзя;

Требуется указать возможные значения параметра, при которых уравнение (неравенство, система) обладает определенными свойствами. Например, имеет одно решение, не имеет решений, имеет решения, принадлежащие промежутку и т. д. В таких заданиях необходимо четко указать, при каком значении параметра требуемое условие выполняется. [ 10]

Сложное уравнение с параметром, как правило, сводится к более простому — линейному. Поэтому существует такой алгоритм действий:

Найдем множество всех доступных значений параметров;

Перенесем все члены, содержащие неизвестное, в левую часть уравнения, а все члены, не содержащие неизвестного в правую;

Приведем подобные слагаемые;

Решаем уравнение вида ax = b. [12]

Для того чтобы начать решать уравнения с параметром, необходимо вспомнить все ранее изученное.

Равенство с переменной x : f ( x ) = g ( x ) называется уравнением с одной переменной x . Всякое значение переменной x , при котором выражения f ( x ) и g ( x ) принимают равные числовые значения, называется корнем уравнения. Решить уравнение – это значит найти его корни или доказать, что их нет. [5; с. 131]

Например, уравнение 3 + x = 7 имеет единственный корень 4, так как при этом и только при этом значении переменной 3 + x = 7 – верное равенство.

Линейным уравнением с одной неизвестной x называют уравнение вида ax = b , где a и b – действительные числа; a называют коэффициентом при переменной, b – свободным членом.

Для линейного уравнения ax = b могут представиться три случая:

a  0; в этом случае корень уравнения равен ;

a = 0, b = 0; в этом случае уравнение принимает вид 0 ∙ x = 0, что верно при любом x , т.е. корнем уравнения служит любое действительное число;

a = 0, b  0; в этом случае уравнение принимает вид 0 ∙ x = b , оно не имеет корней.[8; с. 21]

Задача: Решить уравнение x + = 0

Решение: x = —

x = — :

x = —

Ответ: —

Уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где a , b , c – действительные числа, причем a  0, называют квадратным уравнением. Если a = 1, то квадратное уравнение называют приведенным; если a  1 – то неприведенным. Числа a , b , c носят следующие названия: a – первый коэффициент, b – второй коэффициент, c – свободный член.

Корни уравнение ax 2 + bx + c = 0 находятся по формуле .

Выражение D = b 2 – 4 ac называют дискриминантом квадратного уравнения.

Если D > 0, то уравнение имеет два различных действительных корня

Если D = 0, то уравнение имеет два совпадающих действительных корня. В этом случае говорят, что уравнение имеет один корень.[5; с. 133]

Используя обозначение D = b 2 – 4 ac , можно переписать формулу .

в виде .

Задача: Решить уравнение 2 x 2 – 5 x + 2 = 0

Решение: D = (-5) 2 – 4 ∙ 2 ∙ 2 = 9, D > 0

, .

Ответ: x ₁ = 2, x ₂ =

Если в квадратном уравнении ax 2 + bx + c = 0 второй коэффициент b или свободный член c равен нулю, то квадратное уравнение называют неполным. Для неполного уравнения формула нахождения корней такая: .

Задача: Решить уравнение 2 x 2 – 5 x = 0

Для приведенных квадратных уравнений существует теорема Виета, она заключается в том, что если приведенное квадратное уравнение x 2 + px + q = 0 имеет действительные корни, то их сумма равна – p , а произведение равно q , т.е.

Теорема Виета . Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. [1; с. 81]

Биквадратным называется уравнение вида ax 4 + bx 2 + c = 0, где a  0. Биквадратное уравнение решается методом введения новой переменной: положив x 2 = у , придем к квадратному уравнению ay 2 + by + c = 0.[5; с. 143]

Задача: Решить уравнение x 4 + 4 x 2 – 21 = 0

x ₁ =

x ₂ =

Ответ:

Глава 2. Методы решения уравнений

В этой главе мы рассмотрим два основных метода решения уравнений с параметром: аналитический и графический.

