Решение уравнений и задач на пропорцию 6 класс

Задачи на пропорции

О чем эта статья:

5 класс, 7 класс, 8 класс

Понятие пропорции

Чтобы решать задачи на тему пропорции, вспомним главное определение.

Пропорция в математике — это равенство между отношениями двух или нескольких пар чисел или величин.

Главное свойство пропорции:

Произведение крайних членов равно произведению средних.

где a, b, c, d — члены пропорции, a, d — крайние члены, b, c — средние члены.

Вывод из главного свойства пропорции:

• Крайний член равен произведению средних, которые разделены на другой крайний. То есть для пропорции a/b = c/d:
  
• Средний член равен произведению крайних, которые разделены на другой средний. То есть для пропорции a/b = c/d:
  

Решить пропорцию — значит найти неизвестный член. Свойство пропорции — главный помощник в решении.

Рассмотрим легкие и сложные задачи, которые можно решить с помощью пропорции. 5, 6, 7, 8 класс — неважно, всем школьникам полезно проанализировать занимательные задачки.

Задачи на пропорции с решением и ответами

Свойства пропорции придумали не просто так! С их помощью можно найти любой из членов пропорции, если он неизвестен. Решим 10 задач на пропорцию.

Задание 1. Найти неизвестный член пропорции: x/2 = 3/1

В этом примере неизвестен крайний член, поэтому умножим средние члены и разделим полученный результат на известный крайний член:

Задание 2. Найти неизвестный член: 1/3 = 5/y

Задача 3. Решить пропорцию: 30/x = 5/8

Задание 4. Решить: 7/5 = y/10

Задание 5. Известно, что 21x = 14y. Найти отношение x — к y

Сначала сократим обе части равенства на общий множитель 7: 21x/7 = 14y/7.

На следующем примере мы узнаем как составить пропорцию по задаче💡

Задание 6. Из 300 подписчиков в инстаграм 108 человек — поставили лайк под постом. Какой процент всех подписчиков составляют те, кому понравился пост и они поставили лайк?

Примем всех подписчиков за 100% и запишем условие задачи кратко:

Ответ: 36% всех подписчиков поставили лайк под постом.

Задание 7. Подруга Гарри Поттера при варке оборотного зелья использовала водоросли и пиявки в отношении 5 к 2. Сколько нужно водорослей, если есть только 450 грамм пиявок?

• Составим пропорцию: 5/2 = x/450.
• Найдем х: (5 * 450) : 2 = 1125.

Ответ: на 450 грамм пиявок нужно взять 1125 гр водорослей.

Задание 8. Известно, что арбуз состоит на 98% из воды. Сколько воды в 5 кг арбуза?

Вес арбуза (5 кг) составляет 100%. Вода — 98% или х кг.

Ответ: в 5 кг арбуза содержится 4,9 кг воды.

Перейдем к примерам посложнее. Рассмотрим задачу на пропорции из учебника по алгебре за 8 класс.

Задание 9. Папин автомобиль проезжает от одного города до другого за 13 часов со скоростью 75 км/ч. Сколько времени ему понадобится, если он будет ехать со скоростью 52 км/ч?

Скорость и время связаны обратно пропорциональной зависимостью: чем больше скорость, тем меньше времени понадобится.

Составим пропорцию: v1/v2 = t2/t1.

Соотношения равны, но перевернуты относительно друг друга.

Подставим известные значения: 75/52 = t2/13

t2 = (75 * 13)/52 = 75/4 = 18 3/4 = 18 ч 45 мин

Ответ: 18 часов 45 минут.

Задание 10. 24 человека за 5 дней раскрутили канал в телеграм. За сколько дней выполнят ту же работу 30 человек, если будут работать с той же эффективностью?

1. В заполненном столбце стрелку ставим в направлении от большего числа к меньшему.

2. Чем больше людей, тем меньше времени нужно для выполнения определенной работы (раскрутки канала). Значит, это обратно пропорциональная зависимость.

3. Поэтому направим вторую стрелку в противоположную сторону. Обратная пропорция выглядит так:

Пусть за х дней могут раскрутить канал 30 человек. Составляем пропорцию:

Чтобы найти неизвестный член пропорции, нужно произведение средних членов разделить на известный крайний член:

Онлайн-подготовка к ОГЭ по математике — отличный способ снять стресс и закрепить знания перед экзаменом.

