Решение уравнений квадратных и дробно рациональных уравнений

Алгебра. Урок 4. Уравнения, системы уравнений

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно по теме “Уравнения”.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

• Линейные уравнения

Линейные уравнения

Линейное уравнение – уравнение вида a x = b , где x – переменная, a и b некоторые числа, причем a ≠ 0 .

Примеры линейных уравнений:

1. 3 x = 2

1. 2 7 x = − 5

Линейными уравнениями называют не только уравнения вида a x = b , но и любые уравнения, которые при помощи преобразований и упрощений сводятся к этому виду.

Как же решать уравнения, которые приведены к виду a x = b ? Достаточно поделить левую и правую часть уравнения на величину a . В результате получим ответ: x = b a .

Как распознать, является ли произвольное уравнение линейным или нет? Надо обратить внимание на переменную, которая присутствует в нем. Если старшая степень, в которой стоит переменная, равна единице, то такое уравнение является линейным уравнением.

Для того, чтобы решить линейное уравнение , необходимо раскрыть скобки (если они есть), перенести «иксы» в левую часть, числа – в правую, привести подобные слагаемые. Получится уравнение вида a x = b . Решение данного линейного уравнения: x = b a .

Примеры решения линейных уравнений:

1. 2 x + 1 = 2 ( x − 3 ) + 8

Это линейное уравнение, так как переменная стоит в первое степени.

Попробуем преобразовать его к виду a x = b :

Для начала раскроем скобки:

2 x + 1 = 4 x − 6 + 8

В левую часть переносятся все слагаемые с x , в правую – числа:

Теперь поделим левую и правую часть на число ( -2 ) :

− 2 x − 2 = 1 − 2 = − 1 2 = − 0,5

Это уравнение не является линейным уравнением, так как старшая степень, в которой стоит переменная x равна двум.

Это уравнение выглядит линейным на первый взгляд, но после раскрытия скобок старшая степень становится равна двум:

x 2 + 3 x − 8 = x − 1

Это уравнение не является линейным уравнением.

Особые случаи (в 4 задании ОГЭ они не встречались, но знать их полезно)

1. 2 x − 4 = 2 ( x − 2 )

Это линейное уравнение. Раскроем скобки, перенесем иксы влево, числа вправо:

2 x − 2 x = − 4 + 4

И как же здесь искать x , если его нет? После выполнения преобразований мы получили верное равенство (тождество), которое не зависит от значения переменной x . Какое бы значение x мы ни подставляли бы в исходное уравнение, в результате всегда получается верное равенство (тождество). Значит x может быть любым числом. Запишем ответ к данном линейному уравнению.

Это линейное уравнение. Раскроем скобки, перенесем иксы влево, числа вправо:

2 x − 4 = 2 x − 16

2 x − 2 x = − 16 + 4

В результате преобразований x сократился, но в итоге получилось неверное равенство, так как . Какое бы значение x мы ни подставляли бы в исходное уравнение, в результате всегда будет неверное равенство. А это означает, что нет таких значений x , при которых равенство становилось бы верным. Запишем ответ к данному линейному уравнению.

Квадратные уравнения

Квадратное уравнение – уравнение вида a x 2 + b x + c = 0, где x – переменная, a , b и c – некоторые числа, причем a ≠ 0 .

Алгоритм решения квадратного уравнения:

1. Раскрыть скобки, перенести все слагаемые в левую часть, чтобы уравнение приобрело вид: a x 2 + b x + c = 0
2. Выписать, чему равны в числах коэффициенты: a = … b = … c = …
3. Вычислить дискриминант по формуле: D = b 2 − 4 a c
4. Если D > 0 , будет два различных корня, которые находятся по формуле: x 1,2 = − b ± D 2 a
5. Если D = 0, будет один корень, который находится по формуле: x = − b 2 a
6. Если D 0, решений нет: x ∈ ∅

Примеры решения квадратного уравнения:

1. − x 2 + 6 x + 7 = 0

a = − 1, b = 6, c = 7

D = b 2 − 4 a c = 6 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ 7 = 36 + 28 = 64

D > 0 – будет два различных корня:

x 1,2 = − b ± D 2 a = − 6 ± 64 2 ⋅ ( − 1 ) = − 6 ± 8 − 2 = [ − 6 + 8 − 2 = 2 − 2 = − 1 − 6 − 8 − 2 = − 14 − 2 = 7

Ответ: x 1 = − 1, x 2 = 7

a = − 1, b = 4, c = − 4

D = b 2 − 4 a c = 4 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ ( − 4 ) = 16 − 16 = 0

D = 0 – будет один корень:

x = − b 2 a = − 4 2 ⋅ ( − 1 ) = − 4 − 2 = 2

a = 2, b = − 7, c = 10

D = b 2 − 4 a c = ( − 7 ) 2 − 4 ⋅ 2 ⋅ 10 = 49 − 80 = − 31

D 0 – решений нет.

