Решение уравнений и неравенств содержащих модуль презентация

Решение уравнений и неравенств, содержащих модуль
презентация по алгебре по теме

Решение уравнений и неравенств, содержащих модуль

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Решение уравнений и неравенств, содержащих модуль Урок подготовила учитель математики ГБОУ СОШ № 476, Колпинского района г. Санкт-Петербурга Спиридонова Ирина Владимировна

Определение модуля | a | = a, если a ≥ 0 -a , если a 6 |х-6| 6 |х-6| 2 х+5 2 x 2-5 х -3 | 6 х+ 1 | х+3 Решите неравенство: |2х | > х+3 При каком b верно равенство? а) | b | =- b б) | b+ 4 | = b +4 в) | b- 5 | = 5 -b г) |6- b | b-6 = 1

Урок окончен, молодцы!

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Презентация «Метод интервалов для решения уравнений и неравенств, содержащих модуль»

Презентация подготовлена кодному из занятий элективного курса» Модули» в 9 классе.

Обобщение опыта по теме: «Построение графиков функций, решение уравнений и неравенств, содержащих переменную под знаком модуля»

В данный материал входит рабочая программа, тематическое планирование элективного курса для 9-го класса, а также элективный курс с презентациями к каждой теме. Курс расчитан для одаренных по математик.

Решение уравнений и неравенств, содержащих модули.

Программа и содержание элективного курса.

Урок алгебры в 9 классе (занятие элективного курса) по теме «Решение уравнений и неравенств, содержащих модули».

На занятии изучается методика решения уравнений и неравенств, содержащих модули. Даётся полная классификация уравнений и неравенств с модулем. К каждому типу уравнений и неравенств подобраны примеры. .

Разработка урока по теме «Решение уравнений и неравенств, содержащих модуль» в 10-м классе (профил.уровень)

Разработка урока по теме «Решение уравнений и неравенств, содержащих модуль» в 10-м классе (профильная группа). Урок систематизации и обобщения изученного материала. (По учебнику Алгебра 10-11 класс. .

Рабочая программа «Решение уравнений и неравенств содержащих переменную под знаком модуля»

Открытый урок по теме:«Решение уравнений и неравенств, содержащих знак модуля»

Цель урока: Обобщить и систематизировать знания учащихся по теме «решение уравнений, содержащих знак модуля» (в частности, тригонометрических) и познакомить их с основными алгоритмами реше.

Презентация по теме «Уравнения и неравенства, содержащие переменную под знаком модуля»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Разработала: Богданова Ольга Николаевна учитель математики МКОУ «Овечкинская средняя общеобразовательная школа Завьяловского района» Алтайского края ТЕМА

Обобщить и систематизировать знания о модуле, полученные ранее Формировать умения решать уравнения и неравенства, содержащие переменную под знаком модуля Формировать умения строить графики функций, содержащих знак модуля Воспитывать привычку систематически трудиться и преодолевать трудности

Определение модуля Геометрический смысл модуля Свойства модуля Основные способы решений уравнений с переменной под знаком модуля Основные способы решений неравенств с переменной под знаком модуля Способы построения графиков функций, содержащих переменную под знаком модуля Проверь себя Литература Глоссарий Физминутка Выход

Модуль – это абсолютная величина

Модуль числа a – расстояние (в единичных отрезках) от начала координат до точки А(a).

Уравнения вида|х|=b Уравнения вида |f(x)|=a Уравнения вида |f(x)|=g(x) Уравнения вида |f(x)|=|g(x)| Прием последовательного раскрытия модуля Метод интервалов

Метод заключается в последовательном раскрытии модуля в задачах , где внутри одного модуля находится другой, или несколько. Пример

С помощью метода интервалов (или метода разбиения на промежутки) решаются уравнения вида

Для этого находим сначала все точки, в которых Эти точки делят область допустимых значений уравнения на промежутки, на каждом из которых все функции сохраняют знак (определяем знак каждого модуля на указанном промежутке). Затем переходим от уравнения к совокупности систем, не содержащих знаков модуля. Пример

Неравенства вида |x| b Неравенства вида |f(x)| a Неравенства вида |f(x)| g(x) Неравенства вида |f(x)| |g(x)| Прием последовательного раскрытия модуля Метод интервалов

Пример Метод заключается в последовательном раскрытии модуля в задачах, где внутри одного модуля находится другой, или несколько.

