Решение уравнений методом монте карло

VMath

Инструменты сайта

Основное

Навигация

Информация

Действия

Вспомогательная страница к разделу СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Для понимания материалов этого пункта полезно ознакомиться с идеологией метода Монте-Карло

Решение системы линейных уравнений методом Монте-Карло

Рассмотрим систему из $ n_<> $ линейных уравнений относительно $ n_<> $ неизвестных $$ \left\< \begin a_<11>x_1 &+a_<12>x_2&+ \ldots&+a_<1n>x_n &=b_1,\\ a_<21>x_1 &+a_<22>x_2&+ \ldots&+a_<2n>x_n &=b_2,\\ \dots & & & & \dots \\ a_x_1 &+a_x_2&+ \ldots&+a_x_n &=b_n, \end \right. $$ которую иногда будем представлять и в матричном виде $$ AX= \mathcal B \ . $$ Решение этой системы равносильно нахождению минимума квадратичной функции $$ F(X)=\sum_^n \alpha_j \left(a_x_1+\dots+a_x_n-b_j \right)^2= (AX-\mathcal B)^ <\top>\left( \begin \alpha_1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \alpha_2 & \dots & 0 \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & \alpha_n \end \right) (AX-\mathcal B) \ , $$ где $ \< \alpha_j\>_^n $ — положительные числа, а $ <>^ <\top>$ означает транспонирование.

Если исходная система линейных уравнений имеет единственное решение $ X=X_<\ast>=(x_<1\ast>,\dots, x_) $, то в пространстве $ \mathbb R^ $ уравнение $$ F(X) = 1 $$ задает эллипсоид с центром в точке $ X_ <\ast>$. Каждая из $ (n_<>-1) $-мерных гиперплоскостей $ x_k=x_ $ ( линейных многообразий), проходящих через центр эллипсоида, делит его объем пополам.

Построим $ n_<> $-мерный параллелепипед $$ A_1 ☞ ЗДЕСЬ: $$ V_ <\mathrm E>\approx 3133.207748 \ . $$ $$ \begin N & 1000 & 5000 & 10000 & 20000 & 50000 \\ \hline M & 62 & 297 & 581 & 1181 & 2885 \\ \hline V_ <\Pi>M/N & 3339.6300 & 3199.581 & 3129.5565 & 3180.7282 & 3108.0105 \\ \hline \overline <\xi_1>& 3.2592 & 3.2745 & 3.1230 & 3.1020 & 3.1798 \\ \hline \overline <\xi_2>& 0.9406 & 1.5346 & 1.4669 & 1.4867 & 1.5141 \\ \hline \overline <\xi_3>& 0.3453 & 0.5163 & 0.3996 & 0.5001 & 0.4299 \\ \hline \overline <\xi_4>& -1.7029 & -2.2198 & -2.1676 & -2.1545 & -2.2413\\ \end $$ Решение системы $$ x_1=\frac<257> <84>\approx 3.05952,\ x_2=\frac<53> <36>\approx 1.47222,\ x_3=\frac<55> <126>\approx 0.43651 , x_4=-\frac<547> <252>\approx -2.17063 \ . $$

Источник

Бусленко Н.П., Шрейдер Ю.А. Метод статистических испытаний Монте-Карло и его реализация в цифровых машинах. М.: Физматгиз, 1961. 266 с.

Решение интегральных уравнений методом Монте-Карло

Южно-Российский государственный политехнический университет

NovaInfo53, с. 9-12
Опубликовано 26 октября 2016
Раздел: Физико-математические науки
Просмотров за месяц: 1
CC BY-NC

Аннотация

В статье описан статистический метод решения интегральных уравнений Фредгольма большой размерности. Предлагаемый подход позволяет расширить круг задач теории интегральных уравнений, решаемых методом Монте-Карло. Приводится пример, демонстрирующий эффективность рассматриваемого метода.

Ключевые слова

Текст научной работы

Метод Монте-Карло находит широкое применение в практике решения вычислительных задач, в том числе при решении интегральных уравнений 3. В то же время не все возможности данного метода используются полностью. Так при решении интегральных уравнений преимущественно используется вариант этого метода, основанный на суммировании резольвенты и использовании цепей Маркова [1]. Это обстоятельство значительно сужает класс решаемых задач, так как требуется ограничение нормы интегрального оператора единицей. В данной статье с целью восполнения отмеченного пробела рассматривается применение метода Монте-Карло в его классической форме к решению широкого круга интегральных уравнений типа Фредгольма.

Как отмечено, вариант применения метода соответствует его традиционной схеме, обычно применяющейся при вычислении определенных интегралов, но по какой-то причине недостаточно задействованной для задач с интегральными уравнениями.

Описание метода

Рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма:

\mu u(x) — \lambda \int_V K(x,y) u(y) dy = f(x), x \in V

где u(x) — искомая функция, x=(x_1, \dots, x_m), y=(y_1, \dots, y_m)

— точки области V из m-мерного евклидова пространства, \mu

— некоторые вещественные или комплексные числа, K(x,y) — ядро интегрального оператора, f(x) — свободный член.

