Решение задач по математике онлайн
//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘
Калькулятор онлайн.
Решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными.
Метод подстановки и сложения.
С помощью данной математической программы вы можете решить систему двух линейных уравнений с двумя переменными методом подстановки и методом сложения.
Программа не только даёт ответ задачи, но и приводит подробное решение с пояснениями шагов решения двумя способами: методом подстановки и методом сложения.
Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
В качестве переменной может выступать любая латинсая буква.
Например: \( x, y, z, a, b, c, o, p, q \) и т.д.
При вводе уравнений можно использовать скобки. При этом уравнения сначала упрощаются. Уравнения после упрощений должны быть линейными, т.е. вида ax+by+c=0 с точностью порядка следования элементов.
Например: 6x+1 = 5(x+y)+2
В уравнениях можно использовать не только целые, но также и дробные числа в виде десятичных и обыкновенных дробей.
Правила ввода десятичных дробей.
Целая и дробная часть в десятичных дробях может разделяться как точкой так и запятой.
Например: 2.1n + 3,5m = 55
Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.
Знаменатель не может быть отрицательным.
При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Примеры.
-1&2/3y + 5/3x = 55
2.1p + 55 = -2/7(3,5p — 2&1/8q)
Решить систему уравнений
Немного теории.
Решение систем линейных уравнений. Способ подстановки
Последовательность действий при решении системы линейных уравнений способом подстановки:
1) выражают из какого-нибудь уравнения системы одну переменную через другую;
2) подставляют в другое уравнение системы вместо этой переменной полученное выражение;
3) решают получившееся уравнение с одной переменной;
4) находят соответствующее значение второй переменной.
Пример. Решим систему уравнений:
$$ \left\< \begin
Выразим из первого уравнения y через x: y = 7-3x. Подставив во второе уравнение вместо y выражение 7-Зx, получим систему:
$$ \left\< \begin
Нетрудно показать, что первая и вторая системы имеют одни и те же решения. Во второй системе второе уравнение содержит только одну переменную. Решим это уравнение:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Rightarrow -5x+14-6x=3 \Rightarrow -11x=-11 \Rightarrow x=1 $$
Подставив в равенство y=7-3x вместо x число 1, найдем соответствующее значение y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$
Пара (1;4) — решение системы
Системы уравнений с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называются равносильными. Системы, не имеющие решений, также считают равносильными.
Решение систем линейных уравнений способом сложения
Рассмотрим еще один способ решения систем линейных уравнений — способ сложения. При решении систем этим способом, как и при решении способом подстановки, мы переходим от данной системы к другой, равносильной ей системе, в которой одно из уравнений содержит только одну переменную.
Последовательность действий при решении системы линейных уравнений способом сложения:
1) умножают почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами;
2) складывают почленно левые и правые части уравнений системы;
3) решают получившееся уравнение с одной переменной;
4) находят соответствующее значение второй переменной.
Пример. Решим систему уравнений:
$$ \left\< \begin
В уравнениях этой системы коэффициенты при y являются противоположными числами. Сложив почленно левые и правые части уравнений, получим уравнение с одной переменной 3x=33. Заменим одно из уравнений системы, например первое, уравнением 3x=33. Получим систему
$$ \left\< \begin
Из уравнения 3x=33 находим, что x=11. Подставив это значение x в уравнение \( x-3y=38 \) получим уравнение с переменной y: \( 11-3y=38 \). Решим это уравнение:
\( -3y=27 \Rightarrow y=-9 \)
Таким образом мы нашли решение системмы уравнений способом сложения: \( x=11; y=-9 \) или \( (11; -9) \)
Воспользовавшись тем, что в уравнениях системы коэффициенты при y являются противоположными числами, мы свели ее решение к решению равносильной системы (сумировав обе части каждого из уравнений исходной симтемы), в которой одно из уравнений содержит только одну переменную.
Решение системы линейных уравнений методом сложения
Алгоритм решения системы линейных уравнений методом сложения
- Умножить обе части одного или обоих уравнений так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными (или равными) числами.
- Сложить (или отнять) уравнения, чтобы избавиться от одной из переменных.
- Решить второе уравнение относительно выраженной переменной.
- Решить полученное уравнение с одной переменной.
- Найти вторую переменную.
- Записать ответ в виде упорядоченной пары найденных значений переменных.