С помощью метода интервалов (или метода разбиения на промежутки) решаются неравенства вида

Для этого находим сначала все точки, в которых Эти точки делят область допустимых значений неравенства на промежутки, на каждом из которых все функции сохраняют знак (определяем знак каждого модуля на указанном промежутке). Затем переходим от неравенства к совокупности систем, не содержащих знаков модуля. Пример

Функция у =|х| Функция у=|х|+а Функция у=а|х| Функция у=|x+a| Функция y= -|x| Функция y=f(|x|) От теории к практике

Для построения графика функции y=|x| достаточно построить график функции y=x и отобразить симметрично относительно оси Ох ту часть графика, которая расположена ниже оси, оставив верхнюю часть графика без изменения.

График функции у=|х|+а получается из графика функции у=|х| с помощью параллельного переноса вдоль оси Оу на |а| единиц вверх ,, если а>0, и вниз на |а|, если а 1 и сжатием вдоль этой оси в 1/а раз при 0

0 x y Y=a|x| Y=|x| У=a|x|

График функции у=|x+a| получается из графика функции y=|x| с помощью параллельного переноса в отрицательном направлении от оси Ох на |а| единиц, если а>0,и в положительном направлении на |a|, если a 0 или х =0, а затем отобразить построенную часть симметрично оси Оy.

Рассмотрим построение более сложных графиков. Задание. Построить график функции у=||x|-2|. Построение. 1) Строим график функции y=|x|. 2) Смещаем его вдоль оси Оу вниз на 2 единицы. 3) Отображаем часть графика, расположенного ниже оси Ох, симметрично этой оси, в верхнюю полуплоскость.

y x 0 Y=|x| Y=|x|-2 Y=||x|-2|

Коржуев А.В. Построение графиков некоторых функций //Математика в школе.-1995, №3. Кочарова К.С. Об уравнениях с модулем //Математика в школе.-1995, №2. Севрюков П.Ф. Уравнения и неравенства с модулями.-М., 2004 г. Севрюков П.Ф., Смоляков А.Н . Уравнения и неравенства с модулями и методика их решения .-М., 2005.

Параллельный перенос – преобразование, при котором точки смещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние. Две точки А и В называются симметричными относительно прямой с, если эта прямая проходит через середину отрезка АВ и перпендикулярна к нему. График функции – множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты – соответствующим значениям функции.

Решите уравнение: Ответ: Ответ:

Решите уравнение: Ответ:

Решите уравнение: Ответ:

Решите уравнение: Ответ:

Решите уравнение: Ответ:

Ответ: Решите уравнение:

Решите уравнение: Ответ:

Решите уравнение: Ответ:

Решите уравнение: _ + _ + + _ + + + + _ + 0 2 7

Ответ: Решите неравенство:

Решите неравенство: Ответ:

Решите неравенство: Ответ:

Решите неравенство: Ответ:

Решите неравенство: Ответ:

Решите неравенство: Ответ:

Решите неравенство: Ответ:

Решите неравенство: Ответ:

Решите неравенство: Ответ:

Решите неравенство: _ _ + _ + + -1/4 1/2

А. 10 Б. 12 В. 9 Г. 8 Найдите наименьшее целое решение неравенства:

Решите уравнение: А.–4 Б. 4 В. 2; 4 Г. 2

Найдите наименьший корень уравнения: А.-2 Б. 12 В.–3 Г. 1

Найдите сумму целых решений неравенства: А. 0 Б. -2 В. -3 Г. 7

Найдите наименьшее целое решение неравенства: Ответ:

Решите уравнение: Ответ:

Найдите наименьший корень уравнения: _ _ _ + + 1 -2 +

Найдите сумму целых решений неравенства: Ответ:

Комплекс упражнений гимнастики для глаз Быстро поморгать, закрыть глаза и посидеть спокойно, медленно считая до пяти. Крепко зажмурить глаза, открыть их и посмотреть вдаль. Вытянуть правую руку вперед. Следить глазами за медленными движениями указательного пальца.

Краткое описание документа:

Данная прентация сейчас очень актуальна, так как при подготовке к единому государственному экзамену мы часто встречаемся с уравнениями, неравенствами и графиками функций, содержащими модули.

Это пособие поможет создать условия для самостоятельного освоения новых знаний, способов действия и проверки полученных знаний, а так же создать условия для непрерывного самообразования, интеллектуального и творческого развития.