Также существуют неполные квадратные уравнения (это квадратные уравнения, у которых либо b = 0, либо с = 0, либо b = с = 0 ). Смотрите видео, как решать такие квадратные уравнения!

Разложение квадратного трехчлена на множители

Квадратный трехчлен можно разложить на множители следующим образом:

a x 2 + b x + c = a ⋅ ( x − x 1 ) ⋅ ( x − x 2 )

где a – число, коэффициент перед старшим коэффициентом,

x – переменная (то есть буква),

x 1 и x 2 – числа, корни квадратного уравнения a x 2 + b x + c = 0 , которые найдены через дискриминант.

Если квадратное уравнение имеет только один корень , то разложение выглядит так:

a x 2 + b x + c = a ⋅ ( x − x 0 ) 2

Примеры разложения квадратного трехчлена на множители:

1. − x 2 + 6 x + 7 = 0 ⇒ x 1 = − 1, x 2 = 7

− x 2 + 6 x + 7 = ( − 1 ) ⋅ ( x − ( − 1 ) ) ( x − 7 ) = − ( x + 1 ) ( x − 7 ) = ( x + 1 ) ( 7 − x )

1. − x 2 + 4 x − 4 = 0 ; ⇒ x 0 = 2

− x 2 + 4 x − 4 = ( − 1 ) ⋅ ( x − 2 ) 2 = − ( x − 2 ) 2

Если квадратный трехчлен является неполным, ( ( b = 0 или c = 0 ) то его можно разложить на множители следующими способами:

• c = 0 ⇒ a x 2 + b x = x ( a x + b )

• b = 0 ⇒ применить формулу сокращенного умножения для разности квадратов.

Дробно рациональные уравнения

Пусть f ( x ) и g ( x ) – некоторые функции, зависящие от переменной x .

Дробно рациональное уравнение – это уравнение вида f ( x ) g ( x ) = 0 .

Для того, чтобы решить дробно рациональное уравнение, надо вспомнить, что такое ОДЗ и когда оно возникает.

ОДЗ – область допустимых значений переменной.

В выражении вида f ( x ) g ( x ) = 0

ОДЗ: g ( x ) ≠ 0 (знаменатель дроби не может быть равен нулю).

Алгоритм решения дробно рационального уравнения:

1. Привести выражение к виду f ( x ) g ( x ) = 0 .
2. Выписать ОДЗ: g ( x ) ≠ 0.
3. Приравнять числитель дроби к нулю f ( x ) = 0 и найти корни.
4. Указать в ответе корни из числителя, исключив те корни, которые попали в ОДЗ.

Пример решения дробного рационального уравнения:

Решить дробно рациональное уравнение x 2 − 4 2 − x = 1.

Решение:

Будем действовать в соответствии с алгоритмом.

1. Привести выражение к виду f ( x ) g ( x ) = 0 .

Переносим единичку в левую часть, записываем к ней дополнительный множитель, чтобы привести оба слагаемых к одному общему знаменателю:

x 2 − 4 2 − x − 1 \ 2 − x = 0

x 2 − 4 2 − x − 2 − x 2 − x = 0

x 2 − 4 − ( 2 − x ) 2 − x = 0

x 2 − 4 − 2 + x 2 − x = 0

x 2 + x − 6 2 − x = 0

Первый шаг алгоритма выполнен успешно.

Обводим в рамочку ОДЗ, не забываем про него: x ≠ 2

1. Приравнять числитель дроби к нулю f ( x ) = 0 и найти корни:

x 2 + x − 6 = 0 – Квадратное уравнение. Решаем через дискриминант.

a = 1, b = 1, c = − 6

D = b 2 − 4 a c = 1 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 6 ) = 1 + 24 = 25

D > 0 – будет два различных корня.

x 1,2 = − b ± D 2 a = − 1 ± 25 2 ⋅ 1 = − 1 ± 5 2 = [ − 1 + 5 2 = 4 2 = 2 − 1 − 5 2 = − 6 2 = − 3

1. Указать в ответе корни из числителя, исключив те корни, которые попали в ОДЗ.

Корни, полученные на предыдущем шаге:

Значит, в ответ идет только один корень, x = − 3.

Системы уравнений

Системой уравнений называют два уравнения с двумя неизвестными (как правило, неизвестные обозначаются x и y ) , которые объединены в общую систему фигурной скобкой.

