Показательные уравнения и неравенства с примерами решения
Содержание:
Рассмотрим уравнения, в которых переменная (неизвестное) находится в показателе степени. Например:
Уравнения такого вида принято называть показательными.
Решении показательных уравнений
При решении показательных уравнений нам будет полезно следствие из теоремы о свойствах показательной функции.
Пусть
Каждому значению показательной функции соответствует единственный показатель s.
Пример:
Решение:
Согласно следствию из равенства двух степеней с одинаковым основанием 3 следует равенство их показателей. Таким образом, данное уравнение равносильно уравнению
Пример:
Решение:
а) Данное уравнение равносильно (поясните почему) уравнению
Если степени с основанием 3 равны, то равны и их показатели:
Решив это уравнение, получим
Ответ:
При решении каждого уравнения из примера 2 сначала обе части уравнения представили в виде степени с одним и тем же основанием, а затем записали равенство показателей этих степеней.
Пример:
Решение:
а) Данное уравнение равносильно уравнению
Решая его, получаем:
Так как две степени с одинаковым основанием 2 равны, то равны и их показатели, т. е. откуда находим
б) Разделив обе части уравнения на получим уравнение равносильное данному. Решив его, получим
Ответ:
При решении примера 3 а) левую часть уравнения разложили на множители. Причем за скобку вынесли такой множитель, что в скобках осталось числовое выражение, не содержащее переменной.
Пример:
Решить уравнение
Решение:
Обозначим тогда
Таким образом, из данного уравнения получаем
откуда находим:
Итак, с учетом обозначения имеем:
При решении примера 4 был использован метод введения новой переменной, который позволил свести данное уравнение к квадратному относительно этой переменной.
Пример:
Решить уравнение
Решение:
Можно заметить, что 2 — корень данного уравнения. Других корней уравнение не имеет, так как функция, стоящая в левой части уравнения, возрастающая, а функция, стоящая в правой части уравнения, убывающая. Поэтому уравнение имеет не более одного корня (см. теорему из п. 1.14).
Пример:
Решить уравнение
Решение:
Пример:
При каком значении а корнем уравнения является число, равное 2?
Решение:
Поскольку х = 2 — корень, то верно равенство
Решив это уравнение, найдем
Ответ: при
Показательные уравнения и их системы
Показательным уравнением называется уравнение, в ко тором неизвестное входит в показатель степени. При решении показательных уравнений полезно использовать следующие тождества:
Приведем методы решения некоторых типов показательных уравнений.
1 Приведение к одному основанию.
Метод основан на следующем свойстве степеней: если две степени равны и равны их основания, то равны и их показатели, т.е. уравнения надо попытаться привести к виду . Отсюда
Пример №1
Решите уравнение
Решение:
Заметим, что и перепишем наше уравнение в виде
Применив тождество (1), получим Зх — 7 = -7х + 3, х = 1.
Пример №2
Решить уравнение
Решение:
Переходя к основанию степени 2, получим:
Согласно тождеству (2), имеем
Последнее уравнение равносильно уравнению 4х-19 = 2,5х.
2 Введение новой переменной.
Пример №3
Решить уравнение
Решение:
Применив тождество 2, перепишем уравнение как
Введем новую переменную: Получим уравнение
которое имеет корни Однако кореньне удовлетворяет условию Значит,
Пример №4
Решить уравнение
Решение:
Разделив обе части уравнения на получим:
последнее уравнение запишется так:
Решая уравнение, найдем
Значение не удовлетворяет условию Следовательно,
Пример №5
Решить уравнение
Решение:
Заметим что Значит
Перепишем уравнение в виде
Обозначим Получим
Получим
Корнями данного уравнения будут
Следовательно,
III Вынесение общего множителя за скобку.
Пример №6
Решить уравнение
Решение:
После вынесения за скобку в левой части , а в правой , получим Разделим обе части уравнения на получим
Системы простейших показательных уравнений
Пример №7
Решите систему уравнений:
Решение:
По свойству степеней система уравнений равносильна следующей
системе :Отсюда получим систему
Очевидно, что последняя система имеет решение
Пример №8
Решите систему уравнений:
Решение:
По свойству степеней система уравнений равносильна следующей системе: Последняя система, в свою очередь, равносильна системе:
Умножив второе уравнение этой системы на (-2) и сложив с первым, получим уравнение —9х=-4. Отсюда, найдем Подставив полученное значение во второе уравнение, получим
Пример №9
Решите систему уравнений:
Решение:
Сделаем замену: Тогда наша система примет вид:
Очевидно, что эта система уравнений имеет решение
Тогда получим уравнения
Приближенное решение уравнений
Пусть многочлен f(х) на концах отрезка [a,b] принимает значения разных знаков, то есть . Тогда внутри этого отрезка существует хотя бы одно решение уравнения Дх)=0. Это означает, что существует такое (читается как «кси»), что
Это утверждение проиллюстрировано на следующем чертеже.