Во многих задачах параметр рассматривается как фиксированное, но неизвестное число. Между тем с формальной точки зрения параметр – это переменная, причем «равноправная» с другими, присутствующими в примере. К примеру, при таком взгляде на параметр формы f ( х ; а ) задают функции не с одной (как ранее), а с двумя переменными. Подобная интерпретация, естественно формирует аналитический метод решения уравнений с параметром. [3; с. 65]

Прежде, чем приступить к решению задачи с параметрами аналитическим методом, нужно разобраться в ситуации для конкретного числового значения параметра. Например, возьмите значение параметра α =1 и ответьте на вопрос: является ли значение параметра α = 1 искомым для данной задачи.

Далее уже на конкретном примере попробуем разобраться в аналитическом методе решения уравнений с параметром.

Задача: При каких значениях параметра a уравнение ax 2 + ( a + 4) x + 4 = 0

а) имеет единственный корень; б) имеет два корня?

Решение: а) При a = 0 уравнение ax 2 + ( a + 4) x + 4 = 0 имеет вид 4 x + 4 = 0, оно является уравнением первой степени и имеет единственный корень.

При любом a  0 уравнение ax 2 + ( a + 4) x + 4 = 0 квадратное, его дискриминант равен D = ( a + 4) 2 – 16 a = ( a – 4) 2 . Уравнение ax 2 + ( a + 4) x + 4 = 0 имеет единственный корень, если D = 0, т.е. если a = 4.

б) Пусть теперь a – любое действительное число, но a  4, тогда уравнение ax 2 + ( a + 4) x + 4 = 0 квадратное и оно имеет дискриминант D = ( a – 4) 2 . Очевидно, что D > 0, т.к. a  4. В этом случае уравнение ax 2 + ( a + 4) x + 4 = 0 имеет два корня.

Ответ: а) При a = 0 и при a = 4; б) при a > 4

Второй метод – графический. На практике он довольно часто оказывается полезным. При решении задач с параметрами иногда удобно строить графики в плоскости ( х,0,у ), а иногда лучше рассмотреть графики в плоскости ( х,0,а ), где х – независимая переменная, а « а » – параметр. Суть графического метода заключается в том, что для решения уравнения f ( x ) = 0 строят график функции y = f ( x ) и находят абсциссы точек пересечения графика с осью x ; эти абсциссы и являются корнями уравнения. Так, для решения уравнения ax 2 + bx + c = 0 достаточно построить график квадратичной функции y = ax 2 + bx + c и найти абсциссы точек пересечения этого графика с осью x .

При решении уравнений f ( х, а ) = 0 надо помнить, что в первую очередь рассматривают решение при тех значениях параметра, при которых обращается в ноль коэффициент при старшей степени х квадратного трехчлена f ( х, а ), понижая тем самым степень. Квадратное уравнение А( а ) х 2 + В( а ) х + С( а ) = 0 при А( а ) = 0 превращается в линейное, если при этом В( а ) ≠ 0, а методы решения квадратных и линейных уравнений различны.

Графический способ определения числа корней уравнения в зависимости от входящего в него параметра является более удобным, чем аналитический.

Алгоритм решения уравнений с параметром графическим методом :

Находим область определения уравнения.

Выражаем a как функцию от х .

В системе координат строим график функции a ( х ) для тех значений х , которые входят в область определения данного уравнения.

Находим точки пересечения прямой a = с , с графиком функции

a ( х ). Если прямая a = с пересекает график a ( х ), то определяем абсциссы точек пересечения. Для этого достаточно решить уравнение c = a ( х ) относительно х.

Записываем ответ [ 4 ]

При решении уравнений с модулем, содержащих параметр, графическим способом, необходимо построить графики функций и при различных значениях параметра рассмотреть все возможные случаи.

Задача: Определить при каких значениях а уравнение |х 2 -2х-3| = а имеет ровно 3 различных действительных корня.

Решение: Построим график функции 1)
2) y = а

Сначала избавимся от знака модуля. У нас получится: .

Значит, у =

Это означает, что график функции у = может быть получен из графика функции y = x 2 путем переноса на одну единицу вправо и на четыре единицы вниз.

Г
рафиком функции у = а – будет прямая параллельная оси ОХ.
Из графика видно, что только при значении а = 4 уравнение имеет 3 корня.

