Показательные уравнения. 10-й класс
Разделы: Математика
Класс: 10
Учебник: Колягин Ю. М. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Москва, «Просвещение», 2014.
Урок проведён в универсальном 10-м классе средней общеобразовательной школы.
Цели урока: изучение способов решения показательных уравнений, тренировка в применении полученных знаний при решении заданий по теме, развитие творческой и мыслительной деятельности учащихся, формирование умения чётко и ясно излагать свои мысли, формирование познавательных интересов и мотивов самосовершенствования, воспитание умения работать с имеющейся информацией и культуры труда.
Структура урока
1. Организационный этап. Постановка темы и цели урока
– Прочитайте тему сегодняшнего урока (Приложение 1, слайд № 1)
– «Показательные уравнения».
– Нам это уже известно или это новый вид уравнений?
– Это новый вид уравнений.
– Попробуйте сформулировать цели урока.
– Мы узнаем, какие уравнения называются показательными, изучим способы их решения и будем учиться применять новое знание при решении задач по теме.
Учитель корректирует ответы учащихся.
2. Актуализация знаний. Устная работа (слайд № 3)
- Подберите корень уравнения 2 х = 32; 3 х = 27; 10 х = 10000
- Решите уравнение х 2 = 36; х 2 + х = 0; х 2 + 2х + 1 = 0
- Найдите область значений функции у = π х ; у = (0,5) х ; у = (0,5) |х|
- Сравните, используя свойства функций, с единицей 2 – 5 ; (0,5) – 3 ; (0,5) 0,5
3. Изучение нового материала (лекция)
Уравнение, в котором неизвестное содержится в показателе степени, считается показательным (слайд № 4). Рассмотрим основные виды показательных уравнений (слайд № 5) (учащиеся записывают названия видов и примеры в тетрадях).
1. Элементарные показательные уравнения. Эти уравнения сводятся к решению уравнений вида а х = а в , где а >0, а ≠ 1. При этом используется свойство степени, которое мы изучали (повторить следствие 2 на стр. 160 учебника). Рассмотрим примеры решения таких уравнений.
Пример 1 (слайд № 6).
(0,0016) 0,2 х + 1 = 25;
5 – 4 (0,2 х + 1) = 52;
– 0,8 х – 4 = 2;
– 0,8 х = 6;
х = – 7,5 .
Пример 2 (слайд №7)
36 · 6 х = 1;
6 2 + х = 60;
2 + х = 0;
х = – 2.
Пример 3 (слайд №8)
81 х · 2 4х = 36;
3 4х · 2 4х = 62;
6 4х = 6 2 ;
4х = 2;
х = 0,5.
Ответ: 0,5.
Пример 4 (слайд № 9)
2 х – 3 = 3 х – 3 ;
х – 3 = 0;
х = 3.
Ответ: 3.
2. Вынесение общего множителя за скобки (слайд № 10). Рассмотрим примеры решения таких уравнений.
2 · 3 х + 1 – 6 · 3 х – 1 – 3 х = 9;
3 х (2 · 3 – 6 · 3 – 1 – 1) = 9;
3 х · 3 = 9;
3 х = 3;
х = 3.
Ответ: 3.
Пример 2 (слайд № 11).
5 2х – 7 х – 5 2х · 17 + 7 х · 17 = 0;
5 2х – 5 2х · 17 = 7 х – 7 х · 17;
5 2х (1 – 17) = 7 х (1 – 17);
– 16· 52х = – 16 · 7х;
5 2х = 7 х ;
25 х = 7 х ;
х= 0.
Ответ: 0.
3. Сведение к квадратному уравнению (слайд № 12). Рассмотрим примеры решения таких уравнений.
9 х – 4 · 3 х = 45;
3 2х – 4 · 3 х – 45 = 0;
Замена 3 х = t, t > 0;
t 2 – 4 t – 45 = 0;
D = 16 +180 = 196;
t1 = 9,
t2 = – 5 – не удовлетворяет условию t > 0;
3 х = 9;
3 х = 32;
х = 2;
Ответ: 2.
4. Закрепление изученного материала
– Продолжаем учиться решать показательные уравнения. (Решение всех последующих уравнений записывается на доске с объяснениями, следует вызвать ученика по желанию). Разберём №680(3), 681(1), 682(3), 684(1), 693(2).
5. Обучающая самостоятельная работа с самопроверкой
– Предлагаю вам самостоятельно решить следующие уравнения (слайд № 13), а затем проверить себя самостоятельно с помощью готовых решений (решение уравнений следует заранее заготовить, например, на слайдах, а затем показать учащимся по окончании работы).
- (0,3) 5 – 2х = 0,09;
- 225 · 15 2х + 1 = 1;
- 3 х + 1 – 3 х = 18;
- 9 х – 26 · 3 х – 27 = 0
Решение № 1 (слайд № 14)
Решение № 2 (слайд № 15)
15 2 · 15 2х + 1 = 150;
152х + 3 = 150;
2х + 3 = 0;
х = – 1,5.
Ответ: – 1,5.