Рассмотрим отрезок содержащий лишь один корень уравнения .
Метод последовательного деления отрезка пополам заключается в последовательном разделении отрезка [a, b] пополам до тех пор, пока длина полученного отрезка не будет меньше заданной точности
- вычисляется значение f(х) выражения
- отрезок делится пополам, то есть вычисляется значение
- вычисляется значение выражения f(х) в точке
- проверяется условие
- если это условие выполняется, то в качестве левого конца нового отрезка выбирается середина предыдущего отрезка, то есть полагается, что (левый конец отрезка переходит в середину);
- если это условие не выполняется, то правый конец нового отрезка переходит в середину, то есть полагается, что b=x;
- для нового отрезка проверяется условие
- если это условие выполняется , то вычисления заканчиваются. При этом в качестве приближенного решения выбирается последнее вычисленное значение х. Если это условие не выполняется, то, переходя к пункту 2 этого алгоритма, вычисления продолжаются.
Метод последовательного деления пополам проиллюстрирован на этом чертеже:
Для нахождения интервала, содержащего корень уравнения вычисляются значения
Оказывается, что для корня данного уравнения выполнено неравенство. Значит, данное уравнение имеет хотя бы один корень, принадлежащий интервалу (-1 -А; 1+А). Для приближенного вычисления данного корня найдем целые и удовлетворяющие неравенству
Пример №10
Найдите интервал, содержащий корень уравнения
Решение:
Поделив обе части уравнения на 2 , получим,
Так как, для нового уравнения
Значит, в интервале, уравнение имеет хотя бы один корень. В то же время уравнение при не имеет ни одного корня, так как,
выполняется. Значит, корень уравнения лежит в (-2,5; 0). Для уточнения этого интервала положим Для проверим выполнение условия
Значит, уравнение имеет корень, принадлежащий интервалу (-1; 0).
Нахождение приближенного корня с заданной точностью
Исходя из вышесказанного, заключаем, что если выполнено неравенство корень уравнения принадлежит интервалу
ПустьЕсли приближенный
корень уравнения с точностью . Если то корень лежит в интервале если то корень лежит в интервале . Продолжим процесс до нахождения приближенного значения корня с заданной точностью.
Пример №11
Найдите приближенное значение корня уравнения с заданной точностью
Решение:
Из предыдущего примера нам известно, что корень лежит в интервале
(-1; 0). Из того, что заключаем, что корень лежит в интервале (-0,5; 0).
Так как, |(-0,25)41,5(-0,25)2+2,5(-0,25)+0,5| = |-0,046| 1. Если
Пусть
Изображения графиков показательной функции подсказывают это свойство. На рисунке 27 видно, что при а > 1 большему значению функции соответствует большее значение аргумента. А на рисунке 30 видно, что при 0
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.
Уравнения с одной переменной
Уравнением с одной переменной — это равенство, содержащее только одну переменную. Корнем (или решением) уравнения называется такое значение переменной, при котором уравнение превращается в верное числовое равенство.
Содержание:
Определение уравнения. Корни уравнения
Равенство с переменной f(x) = g (х) называют уравнением с одной переменной х, если поставлена задача найти все те же значения х, при которых равенство с переменной обращается в верное числовое равенство. Всякое значение переменной, при котором выражения /(х) и g(x) принимают равные числовые значения, называют корнем уравнения.
Решить уравнение — это значит найти все его корни или доказать, что их нет.
Пример 1.
Уравнение 3 + х = 7 имеет единственный корень 4, так как при этом и только при этом значении переменной равенство 3 + х = 7 является верным.
Пример 2.
Уравнение (х — 1)(х — 2) = 0 имеет два корня: 1 и 2.
Пример 3.
Уравнение не имеет действительных корней.
Заметим, что можно говорить и о мнимых корнях уравнений. Так, уравнение имеет два мнимых корня: (см. п. 47). Всюду ниже речь идет только о действительных корнях уравнений.
Равносильность уравнений
Уравнения, имеющие одни и те же корни, называют равносильными. Равносильными считаются и уравнения, каждое из которых не имеет корней.
Например, уравнения х + 2 = 5 и х + 5 = 8 равносильны, так как каждое из них имеет единственный корень — число 3. Равносильны и уравнения — ни одно из них не имеет корней.
Уравнения неравносильны, так как первое имеет только один корень 6, тогда как второе имеет два корня: 6 и — 6.