Задача: Найти сумму целых значений числа a , при которых уравнение | x 2 – 2 x – 3| = a имеет четыре корня.

Решение. Чтобы ответить на вопрос задачи, построим на одной координатной плоскости графики функций

График первой функции y = | x 2 – 2 x – 3| будет получен из графика параболы y = x 2 – 2 x – 3 путем симметричного отображения относительно оси абсцисс той части графика, которая находится ниже оси Ox. Часть графика, находящаяся выше оси абсцисс, останется без изменений.

Проделаем это поэтапно. Графиком функции y = x 2 – 2 x – 3 является парабола, ветви которой направлены вверх. Чтобы построить ее график, найдем координаты вершины. Это можно сделать по формуле x ₀ = . Таким образом, x ₀ = = 1. Чтобы найти координату вершины параболы по оси ординат, подставим полученное значение для x ₀ в уравнение рассматриваемой функции. Получим, что y ₀ = 1 – 2 – 3 = -4. Значит, вершина параболы имеет координаты (1; -4).

Далее нужно найти точки пересечения ветвей параболы с осями координат. В точках пересечения ветвей параболы с осью абсцисс значение функции равно нулю. Поэтому решим квадратное уравнение x 2 – 2 x – 3 = 0. Его корни и будут искомыми точками. По теореме Виета имеем x ₁ = -1, x ₂ = 3.

В точках пересечения ветвей параболы с осью ординат значение аргумента равно нулю. Таким образом, точка y = -3 есть точка пересечения ветвей параболы с осью y. Полученный график изображен на рисунке 1.

Чтобы получить график функции y = | x 2 – 2 x – 3|, отобразим симметрично относительно оси x часть графика, находящуюся ниже оси абсцисс. Полученный график изображен на рисунке 2.

График функции y = a – это прямая, параллельная оси абсцисс. Он изображен на рисунке 3. С помощью рисунка и находим, что графики имеют четыре общие точки (а уравнение – четыре корня), если a принадлежит интервалу (0; 4).

Целые значения числа a из полученного интервала: 1; 2; 3. Чтобы ответить на вопрос задачи, найдем сумму этих чисел: 1 + 2 + 3 = 6.

Сочетание аналитического способа решения с графической интерпретацией полученных результатов позволяет сделать процесс решения уравнений с параметрами более осознанным, способствуя при этом формированию элементов исследовательской деятельности. [ 12 ]

Глава 3. Решение уравнений с параметром

Пример 1. Решите уравнение ах = а

Решение. Если а = 0 , то 0 ∙ х = 0

х – любое действительное число

Если а  0 ,то х =

Пример 2. Решите уравнение х + 2 = ах

Если 1 – а = 0 , т.е. а = 1 , то х 0 = ˗ 2, то корней нет

Если 1 – а  0 , т.е. а  1 , то х =

Ответ: При 1 – a = 0 нет корней; при 1 – a 0 ∙ x = .

Пример 3. При каких значениях а уравнение не имеет решений?

Решение. х  -2 , дробь равна нулю, когда х = а , значит, уравнение не имеет решений если а = — 2

Ответ. При а = — 2 нет решений.

Пример 4. Решите уравнение

Решение. При х  2 уравнение равносильно уравнению а + 3 = х – 2, откуда

х = а + 5 . Найдем значение а , при котором х = 2, 2 = а + 5, а = — 3.

Ответ. При а  — 3 , х = а + 5; при а = — 3 нет корней.

Пример 5. При каждом значении параметра a решите уравнение ax – 6 = 2 a – 3 x = 0.

Решение. Переписав уравнение в виде ( a + 3) x = 2 ( a +3) рассмотрим два случая: a + 3 = 0 и a + 3  0.

Если a = — 3, то любое действительное число x ( x  R ) является корнем уравнения ax – 6 = 2 a – 3 x = 0, т.к. 0 ∙ x = 0

Если a  — 3, то уравнение ax – 6 = 2 a – 3 x = 0 имеет единственный корень

x = = 2.

Ответ. При а = — 3, x  R ; при а  — 3, x = 2.

