Метод интервалов: обучение и контроль
консультация по алгебре (10 класс)
Данный ресурс предназначен учащимся 10 класса для ликвидации пробелов по теме «Метод интервалов», а также будет полезен девятиклассникам и коллегам для работы.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
| metod_intervalov.rar | 866.58 КБ |
Предварительный просмотр:
Метод интервалов (или как его еще иногда называют метод промежутков) – это универсальный метод решения неравенств. Он подходит для решения разнообразных неравенств, однако наиболее удобен в решении рациональных неравенств с одной переменной. Поэтому в школьном курсе алгебры метод интервалов вплотную привязывают именно к рациональным неравенствам, а решению других неравенств с его помощью практически не уделяют внимания.
Разберем алгоритм применения метода интервалов и все его тонкости. Начнем с того, что приведем алгоритм решения неравенств методом интервалов. Дальше поясним, на каких теоретических аспектах он базируется, и разберем шаги алгоритма, в частности, подробно остановимся на определении знаков на интервалах. После этого перейдем к практике и покажем решения нескольких типовых примеров. А в заключение рассмотрим метод интервалов в общем виде (то есть, без привязки к рациональным неравенствам), другими словами, обобщенный метод интервалов.
Итак, нам предстоит рассмотреть следующие вопросы:
- Алгоритм метода интервалов
- На чем основан метод интервалов?
- Как находить нули числителя и знаменателя?
- Как определять знаки на интервалах?
- Как правильно записать ответ?
- Примеры решения неравенств методом интервалов
Алгоритм метода интервалов
Если неравенство имеет вид f(x) 0 или f(x) ≤ 0 или f(x) ≥0), то его удобно решать методом интервалов. Для наглядности приведем примеры подобных неравенств: (x−7)·(x+7) ≤ 0 или
(x+4)·(x 2 −x+1)·(x+2) 3 ≥ 0 или > 0 или ≤ 0 и т. д.
Перейдем к алгоритму решения неравенств подобного вида методом интервалов, а затем рассмотрим примеры его применения к решению неравенств. Итак, алгоритм метода интервалов:
- Сначала находят нули каждого множителя , а если в левой части неравенства – дробь, то находят нули числителя и нули знаменателя . (Нули числителя и знаменателя – это значения переменной, при которых числитель и знаменатель становятся равными нулю ). Для этого каждый множитель левой части (числитель и знаменатель) приравнивают к нулю, и решают полученные уравнения.
*Примечание. Важно понимать, что нулями каждого множителя левой части (нулями числителя и знаменателя) могут быть любые числа, среди которых может отсутствовать число 0.
- На числовую прямую наносят точки, соответствующие найденным в пункте 1) нулям. (Не обязательно соблюдать единичные отрезки, достаточно придерживаться известного правила: точка с меньшей координатой находится левее точки с большей координатой). После этого определяют, как их надо изобразить: темными или светлыми (выколотыми). При решении строгого неравенства (со знаком ) все точки изображаются светлыми (выколотыми). При решении нестрогого неравенства (со знаком ≤ или ≥) точки, отвечающие нулям знаменателя, изображаются выколотыми , а оставшиеся отмеченные точки – темными. Все отмеченные точки разбивают координатную прямую на несколько числовых промежутков.
- Определяют знаки выражения f(x) из левой части решаемого неравенства на каждом промежутке (как это делается, подробно расскажем в одном из следующих пунктов), и над ними проставляются + или − в соответствии с определенными знаками.
- Наконец, при решении неравенства со знаком или ≥ – над промежутками, отмеченными знаком «+». В результате получается геометрическое представление числового множества, которое и является искомым решением неравенства.
На чем основан метод интервалов?
В основе метода интервалов лежит следующее свойство непрерывной функции: если на интервале ( a, b ) функция f(х) непрерывна и не обращается в нуль, то она на этом интервале сохраняет постоянный знак. Аналогичное свойство справедливо и для числовых лучей (−∞, a ) и ( a , +∞). Для выражений f(x), имеющих указанный в предыдущем пункте вид, постоянство знака на промежутках можно обосновать и иначе, с помощью свойств числовых неравенств с учетом правила умножения и деления чисел с одинаковыми знаками и разными знаками.