В процессе решения уравнения его стараются заменить более простым, но равносильным данному. Поэтому важно знать, при каких преобразованиях данное уравнение переходит в равносильное ему уравнение.
Теорема 1.
Если в уравнении какое-нибудь слагаемое перенести из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному.
Например, уравнение равносильно уравнению
Теорема 2.
Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.
Например, уравнение равносильно уравнению (обе части первого уравнения мы умножили на 3).
Линейные уравнения
Линейным уравнением с одной переменной х называют уравнение вида
где — действительные числа; называют коэффициентом при переменной, — свободным членом.
Для линейного уравнения могут представиться три случая:
1) ; в этом случае корень уравнения равен ;
2) ; в этом случае уравнение принимает вид , что верно при любом х, т. е. корнем уравнения служит любое действительное число;
3) ; в этом случае уравнение принимает вид , оно не имеет корней.
Многие уравнения в результате преобразований сводятся к линейным.
Пример 1.
Решить уравнение
Решение:
По теореме 1 (см. п. 135), данное уравнение равносильно уравнению . Если разделить обе части этого уравнения на коэффициент при х, то по теореме 2 получим равносильное данному уравнение . Итак, — корень уравнения.
Пример 2.
Решение:
Это уравнение сводится к линейному уравнению. Умножив обе части уравнения на 12 (наименьшее общее кратное знаменателей 3, 4, 6,12), получим
Квадратные уравнения
где — действительные числа, причем , называют квадратным уравнением. Если , то квадратное уравнение называют приведенным, если , то неприведенным. Коэффициенты имеют следующие названия: — первый коэффициент, — второй коэффициент, с — свободный член. Корни уравнения находят по формуле
Выражение называют дискриминантом квадратного уравнения (1). Если D О, то уравнение имеет два действительных корня.
В случае, когда D = О, иногда говорят, что квадратное уравнение имеет два одинаковых корня.
Используя обозначение , можно переписать формулу (2) в виде Если , то формулу (2) можно упростить:
Формула (3) особенно удобна, если — целое число, т. е. коэффициент — четное число.
Пример 1.
Решение:
Здесь . Имеем:
Так как , то уравнение имеет два корня, которые найдем по формуле (2):
Итак, — корни заданного уравнения.
Пример 2.
Решить уравнение
Решение:
Здесь По формуле (3) находим т. е. х = 3 — единственный корень уравнения.
Пример 3.
Решить уравнение
Решение:
Здесь Так как D 0, откуда х>3, и 5 — х > 0, откуда х 5, тогда как для уравнения (2) областью определения служит вся числовая прямая. Поэтому найденное значение х = 4, являющееся корнем уравнения (2), может оказаться посторонним корнем для уравнения (1). В данном случае именно это и происходит, поскольку х = 4 не принадлежит области определения уравнения (1) (не удовлетворяет неравенству х > 5). Итак, х = 4 — посторонний корень, т. е. заданное уравнение не имеет корней.
Рациональные уравнения
Уравнение f(x) = g(x) называют рациональным, если f(x) и g(x) — рациональные вьфажения. При этом если f(x) и g(x) — целые выражения, то уравнение называют целым; если же хотя бы одно из выражений f(х), g(x) является дробным, то рациональное уравнение f(x) = g(x) называют дробным.
Например, целыми являются линейные (см. п. 136), квадратные (см. п. 137) уравнения.
Чтобы решить рациональное уравнение, нужно:
1) найти общий знаменатель всех имеющихся дробей;
2) заменить данное уравнение целым, умножив обе его части на общий знаменатель;
3) решить полученное целое уравнение;
4) исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.
Пример:
Решение:
Общим знаменателем имеющихся дробей является 2х(2 — х). Найдя дополнительные множители для каждой дроби, освободимся от знаменателей. Имеем:
Из уравнения находим (см. п. 137). Осталось проверить, обращают ли найденные корни выражение 2х(2 — х) в нуль, т. е. проверить выполнение условия Замечаем, что 2 не удовлетворяет этому условию, а 4 удовлетворяет. Значит, х = 4 — единственный корень уравнения.
Решение уравнения р(х) = 0 методом разложения его левой части на множители
Суть этого метода состоит в следующем. Пусть нужно решить уравнение р(х) = 0, где р(х) — многочлен степени . Предположим, что удалось разложить многочлен на множители:, где — многочлены более низкой степени, чем . Тогда уравнение р(х) = 0 принимает вид . Если — корень уравнения а потому хотя бы одно из чисел равно нулю.
Значит, — корень хотя бы одного из уравнений
Верно и обратное: если — корень хотя бы одного из уравнений то — корень уравнения т. е. уравнения р (х) = 0.