Пособие состоит из 10 разделов. В нем имеются разделы изучения, повторения, закрепления материала, «Проверь себя», глоссарий, физминутка (она необходима при работе с электронным пособием, так как постоянно устают глаза).

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 930 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 687 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 304 человека из 68 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 593 782 материала в базе

Материал подходит для УМК

«Алгебра», Мордкович А.Г., Николаев Н.П.

§ 5. Неравенства с модулями

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

• 10.04.2013
• 21011
• 863

• 10.04.2013
• 1120
• 0

• 10.04.2013
• 1164
• 0

• 09.04.2013
• 2221
• 13

• 09.04.2013
• 8299
• 21

• 08.04.2013
• 1262
• 0

• 08.04.2013
• 1731
• 1

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 12.04.2013 4130
• PPTX 4.1 мбайт
• 136 скачиваний
• Рейтинг: 5 из 5
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Богданова Ольга Николаевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 7 лет и 1 месяц
• Подписчики: 4
• Всего просмотров: 131097
• Всего материалов: 27

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В Белгородской области отменяют занятия в школах и детсадах на границе с Украиной

Время чтения: 0 минут

В приграничных пунктах Брянской области на день приостановили занятия в школах

Время чтения: 0 минут

Курские власти перевели на дистант школьников в районах на границе с Украиной

Время чтения: 1 минута

В Швеции запретят использовать мобильные телефоны на уроках

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения упростит процедуру подачи документов в детский сад

Время чтения: 1 минута

Каждый второй ребенок в школе подвергался психической агрессии

Время чтения: 3 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ, СОДЕРЖАЩИХ ПЕРЕМЕННУЮ ПОД ЗНАКОМ МОДУЛЯ. — презентация

Презентация была опубликована 9 лет назад пользователемfilippova.l1581.ru

Похожие презентации

Презентация на тему: » РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ, СОДЕРЖАЩИХ ПЕРЕМЕННУЮ ПОД ЗНАКОМ МОДУЛЯ.» — Транскрипт:

1 РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ, СОДЕРЖАЩИХ ПЕРЕМЕННУЮ ПОД ЗНАКОМ МОДУЛЯ

2 Содержание: Глава I. Модуль. Общие сведения. 1.Модуль. Общие сведения. Определения, свойства, геометрический смысл, преобразование выражений, содержащих модуль. 2. Решение уравнений, содержащих модуль (аналитически). 3. Решение неравенств, содержащих модуль. 4. Решение уравнений и неравенств, содержащих несколько модулей. Глава II. Построение графиков функций, содержащих модули. 1. Построение графика функции y = f (|x|). 2. Построение графика функции y = |f(х)|. 3. Построение графика функции y = |f(|х|)|. 4. Решение уравнений и неравенств графическим способом. Глава III. Неравенства с двумя переменными, содержащие модуль на координатной плоскости. 1. Геометрическая интерпретация уравнений вида /x-a/+/x-b/=c /x-a/-/x-b/=c. 2. Изображение фигур на плоскости, задаваемых неравенствами.

3 Занятие 1. Модуль: общие сведения. Определения, свойства, геометрический смысл. Цели: повторить и уточнить знания учащихся; рассмотреть свойства модуля; способствовать выработке навыков в упрощении выражений, содержащих модуль. Ход занятия: 1.Лекция. МодульМодуль — абсолютная величина числа, равная расстоянию от начала отсчета до точки на числовой прямой. Модуль числа a или абсолютная величина числа a равна a, если a больше или равно нулю и равна -a, если a меньше нуля: Из определения следует, что для любого действительного числа a: а, если а>0 |a|= 0, если а=0 -а, если а 0 |a|= 0, если а=0 -а, если а»>

4 Слово «модуль» произошло от латинского слова «modulus», что в переводе означает «мера». Это многозначное слово (омоним), которое имеет множество значений и применяется не только в математике, но и в архитектуре, физике, технике, программировании и других точных науках. В архитектуре – это исходная единица измерения, устанавливаемая для данного архитектурного сооружения и служащая для выражения кратных соотношений его составных элементов. В технике – это термин, применяемый в различных областях техники, не имеющий универсального значения и служащий для обозначения различных коэффициентов и величин, например, модуль зацепления, модуль упругости и т.д. Модуль объемного сжатия (в физике) – отношение нормального напряжения в материале к относительному удлинению.

