Алгебра и начала математического анализа. 11 класс
Конспект урока
Алгебра и начала математического анализа, 11 класс
Урок №50. Системы уравнений. Методы решения систем уравнений.
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
- Методы решений систем: метод сложения, метод подстановки.
- Частные способы решения систем уравнений.
- Решение задач итоговой аттестации
Глоссарий по теме
Уравнение. Пусть заданы функции f(x) и g(x). Если относительно равенства поставлена задача отыскания всех значений переменной, при которых получается верное числовое равенство, то говорят, что задано уравнение с одной переменной.
Уравнение с двумя переменными. Уравнение с двумя переменными x и y имеет вид , где f и g — выражения с переменными x и y .
Система уравнений. Если ставится задача найти множество общих решений двух или нескольких уравнений с двумя переменными, то говорят, что надо решить систему уравнений. Систему двух уравнений с двумя переменными будем записывать так:
Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл.– М.: Просвещение, 2014. С 238-239.
Открытые электронные ресурсы:
Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ http://ege.fipi.ru/
Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Рассмотрим методы решения систем уравнений
Выразим одну переменную из второго уравнения и подставим во второе:
Решим первое уравнение
Подставим найденное значение в первоначальную систему
Получим ответ: (4; 6)
Сложим почленно уравнения и найдем значение одной из переменных
Подставим полученное значение в первоначальную систему и найдем решение.
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
Решите систему уравнений
Выберите верный ответ из предлагаемых.
- (4; 1);
- (-1; -4); (9; 3)
- (1; 4);
Правильный вариант: 1) (4; 1);
Рассмотрим первое уравнение.
Решим это уравнение методом замены переменной.
Найдем значение t = 2 т.е.
Подставим полученное значение во второе уравнение.
Решая второе уравнение получим значения y.
, или
, или
Ответ:
Решите систему уравнений
Выберите верный ответ из предложенных
Рассмотрим второе уравнение и преобразуем его:
Системы уравнений. Способы их решения. 11 класс
презентация к уроку по алгебре (11 класс) по теме
В презентации рассматриваются способы решения систем уравнений:
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
sistemy__uravneniy_11klass.pptx | 261.11 КБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Способы решения Системы уравнений
Системы уравнений с двумя переменными. Определение: Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство. Решить систему уравнений – значит найти все её решения или доказать, что решений нет.
Способы решения: Способ подстановки Способ сложения Графический способ Способ замены
Способ подстановки Выразить из какого-нибудь уравнения системы одну переменную через другую. Подставить в другое уравнение системы вместо этой переменной полученное выражение. Решить получившееся уравнение с одной переменной. Найти соответствующее значение второй переменной.
Пример: Решим систему уравнений: 1. Выразим из первого уравнения y через x : y=7-3x . 2. Подставив во второе уравнение вместо y выражение 7-3х , получим систему: 3. В системе (2) второе уравнение содержит только одну переменную. Решим это уравнение: 14-6х-5х=3, -11х= -11, х=1. 4. Подставим в равенство у=7-3х вместо х число 1 , найдём соответствующее значение у : у=7-3 1, у=4. Пара (1;4) – решение системы (1).
Решите системы уравнений: 1. 2. 3. 4. 5. 6.
Способ сложения Умножьте почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами. Сложите почленно левые и правые части уравнений системы. Решите получившееся уравнение с одной переменной. Найдите соответствующее значение второй переменной.
Пример: Решим систему: 1. Умножим все члены первого уравнения на — 2 : уравнение оставим без изменений, то коэффициенты при в полученных уравнениях будут противоположными числами: 2. Т П очленно сложим и получим уравнение с одной переменной : -29у=58 . 3. Из этого уравнения находим, что у=58/(-29)= -2 . 4. Подставив во второе уравнение вместо у число -2 , Найдём значение х : 10х-7*(-2)=74 , 10х=60 , х=6 . Ответ : х=6 , у= -2
Решите системы уравнений: 1. 2. 3. 4. 5. 6.
Графический способ Построить график функции, заданной первым уравнением системы. Построить график функции, заданной вторым уравнением системы. Определить координаты точек пересечения графиков функций.
Пример : Решим систему уравнений: 1. Построим график линейной функции 2х+3у=5 . Её графиком является прямая АВ . 2. Построим график линейной функции 3х-у=-9 . Её графиком является прямая С D . 3. Графики пересекаются в точке К(-2;3). Значит, система имеет Единственное решение: х= -2, у=3 3 -2 К y x D C A B 0
Решите системы уравнений: 1. 2. 3. 4. 5. 6.