Пример 6. При каких значениях k число 2 находится между корнями уравнения 2 x 2 — + ( k – 3) ( k + 5) = 0?

Р
ешение. Графиком функции y = 2 x 2 — + ( k – 3) ( k + 5) является парабола, ветви которой направлены вверх ( a = 2 > 0). Число 2 находится между корнями x ₁ и x ₂ , если

2 ∙ 2 2 — ∙ 2 + k 2 +2 k – 15

Пример 7 . Найдите среднее арифметическое целых значений числа a , при которых уравнение | x 2 – 4| x | – 1| = a имеет шесть корней.

Решение. Начнем с построения графика функции y = | x 2 – 4| x | – 1|. Для этого воспользуемся равенством a 2 = | a | 2 и выделим полный квадрат в подмодульном выражении, написанном в правой части функции:

x 2 – 4| x | – 1 = | x | 2 – 4| x | — 1 = (| x | 2 – 4| x | + 4) – 1 – 4 = (| x |– 2) 2 – 5.

Тогда исходная функция будет иметь вид y = |(| x | – 2) 2 – 5|.

Для построения графика этой функции строим последовательно графики функций:

1) y = ( x – 2) 2 – 5 – парабола с вершиной в точке с координатами (2; -5); (Рис. 1).

2) y = (| x | – 2) 2 – 5 – часть построенной в пункте 1 параболы, которая находится справа от оси ординат, симметрично отображается слева от оси OY; (Рис. 2).

3) y = |(| x | – 2) 2 – 5| – часть построенного в пункте 2 графика, которая находится ниже оси x , отображается симметрично относительно оси абсцисс наверх. (Рис. 3).

Рассмотрим получившиеся рисунки:

Графиком функции y = a является прямая, параллельная оси абсцисс.

С помощью рисунка делаем вывод, что графики функций имеют шесть общих точек (уравнение имеет шесть корней), если a принадлежит интервалу (1; 5).

Это можно видеть на следующем рисунке:

Найдем среднее арифметическое целых значений параметра a :

= 3.

Пример 8. При каждом значении параметра k решите уравнение

Решение. Уравнение x 2 – (3 k – 1) x – 3 k = 0 квадратное, вычислим его дискриминант: D = (3 k – 1) 2 + 12 k = (3 k + 1) 2 .

Значит, если k  — , то D > 0, и уравнение x 2 – (3 k – 1) x – 3 k = 0 имеет два различных корня x ₁ = = 3 k и x ₂ = = — 1.

Если же k = — , то D = 0, и уравнение x 2 – (3 k – 1) x – 3 k = 0 имеет единственный корень x ₁ = = = — 1.

Ответ. при любом k  — два корня: 3 k и — 1; при k = — единственный корень — 1.

Пример 9. Найдем все значения параметра b , при каждом из которых корни x ₁ и x ₂ уравнения x 2 + bx + b + 8 = 0 различны и удовлетворяют условию + – 12 x ₁ x ₂ + 97 = 0.

Решение. Уравнение x 2 + bx + b + 8 = 0 имеет два различных корня, если выполнено условие D = b 2 – 4 ( b + 8) = b 2 – 4 b – 32 = ( b + 4) ( b – 8) > 0.

Пусть это условие выполнено, тогда уравнение x 2 + bx + b + 8 = 0 имеет два различных корня x ₁ и x ₂ и для них, по теореме Виета, справедливы равенства x ₁ + x ₂ = — b и x ₁ x ₂ = b + 8.

Преобразуем равенство + – 12 x ₁ x ₂ + 97 = 0, заменив в нем x ₁ + x ₂ и x ₁ x ₂ на – b и b + 8 соответственно:

Решив уравнение b 2 – 14 b – 15 = 0, найдем его корни b ₁ = — 1 и b ₂ = 15.

Но равенство + – 12 x ₁ x ₂ + 97 = 0 справедливо лишь тогда, когда выполняется условие D = b 2 – 4 ( b + 8) = b 2 – 4 b – 32 = ( b + 4) ( b – 8) > 0, поэтому надо проверить, выполняется ли оно при найденных значениях b .

Если b = — 1, то ( b + 4) ( b – 8) b = 15, то ( b + 4) ( b – 8) > 0.