6 ,так как Примеры: Геометрическое толкование: каждому действительному числу можно поставить в соответствии точку числовой прямой, тогда эта точка будет геометрическим изображением данного числа. Каждой точке числовой прямой соответствует ее расстояние от начала отсчета или длина отрезка, начало которого в точке начала отсчета, а конец – в данной точке. Это расстояние или длина отрезка рассматривается всегда как величи6на неотрицательная. Таким образом, геометрическая интерпретация модуля действительного числа a будет рассматриваться от начала отсчета до точки, изображающей число. xa-a0 |-a||a|

7 2. Решение упражнений. 1. Упростите выражение: 2. Упростите выражение: 3. Доказать, что данное выражение – целое число:

8 Вариант – 1 1. Укажите наименьшее по модулю число. а) – 13,97; б) 6,3; в) 53,8; г) – Вычислите | 5.2 – 7.7 | а) – 2,5; б) 2,5; в) 5; г) 1,1. 3. Вычислите (| | + | — 2.6|) : | — 9 | а) 13; б) – 1,1; в) 5; г) 1,1. 4. Вычислите | | : | | + | — 3 | : | 2 | а) -7,5; б) 3,5; в) 6,5; г) — 6,5. 5. Решите уравнение 2| x – 3 | = 5 а) 5,5 и — 5,5; б) 0,5 и — 0,5; в) 5,5 и 0,5;г) 3,5 и – 3,5. 3. Проверьте свои знания по теме «Модуль» Вариант – 2 1.Укажите наибольшее по модулю число. а) – 91,3; б) 10,8;в) – 3 ; г) Вычислите | 8,1 – 9,7 | а) – 1,6; б) 17,8;в) 1,6;г) – 17,8. 3.Вычислите (| — 14,5 | — | — 4,1|) : | — 8 | а) 1,3; б) – 1,3;в) 1,6;г) Вычислите | — 7,2 | : | — 0,8 | + | 3 | : | — 2 | а) 6,5; б) 10,5;в) — 10,5; г) 7,5. 5. Решите уравнение 2| 3 — х | = 7 а) – 0,5 и 0,5; б)- 0,5 и 6,5; в) — 6,5 и 0,5;г) — 6,5 и 6,5. Ответы: Вариант – 1 1.г, 2.б, 3г, 4.в, 5.в Вариант – 2 1.б, 2.в, 3.а, 4.б, 5.б

9 Занятие 2. Решение уравнений, содержащих модуль(аналитически) Цели: закрепить изученный материал; познакомить учащихся с решением некоторых типов уравнений, содержащих модуль. Ход работы: I. Фронтальный опрос. 1. Дайте определение модуля числа. 2. Дайте геометрическое истолкование модуля. 3. Может ли быть отрицательным значением суммы 2+|x|? 4. Может ли равняться нулю значение разности 2|x|-|x| ? 5. Как сравниваются два отрицательных числа?

10 2. Устная работа. Раскрыть модуль: 1)|π — 3|; 2)| |; 3)| |; 4)| |; 5)|х 4 +1|; 6)|х 2 |; 7)|х 2 +3х-4|; 8) 9) 10)

11 3. Объяснение нового материала Рассмотрим примеры решения уравнений, содержащих абсолютные величины: 1. Уравнения вида |f(х)|=a, где a0. По определению абсолютной величины данное уравнение распадается на совокупность двух уравнений f(х)=а и f(х)=-а. Записывается это так: f(х)=а f(х)=-а.

12 Пример 1. |х-8|=5. По определению модуля имеем совокупность уравнений Х-8=5 Х-8=-5. Откуда х=13, х=3. Ответ: 3;13. Некоторые уравнения и неравенства с модулем решаются проще с помощью геометрических соображений. |a-b|-это расстояние между a и b. Решим предыдущее уравнение |х-8|=5. Ответ: 3;13. Пример 2. Рассмотрим уравнение |2х-3|=4. Решить самостоятельно x x73 Решение на основе геометрической интерпретации На расстоянии 4 от 3 лежат две точки -1 и 7, а 2х есть одна из них. Следовательно, 2х=-1, или 2х=7, Х=-0,5. Х=3.5 Ответ: -0.5; 3,5.

13 2. Уравнение вида f (|x|)=а. По определению абсолютной величины данное уравнение распадается на совокупность двух систем: f(х)=а; х0, F(-х)=а; х0 Пример 3. Решить уравнение х 2 -|х|-6=0. Данное уравнение равносильно совокупности двух систем: Решим первую систему уравнений: Решим вторую систему уравнений: Ответ: -3;3.