Способ замены Пример : Решим систему Сделаем замену: Получим систему: Разложим левую часть второго уравнения на множители: — и подставим в него из первого уравнения . Тогда получим систему, равносильную второй: Подставляя во второе уравнение значение b , найденное из первого приходим к уравнению , т.е. Полученное квадратное уравнение имеет два корня: и . Соответствующие значения b таковы: и . Переходим к переменным х и у. Получаем: , т.е. , , , . Ответ:(1;27), (27;1).
Решите системы уравнений: 1. 2. 3. 4. 5. 6.
Системы показательных уравнений Пример : Решим систему уравнений Из второго уравнения системы находим 2х-у=1 , откуда у=2х-1 . Подставляя вместо у в первое уравнение выражение 2х-1 получим , откуда . Обозначим , получим квадратное уравнение . Находим корни этого уравнения: . Уравнение замены решений не имеет. Корнем уравнения является число х=2 . Соответствующее значение у=3 . Ответ :(2;3).
Решите системы уравнений: 1. 2. 3. 4. 5. 6.
Системы логарифмических уравнений Пример : Решим систему уравнений Первое уравнение системы равносильно уравнению у-х=2 , а второе – уравнению , причём х > 0 и у > 0 . Подставляя у =х+2 в уравнение , получим х(х+2)=48 , откуда ,т.е. х= -8 или х=6 .Но так как х >0 , то х=6 и тогда у=8 . Итак, данная система уравнений имеет одно решение: х=6, у=8 . Ответ: (6;8).
Решите системы уравнений: 1. 2. 3. 4. 5. 6.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Урок алгебры в 8 классе по теме «Квадратные уравнения, способы их решения»
Методическая разработка обобщающего урока алгебры в 8 классе по теме «Квадратные уравнения, способы их решения. Углубленное изучение свойств «квадратных уравнений». Урок -презентация.
урок в 9 классе по алгебре «Основные понятия. Графический способ решения системы уравнений с двумя переменными»
урок с применением технологии деятельностного подхода.
Урок алгебры 8 класс. Тема «Квадратные уравнения. Способы их решения.»
Презентация к уроку обобщения и закрепления ранее изученного материала по теме «Квадратные уравнения".
Методическая разработка урока алгебры в 7 классе «Различные способы решения систем линейных уравнений» способы решения систем уравнений
Урок алгебры в 7 классе направлен на обобщение и систематизацию различных способов решения систем уравнений: метода сравнения, сложения, подстановки, графического метода, метода Крамера, выбора рацион.
Решение систем линейных уравнений способом сложения. 7 класс.
Графический способ решения системы уравнений. 9 класс
Цель урока: овладеть умением решать системы уравнений с двумя переменными, используя графические представления.
План-конспект урока «Системы уравнений. Основные способы их решения», 9 класс
План-конспект урока с технологической картой.
Конспект урока 11 класс «Решение показательных уравнений и систем уравнений».
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Тема: «Решение показательных уравнений и систем уравнений».
Цель: 1. Систематизировать виды показательных выражений,
рассмотреть способы решений уравнений и систем уравнений.
Научить систематизировать показательные уравнения и их системы.
Развить умение применять алгоритмы решений показательных уравнений к различным видам уравнений и их систем.
Воспитывать ответственное отношение к изучаемой теме.
Организационный момент. Сообщение темы и цели урока.
Повторение и закрепление пройденного материала.
ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешённых заданий).
Устный фронтальный опрос по теме «Показательная функция».
В.1. Какая функция называется показательной?
(ответ: Функция вида у = а х , где а о, а ≠ 1, х — переменная, называется показательной функцией).
В.2. Почему основание а не должно быть равным 1 (а ≠ 1)?
(ответ: т.к при а=1 степень а х при любом значении х равнялась бы 1 и тогда она не зависела бы от х).
В.3. Почему основание а должно быть обязательно положительным (а о)? (ответ: т.к. при а о степень а х для многих значений х не была бы действительным числом. Например а = — 5, , то а х будет , что не является действительным числом).
В.4. Какое число берётся из всех значений, если х равен дроби, а х означает корень некоторой степени?
(ответ: берётся только одно арифметическое значение, т.е. неотрицательное число).
В.5. Повторить свойства:
m =
Изучение нового материала
Определение: Показательным уравнением называется уравнение котором неизвестное Х входит только в показатель степени при некоторых постоянных основаниях.
а) 2 х = ; б) х = ; в) 3 х+1 + 3 х = 108
Способы решения показательных уравнений
Способ приведения к общему основанию
1) обе части уравнения приводим к одинаковому основанию;
2) приравниваем показатели степеней левой и правой частей уравнения, в результате чего получаем уравнение, способ решения которого известен;
3) Решаем полученное уравнение;
4) с помощью проверки определяем, какие из полученных значений переменной являются корнями данного показательного уравнения.