Пример системы уравнений

Решить систему уравнений – найти пару чисел x и y , которые при подстановке в систему уравнений образуют верное равенство в обоих уравнениях системы.

Существует два метода решений систем линейных уравнений:

1. Метод подстановки.
2. Метод сложения.

Алгоритм решения системы уравнений методом подстановки:

1. Выразить из любого уравнения одну переменную через другую.
2. Подставить в другое уравнение вместо выраженной переменной полученное значение.
3. Решить уравнение с одной неизвестной.
4. Найти оставшуюся неизвестную.

Решить систему уравнений методом подстановки

Решение:

1. Выразить из любого уравнения одну переменную через другую.

1. Подставить в другое уравнение вместо выраженной переменной полученное значение.

1. Решить уравнение с одной неизвестной.

3 ( 8 − 2 y ) − y = − 4

y = − 28 − 7 = 28 7 = 4

1. Найти оставшуюся неизвестную.

x = 8 − 2 y = 8 − 2 ⋅ 4 = 8 − 8 = 0

Ответ можно записать одним из трех способов:

Решение системы уравнений методом сложения.

Метод сложения основывается на следующем свойстве:

Идея метода сложения состоит в том, чтобы избавиться от одной из переменных, сложив уравнения.

Решить систему уравнений методом сложения

Давайте избавимся в данном примере от переменной x . Суть метода состоит в том, чтобы в первом и во втором уравнении перед переменной x стояли противоположные коэффициенты. Во втором уравнении перед x стоит коэффициент 3 . Для того, чтобы метод сложения сработал, надо чтобы перед переменной x оказался коэффициент ( − 3 ) . Для этого домножим левую и правую часть первого уравнения на ( − 3 ) .

Теперь, когда перед переменной в обоих уравнениях стоят противоположные коэффициенты, при сложении левых частей уравнений переменная x исчезнет.

( − 3 x − 6 y ) + ( 3 x − y ) = ( − 24 ) + ( − 4 )

− 3 x − 6 y + 3 x − y = − 24 − 4

y = − 28 − 7 = 28 7 = 4

Осталось найти переменную x . Для этого подставим y = 4 в любое из двух уравнений системы. Например, в первое.

Ответ можно записать одним из трех способов:

Задание №9 из ОГЭ 2020. Типовые задачи и принцип их решения.

Серия уроков по теме: «Решение квадратных и дробно-рациональных уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Решение квадратных и дробно-рацио нальных уравнений, содержащих парамет­ ры — один из труднейших разделов школь­ ного курса математики. Здесь, кроме ис­ пользования определенных алгоритмов ре­ шения уравнений, приходится думать об удачной классификации, следить за тем, чтобы не пропустить много тонкостей. Квадратные и дробо-рациональные уравне­ ния с параметрами — это тема, на которой проверяется не натасканность ученика, а подлинное понимание им материала. Обу чать этому надо всех учащихся, и особен­ но этой темой надо заниматься с сильными учениками, ведь задачи с параметрами д ают прекрасный материал для настоящей учебно-исследовательской работы.

Наряду с такими традиционными содер­ жательно-методическими линиями школь­ ного курса математики как функциональ­ ная, числовая, геометрическая, линия урав­ нения и линия тождественных преобразо­ваний должна занять определенное место и линия параметров. В этой работе предлагается серия уроков на тему «Решение квадратных и дробно-рацио­ нальных уравнений, содержащих параметры». Все упражнения подобраны так, чтобы облег­ чить учащимся изучение этой непростой темы.

Блок уроков завершается контрольной работой, которая позволит проверить уро­ вень усвоения материала. Предлагается также подборка упражнений, которые мож­но включить в домашнюю контрольную ра­ боту или просто использовать на уроках как дополнительный материал.

Тема урока: «Решение квадратных уравнений, содержащих параметры».

формировать умение решать квадратные уравнения с пара­ метрами;

развивать исследовательскую и познавательную деятельность учащихся.

Учитель. Сегодня мы будем учиться решать квадратные уравнения, содержащие параметр, но предварительно от­ ветьте мне на следующий вопрос.

Сколько корней имеет уравнение:

D = 4 — 4 • 3 • (- 1) = 16, два корня;

б) 7 x 2 — 4х + 1 = 0,

D =16-4-7-1 действительных корней нет;

в) 16 x 2 — 8х + 1 = 0,

D = 64 — 64 = 0, один корень.

Пример 1 . Линейным или квадратным является урав­ нение 56( b — 2)х 2 + (5 b — 2)х — 16 = 0 относительно х при:

а) b = 1; 6) b = 2; в) b = 0,4; г) b = О?