Предположим, что известны n точек области V: y^1=(y_1^1, \dots,y_m^1), \dots, y^n=(y_1^n, \dots, y_m^n)

, полученные из распределения с плотностью p(y), y \in V

Интеграл в (1) можно приближенно вычислять при помощи традиционной схемы вычисления интегралов методом Монте-Карло [1]:

\int_V K(x,y) u(y) dy \approx 1/n \sum_^n S_j (x), x \in V

где S_j (x) = K(x,y^j) u(y^j) /p(y^j)

Перепишем (1) в эквивалентном виде:

\mu u(x) — \lambda/n \sum_^n S_i (x) — \lambda R_n (x) = f(x), x \in V

— остаточный член формулы интегрирования Монте-Карло:

\int_V K(x,y) u(y) dy = 1/n \sum_^n S_j (x) + R_n (x)

Используем точки y^1=(y_1^1,\dots,y_m^1),\dots, y^n=(y_1^n,\dots,y_m^n)

как узлы коллокаций в известном вычислительном методе, при помощи которого получим из (2) соответствующую СЛАУ для нахождения приближенных значений решения в рассматриваемых точках:

\mu u_i — \lambda/n \sum_^n K(x^i,y^j)/p(y^j) u_j = f_i, i=1,\dots,n

Поскольку остаточный член квадратурной суммы метода Монте-Карло с любой наперед заданной вероятностью стремится к нулю при стремлении числа узлов к бесконечности, то обоснованно предполагать, что при достаточно гладком ядре и ограниченности оператора, обратного к оператору интегрального уравнения (1), решение СЛАУ (3) сходится к точному в одной из вероятностных мер. В литературе соответствующие вопросы сходимости детально рассмотрены применительно к задаче суммирования ряда Неймана [1].

Пример применения метода

Исходные данные модельной задачи:

K(x,y)= x_1 \dots x_m, y_1 \dots y_m

f(x)=x_1 \dots x_m + g (x_1 \dots x_m) ^2; g=10

Область интегрирования — m-мерный куб

u(x)=c_0 x_1 \dots x_m + g x_1 \dots x_m (x_1 \dots x_m + c_1)

c_0=0.5, c_1=c_0 (3/4)^m, \lambda =-3^m, \mu =1

Результаты трех последовательных вычислений решения при размерности области m=10 и числе узлов n=10:

• точное решение (0.02375, 0.01527, 0.00363, 0.04009, 0.04210, 0.08175, 0.00694, 0.03348, 0.03155, 0.01348);
• приближенное (0.02679, 0.01758, 0.00448, 0.04425, 0.04638, 0.08800, 0.00831, 0.03722, 0.03516, 0.01561).

Погрешность решения в норме l₁ около 11%.

На двух последующих вычислениях решения погрешность много меньше: около 1% и 0.4%.

Читайте также

Средства стохастической подготовки обучающихся на основе информационных технологий

Инструментальная реализация прикладной математической подготовки бакалавра экономики и менеджмента

1. Синчуков А.В.

NovaInfo59, с.24-28, 13 февраля 2017 , Физико-математические науки, CC BY-NC

Список литературы

1. Ермаков С.М. Метод Монте-Карло в вычислительной математике (вводный курс). Санкт-Петербург: Издательство Бином. 2011. 192 с.
2. Некрасов С.А., Ткачев А.Н. Теория вероятностей и ее приложения: Учеб. пособие/ Юж.-Рос. гос. техн. ун-т. – Новочеркасск: ЮРГТУ, 2007. 148 с.
3. Некрасов С.А. Методы ускоренного статистического моделирования и их применение в электротехнических задачах/ Изв. вузов. Электромеханика. — 2008. — No 5. — С. 13 — 19. http://elibrary.ru/item.asp?id=12159957

Цитировать

Некрасов, С.А. Решение интегральных уравнений методом Монте-Карло / С.А. Некрасов. — Текст : электронный // NovaInfo, 2016. — № 53. — С. 9-12. — URL: https://novainfo.ru/article/8242 (дата обращения: 19.02.2022).

Поделиться

Электронное периодическое издание зарегистрировано в Федеральной службе по надзору в сфере связи, информационных технологий и массовых коммуникаций (Роскомнадзор), свидетельство о регистрации СМИ — ЭЛ № ФС77-41429 от 23.07.2010 г.

Соучредители СМИ: Долганов А.А., Майоров Е.В.

Please wait.

We are checking your browser. medium.com

Why do I have to complete a CAPTCHA?

Completing the CAPTCHA proves you are a human and gives you temporary access to the web property.

What can I do to prevent this in the future?

If you are on a personal connection, like at home, you can run an anti-virus scan on your device to make sure it is not infected with malware.

If you are at an office or shared network, you can ask the network administrator to run a scan across the network looking for misconfigured or infected devices.

Another way to prevent getting this page in the future is to use Privacy Pass. You may need to download version 2.0 now from the Chrome Web Store.

Cloudflare Ray ID: 6dfdd8acbad10061 • Your IP : 85.95.188.35 • Performance & security by Cloudflare