Как находить нули числителя и знаменателя?
С нахождением нулей числителя и знаменателя дроби обычно не возникает никаких проблем. Выражения из числителя и знаменателя приравниваются к нулю, и решаются полученные уравнения. При необходимости выполняют разложение на множители числителя и знаменателя.
Рассмотрим пример. Решить неравенство: ≤ 0
Преобразуем левую часть неравенства. Для этого разложим на множители
D = 5 2 – 4 ∙ 1 ∙ (– 6) = 25 + 24 = 49
Применяя формулу ax 2 + bx + c = a(x – x 1 )(x – x 2 ) , получим: х 2 + 5х – 6 = (х + 6)(х – 1). Кроме того, по формуле разности квадратов = (х – 5)(х + 5). Неравенство примет вид:
≤ 0, после сокращения на х – 5 окончательно получаем: ≤ 0
Нули числителя и знаменателя:
(х – 5) 2 = 0 х + 6 = 0 х – 1 = 0 х + 5 = 0
(х – 5)(х – 5) = 0 х = – 6 х = 1 х = – 5
При решении уравнения (х – 5) 2 = 0 получились два одинаковых корня, равных 5. В таких случаях говорят: «Кратность корня 5 равна двум». Как влияет такая ситуация на решение неравенства рассмотрим на следующем этапе. А пока нанесем полученные числа на числовую прямую слева направо в порядке возрастания: -6, -5, 1. 5. Точки, соответствующие числам -6, -5, 1, — выколотые, т.к. они обращают знаменатель в ноль, а на ноль делить нельзя. Точка с координатой 5 будет темной, т.к. при х=5 числитель обратится в ноль, а поскольку мы решаем нестрогое неравенство, то такое значение допустимо.
Как определять знаки на интервалах?
Знаки левой части неравенства на каждом интервале можно определять двумя способами. Самый надежный способ состоит в следующем. Из каждого интервала выбирают произвольное число и вычисляют значение левой части неравенства. Знак полученного результата – это и есть знак левой части на выбранном интервале. Вернемся к неравенству. Найденные числа разбили числовую прямую на интервалы (–∞; – 6), (– 6;. – 5), (– 5; 1), (1; 5), (5; +∞). Определим знак дроби на каждом интервале.
Из интервала (–∞; – 6) выберем число – 7. Подставим его вместо х и определим знак результата:
= . Получаем отрицательное число. Значит, на интервале (–∞; – 6) знак дроби «–».
Из интервала (– 6; – 5) выберем число – 5,5. Снова определим знак:
= . Очевидно, в ответе получится положительное число. Поэтому на интервале (– 6; – 5) знак дроби «+».
Из интервала (– 5; 1) выберем число 0. = . Результат отрицателен. На интервале (– 5; 1) знак дроби «–».
Из интервала (1; 5) выберем число 2, = . На интервале (1; 5) знак дроби «+».
Из интервала (5; +∞) выберем число 6, = . На интервале (5; +∞) знак дроби «+».
Существует и другой подход к определению знаков, состоящий в нахождении знака на одном из интервалов и его сохранении или изменении при переходе к соседнему интервалу через нуль. Нужно придерживаться следующего правила. При переходе через нуль числителя (или знаменателя) знак изменяется, если степень выражения, дающего этот нуль, нечетная, и не изменяется, если четная. Кстати, если выражение в левой части неравенства имеет вид , то на крайнем правом промежутке будет знак плюс. В данном примере знак будет меняться при переходе через нули знаменателя, т. е. при переходе через – 6, – 5, и 1, т.к. каждый множитель в знаменателе имеет первую (нечетную) степень. При переходе через точку 5, являющуюся нулем числителя, знак меняться не будет, т. к. выражение в числителе имеет четную степень. В этом мы смогли убедиться, определяя знак дроби выше.
Как правильно записать ответ?