Итак, если , где — многочлены, то вместо уравнения р(х) = 0 нужно решить совокупность уравнений Все найденные корни этих уравнений, и только они, будут корнями уравнения р(х) = 0.
Пример 1.
Решить уравнение
Решение:
Разложим на множители левую часть уравнения. Имеем откуда
Значит, либо х + 2 = 0, либо . Из первого уравнения находим х = — 2, второе уравнение не имеет корней. Итак, получили ответ: -2.
Метод разложения на множители применим к любым уравнениям вида р(х) = 0, где р(х) необязательно многочлен. Пусть но среди выражений есть выражения более сложного вида, чем многочлены (например, иррациональные, логарифмические и т. д.). Среди корней уравнений могут быть посторонние для уравнения р(х) = 0.
Пример 2.
Решить уравнение
Решение:
Имеем ; значит, либо , либо .Из уравнения находим х = 0, из уравнения находим .
Но х = -3 не удовлетворяет исходному уравнению, так как при этом значении не определено выражение . Это посторонний корень.
Итак, уравнение имеет два корня: 3; 0.
Решение уравнений методом введения новой переменной
Суть этого метода поясним на примерах.
Пример 1.
Решение:
Положив , получим уравнение
откуда находим . Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений
Первое квадратное уравнение не имеет действительных корней, так как его дискриминант отрицателен.
Из второго квадратного уравнения находим . Это корни заданного уравнения.
Пример 2.
Решение:
Положим , тогда
и уравнение примет вид
Решив это уравнение (см. п. 145), получим
Но . Значит, нам остается решить совокупность уравнений
Из первого уравнения находим , ; из второго уравнения получаем Тем самым найдены четыре корня заданного уравнения.
Биквадратные уравнения
Биквадратным уравнением называют уравнение вида
Биквадратное уравнение решается методом введения новой переменной: положив , придем к квадратному уравнению
Пример:
Решить уравнение .
Решение:
Положив , получим квадратное уравнение , откуда находим . Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений Первое уравнение не имеет действительных корней, из второго находим Это — корни заданного биквадратного уравнения.
Решение задач с помощью составления уравнений
С помощью уравнений решаются многочисленные задачи, к которым приводят самые разнообразные вопросы физики, механики, экономики и т. д. Прежде всего напомним общий порядок решения задач с помощью уравнений.
1) Вводят переменные, т. е. буквами х, у, z обозначают неизвестные величины, которые либо требуется найти в задаче, либо они необходимы для отыскания искомых величин.
2) С помощью введенных переменных и данных в задаче чисел и их соотношений составляют систему уравнений (или одно уравнение).
3) Решают составленную систему уравнений (или уравнение) и из полученных решений отбирают те, которые подходят по смыслу задачи.
4) Если буквами х, у, z обозначили не искомые величины, то с помощью полученных решений находят ответ на вопрос задачи.
Задача 1.
Для перевозки 60 т груза из одного места в другое затребовали некоторое количество машин. Ввиду неисправности дороги на каждую машину пришлось грузить на 0,5 т меньше, чем предполагалось, поэтому дополнительно потребовались 4 машины. Какое количество машин было затребовано первоначально?
Решение: Обозначим через х количество машин, затребованных первоначально. Тогда на самом деле было вызвано (х + 4) машин. Так как надо было перевезти 60 т груза, то предполагалось, что на одну машину будут грузить т груза, а на самом деле грузили т груза, что на 0,5 т меньше, чем предполагалось. В результате мы приходим к уравнению
Это уравнение имеет два корня: х = -24, х = 20. Ясно, что по смыслу задачи значение х = —24 не подходит. Таким образом, первоначально было затребовано 20 машин.
Задача 2.
Моторная лодка, движущаяся со скоростью 20 км/ч, прошла расстояние между двумя пунктами по реке туда и обратно без остановок за 6 ч 15 мин. Расстояние между пунктами равно 60 км. Найти скорость течения реки.
Решение:
Пусть х км/ч — скорость течения реки. Тогда лодка, собственная скорость которой 20 км/ч, идет по течению со скоростью (20 + х) км/ч, а против течения — со скоростью (20 — х) км/ч. Время, за которое лодка пройдет путь между пунктами по течению, составит ч, а время, за которое лодка пройдет обратный путь, составит ч. Так как путь туда и обратно лодка проходит за 6 ч 15 мин, т. е. ч, приходим к уравнению
решив которое, находим два корня: х = 4, х = -4. Ясно, что значение х = -4 не подходит по смыслу задачи. Итак, скорость течения реки равна 4 км/ч.
Задача 3.
Найти двузначное число, зная, что цифра его единиц на 2 больше цифры десятков и что произведение искомого числа на сумму его цифр равно 144.