Отсюда следует, что условия задачи выполняются лишь при b = 15.

Пример 10*. Найти все значения параметра a , при которых уравнение x 4 + ( a + 1) x 3 + (2 a + 1) x 2 – ( a + 1) x + 1 = 0 на промежутке (-∞; — 1) имеет не менее двух корней.

Приведем уравнение к виду

y 2 + ( a + 1) y + 2 a + 3 = 0, где функция y = f ( x ) = x — возрастает на промежутке (-∞; — 1) от -∞ до f (- 1) = 0. Поэтому исходное уравнение имеет не менее двух корней на промежутке (-∞; — 1) тогда и только тогда, когда полученное уравнение имеет два корня y _1,2  (-∞; — 1), т.е. когда

a + 1 > 0 a > — 1

2 a + 3 > 0 ( a – a ₁ ) ( a – a ₂ ) > 0 a > 3 +

( a + 1) 2 -4(2 a + 3) > 0 a _1,2 = 3 ±

Ответ. a > 3 + 2

Задачи с параметрами относятся к одним из самых трудных разделов школьного курса математики, так как их решение связано с умением проводить сложные логические построения. Они играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры, но, как правило, решение таких уравнений вызывает трудности.

В работе мы углубили свои знания об уравнениях с параметром, вспомнили, какие виды уравнений бывают, ввели понятие «параметрического» уравнения. Также нами были рассмотрены два метода решения уравнений: аналитический и графический. И пришли к выводу, что сочетание аналитического способа решения с графической интерпретацией полученных результатов позволяет сделать процесс решения уравнений с параметрами более осознанным, способствуя при этом формированию элементов исследовательской деятельности.

В последней главе мы представили задания, содержащие параметр и их решение различными способами. Помимо задач из учебника мы рассмотрели некоторые задания С5 из ЕГЭ.

Кроме того, мы пришли к выводу, что данная тема должна более глубоко изучаться в школьной программе, так как знания по этой теме помогут учащимся успешно сдать ОГЭ и ЕГЭ.

Таким образом, считаем, что задачи, поставленные нами, решены, цель работы достигнута.

Список используемой литературы

Алгебра. 8 класс : учеб. Для общеобразоват. учреждений / [С.М.Николький, М.К.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин]. – 9-е изд. – М. : Просвещение, 2013. – 287 с. : ил. – (МГУ – школе).

Высоцкий В. С. Задачи с параметрами при подготовке к ЕГЭ. – М.: Научный мир, 2011. -316 с.

Горбачев В.И. Общие методы решения уравнений и неравенств с параметрами. М., Математика в школе №6/99 с.60-68

Горнштейн П.И., Полонский В.Б., ЯкирМ.С. Задачи с параметрами. «Илекса», «Гимназия», Москва – Харьков, 2002. Горнштейн П.И., Полонский В.Б., ЯкирМ.С. Задачи с параметрами. «Илекса», «Гимназия», Москва – Харьков, 2002.

Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: Справ. Материалы: Кн. Для учащихся. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 1990. – 416 с.: ил.

Корянов А. Г., Прокофьев А.А. МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2012. (типовые задания С5). Функция и параметр. 2012, — 79 с.

Математика. 9 класс. Тематические тесты для подготовки к ГИА – 2012. Алгебра, геометрия, теория вероятности и статистика: учебно-методическое пособие / Под ред. Ф.Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова. – Ростов н/Д: Легион-М, 2011. – 314 с. – (ГИА-9)

Потапов М.К. Алгебра. Дидактические материалы. 8 класс / М. К. Потапов, А. В. Шевкин. – 4-е изд. – М. : Просвещение, 2010. – 111с. : ил. – (МГУ – школе). – ISBN 978-5-09-024151-9.

Ященко И. В., Шестаков С. А. Захаров П. И. Подготовка к ЕГЭ по математике в 2012 году. Методические указания. М.: МЦНМО, 2012. – 218 с.

http :// www . sholaprikumskoe . ru / e /3241666- sravnitelnyiy — analiz — gia — i — ege — s — proshiyim — god