Неравенство ≤ 0, которое мы привели к виду ≤ 0, содержит знак ≤ , поэтому в ответ будут записаны интервалы, на которых дробь отрицательна, т.е. (–∞; – 6), (– 5; 1). Кроме того, при х=5 (изолированная точка) неравенство верно и поэтому число 5 – одно из решений неравенства. Однако, это значение может быть потеряно в связи с тем, что расположено между двумя интервалами, не входящими в ответ. Подводя итоги, записываем
ответ: (–∞; – 6) ⋃ (– 5; 1) ⋃ .
Решите неравенство > 0.
найдем нули числителя и знаменателя.
х – 5 = 0 х + 1 = 0
Точки, соответствующие нулям числителя и знаменателя, изображаем выколотыми (светлыми) в силу того, что неравенство строгое. Полученные числа разбивают числовую прямую на три промежутка (−∞, −1), (−1, 5) и (5, +∞). Определим знак дроби на каждом из этих промежутков. На промежутках (−∞, −1) и (5, +∞) дробь положительна, а на интервале (−1, 5) отрицательна. В ответ записываем промежутки со знаком плюс.
Решите неравенство . Так как при решении квадратного уравнения х 2 – х + 4 = 0 дискриминант отрицателен, то нулей числителя нет, а нулем знаменателя является число −3. (числитель этой дроби положителен при любом х, т. к. парабола у = х 2 – х + 4, ветви которой направлены вверх, не пересекает ось абсцисс). Число −3 делит числовую прямую на два промежутка (−∞, −3) и (−3, +∞). Определим знаки на них. Очевидно, что справа от – 3 знак будет положительным, а слева от – 3 – отрицательным. Так как неравенство имеет знак , то в ответ записываем промежуток со знаком +. Ответ: (−3, +∞).
Примеры решения неравенств методом интервалов
- Решить неравенство ( x + 1)( x – 1)( x – 2) > 0.
| Повторение: | 1 | 2 |
| Новый материал (с примером) | ||
| а | г | |
| а | б | |
| Достиг(-ла) ли я цели урока? | Оценка |
Плюсом отмечать те моменты, которые правильно выполнены или хорошо поняты. Где допущены ошибки или выполнено неверно – минус. Отмечать на каждом этапе, итоговую оценку поставить самим.
III. Пропедевтическая работа:
Повторение:
- Какую функцию называют непрерывной на промежутке I?
(Если функция непрерывна в каждой точке этого промежутка).
- Сформулируйте свойство непрерывных функций.
(Если на интервале (а; в) функция f непрерывна и не обращается в нуль, то она на этом интервале сохраняет постоянный знак).
На этом свойстве основан метод решения неравенств с одной переменной. О нём и пойдёт речь на сегодняшнем уроке.
IV. Изучение нового материала.
Сообщить тему урока. (Приложение. Слайд 2)
Учащиеся переходят к прочтению слайдов на экране компьютера:
1. Cформулировать главную цель урока: (Приложение. Слайд 3)
- научиться решать неравенства методом интервалов.
2. (Приложение. Слайд 4)
Пусть функция f непрерывна на интервале (а; в) и обращается в нуль в конечном числе точек этого интервала. По свойству непрерывных функций (а; в) разбивается на интервалы, в каждом из которых непрерывная функция f сохраняет постоянный знак.
Чтобы определить этот знак, достаточно вычислить значение функции f в какой-либо одной точке из каждого интервала.
3. (Приложение. Слайды 5, 6)
Пример:
При рассмотрении примера записать алгоритм решения в тетрадь.
Решим неравенство 
Рассмотрим функцию F(x) = 
1. Найдем область определения функции:
Вся числовая прямая, кроме нулей знаменателя:
2. Найдём нули функции:
3. Отметим на числовой прямой найденные точки:
4. Определим знаки функции в каждом интервале:
Неравенство нестрогое, поэтому числа -1 и 1 (нули функции f) являются решениями неравенства.
5. Запишем ответ в виде объединения промежутков:
Ответ: 
V. Закрепление нового материала.
(Приложение. Слайд 7)
Тренировочные упражнения:
| № 244 (а, г) |  |
| № 245(а, б) |  |
| №246 (в) |  |
| № 248 (б) |  |
| № 249 (б) |  |
Дополнительно: с 126 пример 2, № 243 (в)
Подведение итогов.