Умножаем первое уравнение на 2
Отнимаем от первого уравнения второе:
Находим y из первого уравнения:
В последовательной записи:
$$ <\left\< \begin
Примеры
Пример 1. Решите систему уравнений методом сложения:
$ а) <\left\< \begin
$ б) <\left\< \begin
$ в) <\left\< \begin
$ г) <\left\< \begin
Пример 2. Найдите решение системы уравнений:
$$а) <\left\< \begin
$$\Rightarrow <\left\< \begin
$ в) <\left\< \begin
$ г) <\left\< \begin
$$ \Rightarrow <\left\< \begin
Пример 3*. Найдите решение системы уравнений:
Введём новые переменные: $ <\left\< \begin
Перепишем систему и найдём решение для новых переменных:
$$ <\left\< \begin
Разработка урока по алгебре на тему «Решение систем уравнений методом алгебраического сложения» (7 класс)
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Тема урока: «Решение систем линейных уравнений методом алгебраического сложения»
Цели урока: познакомить обучающихся с методом решения систем уравнений методом алгебраического сложения;
Развивать память, речь, наблюдательность, подмечать закономерность, обобщать, проводить логическое мышление, суждения по аналогии, умение работать с учебником.
Воспитание дисциплины, аккуратности, настойчивости, ответственного отношения к учёбе, умение контролировать свою деятельность.
Оборудование: ноутбук, проектор, доска.
Здравствуйте, ребята! Сегодня у нас на уроке будут присутствовать гости. Поприветствуйте их. Садитесь.
Учитель: Любой человек, который начинает какое-то новое дело, обычно задумывается над тем, что он хочет получить в результате, чего достичь. Давайте и мы подумаем, чего мы сегодня должны достичь на уроке?
Ученик: Познакомиться с новым методом решения систем. Научиться решать системы линейных уравнений методом алгебраического сложения.
Слайд 2 . Девизом нашего урока будут слова «Математику нельзя изучать,
наблюдая как это делает сосед». А.Нивен.
Слайд 3. Учитель: Ничего нового не бывает без старого. Давайте ответим на вопросы.
2. Ответить на вопросы
1. Что называют решением системы уравнений? (пару значений (х;у), которая является решением и первого и второго уравнений системы)
2. Сколько решений может иметь система двух линейных уравнений с двумя неизвестными? ( 1 решение, бесконечно много решений или не иметь решения)
3. Как называется система, если она не имеет решений? (система несовместна – прямые параллельны)
4. Как называется система, если она имеет бесконечно много решений (неопределенна – прямые совпадают)
5. Какие методы решения систем уравнений вам известны?
6. Сформулируйте алгоритм решения систем уравнений методом подстановки. — Слайд 5
Решить систему методом подстановки
у-х=30,
1 ученик выполняет на интерактивной доске.
Решим систему способом подстановки, при этом ответим на вопросы:
1. Что нужно сделать? Выразить одну переменную через другую, например, х=80+2у.
2. Подставить полученное выражение в первое уравнение:
3. Решим полученное уравнение: 4у-80-2у=30, 2у=110, у=55.
4. Подставим найденное значение переменной в выражение, полученное в 1 и найдем х. х=80+ 2*55, х=190.
Изучение нового материала
Учитель: А теперь проанализируем, для чего мы выражали одну переменную через другую и подставляли полученный результат в первое уравнение?
Ученик: Чтобы получить уравнение с одной переменной.
Учитель: Правильно, чтобы исключить одну переменную. Но её можно исключить и значительно проще – достаточно сложить оба уравнения системы.
Затем найденное значение переменной подставить в любое уравнение системы и найти значение другой переменной.
Рассмотрим еще один пример.
Рассмотрим систему, где сложение уравнений на первом этапе
не позволяет исключить ни одной переменной.
обратите внимание, коэффициент перед х (1 уравнение) =4,
коэффициент перед х (2 уравнение), =5 , найдем для этих двух чисел наименьшее общее кратное число — это 20 значит,
умножим левую и правую часть 1-го уравнения на 5 , а второго уравнения на 4:
теперь мы можем вычесть второе уравнение из первого,
вычтем левую часть 2-го уравнения из левой части 1-го уравнения,
приравняв результат разности соответствующих правых частей,
подставим полученное значение y = 5 в любое уравнение системы,
например в 1-ое,
Учитель: Теперь я думаю, что вы сможете сформулировать алгоритм метода алгебраического сложения (учащиеся формулируют, учитель корректирует)
Первичное закрепление в устной речи
Работа со слайдом: учащиеся читают алгоритм.
Этап первичной проверки знаний
1. Решить систему методом алгебраического сложения
2. Работа с учебником
Этап проверки усвоения нового материала
Выполнение самостоятельной работы по карточкам с последующей самопроверкой
Способом сложения решите систему линейных уравнений:
Самостоятельная работа (для слабых обучающихся)
Способом сложения решите систему линейных уравнений:
http://reshator.com/sprav/algebra/7-klass/reshenie-sistemy-linejnyh-uravnenij-metodom-slozheniya/
http://infourok.ru/razrabotka-uroka-po-algebre-na-temu-reshenie-sistem-uravneniy-metodom-algebraicheskogo-slozheniya-klass-664448.html