Решение уравнений методом весов 5 класс

Решение уравнений методом весов 5 класс

Запись двух равных чисел будет выглядеть, например, так:

а запись двух равных числовых выражений может быть записана:

Про равенство можно сказать верно оно или нет. Например, 4 + 3 = 10 — 3 — верное равенство, 11 — 2 = 5 + 1 — неверное.

Можно заметить, что если в равенстве поменять местами правую и левую части, то оно не изменится. Действительно, если 2 + 5 = 9 — 2 — это верное равенство, то и 9 — 2 = 2 + 5 — тоже верное равенство. Это свойство равенств называется симметричностью.

Если в равенстве присутствует неизвестная величина, то его называют уравнением.

Например, самое простое уравнение может выглядеть так:

или чуть сложнее:

или еще немного сложнее:

2x — 18x + 6 — 3 = 7 — 4x + 2 + 15x.

Возникает вопрос при каких значениях неизвестной, наше уравнение превратится в верное равенство? Сколько таких значений и как их найти?

Значения неизвестной, при которых уравнение превращается в верное равенство называются корнями уравнения, а поиск этих значений — процессом решения уравнения. Например уравнение:

Превращается в верное равенство при х = 2:

Значит это уравнение имеет один корень х = 2. Есть уравнения, которые имеют два корня, есть, которые имеют 3 или более корней. Есть уравнения, которые имеют бесконечное количество корней. Например уравнение:

10x + 7 — 2 = 12x — 2x + 5

Будет верно при любом x. Также уравнение может совсем не иметь корней:

10x + 7 — 1 = 12x — 2x + 5

Легко убедиться, что какое бы x мы не взяли это уравнение не превратится в верное равенство.

Давайте представим себе весы, на которых мы будем сравнивать различные предметы (точнее их веса). Будем говорить, что весы находятся в равновесии, если чаши весов находятся на одном уровне. Вот эти весы в равновесии:

Рис.1 Весы в равновесии

Рис.2 Весы не в равновесии

Если весы находятся в равновесии, это значит что вес содержимого левой чаши равен весу содержимого правой чаши. Посадим на обе чаши по одинаковому слону и получим весы в равновесии:

Можно сказать, что у нас есть равенство: Мслона = Мслона.

Рис.3 Весы в равновесии

А если на левой чаше сидит слон, а на правой мышка, то равновесия нет:

Рис.4 Весы не в равновесии

Добавим на правую чашу миллион мышек и получим другое неравенство:

Рис.5 Весы не в равновесии

Уберем лишних мышек чтобы привести весы в равновесие:

Рис.6 Весы в равновесии

Теперь мы можем сказать что вес слона равен весу мышек, то есть мы получили равенство: Мслона = Ммышек.

Отметим еще раз аналогию, которую мы проводим: если весы находятся в равновесии, можно говорить о равенстве содержимого левой и правой чаши.

Что произойдет если к весам, находящимся в равновесии, на левую чашу что-нибудь добавить? Очевидно, левая чаша перевесит правую:

Рис.7 Весы в равновесии

Вместе с потерей равновесия пропадает и равенство правой и левой чаши. Чтобы восстановить равновесие надо добавить такой же банан на правую чашу:

Рис.8 Весы в равновесии

Равновесие восстановлено! Из вышепроделанного можно сделать вывод, что если к чашам весов, которые находятся в равновесии добавить одинаковый груз, то равновесие не изменится! Вспоминаем нашу аналогию и получаем важное свойство равенства:

1. Если к обеим частям верного равенства добавить одинаковое число или выражение, то равенство останется верным!

7 = 7 — равенство верно.

Добавим к обеим частям 33:

7 + 33 = 7 + 33 — равенство верно.

3 + 4 = 10 -3 — равенство верно.

Добавим к обеим частям 15:

3 + 4 + 15 = 10 — 3 + 15 — равенство верно.

Следующие свойства равенства можно получить аналогичными рассуждениями на примере весов (проведите их самостоятельно):

2. Если от обеих частей верного равенства отнять одинаковое число или выражение, то равенство останется верным

3. Если обе части равенства умножить на одно и тоже число или выражение, то равенство останется верным.

4. Если обе части равенства разделить на одно и тоже число или выражение не равное нулю, то равенство останется верным.