Учитель обобщает пройденный материал. (Приложение. Слайд 8)
Выполни задания:
1. Сформулируй свойство непрерывных функций.
(Если на интервале (а; в) функция f непрерывна и не обращается в нуль, то она на этом интервале сохраняет постоянный знак)
2. Повтори план решения неравенств методом интервалов.
- Найти область определения функции.
- Найти нули функции.
- Отметить на числовой прямой найденные точки.
- Определить знаки функции в каждом интервале.
- Записать ответ в виде объединения промежутков.
Ответьте на последний вопрос в листе самоконтроля. Оцените свою работу и сдайте листочки.
VII. Домашнее задание.
(Приложение. Слайд 9)
П. 18, № 244 (б); № 245 (г); № 246 (б); № 248 (а); № 249 (в); № 243 (б, в).
Метод интервалов, примеры, решения
Метод интервалов принято считать универсальным для решения неравенств. Иногда этот метод также называют методом промежутков. Применим он как для решения рациональных неравенств с одной переменной, так и для неравенств других видов. В нашем материале мы постарались уделить внимание всем аспектам вопроса.
Что ждет вас в данном разделе? Мы разберем метод промежутков и рассмотрим алгоритмы решения неравенств с его помощью. Затронем теоретические аспекты, на которых основано применение метода.
Особое внимание мы уделяем нюансам темы, которые обычно не затрагиваются в рамках школьной программы. Например, рассмотрим правила расстановки знаков на интервалах и сам метод интервалов в общем виде без его привязки к рациональным неравенствам.
Алгоритм
Кто помнит, как происходит знакомство с методом промежутков в школьном курсе алгебры? Обычно все начинается с решения неравенств вида f ( x ) 0 (знак неравенства может быть использован любой другой, например, ≤ , > или ≥ ). Здесь f ( x ) может быть многочленом или отношением многочленов. Многочлен, в свою очередь, может быть представлен как:
- произведение линейных двучленов с коэффициентом 1 при переменной х ;
- произведение квадратных трехчленов со старшим коэффициентом 1 и с отрицательным дискриминантом их корней.
Приведем несколько примеров таких неравенств:
( x + 3 ) · ( x 2 − x + 1 ) · ( x + 2 ) 3 ≥ 0 ,
( x — 2 ) · ( x + 5 ) x + 3 > 0 ,
( x − 5 ) · ( x + 5 ) ≤ 0 ,
( x 2 + 2 · x + 7 ) · ( x — 1 ) 2 ( x 2 — 7 ) 5 · ( x — 1 ) · ( x — 3 ) 7 ≤ 0 .
Запишем алгоритм решения неравенств такого вида, как мы привели в примерах, методом промежутков:
- находим нули числителя и знаменателя, для этого числитель и знаменатель выражения в левой части неравенства приравниваем к нулю и решаем полученные уравнения;
- определяем точки, которые соответствуют найденным нулям и отмечаем их черточками на оси координат;
- определяем знаки выражения f ( x ) из левой части решаемого неравенства на каждом промежутке и проставляем их на графике;
- наносим штриховку над нужными участками графика, руководствуясь следующим правилом: в случае, если неравенство имеет знаки или ≤ изображается, штрихуются «минусовые» промежутки, если же мы работаем с неравенством, имеющим знаки > или ≥ , то выделяем штриховкой участки, отмеченные знаком « + ».
Четреж, с которым мы будем работать, может иметь схематический вид. Излишние подробности могут перегружать рисунок и затруднять решение. Нас будет мало интересовать маштаб. Достаточно будет придерживаться правильного расположения точек по мере роста значений их координат.
При работе со строгими неравенствами мы будем использовать обозначение точки в виде круга с незакрашенным (пустым) центром. В случае нестрогих неравенств точки, которые соответствуют нулям знаменателя, мы будем изображать пустыми, а все остальные обычными черными.
Отмеченные точки разбивают координатную прямую на несколько числовых промежутков. Это позволяет нам получить геометрическое представление числового множества, которое фактически является решением данного неравенства.