ПРИМЕР: 27 х = ;
1. Обе части уравнения приводим к основанию 3 (3 3 ) х =3 — 4
2. Приравниваем показатели 3х = — 4
3. Решив полученное уравнение имеем Х= —
4. Проверим:
=
=
Ответ: —
Способ введения новой переменной
Делаем замену переменной, приводящую к алгебраическому уравнению;
Решаем полученное алгебраическое уравнение;
Найденные значения корней алгебраического уравнения подставив в равенство, определяющее замену;
Найдём корни полученного уравнения;
С помощью проверки определяем, какие из этих корней являются корнями данного показательного уравнения.
ПРИМЕР: 3 2х+5 = 3 х+2 + 2
3 2х * 3 5 = 3 х * 3 2 +2
(3 х ) 2 * 243 = 3 х *9+2
243у 2 – 9*у-2 = 0 решив это уравнение, имеем
у 1 = ; у 2 = —
не может быть 3 х 0.
берём только у = 3 х = 3 х = 3 -2 х = -2
Используется в тех случаях, когда в показательном уравнении а х = в, число В нельзя представить в виде степени числа а. Для решения уравнения на одной координатной плоскости строят графики функций у=а х и у=в. Абсциссы точек пересечения графиков указанных функций будут решениями данного показательного уравнения.
Решение системы показательных уравнений.
умножим обе части второго уравнения на 2
+ почленно сложим уравнения
5 * =
2 х =
2 х = х=2 –подставим во второе уравнение системы
;
— ;
— ;
;
Первое уравнение почленно умножим на второе
(2 * 3) х+у =
=
у = 3 – х подставим в первое уравнение:
* = 12
= 12
= 12
х = 12
( ) х =
( ) х = ( ) 2
х = 2, у = 3 – 2 = 1. Ответ: (2;1)
Решение показательных уравнений, требующие применения различных алгебраических приёмов преобразования уравнений.
— 3 * — 10 * = 4
— можно вынести за скобки
* — * * 3 – 10 * = 4
( ) = 4
* 100 = 4
= —
Сгруппируем члены уравнение, содержащие степени числа 3, в левой части, а члены, содержащие степени числа 2, — в правой.
+ = +
+ = +
* (3+1) = * (1+ )
* 9
* = * разделим обе части этого уравнения на правую часть
= 1 по свойствам степени
= 1
= 1
= 1
( = ( ) 0
х — = 0
х =
Уравнение, решаемые разложением на множители
* * = 5400
* * = * *
Разделим обе части уравнения на его правую часть, получим
= 1 по свойствам степеней
* * = 1
* * = 1
= 90 0
Уравнения, содержащие помимо показательных другие функции.
2 *
Перенесём все члены уравнения в левую часть, сгруппируем их и вынесем общие множители за скобки и имеем:
2 * = 0
(2 * + (1- ) = 0
2 * ( ) = 0
( ) * (2 ) = 0
т.к. произведение равно 0, если хотя бы один из множителей равен 0.
= 0 или 2 = 0
2
=
х = 0 х = (-1) n arcsin + π n ,
х = (-1) n π n , n € z
Есть показательные уравнения, в которых для решения приходится вводить две новые переменные.
+ ² — 2 *
( ) 2 + ( ) 2 – 2 * * = 0
= а
получаем
а 2 + b 2 – 2 а b = 0
по формуле сокращенного умножения
(а — b ) 2 = 0 следовательно а = b
т.е. =
Уравнения, решаемые с помощью их специфики.
7 х + 24 х = 25 х
Можно угадать, что корень уравнения равен 2.
х = 2, действительно 7 2 + 24 2 = 25 2
Разделим все члены уравнения на его правую часть, получим
( ) х + ( ) х = 2
Функции ( ) х и ( ) х убывающие, т.к. основания меньше 1.
Сумма этих функций является функцией убывающей. Поэтому по теореме о корне данное уравнение имеет единственное решение. у
Уравнения, решаемые графически.
3 у 2
построим график функции у 1 = и у 2 = у 1 х
Видно, что графики этих функций пересекаются 2
в единственной точке А, абсцисса х = 2 которой
является решением данного уравнения.
Закрепление новой темы. Решить в классе упр.596,598,600,602(нечетные)
http://nsportal.ru/shkola/algebra/library/2012/09/03/sistemy-uravneniy-sposoby-ikh-resheniya-11-klass
http://infourok.ru/konspekt-uroka-klass-reshenie-pokazatelnih-uravneniy-i-sistem-uravneniy-991582.html