Урок математики в 6 классе «Решение задач и уравнений с помощью пропорций»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ Решение задач и уравнений с помощью пропорций.doc

Тема урока: Решение задач и уравнений с помощью пропорций

Цель урока: проверить умение решать задачи и уравнения с помощью пропорций

Задачи: 1. обобщение и систематизация знаний учащихся по данной теме; усиление прикладной и практической направленности изученной темы

2.развитие умений обобщать, делать выводы, устанавливать закономерности; навыки самоконтроля и взаимоконтроля;

3.воспитание чувства успешности, самостоятельности.

Тип урока: комбинированный

Ну-ка, проверь, дружок,

Ты готов начать урок?

Все ль на месте,

Все ль в порядке-

Ручка, книжка и тетрадка?

Все ли правильно сидят?

Все ль внимательно глядят?

И удача пусть ждет вас.

За работу, в добрый час!

Длина маршрута 24 км. Какую часть маршрута составляет 5 км?

В мешке 50 кг сахарного песка. Какую часть этой массы составляет 27 кг?

Найдите отношение 0,2 к 2,2.

Найдите отношение 0,25 к 0,45

Из 24 га вспахали 8 га. Какую часть всей площади вспахали?

Укажите верную пропорцию:

Укажите неверную пропорцию:

Найдите число, если его равны 16.

Девочка исписала 36 страниц, что составило общей тетради. Сколько всего страниц в тетради?

Найдите отношение 2 к

Что произойдёт с дробью , если 1 разделить на эту дробь.

Что показывает отношение а к в.

14.Укажите основное свойство пропорции

За 6 ч поезд прошел 480 км. Какой путь прошел поезд за первые 2 ч, если его скорость была постоянна.(160 км)

Расстояние между городами пассажирский поезд прошел со скоростью 80 км/ч за 3 ч. За сколько часов товарный поезд пройдет то же расстояние, со скоростью 40 км/ч? (6 час)

Пять маляров могли бы покрасить забор за 8 дней. За сколько дней покрасят тот же забор 10 маляров? (4 дня)

4 комбайна могут убрать пшеницу с поля за 10 дней. За сколько дней уберут это поле 8 комбайнов? (5 дней)

При выпечке хлеба из килограмма ржаной муки пекарь получает 1,4 кг хлеба. Сколько килограммов муки расходуется на выпечку 21 ц хлеба? (15 ц)

В сахарной свекле содержится 18,5 % сахара. Сколько сахара содержится в 50 т сахарной свеклы? (9,25 т)

Дифференцированная самостоятельная работа

Масса 15 одинаковых деталей составила 37,5 кг. Какова масса 12 таких деталей?

Три трактора могут вспахать поле за 20 дней. За сколько дней вспашут это поле 4 трактора при одинаковой производительности?

Завод за месяц выпустил 3360 машин, что составило 140% его месячного задания. Найдите месячный план завода по выпуску машин.

Из 39 кг свежих слив выходит 10,5 кг сушенных. Сколько надо взять свежих слив, чтобы получить 14, 7 кг сушенных?

18 лесорубов могут вырубить участок леса за 46 дней. За сколько дней смогут вырубить тот же участок леса 23 лесоруба при той же производительности труда.

Сколько получится муки при размоле 12,5 т зерна, если масса муки составляет 80% массы зерна?

На изготовление 8 деталей требуется 1,2 г серебра. Сколько серебра потребуется на изготовление 12 таких деталей?

Если теплоход будет проходить по 20 км в час, то сделает рейс за 9,2 часа. Сколько времени потратит он на этот рейс, если будет проходить по 18,4 км в час?

Сушеная вишня составляет 15% массы свежей. Сколько получится сушеной вишни из 160 кг свежей? Сколько надо взять свежей вишни, чтобы получить 90 кг сушеной?

Из 3 кг сырых зерен кофе получается 2,75 кг жаренных зерен. Сколько килограммов сырых зерен нужно взять, чтобы получить 1,1 кг жаренных?

Для 36 зимовщиков на полярной станции заготовлено продовольствия на 308 дней. Но число зимовщиков уменьшилось на 8 человек. На сколько дней хватит зимовщикам запасенного продовольствия?

Детям нужно употреблять 1,8л воды в сутки. Из них 20% воды поступает с пищей. Какое количество в виде питьевой воды должны потреблять дети?

Домашнее задание: решить задачу

Шарик объемом 6см 3 имеет массу46,8г. Определить массу шарика объем, которого 2,5см 3 .