а) 6 = 1; 5 x 2 + 3 x -16 = 0- квадратное уравнение;

б) 6 = 2; 0 • х 2 + 8х — 16 = 0, 8 x — 16 = 0 – линейное уравнение;

в) 6 — 0,4; 2 • (- 1,6) x 2 + 0 • х — 16 = 0, — 3,8 x 2 — 16 = 0 — неполное квадратное уравнение;

г) 6 = 0; 0 • х 2 — 2х — 16 = 0, — 2х — 16 = 0 – линейное уравнение.

Пример 2 . При каких значениях параметра а уравне­ ние ах(ах + 3) + 6 = х(ах — 6) является:

а) квадратным; б) неполным квадратным; в) линейным?

ах(ах + 3) + 6 = x (а x — 6),

а 2 x 2 + За x + 6 = а x 2 — 6х,

x 2 (а 2 — а) + Зх(а + 2) + 6 = 0.

а) Уравнение является полным квадратным, если

если а Є (-∞ _; — 2) U (- 2; 0) U (0; 1) U (1; + ∞), то исход­ ное уравнение является квадратным.

б) Уравнение является неполным квадратным, если

если а = — 2, то исходное уравнение является неполным квадратным.

в) Уравнение является линейным, если

если а = 0 или а = 1, то исходное уравнение является линейным.

Пример 3 . При каких значениях параметра b уравне­ ние bx 2 — b х + b = 0:

а) имеет корни; б) не имеет корней?

D = b 2 – 4 b • b , О = — 3 b 2 .

а) -3 b 2 ≥ 0 | : (- 3) | b 2 ≤ 0, но b 2 ≥ 0, следовательно, b = 0; если 6 = 0, то уравнение корни имеет.

б) — 3 b 2 b 2 > 0 — при любых значениях b , кроме 0; если b Є (-∞ _; 0) U (0; + ∞), то исходное уравне ние корней не имеет.

Пример 4. Зная, что п Є N , выясните, имеет ли урав­ нение (х + п) 2 — (х- n ) 2 = 56 целые корни, и если имеет, то при каких n ?

2 n 2х = 56, х = 14/ n ; n = 2; n = 7; n = 1; n = 14.

Линейным или квадратным является уравнение b ( b — 5)х + (6 b — 3)х — 18 = 0 относительно х при: а) b = 6; б) b = 0; в) b = 0,5; г) b =5

Линейным или квадратным является уравнение а(а + 3)х + (4а — 20) x + 7 = 0 относительно х при: а) а = — 4; б) а = 0; в) а=5; г)а=-3?

1. Дано уравнение с параметром ах=3а+8. Напишите уравнение, которое получается при:

а) а=10; б) а=-2; в) а=0,25; г) а=0

2. Выясните вид уравнения 2ах(х-1) + х(ах-12) = 3х+8 относительно х при::

а) а=1; б) а=-6; в) а=-2; г) а=0

1. а) 10х=38; б) -2х=2; в) 0,25х=8 ¾; г) уравнение не существует

2. а) линейное уравнение: х= — 4/7 ; б) квадратное уравнение – корней нет;

в) квадратное уравнение – х ₁ =х ₂ = — 2/3 г) квадратное уравнение –

Тема урока: «Решение квадратных уравнений, содержащих параметры».

формировать прочные навыки решения квадратных уравне­ний, содержащих параметры;

обеспечить условия для самостоятельной творческой работы учащихся;4

сознательное усвоение школьниками алгебраических понятий и связей между ними.

Проверка домашнего задания.

Пример 1. Решите относительно х уравнение х 2 — 2х + с = 0.

2) 4 -4с = 0, с = 1, x =1.

Исходное уравнение корней не имеет.

Ответ. Если с Є (-∞; 1), то

если с = 1, то х = 1;

если с Є (1; +∞), то корней нет.

Пример 2 . Решите относительно х уравнение х 2 — ах = 0.

х г — ах = 0, х(х — а) = 0,

Ответ. Если а = 0, то х = 0;

если то х ₁ = 0, x ₂ = а.

Пример 3 . Решите относительно х уравнение тх 2 — 6х + 1 = 0.

1) Если т = 0, то — 6х + 1 = 0, х = 1/6.

в) 36 — 4т m > 9, исходное уравнение корней не имеет

Решите относительно х уравнение 6х 2 – 5 b х + b 2 = 0.

При каком значении параметра а уравнение имеет положительные корни?

Решите относительно х уравнение 12х 2 -7сх + с 2 = 0.