Итак, метод “весов” помог нам найти эти важные свойства равенства. Давайте применим их для решения уравнений. Возьмем для примера следующее уравнение:

Для начала вспомним, что решить уравнение — это значит найти все его корни, то есть все значения x, при которых уравнение превращается в верное равенство или доказать, что таких корней нет. Процесс решение уравнения — это последовательность преобразований исходного уравнения, в результате которой получается уравнение вида x = значение. Т.е. решение нашего уравнения должно выглядеть так:

Полученное значение x и будет корнем уравнения. Еще раз, наша цель: путем преобразований исходного уравнения получить уравнение: x = число.

Заметим, что чтобы достичь нашей цели необходимо чтобы в правой части уравнения не осталось членов с неизвестным, а в левой свободных членов (чисел без x). Действительно, в выражении x = число, слева от знака равно нет свободных членов, а справа нет членов с неизвестным.

Для начала давайте избавимся от слагаемых с неизвестным в правой части уравнения. Для этого воспользуемся свойством, которое мы получили из метода весов, а именно: если отнять одно и тоже значение от обеих частей равенства, то равенство останется верным. В правой части уравнения присутствует член 3x, отнимем его от обеих частей уравнения:

5x + 7 — 3x = 3x + 17 — 3x

Приведем подобные члены:

Теперь избавимся от свободного члена в левой части уравнения путем вычитания из обеих частей числа 7:

2x + 7 — 7 = 17 — 7

Приведем подобные слагаемые:

Чтобы найти x, разделим обе части уравнения на 2:

Корень нашего уравнения 5. Убедимся в этом подставив его в исходное уравнение:

32 = 32 — верное равенство.

5x + 7x — 8x + 4 -6 = 15x — 17x + 4x — 5 -8

Конспект урока математики » Метод весов» (5 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

1) Сформировать представление о методе «весов», тренировать умение решать уравнения методом проб и ошибок и методом перебора.

2) Тренировать умение применять знания о соотношении между единицами объема и выполнять действия с ними, отрабатывать вычислительные навыки.

Ход урока:

1 Мотивация к учебной деятельности.

На доске вывешены смайлики с прошлых уроков.

— О чём говорят вам два последних смайлика? (Ставим цель и составляем план действий.)

— На этом заканчивается ваша работа? (Нет, мы осуществляем составленный план.)

— И что в результате получаете? (Новый способ действия.)

На доске фиксируются два рисунка смайлика

– Какой новый способ вы построили на прошлом уроке? (Способ решения двух уравнений с двумя переменными методом полного перебора, метод решения задач четвёртого типа.)

– На какой метод он похож? (На метод проб и ошибок.)

– В чём сходство и различие этих методов? (В обоих методах необходимо проверять значения переменных: являются они решением модели или нет, для использования метода перебора необходимо провести анализ модели, а для использования метода проб и ошибок анализ проводить не надо, при решении методом проб и ошибок необходимо доказывать отсутствие других решений, при использовании метода перебора рассматриваются всевозможные варианты и по этому доказывать ничего не надо.)

– Сегодня вы продолжите работу с математическими моделями и построите новый метод решения уравнений.

— Что позволяет построение новых методов решения уравнений? (Возможность решать задачи.)

2. Актуализация знаний

Все задания учащиеся выполняют на карточках

На доске способы решения уравнений

− Какие методы решения уравнений вы знаете? (Использование правил нахождения неизвестного компонента, метод проб и ошибок, метод перебора.)

На доске карточка с заданием № 1

— Соотнесите уравнения со способами их решения. (Для решения уравнения 1 используем эталон 2; для решения уравнения 2 – эталон 1, 3 – 3, 4 – 5, 5 – 4, 6 – 7, 7 – 6, 8 – 8.)

– Решите уравнение 8): а) методом проб и ошибок; б) методом перебора. (5.)

На доске карточка с рисунком № 2

— По рисунку составьте уравнение. (3а + 3 = 5а + 1.)

— Что вы сейчас повторили? (Методы решения уравнений.)

— Какой следующий шаг в учебной деятельности? (Работа с пробным заданием.)

— Решите уравнение: 3а + 3 = 5а + 1

— Что нового, интересного в этом задании? (В этом уравнении неизвестная величина в обеих сторонах уравнения.)

— Сформулируйте свою цель. (Решить уравнение, в обеих частях которого неизвестная величина.)

— Сформулируйте тему урока. (Решение нового типа уравнений.)

— Решите уравнение, используя известные способы.

На выполнение задания отводится 1 минута.