Научные основы метода промежутков
Основан подход, положенный в основу метода промежутков, основан на следующем свойстве непрерывной функции: функция сохраняет постоянный знак на интервале ( a , b ) , на котором эта функция непрерывна и не обращается в нуль. Это же свойство характерно для числовых лучей ( − ∞ , a ) и ( a , + ∞ ) .
Приведенное свойство функции подтверждается теоремой Больцано-Коши, которая приведена во многих пособиях для подготовки к вступительным испытаниям.
Обосновать постоянство знака на промежутках также можно на основе свойств числовых неравенств. Например, возьмем неравенство x — 5 x + 1 > 0 . Если мы найдем нули числителя и знаменателя и нанесем их на числовую прямую, то получим ряд промежутков: ( − ∞ , − 1 ) , ( − 1 , 5 ) и ( 5 , + ∞ ) .
Возьмем любой из промежутков и покажем на нем, что на всем промежутке выражение из левой части неравенства будет иметь постоянный знак. Пусть это будет промежуток ( − ∞ , − 1 ) . Возьмем любое число t из этого промежутка. Оно будет удовлетворять условиям t − 1 , и так как − 1 5 , то по свойству транзитивности, оно же будет удовлетворять и неравенству t 5 .
Используя оба полученных неравенства и свойство числовых неравенств, мы можем предположить, что t + 1 0 и t − 5 0 . Это значит, что t + 1 и t − 5 – это отрицательные числа независимо от значения t на промежутке ( − ∞ , − 1 ) .
Используя правило деления отрицательных чисел, мы можем утверждать, что значение выражения t — 5 t + 1 будет положительным. Это значит, что значение выражения x — 5 x + 1 будет положительным при любом значении x из промежутка ( − ∞ , − 1 ) . Все это позволяет нам утверждать, что на промежутке, взятом для примера, выражение имеет постоянный знак. В нашем случае это знак « + ».
Нахождение нулей числителя и знаменателя
Алгоритм нахождения нулей прост: приравниваем выражения из числителя и знаменателя к нулю и решаем полученные уравнения. При возникновении затруднений можно обратиться к теме «Решение уравнений методом разложения на множители». В этом разделе мы ограничимся лишь рассмотрением примера.
Рассмотрим дробь x · ( x — 0 , 6 ) x 7 · ( x 2 + 2 · x + 7 ) 2 · ( x + 5 ) 3 . Для того, чтобы найти нули числителя и знаменателя, приравняем их к нулю для того, чтобы получить и решить уравнения: x · ( x − 0 , 6 ) = 0 и x 7 · ( x 2 + 2 · x + 7 ) 2 · ( x + 5 ) 3 = 0 .
В первом случае мы можем перейти к совокупности двух уравнений x = 0 и x − 0 , 6 = 0 , что дает нам два корня 0 и 0 , 6 . Это нули числителя.
Второе уравнение равносильно совокупности трех уравнений x 7 = 0 , ( x 2 + 2 · x + 7 ) 2 = 0 , ( x + 5 ) 3 = 0 . Проводим ряд преобразований и получаем x = 0 , x 2 + 2 · x + 7 = 0 , x + 5 = 0 . Корень первого уравнения 0 , у второго уравнения корней нет, так как оно имеет отрицательный дискриминант, корень третьего уравнения — 5 . Это нули знаменателя.
0 в данном случае является одновременно и нулем числителя, и нулем знаменателя.
В общем случае, когда в левой части неравенства дробь, которая не обязательно является рациональной, числитель и знаменатель точно также приравниваются к нулю для получения уравнений. Решение уравнений позволяет найти нули числителя и знаменателя.
Определение знаков на интервалах
Определить знак интервала просто. Для этого можно найти значение выражения из левой части неравенства для любой произвольно выбранной точки из данного интервала. Полученный знак значения выражения в произвольно выбранной точке промежутка будет совпадать со знаком всего промежутка.
Рассмотрим это утверждение на примере.
Возьмем неравенство x 2 — x + 4 x + 3 ≥ 0 . Нулей числителя выражение, расположенное в левой части неравенства, нулей не имеет. Нулем знаменателя будет число — 3 . Получаем два промежутка на числовой прямой ( − ∞ , − 3 ) и ( − 3 , + ∞ ) .