Решение:
Напомним, что любое двузначное число может быть записано в виде 10х + у, где х — цифра десятков, а у — цифра единиц. Согласно условию, если х — цифра десятков, то цифра единиц равна х + 2 и мы получаем
Решив это уравнение, найдем
Второй корень не подходит по смыслу задачи.
Итак, цифра десятков равна 2, цифра единиц равна 4; значит, искомое число равно 24.
Задача 4.
Двое рабочих, работая вместе, выполнили некоторую работу за 6 ч. Первый из них, работая отдельно, может выполнить всю работу на 5 ч скорее, чем второй рабочий, если последний будет работать отдельно. За сколько часов каждый из них, работая отдельно, может выполнить всю работу?
Решение:
Производительность труда, т. е. часть работы, выполняемая в единицу времени (обозначим ее через А), и время, необходимое для выполнения всей работы (обозначим его через t), — взаимно обратные величины, т. е. At = 1. Поэтому если обозначить через х ч время, необходимое для выполнения всей работы первому рабочему, а через (х + 5) ч — второму, то часть работы, выполняемая первым рабочим за 1 ч, равна , а часть работы, выполняемая вторым рабочим за 1 ч, равна Согласно условию, они, работая вместе, выполнили всю работу за 6 ч. Доля работы, выполненная за 6 ч первым рабочим, есть , а доля работы, выполненная за 6 ч вторым рабочим, есть Так как вместе они выполнили всю работу, т. е. доля выполненной работы равна 1, получаем уравнение
решив которое, найдем х = 10.
Итак, первый рабочий может выполнить всю работу за 10 ч, а второй — за 15 ч.
Задача 5.
Из сосуда емкостью 54 л, наполненного кислотой, вылили несколько литров и долили сосуд водой, потом опять вылили столько же литров смеси. Тогда в оставшейся в сосуде смеси оказалось 24 л чистой кислоты. Сколько кислоты вылили в первый раз?
Решение:
Пусть в первый раз было вылито х л кислоты. Тогда в сосуде осталось (54 — х) л кислоты. Долив сосуд водой, получили 54 л смеси, в которой растворилось (54 — х) л кислоты. Значит, в 1 л смеси содержится л кислоты (концентрация раствора). Во второй раз из сосуда вылили х л смеси, в этом количестве смеси содержалось л кислоты. Таким образом, в первый раз было вылито х л кислоты, во второй л кислоты, а всего
за два раза вылито 54 — 24 = 30 л кислоты. В результате приходим к уравнению
Решив это уравнение, найдем два корня: и . Ясно, что значение 90 не удовлетворяет условию задачи.
Итак, в первый раз было вылито 18 л кислоты.
Задача 6.
Имеется кусок сплава меди с оловом массой 12 кг, содержащий 45% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому куску, чтобы получившийся новый сплав содержал 40% меди?
Решение:
Пусть масса добавленного олова составляет х кг. Тогда получится сплав массой (12 + х) кг, содержащий 40% меди. Значит, в новом сплаве имеется 0,4(12 + х) кг меди. Исходный сплав массой 12 кг содержал 45% меди, т. е. меди в нем было . Так как масса меди и в имевшемся, и в новом сплаве одна и та же, приходим к уравнению
Решив это уравнение, получим х = 1,5. Таким образом, к исходному сплаву надо добавить 1,5 кг олова.
Задача 7.
Имеется сталь двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%. Сколько стали того и другого сорта надо взять, чтобы после переплавки получить 140 т стали с содержанием никеля 30% ?
Решение:
Пусть масса стали первого сорта равна х т, тогда стали второго сорта надо взять (140 — х) т. Содержание никеля в стали первого сорта составляет 5%; значит, в х т стали первого сорта содержится 0,05л; т никеля. Содержание никеля в стали второго сорта составляет 40%; значит, в (140 — х) т стеши второго сорта содержится 0,4 (140 — х) т никеля. По условию после соединения взятых двух сортов должно получиться 140 т стали с 30% -ным содержанием никеля, т. е. после переплавки в полученной стали должно быть 0,3 * 140 т никеля. Но это количество никеля складывается из 0,05л; т, содержащихся в стали первого сорта, и из 0,4 (140 — х) т, содержащихся в стали второго сорта. Таким образом, приходим к уравнению
0,05х + 0,4 (140 — х) = 0,3 * 140,
из которого находим х = 40. Следовательно, надо взять 40 т стали с 5% -ным и 100 т стали с 40% -ным содержанием никеля.
Иррациональные уравнения
Иррациональным называют уравнение, в котором переменная содержится под знаком радикала или под знаком возведения в дробную степень. Например, иррациональными являются уравнения
Используются два основных метода решения иррациональных уравнений:
1) метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень;
2) метод введения новых переменных (см. п. 147).