Учитель фиксирует результаты работы.

Вариант первый: учитель фиксирует, что нет ответов.

— Что вы не смогли сделать? (Мы не смогли решить уравнение с переменными в двух частях.)

Вариант второй : учитель фиксирует, что нет правильных ответов.

— Что показало пробное задания? (Мы не смогли правильно решить уравнение с переменными в двух частях.)

Вариант третий : учитель фиксирует, что есть правильные ответы.

— Вы можете доказать, что вы правильно решили уравнение? (Да, подставив найденные числа в уравнение и проверить, получится верное равенство.)

Если дети формулирую способ, учитель просит объяснить способ получения, используемого метода.

— А объяснить, сформулированный способ можете? (Нет.)

— Что вы не можете сделать? (Мы не можем доказать, что правильно решали уравнение.)

— Что теперь вы должны сделать? (Подумать, где и почему возникло затруднение.)

3. Выявление места и причины затруднения

– Какое задание вы должны были выполнить? (Решить уравнение с неизвестными в обеих частях уравнения.)

— Какие способы вы использовали для решения уравнения? (…)

— В каком месте у вас возникло затруднение? (Как привести уравнение, чтобы переменная стала в одной части.)

– Почему вы не можете, выполнить задание, или не можете обосновать свои действия? (Мы раньше не решали таких уравнений, у нас нет способа решения уравнений с переменными в обеих частях.)

– Это для вас новый вид уравнений? (Да.)

4. Построение проекта выхода из затруднения

– Как же быть? (Надо найти способ, который позволит решить такое уравнение.)

– Сформулируйте цель деятельности. (Найти алгоритм решения уравнения, в котором неизвестное стоит в обеих частях.)

— Вспомните задания, которые вы выполняли в начале урока и скажите с каким предметом можно сравнить математическое равенство? (С качелями, которые находятся в равновесии, с весами, у которых две чаши.)

– Нарушится ли равновесие на весах, если на обе чашки весов положить предметы одинаковой массы? Если с обеих чашек убрать предметы одинаковой массы? (Нет.)

— Какое уравнение вы смогли бы решить? (Уравнение, в котором переменная стоит в одной стороне.)

— Составьте план действий. (1) Рассмотреть уравнение, как модель задачи с весами. 2) Привести данное уравнение к уравнению, где переменная стоит в одной части. 3) Решить, получившееся уравнение, используя известные способы. 4) Вывести общее правило для решения уравнений такого типа.)

План фиксируется на доске

5. Реализация построенного проекта

Учащиеся реализуют план действий, работают в группах в течение 3 минут. Затем одна из групп выставляет свою версию на доске, и обосновывает её. Остальные группы либо высказывают согласие с этой версией, либо поясняют, чем и почему их вариант отличается от других.

Задача учителя на данном этапе – организовать согласование всех полученных версий.

Если учащиеся затрудняются самостоятельно осуществить план действий, работу можно организовать фронтально:

− По аналогии с весами определите, какие преобразования можно выполнить с равенством так, чтобы оно не изменялось? (Можно из обеих частей вычесть одно и то же число или к обеим частям прибавить одно и то же число.)

– В какое уравнение вы должны преобразовать данное? (В уравнение, в котором неизвестное стоит в одной стороне.)

– Что вы для этого должны вычесть из обеих частей уравнения? (3 a .)

– Запишите уравнение, которое получится.

— Как можно по-другому записать уравнение? (Поменять местами левую и правую части: (2 a + 1 = 3.)

– Какое вы получили уравнение? (Уравнение, в котором неизвестно слагаемое.)

– Решите до конца уравнение.

Решают учащиеся уравнение самостоятельно, на закрытой части доски заготовлено решение:

– Как же вы преобразовали уравнение? (Мы вычли из обеих частей уравнения одно и то же число и получили уравнение, которое можно решить, пользуясь правилами нахождения неизвестного компонента.)

– Как такой метод можно назвать, если вспомнить, с каким предметом вы сравнивали уравнение? (Метод «весов».)

– Молодцы! Сформулируйте алгоритм решения уравнений методом «весов». (1) Вычесть из обеих частей уравнения одно и то же выражение с переменной; 2) Упростить, получившиеся уравнение; 3) Решить уравнение, используя правила нахождения неизвестного компонента.)

Алгоритм фиксируется на доске

— Уточните тему урока: (Решение уравнений методом «весов».)

Уточнение фиксируется на доске.