14 3. Решение уравнений вида |f 1 (x)|+ |f 2 (x)|+…+ |f n (x)|=g(x) Решение. Для каждой из этих функций находят область определения, ее нули и точки разрыва. Нули и точки разрыва разбивают общую область определения функции f i (x) (i=1,2. n) на промежутки, в каждом из которых каждая их функций f i (x) сохраняет постоянный знак. Далее, используя определение модуля, для каждой из найденных областей получим уравнение, подлежащее решению. Методические рекомендации. Можно предложить учащимся записать следующий алгоритм. Пусть дано уравнение F(x)=0 такое, что его левая часть содержит модули некоторых функций |f 1 (x)|, |f 2 (x)|,…, |f n (x)| 1.Решают каждое из уравнений f 1 (x)=0, f 2 (x)=0,…f n (x)=0 2. Вся координатная ось разбита на некоторое число промежутков. 3. На каждом таком промежутке уравнение заменяется на другое уравнение, не содержащее знаков модуля и равносильно исходному уравнению на этом промежутке. 4. На каждом промежутке отыскиваются корни того уравнения, которое на этом промежутке получается. 5. Отбираются те корни, которые принадлежат данному промежутку. Они и будут корнями исходного уравнения на рассматриваемом промежутке. 6. Все корни уравнения F(х)=0 получают, объединяя все корни, найденные на всех промежутках.

15 Пример 4. 2|х-2|-3|x+4|=1. Решение. Для освобождения от знаков модуля разобьем числовую прямую на три промежутка Решение данного уравнения сводится к решению трех систем: x2-4 Ответ: -15; Закрепление. Задание: Решить самостоятельно(двумя способами): Ответ:

16 ЦЕЛИ: познакомить учащихся с решением некоторых типов неравенств, содержащих модуль; закрепить изученный материал в ходе решения упражнений. ХОД ЗАНЯТИЯ: Занятие 3. Решение неравенств, содержащих модуль. Методические рекомендации Опираясь на повторенный материал, рассмотреть решение неравенства -аа А) Б) Этому неравенству удовлетворяют точки двух лучей: -аа

b, a>0, b>0, то a 2 >b 2. Верно и обратное утверждение, если a 2 >b 2, a>0, b>0б то a>b. Из этих свойств следует, что неравенства |f(x)|a (a0; при » title=»I. Объяснение нового материала 1. Решение неравенств вида |f(x)|a и |f(x)| |g(x)| Напомним, что если a>b, a>0, b>0, то a 2 >b 2. Верно и обратное утверждение, если a 2 >b 2, a>0, b>0б то a>b. Из этих свойств следует, что неравенства |f(x)|a (a0; при » > 17 I. Объяснение нового материала 1. Решение неравенств вида |f(x)|a и |f(x)| |g(x)| Напомним, что если a>b, a>0, b>0, то a 2 >b 2. Верно и обратное утверждение, если a 2 >b 2, a>0, b>0б то a>b. Из этих свойств следует, что неравенства |f(x)|a (a0; при a b, a>0, b>0, то a 2 >b 2. Верно и обратное утверждение, если a 2 >b 2, a>0, b>0б то a>b. Из этих свойств следует, что неравенства |f(x)|a (a0; при «> b, a>0, b>0, то a 2 >b 2. Верно и обратное утверждение, если a 2 >b 2, a>0, b>0б то a>b. Из этих свойств следует, что неравенства |f(x)|a (a0; при a»> b, a>0, b>0, то a 2 >b 2. Верно и обратное утверждение, если a 2 >b 2, a>0, b>0б то a>b. Из этих свойств следует, что неравенства |f(x)|a (a0; при » title=»I. Объяснение нового материала 1. Решение неравенств вида |f(x)|a и |f(x)| |g(x)| Напомним, что если a>b, a>0, b>0, то a 2 >b 2. Верно и обратное утверждение, если a 2 >b 2, a>0, b>0б то a>b. Из этих свойств следует, что неравенства |f(x)|a (a0; при «>

18 2. Решение неравенствa вида |f(x)| g(x) и |f(x)| g(x) Неравенство равносильно системе неравенств: Пример 2. Решением неравенства (1) является Решением исходного неравенства является промежуток Ответ: Аналогичные рассуждения верны и для неравенства |f(x)| g(x). Неравенство |f(x)| g(x) выполняется для всех х из области определения функции f, при которых g(x)

19 2. ТЕСТ-ЗАДАНИЕ Решение уравнений и неравенств. А.Д. Б. В.Е. Г.