Метод возведения обеих частей уравнения в одну
и ту же степень состоит в следующем:
а) преобразуют заданное иррациональное уравнение к виду
б) возводят обе части полученного уравнения в п-ю степень:
в) учитывая, что , получают уравнение
г) решают уравнение и, в случае четного п, делают проверку, так как возведение обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень может привести к появлению посторонних корней (см. п. 142). Эта проверка чаще всего осуществляется с помощью подстановки найденных значений переменной в исходное уравнение.
Пример 1.
Решить уравнение
Решение:
Возведем обе части уравнения в шестую степень; получим х — 3 = 64, откуда х = 67.
Проверка:
Подставив 67 вместо х в данное уравнение, получим , т. е. 2 = 2 — верное равенство.
Ответ: 67.
Пример 2.
Решение:
Преобразуем уравнение к виду
и возведем обе части его в квадрат. Получим
Еще раз возведем обе части уравнения в квадрат:
откуда
Проверка:
1) При х = 5 имеем
— верное равенство.
Таким образом, х = 5 является корнем заданного уравнения.
2) При х = 197 имеем Таким образом, х = 197 — посторонний корень.
Ответ: 5.
Пример 3.
Решение:
Применим метод введения новой переменной.
Положим и мы получаем уравнение , откуда находим
Теперь задача свелась к решению совокупности уравнений
Возведя обе части уравнения в пятую степень, получим х — 2 = 32, откуда х = 34.
Уравнение не имеет корней, поскольку под знаком возведения в дробную степень может содержаться только неотрицательное число, а любая степень неотрицательного числа неотрицательна.
Ответ: 34.
Показательные уравнения
Показательное уравнение вида
где равносильно уравнению f(х) = g(x).
Имеются два основных метода решения показательных уравнений:
1) метод уравнивания показателей, т. е. преобразование заданного уравнения к виду а затем к виду f(х) = g(x);
2) метод введения новой переменной.
Пример 1.
Решить уравнение
Решение:
Данное уравнение равносильно уравнению откуда находим Решив это квадратное уравнение, получим
Пример 2.
Решение:
Приведем все степени к одному основанию . Получим уравнение которое преобразуем к виду Уравнение равносильно уравнению х = 2х — 3, откуда находим х = 3.
Пример 3.
Решить уравнение
Решение:
Применим метод введения новой переменной. Так как ,то данное уравнение можно переписать в виде
Введем новую переменную, положив Получим квадратное уравнение с корнями Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений
Из первого уравнения находим х = 2. Второе уравнение не имеет корней, так как при любых значениях х.
Ответ: 2.
Логарифмические уравнения
Чтобы решить логарифмическое уравнение вида
где нужно:
1) решить уравнение f(x) = g(x);
2) из найденных корней отобрать те, которые удовлетворяют неравенствам f(x) > 0 и g(x) > 0; остальные корни уравнения f(x) = g(x) являются посторонними для уравнения (1).
Имеются два основных метода решения логарифмических уравнений:
1) метод, заключающийся в преобразовании уравнения к виду затем к виду f(x) = g(x);
2) метод введения новой переменной.
Пример 1.
Решение:
Перейдем от заданного уравнения к уравнению и решим его. Имеем Проверку найденных значений х выполним с помощью неравенств Число -3 этим неравенствам удовлетворяет, а число 4 — нет. Значит, 4 — посторонний корень.
Ответ: -3.
Пример 2.
Решение:
Воспользовавшись тем, что сумма логарифмов равна логарифму произведения (см. п. 120), преобразуем уравнение к виду
Из последнего уравнения находим
Осталось сделать проверку. Ее можно выполнить с помощью системы неравенств
Подставив поочередно найденные значения -1 и -5,5 в эти неравенства, убеждаемся, что -1 удовлетворяет всем неравенствам, а -5,5 — нет, например при этом значении не выполняется первое неравенство. Значит, -5,5 — посторонний корень.
Ответ: -1.
Пример 3.
Решение:
Так как заданное уравнение можно переписать следующим образом:
Введем новую переменную, положив Получим
Но ; из уравнения находим х = 4.
Ответ: 4.
Примеры решения показательно-логарифмических уравнений
Пример 1.
Решение:
Область определения уравнения: х > 0. При этом условии выражения, входящие в обе части уравнения (1), принимают только положительные значения. Прологарифмировав обе части уравнения (1) по основанию 10, получим уравнение
равносильное уравнению (1). Далее имеем
Полагая получим уравнение , откуда Остается решить совокупность уравнений Из этой совокупности получим — корни уравнения (1).
Здесь применен метод логарифмирования, заключающийся в переходе от уравнения f(x) = g(x) к уравнению
Пример 2.