Для того, чтобы определить знаки промежутков, вычислим значение выражения x 2 — x + 4 x + 3 для точек, взятых произвольно на каждом из промежутков.
Из первого промежутка ( − ∞ , − 3 ) возьмем − 4 . При x = − 4 имеем ( — 4 ) 2 — ( — 4 ) + 4 ( — 4 ) + 3 = — 24 . Мы получили отрицательное значение, значит весь интервал будет со знаком « — ».
Для промежутка ( − 3 , + ∞ ) проведем вычисления с точкой, имеющей нулевую координату. При x = 0 имеем 0 2 — 0 + 4 0 + 3 = 4 3 . Получили положительное значение, что значит, что весь промежуток будет иметь знак « + ».
Можно использовать еще один способ определения знаков. Для этого мы можем найти знак на одном из интервалов и сохранить его или изменить при переходе через нуль. Для того, чтобы все сделать правильно, необходимо следовать правилу: при переходе через нуль знаменателя, но не числителя, или числителя, но не знаменателя мы можем поменять знак на противоположный, если степень выражения, дающего этот нуль, нечетная, и не можем поменять знак, если степень четная. Если мы получили точку, которая является одновременно нулем числителя и знаменателя, то поменять знак на противоположный можно только в том случае, если сумма степеней выражений, дающих этот нуль, нечетная.
Если вспомнить неравенство, которое мы рассмотрели в начале первого пункта этого материала, то на крайнем правом промежутке мы можем поставить знак « + ».
Теперь обратимся к примерам.
Возьмем неравенство ( x — 2 ) · ( x — 3 ) 3 · ( x — 4 ) 2 ( x — 1 ) 4 · ( x — 3 ) 5 · ( x — 4 ) ≥ 0 и решим его методом интервалов. Для этого нам необходимо найти нули числителя и знаменателя и отметить их на координатной прямой. Нулями числителя будут точки 2 , 3 , 4 , знаменателя точки 1 , 3 , 4 . Отметим их на оси координат черточками.
Нули знаменателя отметим пустыми точками.
Так как мы имеем дело с нестрогим неравенством, то оставшиеся черточки заменяем обычными точками.
Теперь расставим точки на промежутках. Крайний правый промежуток ( 4 , + ∞ ) будет знак + .
Продвигаясь справа налево будем проставлять знаки остальных промежутков. Переходим через точку с координатой 4 . Это одновременно нуль числителя и знаменателя. В сумме, эти нули дают выражения ( x − 4 ) 2 и x − 4 . Сложим их степени 2 + 1 = 3 и получим нечетное число. Это значит, что знак при переходе в данном случае меняется на противоположный. На интервале ( 3 , 4 ) будет знак минус.
Переходим к интервалу ( 2 , 3 ) через точку с координатой 3 . Это тоже нуль и числителя, и знаменателя. Мы его получили благодаря двум выражениям ( x − 3 ) 3 и ( x − 3 ) 5 , сумма степеней которых равна 3 + 5 = 8 . Получение четного числа позволяет нам оставить знак интервала неизменным.
Точка с координатой 2 – это нуль числителя. Степень выражения х — 2 равна 1 (нечетная). Это значит, что при переходе через эту точку знак необходимо изменить на противоположный.
У нас остался последний интервал ( − ∞ , 1 ) . Точка с координатой 1 – это нуль знаменателя. Он был получен из выражения ( x − 1 ) 4 , с четной степенью 4 . Следовательно, знак остается прежним. Итоговый рисунок будет иметь вот такой вид:
Применение метода интервалов особенно эффективно в случаях, когда вычисление значения выражения связано с большим объемом работы. Примером может стать необходимость вычисления значения выражения
x + 3 — 3 4 3 · x 2 + 6 · x + 11 2 · x + 2 — 3 4 ( x — 1 ) 2 · x — 2 3 5 · ( x — 12 )
в любой точке интервала 3 — 3 4 , 3 — 2 4 .
Будем считать, что с правилами определения знаков для промежутков мы разобрались. Идем дальше.
http://urok.1sept.ru/articles/527047
http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/systems/metod-intervalov/