При каком значении параметра а уравнение 1/3 (5х-а) = ¼ (6х-1) имеет отрицательные корни?

После того, как учащиеся выполнят самостоятельную работу, обязательно сделайте проверку.

В-2. 1. Если с = 0, то х = 0; если с ≠ 0, то x ₁ = — c /3, x ₂ = — c /4 2. При а

Решите относительно у уравнения:

в) y 2 — З y = а 2 + За;

г) а y 2 + 6 y + а = 3(2 y — а).

Ответы: а) Если с = 2, то y — любое число; если с ≠2, то у ₁ = — 2, y ₂ = 2;

г) при а = 0 у — любое число, при а ≠ 0 корней нет.

Тема урока: «Решение квадратных уравнений, содержащих параметры».

ввести алгоритм решения квадратных уравнений, содержа щих параметры;

использовать полученные навыки для решения нестандарт­ ных задач.

На доску вывешивается плакат:

Алгоритм решения уравнения

Условия поиска значений параметра а

Характеристика множества корней

x – любое число из R

Пример 1. Решите уравнение с x 2 — 3(2с — I ) x — (15 — 5с) = 0.

Следуя алгоритму, рассмотрим следующие случаи:

Пример 2 . При каких значениях параметра b уравнение ( b — I ) x 2 – 2 b х + b + 1 = О имеет: а) два положительных корня; б) два отрицатель­ ных корня; в) единственный корень? . Решение.

а) Согласно теореме Виета

b Є (- ∞ ; -1)U (1;+ ∞ )

решении нет;

в) если b = 1, то — 2х + 2 = 0, х = 1;

b ≠ 1; D = 4 b 2 — 4( b 2 — 1) = 4 b 2 -4 b 2 +4=4≠0

Ответ: а) b Є(- ∞; -1) U (1;+ ∞) _; б) таких b не существует; в) b = 1.

При каких значениях параметра а уравнение х’ 2 — (2а + 1)х + а 2 + а — 6 = 0 имеет:

а) два положительных корня; б) два отрицатель­ных корня; в) корни разных знаков?

При каких значениях параметра b уравнение у 2 — (2 b — 1)у + b 2 — b — 2 = О имеет:

а) два положительных корня; б) два отрицатель­ ных корня; в) корни разных знаков?

1. При каких значениях параметра с уравнение x 2 — cx +16=0 имеет:

а) два положительных корня; б) два отрицатель­ ных корня; в) единственный корень?

2. При каких значениях параметра с уравнение (х + Зс + 2) 2 — ( x — Зс — 2) 2 = 40 имеет:

а) корни; б) нет корней; в) поло жительный корень; г) отрицательный корень?

3. При каких значениях параметра а уравнение (х + а) 3 — (х — а) 3 = х(3х 2 + а 2 )(а — 1)

имеет: а) положительный корень; б) отрицательный ко­ рень; в) корень, равный нулю?

Ответы: 1. а) При с- > 8; б) при с = -8 пли с=8

2.

3..а)а Є (-∞ _; о) U (1;+ ∞); б) а Є (0; 1); в) а = 0.

Тема урока:: «Решение дробно-рациональных уравнений, со держащих параметры».

• формировать умение решать дробно- рациональные уравне­ния, содержащие параметры.

(Устно.) Решите уравнения:

Найдем недопустимые значения параметра а:

10 — а = 5, а = 5; 10 — а = а, а = 5.

Ответ. Если а = 5, то уравнение теряет смысл; если а ≠ 5, то х = 10 — а.

Исключая недопустимые значения параметра b , полу­ чаем, что уравнение имеет два корня, если b ≠ — 2, b ≠ — 1, b ≠0, b ≠ 1, b ≠ 2.

б) 4Ь 2 = 0, b = О, но это недопустимое значение параметра b ; если б 2 — 1 = О,

т. е. b = 1 или b = — 1, то — 2х + 1 = 0, х = ½ .

Ответ: а) если b ≠ — 2, b ≠ — 1, b ≠0, b ≠ 1, b ≠ 2 , то два корня; б) если b =1 или b = — 1, то единственный корень.

Задание на дом. Решите уравнения:

Тема урока : «Решение дробно-рациональных уравнений, со держащих параметры».

обучение решению уравнений с нестандартным условием;

сознательное усвоение учащимися алгебраических понятий и связей между ними.

Проверка домашнего задания

Пример 1. Решите уравнение а) относительно х; б) относительно у.

а) Найдем недопустимые значения у:

у = 0, х = у, у 2 = у 2 — 2у,

у = 0 — недопустимое значение параметра у.