— Что ещё можно делать с обеими частями уравнения?

Учащиеся высказывают свои версии.

Учащиеся сопоставляют свой вариант с эталоном 3 на стр. 110 учебника.

После обсуждения на доске фиксируется правило решения уравнений методом «весов»

Раздать эталоны из пособия «Построй свою математику».

6. Первичное закрепление во внешней речи

— Попробуйте использовать, построенный способ при решении уравнений.

На доску вывешивается карточка с уравнениями

Первое уравнение один ученик решает у доски, комментируя решение вслух. Второе и третье уравнение учащиеся решают в парах, комментируя решение друг другу.

Решение первого уравнения:

1) Вычтем из обеих частей x , получим:

2) Упростим левую и правую часть уравнения:

3) Поменяем местами левую и правую часть уравнения:

4) Решаем уравнение по правилу нахождения неизвестного компонента:

Неизвестно уменьшаемое, чтобы найти неизвестное уменьшаемое надо к разности прибавить вычитаемое:

Упростим правую часть:

Неизвестен множитель, чтобы найти неизвестный множитель надо произведение разделить на известный множитель:

Аналогичные рассуждения проводятся при решении второго и третьего уравнения.

После выполнения задания в парах учащиеся проверяют результаты своей работы по подробному образцу

7. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону

— Проверьте, как вы поняли новый метод: решите уравнение 5 x + 6 = 7 x – 10 методом «весов».

На доске карточка

После выполнения работы проводится самопроверка по эталону :

Из обеих частей вычли 5 x .

Упростили правую и левую часть уравнения, используя свойства чисел.

Поменяли местами части уравнения

Находим неизвестное уменьшаемое: к разности прибавляем вычитаемое.

Находим неизвестный множитель: произведение делим на известный множитель.

Сопоставление проводится по шагам алгоритма, фиксируя выполнение каждого шага.

8. Включение в систему знаний и повторение.

— Где вы сможете использовать новый способ решения уравнений? (При решении задач.)

Один ученик работает у доски.

1) «Задуманное число увеличили в 3 раза, а затем уменьшили на 12. В результате получилось число на 2 большее задуманного. Какое число было задумано?»

2) Все единицы величин согласованы.

3) В задаче говорится о числе, которое увеличили в 3 раза, затем уменьшили на 12, и в результате получилось число на 2 больше задуманного числа. Надо найти задуманное число.

4) Обозначим задуманное число – х.

6) Решаем уравнение методом «весов»:

Вычтем из обеих частей х:

Упростим выражения в обеих частях:

Неизвестно уменьшаемое, чтобы найти неизвестное уменьшаемое надо к разности прибавить вычитаемое:

Упростим правую часть уравнения:

Неизвестен множитель, чтобы найти неизвестный множитель надо произведение разделить на известный множитель:

Найдём значение переменной:

6) Ответ: задумано число 7.

Задание выполняется устно, фронтально.

Задание выполняется самостоятельно с самопроверкой по образцу

9. Рефлексия деятельности на уроке

Для анализа можно предложить карточку для рефлексии :

Конспект урока по теме «РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ «ВЕСОВ»
план-конспект урока по алгебре (5 класс) на тему

конспек урока по матемаике для 5 класса «Решение уравнений методом «весов» ( учебник Л.Г. Петерсон Математика 5 класс)

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

«Крупное научное открытие даёт решение крупной проблемы, но и в решении любой задачи присутствует крупица открытия». Дьёрдь Пойа

Реальная ситуация Математическая модель 1. Цена груш дешевле цены яблок на 3 рубля 1. 4х – 6у = 15 2. Цена груш и цена яблок одинакова 2. у – х = 3 3. Цена груш дороже цены яблок в 2 раза 3. 3х = 5у 4. 3 кг груш стоят столько же, сколько 5 кг яблок 4. х = у 5. 4 кг груш стоят на 15 рублей дороже 6 кг яблок 5. х = 2у Пусть х руб-цена 1 груш, у руб-цена 1 яблок

Упростите выражение: а) 46а + 54а – а – 2а б) 23 m – 14m + 48 в) 56 b + 14 b – 70 b г) 37х — 17х + 34х – 54х + 100 д) 3 y + 10 + 14 y-8

Найти неизвестное число 2х-1=21 2 5х-7=38 8-х=1 6 5-3х=2 15-2х=9 ? 8 х+7=23 1

Составьте математическую модель и решите задачу.