(2)
Решение:
Воспользовавшись определением логарифма, преобразуем уравнение (2) к виду
Полагая , получим уравнение корнями которого являются
Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений
Так как , а -1 0 и мы получаем
если , то D = 0 и мы получаем , т. е. (поскольку ) .
Итак, если то действительных корней нет; если = 1, то ; если ,то ; если и , то
Пример 3.
При каких значениях параметра уравнение
имеет два различных отрицательных корня?
Решение:
Так как уравнение должно иметь два различных действительных корня его дискриминант должен быть положительным. Имеем
Значит, должно выполняться неравенство
По теореме Виета для заданного уравнения имеем
Так как, по условию, , то и
В итоге мы приходим к системе неравенств (см. п. 177):
Из первого неравенства системы находим (см. п. 180, 183) ; из второго ; из третьего . С помощью координатной прямой (рис. 1.107) находим, что либо , либо
Эта лекция взята со страницы полного курса лекций по изучению предмета «Математика»:
Смотрите также дополнительные лекции по предмету «Математика»:
Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔
Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.
Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.
Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.
Алгебра и начала математического анализа. 10 класс
Конспект урока
Алгебра и начала математического анализа, 10 класс
Урок № 1. Повторение 7-9. Числовые и алгебраические выражения. Линейные уравнения и неравенства
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме.
- обобщение и систематизация знаний по алгебре 7-9;
- повтор арифметики алгебраических выражений;
- решение линейных уравнений и неравенств;
- решение систем линейных уравнений и неравенств.
1. Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Фёдорова Н. Е. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Базовый и углублённый уровни.
2. Ткачева М. В., Федорова Н. Е. Алгебра и начала математического анализа. Тематические тесты. 10 класс. Базовый и профильный уровни
1. Шабунин М. И., Ткачева М. В., Фёдорова Н. Е. и др. Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы. 10 класс. Профильный уровень.
2. Галицкий М. Л., Гольдман А. М., Звавич Л. И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов. Учеб. пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. М.: Просвещение, 2000.
Открытые электронные ресурсы:
1. Федеральный институт педагогических измерений. http://www.fipi.ru
Все выражения можно разбить на два класса на основании наличия переменных: числовые выражения и выражения с переменными.
Логическая задача на классификацию
Основание для классификации: наличие переменных
Выражения с переменными
Для числовых выражений можно находить значение – результат всех выполненных действий. Для выражений с переменными можно также находить значение при некоторых значениях переменных, предварительно упростив его, например, с помощью свойств, правил, формул сокращенного умножения.
Найдите значение выражения при a=0,01 и b=12:
2)
3)
2);
3)
3b-2a-3b=-2a-2a=-0,02
2.Линейное уравнение с одним неизвестным
Линейное уравнение с одним неизвестным – это уравнение вида ax=b, где a и b – заданные числа, x – неизвестное
Решить уравнение – это значит найти все его корни или установить, что корней нет
Основные свойства уравнений
Любой член уравнения можно перенести из одной части в другую, изменив его знак на противоположный.
Решение уравнения ax=b,где a и b – числа, x – переменная
Если a≠0, b – любое число, то .
Если a=0, b≠0, то нет корней.
Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.
1) ,
1),
Решим уравнение 2).
По определению модуля числа имеем 5x+7=±2.
Таким образом, либо 5x+7=2, откуда x=-1, либо 5x+7=-2, откуда x=-1,8. Получаем ответ: -1; -1,8.
Решение уравнения ax=b,где a и b – числа, x – переменная
Если a≠0, b – любое число, то .
Если a=0, b≠0, то нет корней.
Если a=0, b=0, то x – любое число.
Линейное уравнение с параметрами
Решите уравнение (5x+7)n=x-m, где m и n – некоторые числа, x – неизвестное
1)Если 5n-1≠0, то есть n≠0,2, то . Используя основное свойство дроби, получаем, что .
2)Если 5n-1=0, то есть n=0,2, то уравнение примет вид 0∙x=-m-1,4;
Тогда при m=-1,4 корнем уравнения будет любое число,
при m≠-1,4 уравнение не имеет корней.
Рассмотрим задачу 1.
От пристани А до пристани В катер плывет по реке 15 минут, а обратно 20 минут. Найти скорость течения реки, если собственная скорость катера 14 км/ч.
Для ее решения необходимо:
1.Провести ориентировку в тексте задачи.
1.1.Проанализировать условие и выявить данные (известные, дополнительные, скрытые).
1.2.Проанализировать вопрос задачи и выявить искомое.
1.3.Определить связи одноуровневые и межуровневые между данными и искомым.
1.4.Построить графическую схему, например, таблицу.
1.5.Установить в ней место искомого.