Если у ≠ 0, то х = у — 2;

если у = 0, то уравнение теряет смысл.

б) Найдем недопустимые значения параметра х:

у = х, 2х — х 2 + х г = О,

х = 0 — недопустимое значение параметра х;

у(2 + х — у) = 0, у = 0 или у = 2 + х;

у = 0 не удовлетворяет условию у(у — х) ≠ 0.

Ответ: а) если у = 0, то уравнение теряет смысл; если у ≠ 0, то х = у — 2;

б) если х = 0, то уравнение теряет смысл; если х ≠ 0, то у = 2 + х.

Пример 2 . При каких целых значениях параметра а корн и уравнения

принадлежат промежутку

Ответ: 5

Пример 3. Найдите относительно х целые решения уравнения

Ответ. Если у = 0, то уравнение не имеет смысла; если у = — 1, то х — любое целое число, кроме нуля; если у ≠ 0, у ≠ — 1, то решений нет.

Пример 4 . Решите уравнение с параметрами а и b /

Ответ. Если а = 0 или b = 0, то уравнение теряет смысл; если а ≠ О, b ≠ 0, а = — Ь, то x — любое число, кроме нуля; если а ≠ О, b ≠ 0, а ≠ — Ь, то х = — а, х = — Ь.

Пример 5 . Докажите, что при любом значении пара­ метра n , отличном от нуля, уравнение имеет единственный корень, равный – n .

Т.е. х=- n , что и требовалось доказать.

Найдите целые решения уравнения

При каких значениях параметра с уравнение имеет: а) два корня;

б) единственный корень?

3. Найдите все целые корни уравнения если а Є N.

4. Решите уравнение Зху – 5х + 5у = 7: а) относительно у; б) относительно х.

1. Определите тип уравнения 7с(с + 3)х 2 + (с — 2)х — 8 = 0 при: а) с = — 3; б) с — 2; в) с = 4.

2. Решите уравнения:

а)х 2 — b х = 0; б) cx : 2 – 6 x + 1=0 в)

Решите уравнение З x — ху — 2у = 1: а) относительно х; б) относительно y /

Найдите целые корни уравнения n х г — 26х + п = О, зная, что параметр n принимает только целые значения.

При каких значениях b уравнение имеет: а) два корня;

б) единственный корень?

1. Определите тип уравнения 5с(с + 4)х 2 + (с- 7)х + 7 = 0 при: а) с = — 4; б) = 7; в) с = 1.

2. Решите уравнения:

а) у 2 + су = 0; б) n у 2 — 8у + 2 = 0; в)

3. Решите уравнение 6 x — ху + 2у = 5: а) относительно x ; б) относительно у.

4. Найдите целые корни уравнения n х 2 – 22 x + 2 n = О, зная, что параметр га принимает только целые значения.

5. При каких значениях параметра а уравнение имеет: а) два корня;

Дробно-рациональные уравнения

Что такое дробно-рациональные уравнения

Дробно-рациональными уравнениями называют такие выражения, которые представляется возможным записать, как:

при P ( x ) и Q ( x ) в виде выражений, содержащих переменную.

Таким образом, дробно-рациональные уравнения обязательно содержат как минимум одну дробь с переменной в знаменателе с любым модулем.

9 x 2 — 1 3 x = 0

1 2 x + x x + 1 = 1 2

6 x + 1 = x 2 — 5 x x + 1

Уравнения, которые не являются дробно-рациональными:

Как решаются дробно-рациональные уравнения

В процессе решения дробно-рациональных уравнений обязательным действием является определение области допустимых значений. Найденные корни следует проверить на допустимость, чтобы исключить посторонние решения.

Алгоритм действий при стандартном способе решения:

1. Выписать и определить ОДЗ.
2. Найти общий знаменатель для дробей.
3. Умножить каждый из членов выражения на полученный общий параметр (знаменатель), сократить дроби, которые получились в результате, чтобы исключить знаменатели.
4. Записать уравнение со скобками.
5. Раскрыть скобки для приведения подобных слагаемых.
6. Найти корни полученного уравнения.
7. Выполним проверку корней в соответствии с ОДЗ.
8. Записать ответ.