Катя купила 3 ручки и альбом за 33 руб, а Вася 8 таких же ручек и блокнот за 8 руб. За покупки они заплатили одинаковую цену. Сколько стоила одна ручка?

3 х + 3 3 = 8 х +8 -3 х 3 х + 3 3 -3 х = 8 х +8 -3 х

3 х + 3 3 -3 х = 8 х +8 — 3 х 3 3 = 8 х +8 — 3 х 33= 5 х +8

5 х +8 =33 5 х = 33-8 5 х =25 x =25:5 x =5

Вычесть из обеих частей уравнения одно и то же выражение с переменной; Упростить, получившееся уравнение; Решить уравнение, используя правила нахождения неизвестного компонента.

Обе части уравнения можно поменять местами, увеличить, уменьшить, умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля.

Поднимает руки класс – это «раз». Повернулась голова – это «два». Руки вниз, вперед смотри – это «три». Руки в стороны по шире развернули на «четыре», С силой их к плечам прижать – это «пять». Всем ребятам надо сесть – это «шесть»

Решить уравнение: 5 x + 6 = 7 x – 10 . 5 x + 6 – 5 x = 7 x – 10 – 5 x ; Из обеих частей вычли 5 x . 6 = 2 x – 10; Упростили правую и левую часть уравнения, используя свойства чисел. 2 x – 10 = 6; Поменяли местами части уравнения 2 x = 6 + 10; Находим неизвестное уменьшаемое: к разности прибавляем вычитаемое. 2 x = 16; x = 16 : 2; x = 8. Находим неизвестный множитель: произведение делим на известный множитель. Ответ: 8

Решите уравнения методом «весов»: 1 ) 6 x + 9 = 2 x + 33 ; 2 ) 2 x +11 = 4 x -9 .

6 x + 9 = 2 x + 33; 6 x +9 – 2 х =2 x +33– 2 х ; 4 х + 9 = 33; 4 х = 33 – 9; 4 х = 24; х = 24 : 4; х = 6. Ответ: 6 2 x + 11 = 4 x – 9 ; 2 x +11– 2 х = 4 x –9 – 2 х ; 11 = 2 х – 9; 2 х – 9 =11 2 х = 11 + 9; х = 20; х = 20 : 2; х = 10. Ответ: 10

3( х +8)=5 х -16 3 х +24=5 х -16 3 х +24- 3 х =5 х -16- 3 х 24=2 х -16 2 х -16=24 2 х =16+24 2 х =40 х =40:2 х =20 Ответ : 20

Всё ли вам было понятно на уроке? Довольны ли вы своими знаниями? Что вам понравилось на уроке? Что не понравилось на уроке?

Домашнее задание 1)Стр 51. Правило «весов» 2)№210 (2) 3)№185(1;2) 4)Разрежьте фигуру на 2 равные части.

Спасибо за урок!

МОУ «СОШ № 11 с углубленным изучением отдельных предметов» г. Железногорск Решение уравнений методом «весов» Воронова В.Н учитель математики

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

ПЛАН-КОНСПЕКТ УРОКА «Решение квадратных уравнений»

Тема и номер урока в теме: Решение квадратных уравнений, 1 урок Базовый учебник: Алгебра, 8 класс, Ш.А.Алимов, М., «Просвещение», 2009 год Цель урока: открытие учениками совместно с учителем.

Конспект урока. Тема: «Решение уравнений высших степеней» 8 класс

Полное описание урока. Как решать уравнения выше второго порядка? Есть ли алгоритм решения? На эти и другие вопросы отвечает данный материал.

Конспект урока «Решение иррациональных уравнений методом замены переменных»

Представлен конспект урока по теме: «Решение иррациональных уравнений методом замены переменных». Основная цель данного урока познакомить учащихся с решением иррациональных уравнений.

Конспект урока по математике. «Уравнение». 5 класс.

Урок по теме «Уравнение» — урок обощения и систематизации знаний.

Конспект урока «Решение логарифмических уравнений и неравенств»

Урок обобщающего повторения в 11 классе.

План — конспект урока «Решение квадратных уравнений»

Предаставлен план-конспект урока объясгнения нового материала с использованием ЭОР и ИКТ и презентация .

Конспект урока «Определение квадратного уравнения. Неполные квадратные уравнения.»

Конспект урока «Определение квадратного уравнения. Неполные квадратные уравнения.».