20 ЦЕЛИ: продолжить решение задач по изучаемой теме; рассмотреть решение более сложных упражнений; проверить усвоение учащимися изученного материала. ХОД ЗАНЯТИЯ: Занятие 4. Решение уравнений и неравенств, содержащих несколько модулей. I. Решение упражнений. Пример 1. Решить уравнение ||||x|-|-2|-1|-2|=2. Решение. По определению абсолютной величины, имеем: Решим первое уравнение: Решим второе уравнение: Тогда: Откуда: Ответ:

21 Пример 2. Решить неравенство: Воспользуемся соотношением (1): Ответ:

22 Метод введение новой переменной. Пример 3. Решить уравнение: Решение: пусть |x+1|=y, тогда |2-y|=3 Вернемся к замене: Ответ: -6, 4

23 Вариант 1.Вариант | 3 – 3x | = x + 5;1. | 6x – 24| = x + 1; 2. 3x – 2| x | = 4;2. | 2 – 2x | = 3 + x; 3. | 7x + 1 | = 2x – 6;3. 10x – 3| x | = 7. Ответы: Вариант х 1 = — 0,5; х 2 = 42. х = 4 3. нет решений Вариант х = 52. х 1 = 5; х 2 = — 1/3 3. х = 1 Можно решить уравнение аналитически НА СОДЕРЖАНИЕ

24 ГЛАВА II. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ, СОДЕРЖАЩИХ МОДУЛЬ. Занятие 1-3. Построение графиков функций: y=f(|x|), y=|f(x)|, y=|f|x|| ЦЕЛЬ: научить учащихся строить графики, содержащие модуль; закрепить изученный материал в ходе выполнения упражнений. Методические рекомендации: Когда в «стандартные» функции, которые задают прямые, параболы, гиперболы, включают знак модуля, их графики становятся необычными. Чтобы научить строить такие графики, надо владеть приемами построения графиками элементарных функций, а также твердо знать и понимать определение модуля числа.

25 Ход занятия. 1. Объяснение нового материала. Если в модуль берется аргумент функции, график будет симметричен относительно оси ординат. Если в модуль берется вся функция, график отражается в верхнюю полуплоскость относительно оси абсцисс.

0 y = 0, если x=0 y = — x, если x» title=»2.Рассмотрим функцию у = | x | и построим ее график. y = x, если x>0 y = 0, если x=0 y = — x, если x» > 27 2.Рассмотрим функцию у = | x | и построим ее график. y = x, если x>0 y = 0, если x=0 y = — x, если x 0 y = 0, если x=0 y = — x, если x»> 0 y = 0, если x=0 y = — x, если x»> 0 y = 0, если x=0 y = — x, если x» title=»2.Рассмотрим функцию у = | x | и построим ее график. y = x, если x>0 y = 0, если x=0 y = — x, если x»>

28 y 1 01x Установив закономерность, постройте графики функций: 3.

29 y 1 01x Установив закономерность, постройте графики функций 4.

30 5.Примеры построения графиков: 1. f ( x )= | x1|. Вычисляя значение функции в точках 1, 0 и 2, получаем график, состоящий из двух отрезков прямых (см. рис. 1). 2. f ( x ) =| x 1|+| x 2 |. Вычисляя значение функции в точках с абсциссами 0, 1, 2, 3, 4 получаем график, состоящий из трех отрезков прямых (см. рис. 2). 3. f ( x ) =| x 1|+| x 2 |+| x 3 |. Для построения графика «по отрезкам», вычислим значения функции в точках 1, 2, 3, 0, 4 (см. рис. 3). 4. f ( x ) =| x 1|| x 2 |. График разности модулей строится аналогично (см. рис. 4).

31 6. Построить график функции у = | x 2 – 6x + 3 | При построении этого графика можно использовать принцип «зеркального отражения». Строим параболу у = x 2 – 6x + 3 по всем правилам: х 0 = 3, у 0 = 9 – = — 6, А (3; — 6) вершина параболы, ветви направлены вверх. Строим параболу и отображаем часть графика, расположенного ниже оси Ох, в верхнюю полуплоскость.