Пример 1

Разберем предложенный алгоритм на практическом примере. Предположим, что имеется дробно-рациональное уравнение, которое требуется решить:

x x — 2 — 7 x + 2 = 8 x 2 — 4

Начать следует с области допустимых значений:

x 2 — 4 ≠ 0 ⇔ x ≠ ± 2

Воспользуемся правилом сокращенного умножения:

x 2 — 4 = ( x — 2 ) ( x + 2 )

В результате общим знаменателем дробей является:

Выполним умножение каждого из членов выражения на общий знаменатель:

x x — 2 — 7 x + 2 = 8 x 2 — 4

x ( x — 2 ) ( x + 2 ) x — 2 — 7 ( x — 2 ) ( x + 2 ) x + 2 = 8 ( x — 2 ) ( x + 2 ) ( x — 2 ) ( x + 2 )

После сокращения избавимся от скобок и приведем подобные слагаемые:

x ( x + 2 ) — 7 ( x — 2 ) = 8

x 2 + 2 x — 7 x + 14 = 8

Осталось решить квадратное уравнение:

Согласно ОДЗ, первый корень является лишним, так как не удовлетворяет условию, по которому корень не равен 2. Тогда в ответе можно записать:

Примеры задач с ответами для 9 класса

Требуется решить дробно-рациональное уравнение:

x x + 2 + x + 1 x + 5 — 7 — x x 2 + 7 x + 10 = 0

x x + 2 + x + 1 x + 5 — 7 — x x 2 + 7 x + 10 = 0

Определим область допустимых значений:

О Д З : x + 2 ≠ 0 ⇔ x ≠ — 2

x 2 + 7 x + 10 ≠ 0

D = 49 — 4 · 10 = 9

x 1 ≠ — 7 + 3 2 = — 2

x 2 ≠ — 7 — 3 2 = — 5

Квадратный трехчлен x 2 + 7 x + 10 следует разложить на множители, руководствуясь формулой:

a x 2 + b x + c = a ( x — x 1 ) ( x — x 2 )

x x + 2 + x + 1 x + 5 — 7 — x ( x + 2 ) ( x + 5 ) = 0

Заметим, что общим знаменателем для дробей является: ( x + 2 ) ( x + 5 ) . Умножим на этот знаменатель уравнение:

x x + 2 + x + 1 x + 5 — 7 — x ( x + 2 ) ( x + 5 ) = 0

Сократим дроби, избавимся от скобок, приведем подобные слагаемые:

x ( x + 2 ) ( x + 5 ) x + 2 + ( x + 1 ) ( x + 2 ) ( x + 5 ) x + 5 —

— ( 7 — x ) ( x + 2 ) ( x + 5 ) ( x + 2 ) ( x + 5 ) = 0

x ( x + 5 ) + ( x + 1 ) ( x + 2 ) — 7 + x = 0

x 2 + 5 x + x 2 + 3 x + 2 — 7 + x = 0

2 x 2 + 9 x — 5 = 0

Потребуется решить квадратное уравнение:

2 x 2 + 9 x — 5 = 0

Первый корень не удовлетворяет условиям ОДЗ, поэтому в ответ нужно записать только второй корень.

Дано дробно-рациональное уравнение, корни которого требуется найти:

4 x — 2 — 3 x + 4 = 1

В первую очередь следует переместить все слагаемые влево и привести дроби к минимальному единому знаменателю:

4 \ ( x + 4 ) x — 2 — 3 \ ( x — 2 ) x + 4 — 1 \ ( x — 2 ) ( x + 4 ) = 0

4 ( x + 4 ) — 3 ( x — 2 ) — ( x — 2 ) ( x + 4 ) ( x — 2 ) ( x + 4 ) = 0

4 x + 16 — 3 x + 6 — ( x 2 + 4 x — 2 x — 8 ) ( x — 2 ) ( x + 4 ) = 0

x + 22 — x 2 — 4 x + 2 x + 8 ( x — 2 ) ( x + 4 ) = 0

Заметим, что получилось нулевое значение для дроби. Известно, что дробь может равняться нулю, если в числителе нуль, а знаменатель не равен нулю. На основании этого можно составить систему:

— x 2 — x + 30 ( x — 2 ) ( x + 4 ) = 0 ⇔ — x 2 — x + 30 = 0 ( x — 2 ) ( x + 4 ) ≠ 0

Следует определить такие значения для переменной, при которых в дроби знаменатель будет обращаться в нуль. Такие значения необходимо удалить из ОДЗ:

( x — 2 ) ( x + 4 ) ≠ 0

Далее можно определить значения для переменных, которые при подстановке в уравнение обращают числитель в нуль:

— x 2 — x + 30 = 0 _ _ _ · ( — 1 )

Получилось квадратное уравнение, которое можно решить:

Сравнив корни с условиями области допустимых значений, можно сделать вывод, что оба корня являются решениями данного уравнения.