В жаркий день 6косцов выпили бочонок кваса за 1,5ч. Сколько косцов выпьют такой же бочонок кваса за 3часа?

24человека за 6дней пропололи участок клубники. За сколько дней выполнят ту же работу 36человек, если будут работать с той же производительностью?

Итог урока. Рефлексия. Выставление оценок.

Краткое описание документа:

Тема урока: Решение задач и уравнений с помощью пропорций Цель: проверить умение решать задачи и уравнения с помощью пропорций Задачи: обобщение и систематизация знаний учащихся по теме; развитие умений обобщать, делать выводы; воспитание самостоятельности. Тип урока: комбинированный Ход урока 1. Оргмомент Ну-ка, проверь, дружок, Ты готов начать урок? Все ль на месте, Все ль в порядке- Ручка, книжка и тетрадка? Все ли правильно сидят? Все ль внимательно глядят? И удача пусть ждет вас. За работу, в добрый час! 2. Устный опрос 1. Длина маршрута 24 км. Какую часть маршрута составляет 5 км? 2. В мешке 50 кг сахарного песка. Какую часть этой массы составляет 27 кг? 3. Найдите отношение 0,2 к 2,2. 4. Найдите отношение 0,25 к 0,45 5. Из 24 га вспахали 8 га. Какую часть всей площади вспахали? 6. Укажите верную пропорцию: 2:3=5:10 2:3=10:15 5:10=8:4 7. Укажите неверную пропорцию: 72:8=63:7 3:8=6:16 12:18=3:2 8. Найдите число, если его равны 16. 9. Девочка исписала 36 страниц, что составило общей тетради. Сколько всего страниц в тетради? 10. Найдите отношение 2 к 11. Что произойдёт с дробью , если 1 разделить на эту дробь. 12. Что показывает отношение а к в. 14.Укажите основное свойство пропорции 8 : 6 = 16 : 12; 2 : 3 =10 : 15 3. Решение задач 1. За 6 ч поезд прошел 480 км. Какой путь прошел поезд за первые 2 ч, если его скорость была постоянна. 2. Расстояние между городами пассажирский поезд прошел со скоростью 80 км/ч за 3 ч. За сколько часов товарный поезд пройдет то же расстояние, со скоростью 40 км/ч? 3. Пять маляров могли бы покрасить забор за 8 дней. За сколько дней покрасят тот же забор 10 маляров? 4. 4 комбайна могут убрать пшеницу с поля за 10 дней. За сколько дней уберут это поле 8 комбайнов? 5. При выпечке хлеба из килограмма ржаной муки пекарь получает 1,4 кг хлеба. Сколько килограммов муки расходуется на выпечку 21 ц хлеба? 6. В сахарной свекле содержится 18,5 % сахара. Сколько сахара содержится в 50 т сахарной свеклы? 4. Физминутка. 5. Дифференцированная самостоятельная работа 1вариант Масса 15 одинаковых деталей составила 37,5 кг. Какова масса 12 таких деталей? Три трактора могут вспахать поле за 20 дней. За сколько дней вспашут это поле 4 трактора при одинаковой производительности? Дополнительная часть. Завод за месяц выпустил 3360 машин, что составило 140% его месячного задания. Найдите месячный план завода по выпуску машин. 2вариант Из 39 кг свежих слив выходит 10,5 кг сушенных. Сколько надо взять свежих слив, чтобы получить 14, 7 кг сушенных? 18 лесорубов могут вырубить участок леса за 46 дней. За сколько дней смогут вырубить тот же участок леса 23 лесоруба при той же производительности труда. Дополнительная часть. Сколько получится муки при размоле 12,5 т зерна, если масса муки составляет 80% массы зерна? 3вариант На изготовление 8 деталей требуется 1,2 г серебра. Сколько серебра потребуется на изготовление 12 таких деталей? Если теплоход будет проходить по 20 км в час, то сделает рейс за 9,2 часа. Сколько времени потратит он на этот рейс, если будет проходить по 18,4 км в час? Дополнительная часть. Сушеная вишня составляет 15% массы свежей. Сколько получится сушеной вишни из 160 кг свежей? Сколько надо взять свежей вишни, чтобы получить 90 кг сушеной? 4вариант Из 3 кг сырых зерен кофе получается 2,75 кг жаренных зерен. Сколько килограммов сырых зерен нужно взять, чтобы получить 1,1 кг жаренных? Для 36 зимовщиков на полярной станции заготовлено продовольствия на 308 дней. Но число зимовщиков уменьшилось на 8 человек. На сколько дней хватит зимовщикам запасенного продовольствия? Дополнительная часть. Детям нужно употреблять 1,8л воды в сутки. Из них 20% воды поступает с пищей. Какое количество в виде питьевой воды должны потреблять дети? 6. Домашнее задание: решить задачу Шарик объемом 6см3 имеет массу46,8г. Определить массу шарика объем, которого 2,5см3. В жаркий день 6косцов выпили бочонок кваса за 1,5ч. Сколько косцов выпьют такой же бочонок кваса за 3часа? 24человека за 6дней пропололи участок клубники. За сколько дней выполнят ту же работу 36человек, если будут работать с той же производительностью? 7. Итог урока. Рефлексия. Выставление оценок.