32 7. Построить график функции у = | x 2 – 6|x| + 3 | Шаг 1 Строим параболу у = x 2 – 6x + 3 по всем правилам Шаг 2 Если в модуль берется аргумент функции, график будет симметричен относительно оси ординат Шаг 3 Если в модуль берутся значения функции, график будет симметричен относительно оси абсцисс

33 Решить уравнения х 2 = | 2 — х| |x 2 -3x|=2x-4 x 2 +|x-1|-5=0. . Придумать и решить аналогичные уравнения 2. Попробуйте решить самостоятельно!

34 Занятие 4. ЦЕЛЬ: научить учащихся решать уравнения и неравенства, содержащие модуль, графическим способом. Одним из способов решения уравнений, содержащих модуль является графический способ. Суть этого способа заключается в том, чтобы построить графики функций, составляющих уравнение. В случае, если графики пересекутся, абсциссы точек пересечения данных графиков будут являться корнями уравнения. В случае, если графики не пересекутся, мы сможем сделать вывод, что уравнение корней не имеет. Графический способ определения числа корней уравнения является более удобным, чем аналитический. Решение уравнений и неравенств графическим способом Методические рекомендации: НА СОДЕРЖАНИЕ

35 y x ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ МОДУЛИ (линейное) 1.|х+3|=|x-4| Построим графики функций: у =|х+3| и у =|x-4|. Абсцисса точки пересечения графиков является корнем уравнения Ответ: х=0,5 0,5 1. Объяснение нового материала.

36 2. Сколько корней имеет уравнение |x+3|-| x 2 – 6|x| + 3 |=0 ? Преобразуем уравнение: |x+3|=| x 2 – 6|x| + 3 | Построим графики функций у=|x+3| и у = | x 2 – 6|x| + 3 | Найдем количество точек пересечения. -3 у х 3

37 ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ МОДУЛИ и ПАРАМЕТРЫ. 3. Решить уравнение: |x — a| = | x — 4| Решение: Строим графики функций y =|x — a| и y = |x — 4|. При движении мы будем наблюдать два случая: 1.Построенные графики совпали. При a =4 решением уравнения служат все действительные числа. 2. Данные графики имеют одну точку пересечения. х = ( а + 4):2. Ответ: если а = 4,то х — любое число; если а 4, то х = ( a + 4) : 2

38 2. Самостоятельная работа Вариант АВариант ВВариант С Сколько корней имеют уравнения 1.|x-5| = x 2.|2x-4| = |4-x| 3.|x+1| = |x 2 -3| Решите уравнения 1.|2x-4| = 4-x 2.-2x 2 = |x+1| Найдите наименьший корень уравнения 1.|x+1| = |x 2 -3| Найдите произведение корней уравнения на их количество 1.-2x 2 = |x+1| 2.|x+4| = |x-2| 3.При каком значении параметра a уравнение имеет четыре корня. |x 2 +2|x|-5| =a ОТВЕТЫ 1. 2; 2. 2; и ; 2. Ø; a [5;6]

39 ГЛАВА III. НЕРВЕНСТВА С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ, СОДЕРЖАЩИЕ МОДУЛЬ, НА КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ. Занятие 1, 2. Геометрическая интерпретация уравнений вида |x-a|+|x-b|=c и |x-a|-|x-b|=c. Изображение фигур на плоскости, задаваемых неравенствами. ЦЕЛЬ: научить изображать на плоскости фигуры, расширить представления учащихся о взаимосвязи между алгебраическими соотношения и их геометрическими образами на координатными плоскостями. Методические рекомендации: Необходимо использовать рассматриваемый материал, включающий эстетический компонент, для развития интереса к предмету, а также для более глубокого усвоения базовых знаний. Кроме того, важно, чтобы учащимися были предложены задания, аппелирующие к воображению, фантазии.

40 Уравнения |х-а|+|х-в|=с и |х-а|-|х-в|=с имеют простую геометрическую интерпретацию. Рассмотрим уравнение|х-2|+|х+3|=7. Решить это уравнение — значит найти все такие точки на числовой оси ОХ, для каждой из которых сумма расстояний до точек с координатами (2) и (-3) равна 7. Внутри отрезка [-3;2] таких точек нет, так как длина отрезка |2-(- 3)|=5

41 Изображение решений неравенств с двумя переменными на координатной плоскости: Примеры: 1.