2.Спланировать способ решения задачи.
2.1.Подобрать метод, например, алгебраический.
2.3.Подобрать действия для решения составленной математической модели.
3.Исполнить намеченный план решения и найти искомое.
4.Провести самоконтроль решения задачи, проверив, что найденное искомое не противоречит условию задачи.
5.Провести самооценку решения задачи.
6.Провести самокоррекцию выполненного решения задачи, если есть в том необходимость.
1 способ: Провести повторное решение задачи от начала до конца.
2 способ: Провести дополнительную деятельность для того, чтобы ответить на вопрос задачи.
3 способ: Решить задачу другим способом.
удовлетворяет условию
3.Системы линейных уравнений с двумя неизвестными
Система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными – это система вида
где x и y – неизвестные,
– заданные числа,
причем и .
Решение системы двух уравнений с двумя неизвестными – это пара чисел x и y, которые при подстановке в эту систему обращают каждое ее уравнение в верное числовое равенство.
Решить систему уравнений – это значит найти все ее решения или установить, что их нет.
Способы решения систем уравнений: способ подстановки и способ сложения.
Решите систему способом подстановки
Для этого необходимо:
1.Выразить одну переменную через другую из какого-либо уравнения.
2.Подставить полученное выражение вместо выраженной переменной в другое уравнение.
3.Решить полученное уравнение относительно одной переменной.
4.Найти значение другой переменной, подставив найденный корень в формулу пункта 1.
5.Записать решение системы.
(1;2) – решение системы
Решите систему способом сложения
Для этого необходимо:
1.Домножить какое-либо уравнение системы или оба уравнения на такие числа, чтобы при почленном сложении уравнений получить уравнение относительно одной переменной.
2.Решить уравнение, полученное после почленного сложения.
3.Подставить найденный корень в какое-либо уравнение исходной системы.
4.Решить составленное уравнение.
5.Записать решение системы.
(3;-1) – решение системы
Решение системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными
Если , то система имеет единственное решение.
Если то система не имеет решений.
Если , то система имеет бесконечно много решений.
Система линейных уравнений с параметром
Решите систему уравнений с параметром a:
Решим систему способом подстановки. Выразим y из первого уравнения системы: . Подставим выражение вместо y во второе уравнение системы:
(a-3)x+a((a+1)x-a)=-9 .
Решим полученное уравнение относительно x:
.
1. Если , то есть , то система имеет единственное решение. Найдем это решение: После сокращения получаем: . Найдем соответствующее значение y, подставив вместо x в формулу
. Получим . Итак, если , то – решение системы.
2. Если и , то есть a=-3, то система имеет бесконечно много решений. Найдем в этом случае решения системы. Для этого подставим a=-3 в первое уравнение системы. Получим уравнение -2x-y=-3, из которого выразим y: y=3-2x. Значит, (x;3-2x), где x – любое число, — решения системы.
3. Если и , то есть a=1, то система не имеет решений.
Ответ: Если , то – решение системы;
если a=-3, то (x;3-2x), где x – любое число, — решения системы;
если a=1, то система не имеет решений.
4.Решение линейных неравенств с одним неизвестным
Неравенство первой степени с одним неизвестными – это неравенство вида ax b / ax≤b / ax ≥b, где a и b – заданные числа, x – неизвестное.
Решение неравенства с одним неизвестным – это то значение неизвестного, при котором это неравенство обращается в верное числовое неравенство.
Решить неравенство – это значит найти все его решения или установить, что их нет.
Правило решения неравенства первой степени с одним неизвестным
1.Перенести с противоположными знаками члены, содержащие неизвестное, из правой части в левую, а не содержащие неизвестное – из левой части в правую.
2.Привести подобные члены в левой и правой частях неравенства.
3.Если коэффициент при неизвестном отличен от нуля, то разделить на него обе части неравенства.
5.Системы линейных неравенств с одним неизвестным
Решение системы неравенств с одним неизвестным – это значение неизвестного, при котором все неравенства системы обращаются в верные числовые неравенства.
Решить неравенство 2x-8 3.
Решение неравенства ax 0, то
Если a 0, то x – любое число
Если a=0, b≤0, то решений нет
Линейное неравенство с параметром
Решите неравенство с параметром a:
ax 0, то
Если a 0, то ; если a 0, 2x>6, x>3.
Решим второе неравенство системы:
4x-20 b / ax≤b / ax ≥b, где a и b – заданные числа, x – неизвестное.
Система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными – это система вида
где x и y – неизвестные,
– заданные числа,
причем и .
http://natalibrilenova.ru/uravneniya-s-odnoj-peremennoj/
http://resh.edu.ru/subject/lesson/5100/conspect/