Решение уравнений с комплексными числами
Итак, необходимо решить уравнение с комплексными переменными, найти корни этого уравнения. Рассмотрим принцип решения комплексных уравнений, научимся извлекать корень из комплексного числа.
Для того, чтобы решить уравнение n-й степени с комплексными числами, используем общую формулу:
где |z| — модуль числа, φ = arg z — главное значение аргумента, n — степень корня, k — параметр, принимает значения : k = <0, 1, 2, 3, …n-1 >.
Пример 1. Найти все корни уравнения
Выразим z из уравнения:
Все корни заданного уравнения являются значениями корня третьей степени из комплексного числа
Воспользуемся общей формулой для вычисления корней степени n комплексного числа z. Найдем все необходимые значения для формулы:
Подставим найденные значения в формулу:
Последовательно подставляя вместо k значения 0, 1, 2 найдем три корня исходного уравнения.
Пример 2. Найти все корни уравнения
Найдем дискриминант уравнения:
Поскольку дискриминант отрицательный, уравнение имеет два комплексно-сопряженных корня. Вычислим корень из дискриминанта:
Найдем корни уравнения:
Ответ:
Пример 3. Найти все корни уравнения
Выразим z из уравнения:
Все корни заданного уравнения являются значениями корня четвертой степени из комплексного числа
Вновь используем общую формулу для нахождения корней уравнения n степени комплексного числа z.
n = 4 — количество корней данного уравнения. k = <0, 1, 2, 3>. Найдем модуль комплексного числа:
Подставим найденные значения в формулу:
Последовательно подставляя вместо k значения 0, 1, 2, 3 найдем все 4 корня уравнения:
Пример 4. Найти корни уравнения
Решение кубического уравнения комплексными числами:
Воспользуемся общей формулой для вычисления корней степени 3 комплексного числа z.
Найдем все необходимые значения для формулы:
Подставим найденные значения в формулу:
Последовательно подставляя вместо k значения 0, 1, 2 найдем три корня исходного уравнения:
Домашнее задание: Самостоятельно составить и решить уравнение с комплексными числами.
Условия: переменная z должна быть «спрятана» и представлена в качестве аргумента тригонометрической функции косинуса. Чтобы привести данное уравнение к привычной форме, нужно «вытащить» z, а для этого необходимо помнить, как решаются тригонометрические уравнения,а также знать, как применять свойства логарифмической функции от комплексного числа.
После того, как мы решили тригонометрическое уравнение с комплексным числом, получаем «голый» z, который представлен в качестве аргумента обратной тригонометрической функции. Чтобы преобразовать данное выражение, нужно использовать формулу разложения арккосинуса в логарифм.
Вместо z — выражение (3i/4) и дальше все делаем по приведенной выше формуле, преобразовывая выражение под корнем, используя свойства мнимой единицы i.
Как быть далее? Теперь будем использовать формулу для решения выражения с натуральным логарифмом.
Для того чтобы найти корни логарифмического уравнения, нужно найти модуль комплексного числа |z| и его аргумент φ = arg z. По сути, перед нами чисто мнимое число.
Теперь предлагаем ознакомиться с формулами, которые могут пригодиться при решении уравнений или неравенств с комплексными числами. Это формулы, где комплексное число выступает в роли аргумента тригонометрической функции, логарифмической функции или показательной функции.
Решение уравнений комплексных чисел с тригонометрическими функциями
Квадратный корень из комплексного числа
Корни четвертой и пятой степени
Возведение в степень
Мнимая и действительная часть
Можно использовать следующие функции от z (например, от z = 1 + 2.5j):
Правила ввода выражений и функций
3.14159.. e Число e — основание натурального логарифма, примерно равно
2,7183.. i Комплексная единица oo Символ бесконечности — знак для бесконечности
© Контрольная работа РУ — калькуляторы онлайн
Где учитесь?
Для правильного составления решения, укажите:
Тригонометрическая форма комплексных чисел
Второй урок по комплексным числам. Если вы только начинаете изучать эту тему (что такое комплексная единица, модуль, сопряжённые), см. первый урок: «Что такое комплексное число».
Сегодня мы узнаем:
Начнём с ключевого определения.
1. Тригонометрическая форма
Определение. Тригонометрическая форма комплексного числа — это выражение вида
\[z=\left| z \right|\cdot \left( \cos \text< >\!\!\varphi\!\!\text< >+i\sin \text< >\!\!\varphi\!\!\text < >\right)\]
где $\left| z \right|$ — модуль комплексного числа, $\text< >\!\!\varphi\!\!\text< >$ — некоторый угол, который называется аргумент комплексного числа (пишут $\text< >\!\!\varphi\!\!\text< >=\arg \left( z \right)$).
Любое число $z=a+bi$, отличное от нуля, можно записать с тригонометрической форме. Для этого нужно вычислить модуль и аргумент. Например:
Записать в тригонометрической форме число $z=\sqrt<3>+i$.
Переписываем исходное число в виде $z=\sqrt<3>+1\cdot i$ и считаем модуль:
Выносим модуль за скобки:
\[z=\sqrt<3>+1\cdot i=2\cdot \left( \frac<\sqrt<3>><2>+\frac<1><2>\cdot i \right)\]
Вспоминаем тригонометрию, 10-й класс:
Понятно, что вместо $\frac<\text< >\!\!\pi\!\!\text< >><6>$ с тем же успехом можно взять аргумент $\frac<13\text< >\!\!\pi\!\!\text< >><6>$. Синус и косинус не поменяется. Главное — выбрать такой аргумент, чтобы в тригонометрической форме не осталось никаких минусов. Все минусы должны уйти внутрь синуса и косинуса. Сравните:
Записать в тригонометрической форме число $z=-1-i$.