Решение № 3 (слайд № 16)
3 х · 3 – 3 х = 18;
3 х (3 – 1) = 18;
3 х · 2 = 18;
3 х = 9;
3 х = 3 2 ;
х = 2.
Ответ: х = 2.
Решение № 4 (слайд № 17)
3 2х – 26 · 3 х – 27 = 0;
Замена 3 х = t, t > 0;
t 2 – 26 t – 27 = 0;
t1 = 27,
t2 = – 1 не удовлетворяет условию t > 0;
3 х = 27; 3 х = 3 3 ; х = 3;
Ответ: 3.
6. Подведение итога урока. Рефлексия
– Итак, подведём итоги проделанной работы. Что нового вы узнали?
– С какими видами показательных уравнений мы познакомились?
7. Домашнее задание (слайд № 18)
Алгебра и начала математического анализа. 10 класс
Конспект урока
Алгебра и начала математического анализа, 10 класс
Урок № 1. Повторение 7-9. Числовые и алгебраические выражения. Линейные уравнения и неравенства
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме.
- обобщение и систематизация знаний по алгебре 7-9;
- повтор арифметики алгебраических выражений;
- решение линейных уравнений и неравенств;
- решение систем линейных уравнений и неравенств.
1. Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Фёдорова Н. Е. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Базовый и углублённый уровни.
2. Ткачева М. В., Федорова Н. Е. Алгебра и начала математического анализа. Тематические тесты. 10 класс. Базовый и профильный уровни
1. Шабунин М. И., Ткачева М. В., Фёдорова Н. Е. и др. Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы. 10 класс. Профильный уровень.
2. Галицкий М. Л., Гольдман А. М., Звавич Л. И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов. Учеб. пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. М.: Просвещение, 2000.
Открытые электронные ресурсы:
1. Федеральный институт педагогических измерений. http://www.fipi.ru
Все выражения можно разбить на два класса на основании наличия переменных: числовые выражения и выражения с переменными.
Логическая задача на классификацию
Основание для классификации: наличие переменных
Выражения с переменными
Для числовых выражений можно находить значение – результат всех выполненных действий. Для выражений с переменными можно также находить значение при некоторых значениях переменных, предварительно упростив его, например, с помощью свойств, правил, формул сокращенного умножения.
Найдите значение выражения при a=0,01 и b=12:
2)
3)
2);
3)
3b-2a-3b=-2a-2a=-0,02
2.Линейное уравнение с одним неизвестным
Линейное уравнение с одним неизвестным – это уравнение вида ax=b, где a и b – заданные числа, x – неизвестное
Решить уравнение – это значит найти все его корни или установить, что корней нет
Основные свойства уравнений
Любой член уравнения можно перенести из одной части в другую, изменив его знак на противоположный.
Решение уравнения ax=b,где a и b – числа, x – переменная
Если a≠0, b – любое число, то .
Если a=0, b≠0, то нет корней.
Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.
1) ,
1),
Решим уравнение 2).
По определению модуля числа имеем 5x+7=±2.
Таким образом, либо 5x+7=2, откуда x=-1, либо 5x+7=-2, откуда x=-1,8. Получаем ответ: -1; -1,8.
Решение уравнения ax=b,где a и b – числа, x – переменная
Если a≠0, b – любое число, то .
Если a=0, b≠0, то нет корней.
Если a=0, b=0, то x – любое число.
Линейное уравнение с параметрами
Решите уравнение (5x+7)n=x-m, где m и n – некоторые числа, x – неизвестное
1)Если 5n-1≠0, то есть n≠0,2, то . Используя основное свойство дроби, получаем, что .
2)Если 5n-1=0, то есть n=0,2, то уравнение примет вид 0∙x=-m-1,4;
Тогда при m=-1,4 корнем уравнения будет любое число,
при m≠-1,4 уравнение не имеет корней.
Рассмотрим задачу 1.
От пристани А до пристани В катер плывет по реке 15 минут, а обратно 20 минут. Найти скорость течения реки, если собственная скорость катера 14 км/ч.
Для ее решения необходимо:
1.Провести ориентировку в тексте задачи.
1.1.Проанализировать условие и выявить данные (известные, дополнительные, скрытые).
1.2.Проанализировать вопрос задачи и выявить искомое.
1.3.Определить связи одноуровневые и межуровневые между данными и искомым.
1.4.Построить графическую схему, например, таблицу.
1.5.Установить в ней место искомого.
2.Спланировать способ решения задачи.
2.1.Подобрать метод, например, алгебраический.
2.3.Подобрать действия для решения составленной математической модели.
3.Исполнить намеченный план решения и найти искомое.
4.Провести самоконтроль решения задачи, проверив, что найденное искомое не противоречит условию задачи.
5.Провести самооценку решения задачи.
6.Провести самокоррекцию выполненного решения задачи, если есть в том необходимость.
1 способ: Провести повторное решение задачи от начала до конца.
2 способ: Провести дополнительную деятельность для того, чтобы ответить на вопрос задачи.
3 способ: Решить задачу другим способом.
удовлетворяет условию
3.Системы линейных уравнений с двумя неизвестными
Система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными – это система вида
где x и y – неизвестные,
– заданные числа,
причем и .