6.1.2. Задачи на пропорцию

Задача 1. Толщина 300 листов бумаги для принтера составляет 3, 3 см. Какую толщину будет иметь пачка из 500 листов такой же бумаги?

Решение. Пусть х см — толщина пачки бумаги из 500 листов. Двумя способами найдем толщину одного листа бумаги:

3,3:300 или х:500.

Так как листы бумаги одинаковые, то эти два отношения равны между собой. Получаем пропорцию (напоминание: пропорция — это равенство двух отношений):

3,3:300=х:500. Неизвестный средний член пропорции равен произведению крайних членов пропорции, деленному на известный средний член. (Подробно о пропорции и нахождению ее крайнего, среднего членов читайте в статье: «6.1.1. Пропорция. Основное свойство пропорции.»)

х=(3,3·500):300;

х=5,5. Ответ: пачка 500 листов бумаги имеет толщину 5,5 см.

Это классическое рассуждение и оформление решения задачи. Такие задачи часто включают в тестовые задания для выпускников, которые обычно записывают решение в таком виде:

или решают устно, рассуждая так: если 300 листов имеют толщину 3,3 см, то 100 листов имеют толщину в 3 раза меньшую. Делим 3,3 на 3, получаем 1,1 см. Это толщина 100 листовой пачки бумаги. Следовательно, 500 листов будут иметь толщину в 5 раз большую, поэтому, 1,1 см умножаем на 5 и получаем ответ: 5,5 см.

Разумеется, это оправдано, так как время тестирования выпускников и абитуриентов ограничено. Однако, на этом занятии мы будем рассуждать и записывать решение так, как положено это делать в 6 классе.

Задача 2. Сколько воды содержится в 5 кг арбуза, если известно, что арбуз состоит на 98% из воды?

Решение.

Вся масса арбуза (5 кг) составляет 100%. Вода составит х кг или 98%. Двумя способами можно найти, сколько кг приходится на 1% массы.

5:100 или х:98. Получаем пропорцию:

5:100 = х:98.

х=(5·98):100;

х=4,9 Ответ: в 5кг арбуза содержится 4,9 кг воды.

Задача 3. Масса 21 литра нефти составляет 16,8 кг. Какова масса 35 литров нефти?

Решение.

Пусть масса 35 литров нефти составляет х кг. Тогда двумя способами можно найти массу 1 литра нефти:

16,8:21 или х:35. Получаем пропорцию:

16,8:21=х:35.

Находим средний член пропорции. Для этого перемножаем крайние члены пропорции (16,8 и 35) и делим на известный средний член (21). Сократим дробь на 7.

Умножаем числитель и знаменатель дроби на 10, чтобы в числителе и знаменателе были только натуральные числа. Сокращаем дробь на 5 (5 и 10) и на 3 (168 и 3).

Ответ: 35 литров нефти имеют массу 28 кг.

Задача 4. После того, как было вспахано 82% всего поля, осталось вспахать еще 9 га. Какова площадь всего поля?

Решение.

Пусть площадь всего поля х га, что составляет 100%. Осталось вспахать 9 га, что составляет 100% — 82% = 18% всего поля. Двумя способами выразим 1% площади поля. Это:

х:100 или 9:18. Составляем пропорцию:

х:100 = 9:18.

Находим неизвестный крайний член пропорции. Для этого перемножаем средние члены пропорции (100 и 9) и делим на известный крайний член (18). Сокращаем дробь.

Ответ: площадь всего поля 50 га.