2. Умножение и деление комплексных чисел
Комплексные числа, записанные в тригонометрической форме, очень удобно умножать и делить.
Теорема. Пусть даны два комплексных числа:
\[\begin
Тогда их произведение равно
\[<
А если ещё и $\left| <
Получается, что при умножении комплексных чисел мы просто умножаем их модули, а аргументы складываем. При делении — делим модули и вычитаем аргументы. И всё!
Найти произведение и частное двух комплексных чисел:
\[\begin
\[\begin
По сравнению со стандартной (алгебраической) формой записи комплексных чисел экономия сил и времени налицо.:)
3. Формула Муавра
Пусть дано комплексное число в тригонометрической форме:
\[z=\left| z \right|\cdot \left( \cos \text< >\!\!\varphi\!\!\text< >+i\sin \text< >\!\!\varphi\!\!\text < >\right)\]
Возведём его в квадрат, умножив на само себя:
\[\begin
Затем возведём в куб, умножив на себя ещё раз:
Несложно догадаться, что будет дальше — при возведении в степень $n$. Это называется формула Муавра.
Формула Муавра. При возведении всякого комплексного числа
\[z=\left| z \right|\cdot \left( \cos \varphi +i\sin \varphi \right)\]
в степень $n\in \mathbb
Простая формула, которая ускоряет вычисления раз в десять! И кстати: эта формула работает при любом $n\in \mathbb
Представим первое число в тригонометрической форме:
\[\begin
По формуле Муавра:
Последним шагом мы воспользовались периодичностью синуса и косинуса, уменьшив аргумент сразу на 28π.
Следующую задачу в разных вариациях любят давать на контрольных работах и экзаменах:
Теперь второе число запишем в комплексной форме:
По формуле Муавра:
Вот так всё просто! Следующие два раздела предназначены для углублённого изучения. Для тех, кто хочет действительно разобраться в комплексных числах.
4. Дополнение 1. Геометрический подход
Многие путают местами косинус и синус. Почему комплексная единица стоит именно у синуса? Вспомним, что есть декартова система координат, где точки задаются отступами по осям $x$ и $y$:
А есть полярная система координат, где точки задаются поворотом на угол $\varphi $ и расстоянием до центра $r$:
А теперь объединим эти картинки и попробуем перейти из декартовой системы координат в полярную:
Комплексное число $z=a+bi$ задаёт на плоскости точку $C$, удалённую от начала координат на расстояние
Треугольник $ABC$ — прямоугольный. Пусть $\angle BAC=\varphi $. Тогда:
\[\begin
С другой стороны, длины катетов $AB$ и $BC$ — это те самые отступы $a$ и $b$, с помощью которых мы задаём комплексное число. Поэтому:
\[\begin
Итак, мы перешли от пары $\left( a;b \right)$ к паре $\left( \left| z \right|;\varphi \right)$, где $\left| z \right|$ — модуль комплексного числа, $\varphi $ — его аргумент (проще говоря, угол поворота).
Важное замечание. А кто сказал, что такой угол $\varphi $ существует? Возьмём число $z=a+bi$ и вынесем модуль за скобку:
Осталось подобрать такой угол $\varphi $, чтобы выполнялось два равенства:
Такой угол обязательно найдётся, поскольку выполняется основное тригонометрическое тождество:
На практике основная трудность заключается именно в поиске подходящего аргумента.
5. Дополнение 2. Как найти аргумент?
В учебниках пишут много разной дичи, типа вот этой:
Формула правильная, но пользы от неё — ноль. Запомнить сложно, а применять и вовсе невозможно. Мы пойдём другим путём.
5.1. Точки на координатных осях
Для начала рассмотрим точки, лежащие осях координат.
Тут всё очевидно:
- На положительной полуоси абсцисс $\varphi =0$ (фиолетовая точка $A$).
- На отрицательной — $\varphi =\pi $ (синяя точка $B$).
- На положительной полуоси ординат $\varphi =\frac<\pi ><2>$ (зелёная точка $B$).
- На отрицательной — $\varphi =\frac<3\pi ><2>$ (красная точка $C$). Однако ничто не мешает рассмотреть $\varphi =-\frac<\pi ><2>$ — результат будет тем же самым.:)
5.2. Точки с арктангенсом
А если точки не лежат на осях, то в записи комплексного числа $a+bi$ числа $a\ne 0$ и $b\ne 0$. Рассмотрим вспомогательный угол
Очевидно, это острый угол:
Зная знаки чисел $a$ и $b$, мы немедленно определим координатную четверть, в которой располагается искомая точка. И нам останется лишь отложить вспомогательный угол $<<\varphi >_<1>>$ от горизонтальной оси в эту четверть.
В правой полуплоскости мы откладываем от «нулевого» луча:
Точка $A\left( 3;4 \right)$ удалена от начала координат на расстояние 5:
\[\begin
Для точки $B\left( 6;-6 \right)$ арктангенс оказался табличным:
\[6-6i=6\sqrt<2>\cdot \left( \cos \left( -\frac<\pi > <4>\right)+i\sin \left( -\frac<\pi > <4>\right) \right)\]
В левой полуплоскости откладываем от луча, соответствующего углу $\pi $:
Итого для точки $C\left( -2;5 \right)$ имеем:
\[\begin
И, наконец, для точки $D\left( -5;-3 \right)$:
\[\begin
Звучит просто, выглядит красиво, работает идеально! Но требует небольшой практики. Пробуйте, тренируйтесь и берите на вооружение.
А в следующем уроке мы научимся извлекать корни из комплексных чисел.:)
http://www.kontrolnaya-rabota.ru/s/kopleksnyie-chisla/
http://www.berdov.com/works/complex/trigonometricheskaya-forma-komplexnogo-chisla/