Решение системы двух уравнений с двумя неизвестными – это пара чисел x и y, которые при подстановке в эту систему обращают каждое ее уравнение в верное числовое равенство.
Решить систему уравнений – это значит найти все ее решения или установить, что их нет.
Способы решения систем уравнений: способ подстановки и способ сложения.
Решите систему способом подстановки
Для этого необходимо:
1.Выразить одну переменную через другую из какого-либо уравнения.
2.Подставить полученное выражение вместо выраженной переменной в другое уравнение.
3.Решить полученное уравнение относительно одной переменной.
4.Найти значение другой переменной, подставив найденный корень в формулу пункта 1.
5.Записать решение системы.
(1;2) – решение системы
Решите систему способом сложения
Для этого необходимо:
1.Домножить какое-либо уравнение системы или оба уравнения на такие числа, чтобы при почленном сложении уравнений получить уравнение относительно одной переменной.
2.Решить уравнение, полученное после почленного сложения.
3.Подставить найденный корень в какое-либо уравнение исходной системы.
4.Решить составленное уравнение.
5.Записать решение системы.
(3;-1) – решение системы
Решение системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными
Если , то система имеет единственное решение.
Если то система не имеет решений.
Если , то система имеет бесконечно много решений.
Система линейных уравнений с параметром
Решите систему уравнений с параметром a:
Решим систему способом подстановки. Выразим y из первого уравнения системы: . Подставим выражение вместо y во второе уравнение системы:
(a-3)x+a((a+1)x-a)=-9 .
Решим полученное уравнение относительно x:
.
1. Если , то есть , то система имеет единственное решение. Найдем это решение: После сокращения получаем: . Найдем соответствующее значение y, подставив вместо x в формулу
. Получим . Итак, если , то – решение системы.
2. Если и , то есть a=-3, то система имеет бесконечно много решений. Найдем в этом случае решения системы. Для этого подставим a=-3 в первое уравнение системы. Получим уравнение -2x-y=-3, из которого выразим y: y=3-2x. Значит, (x;3-2x), где x – любое число, — решения системы.
3. Если и , то есть a=1, то система не имеет решений.
Ответ: Если , то – решение системы;
если a=-3, то (x;3-2x), где x – любое число, — решения системы;
если a=1, то система не имеет решений.
4.Решение линейных неравенств с одним неизвестным
Неравенство первой степени с одним неизвестными – это неравенство вида ax b / ax≤b / ax ≥b, где a и b – заданные числа, x – неизвестное.
Решение неравенства с одним неизвестным – это то значение неизвестного, при котором это неравенство обращается в верное числовое неравенство.
Решить неравенство – это значит найти все его решения или установить, что их нет.
Правило решения неравенства первой степени с одним неизвестным
1.Перенести с противоположными знаками члены, содержащие неизвестное, из правой части в левую, а не содержащие неизвестное – из левой части в правую.
2.Привести подобные члены в левой и правой частях неравенства.
3.Если коэффициент при неизвестном отличен от нуля, то разделить на него обе части неравенства.
5.Системы линейных неравенств с одним неизвестным
Решение системы неравенств с одним неизвестным – это значение неизвестного, при котором все неравенства системы обращаются в верные числовые неравенства.
Решить неравенство 2x-8 3.
Решение неравенства ax 0, то
Если a 0, то x – любое число
Если a=0, b≤0, то решений нет
Линейное неравенство с параметром
Решите неравенство с параметром a:
ax 0, то
Если a 0, то ; если a 0, 2x>6, x>3.
Решим второе неравенство системы:
4x-20 b / ax≤b / ax ≥b, где a и b – заданные числа, x – неизвестное.
Система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными – это система вида
где x и y – неизвестные,
– заданные числа,
причем и .
Показательные уравнения
О чем эта статья:
6 класс, 7 класс
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Определение показательного уравнения
Показательными называются уравнения с показательной функцией f(x) = a х . Другими словами, неизвестная переменная в них может содержаться как в основании степени, так и в ее показателе. Простейшее уравнение такого вида: a х = b, где a > 0, a ≠ 1.
Конечно, далеко не все задачи выглядят так просто, некоторые из них включают тригонометрические, логарифмические и другие конструкции. Но для решения даже простых показательных уравнений нужно вспомнить из курса алгебры за 6–7 класс следующие темы:
Если что-то успело забыться, советуем повторить эти темы перед тем, как читать дальнейший материал.
С точки зрения геометрии показательной функцией называют такую: y = a x , где a > 0 и a ≠ 1. У нее есть одно важное для решения показательных уравнений свойство — это монотонность. При a > 1 такая функция непрерывно возрастает, а при a
Иногда в результате решения будет получаться несколько вариантов ответа, и в таком случае мы должны выбрать тот корень, при котором показательная функция больше нуля.
Свойства степеней
Мы недаром просили повторить свойства степенной функции — на них будет основано решение большей части примеров. Держите небольшую шпаргалку по формулам, которые помогут упрощать сложные показательные уравнения.
http://resh.edu.ru/subject/lesson/5100/conspect/
http://skysmart.ru/articles/mathematic/pokazatelnye-uravneniya