Нужно решить дробно-рациональное уравнение:

x + 2 x 2 — 2 x — x x — 2 = 3 x

На первом шаге следует перенести все слагаемые в одну сторону и привести дроби к минимальному единому знаменателю:

x + 2 \ 1 x ( x — 2 ) — x \ x x — 2 — 3 \ ( x — 2 ) x = 0

x + 2 — x 2 — 3 ( x — 2 ) x ( x — 2 ) = 0

x + 2 — x 2 — 3 x + 6 x ( x — 2 ) = 0

— x 2 — 2 x + 8 x ( x — 2 ) = 0 ⇔ — x 2 — 2 x + 8 = 0 x ( x — 2 ) ≠ 0

Перечисленные значения переменной обращают знаменатель в нуль. По этой причине их необходимо удалить из области допустимых значений.

— x 2 — 2 x + 8 = 0 _ _ _ · ( — 1 )

Корни квадратного уравнения:

x 1 = — 4 ; x 2 = 2

Заметим, что второй корень не соответствует ОДЗ. Таким образом, в ответе остается только первый корень.

Найти корни уравнения:

x 2 — x — 6 x — 3 = x + 2

Согласно стандартному алгоритму решения дробно-рациональных уравнений, выполним перенос всех слагаемых в одну сторону. Далее необходимо привести к дроби к наименьшему общему знаменателю:

x 2 — x — 6 \ 1 x — 3 — x \ ( x — 3 ) — 2 \ ( x — 3 ) = 0

x 2 — x — 6 — x ( x — 3 ) — 2 ( x — 3 ) x — 3 = 0

x 2 — x — 6 — x 2 + 3 x — 2 x + 6 x — 3 = 0

0 x x — 3 = 0 ⇔ 0 x = 0 x — 3 ≠ 0

Такое значение переменной, при котором знаменатель становится равным нулю, нужно исключить из области допустимых значений:

Заметим, что это частный случай линейного уравнения, которое обладает бесконечным множеством корней. При подстановке какого-либо числа на место переменной х в любом случае числовое равенство будет справедливым. Единственным недопустимым значением для х в данном задании является число 3, которое не входит в ОДЗ.

Ответ: х — любое число, за исключением 3.

Требуется вычислить корни дробно-рационального уравнения:

5 x — 2 — 3 x + 2 = 20 x 2 — 4

На первом этапе необходимо выполнить перенос всех слагаемых влево, привести дроби к минимальному единому знаменателю:

5 \ ( x + 2 ) x — 2 — 3 \ ( x — 2 ) x + 2 — 20 \ 1 ( x — 2 ) ( x + 2 ) = 0

5 ( x + 2 ) — 3 ( x — 2 ) — 20 ( x — 2 ) ( x + 2 ) = 0

5 x + 10 — 3 x + 6 — 20 ( x — 2 ) ( x + 2 ) = 0

2 x — 4 ( x — 2 ) ( x + 2 ) = 0 ⇔ 2 x — 4 = 0 ( x — 2 ) ( x + 2 ) ≠ 0

( x — 2 ) ( x + 2 ) ≠ 0

Данные значения переменной х являются недопустимыми, так как в этом случае теряется смысл дроби в связи с тем, что знаменатель принимает нулевое значение.

Заметим, что 2 не входит в область допустимых значений. В связи с этим, можно заключить, что у уравнения отсутствуют корни.

Ответ: корни отсутствуют

Нужно найти корни уравнения:

x — 3 x — 5 + 1 x = x + 5 x ( x — 5 )

Начнем с определения ОДЗ:

— 5 ≠ 0 x ≠ 0 x ( x — 5 ) ≠ 0 x ≠ 5 x ≠ 0

При умножении обеих частей уравнения на единый знаменатель всех дробей и сокращении аналогичных выражений, которые записаны в числителе и знаменателе, получим:

x — 3 x — 5 + 1 x = x + 5 x ( x — 5 ) · x ( x — 5 )

( x — 3 ) x ( x — 5 ) x — 5 + x ( x — 5 ) x = ( x + 5 ) x ( x — 5 ) x ( x — 5 )

( x — 3 ) x + x = x + 5

Прибегая к арифметическим преобразованиям, можно записать уравнение в упрощенной форме:

x 2 — 3 x + x — 5 = x + 5 → x 2 — 2 x — 5 — x — 5 = 0 → x 2 — 3 x — 10 = 0

Для дальнейших действий следует определить, к какому виду относится полученное уравнение. В нашем случае уравнение является квадратным с коэффициентом при x 2 , который равен 1. Таким образом, целесообразно воспользоваться теоремой Виета:

x 1 · x 2 = — 10 x 1 + x 2 = 3

В этом случае подходящими являются числа: -2 и 5.

Второе значение не соответствует области допустимых значений.