Решение уравнений методом выделения полного квадрата 8 класс

Метод выделения полного квадрата
презентация к уроку по алгебре (8 класс) на тему

презентация к уроку алгебры в 8 классе ,где шаг за шагом объясняется решение уравнений

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Метод выделения полного квадрата a 2 + 2 ab +b 2 =(a + b) 2 a 2 — 2 ab +b 2 =(a — b) 2

Устно: 1. Решить уравнения : 1) 28 x 2 =0; 2) x 2 =1 ⁄ 4 ; 3) x 2 — 25=0; 4) 4 x 2 — 16=0 ; 5) x 2 +1=0 2.Найти такое положительное число m , чтобы данное выражение было квадратом суммы или разности: x 2 + 4 x + m ; x 2 + 16 x + m ; ; x 2 + mx + 4; ; x 2 — mx + 9

Для решения квадратных уравнений применяется метод выделения полного квадрата Задача № 1 Решить квадратное уравнение x 2 + 2 x — 3 =0 .

Решение: X 2 + 2 x -3=0. 1 .Перенесём свободный член в правую часть уравнения ( ИЗМЕНИВ,ЕГО ЗНАК НА ПРОТИВОПОЛОЖНЫЙ) X 2 + 2 x = 3 , ЛЕВАЯ 2 .Левую часть уравнения дополним до полного квадрата , X 2 + 2∙ x∙ 1 + 1 3. Но чтобы равенство оставалось верным, к правой части добавим такое же число , что мы дополнили к левой части X 2 + 2 x∙ 1 + 1 =3+1 X 2 + 2 x +1 = 4

Решение: 4.Левая часть уравнения является полным квадратом суммы ( a + b ) 2 = a 2 + 2 a + b 2 Запишем ( x + 1) 2 =4 5.Значит можно применить теорему x 2 = d , где x 1 =√ d , x 2 =-√ d x + 1 =√4 или x +1=- √4 X +1=2 или x +1=-2 X=2-1 или х=-2-1 Х=1 или х=-3 Ответ: x 1 =1; x 2 =-3

Рассмотрим задачу №2 стр.115 Закрепление: решим №429 (1,3,5)

1) X 2 — 4x-5=0 X 2 — 4x=5 X 2 — 2∙2x + 4=5+4 (x-2) 2 =9 X-2=√9 или x -2=-√ 9 x-2=3 или x -2=-3 x=5 или x=-1

X 2 +2 x -15=0 X 2 +2 x =15 X 2 +2 x + 1=15+1 ( x +1) 2 =16 X +1=√16 или x +1=-√16 X +1=4или x +1=-4 x =3 или x =- 5

X 2 -6 x +3=0 X 2 -3∙2 x =-3 X 2 -6 x + 9=-3+9 ( x -3) 2 =6 X -3=√ 6 или x -3=-√ 6 x =3 +√6 или x =3 -√6

Рассмотрим задачу №3 стр.115 Закрепление №430(1 ) 9 X 2 +6 x -8=0 (3 X ) 2 +3∙2 x +1 =8 +1 9 X 2 +6 x + 1=9 (3 x +1) 2 =9 3 X +1=√9 или 3 x +1=-√9 3 x =3-1 или 3 x =-3-1 3 x =2 или 3 x =-4 X=₂⁄ 3 или x= -₄⁄ 3

Что было трудно понять? Как себя оцениваешь? Главное из урока? Дома: №429,430 повторить задачи стр.113,114,115 рассмотренные на уроках

На дорожку Ученик за 3 блокнота и 2 тетради уплатил 40 р , другой ученик за 2 таких же блокнота и 4 тетради уплатил32р. Сколько стоил блокнот и сколько стоила тетрадь?

Спасибо за внимание! Урок окончен

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

«ПРИЕМЫ И МЕТОДЫ ПОДГОТОВКИ УЧАЩИХСЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЗАДАНИЙ, ПРОВЕРЯЮЩИХ ПОЛНОЕ И ТОЧНОЕ ПОНИМАНИЕ ИНФОРМАЦИИ В ТЕКСТЕ.»

«ПРИЕМЫ И МЕТОДЫ ПОДГОТОВКИ УЧАЩИХСЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЗАДАНИЙ, ПРОВЕРЯЮЩИХ ПОЛНОЕ И ТОЧНОЕ ПОНИМАНИЕ ИНФОРМАЦИИ В ТЕКСТЕ.» (подготовка к ЕГЭ).

решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена. открытый урок

Конспект урока алгебры 8 класса по теме «Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена» может быть использован при подготовке к уроку по данной теме.

Комбинированный урок по теме РЕШЕНИЕ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ МЕТОДОМ ВЫДЕЛЕНИЯ КВАДРАТА ДВУЧЛЕНА

Непростая тема алгебры 8 класса «РЕШЕНИЕ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ МЕТОДОМ ВЫДЕЛЕНИЯ КВАДРАТА ДВУЧЛЕНА» часто вызывает трудности у школьников. Хочу предложить свой вариант подхода к введению этой темы.

Конспект урока по теме «Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена»

Цель данного урока — повторить понятие квадратного уравнения (полного, неполного, квадратного), закрепить метод решения квадратного уравнения с помощью выделения квадрата двучлена.

Выделение квадрата двучлена

Выделение квадрата двучлена.

Алгебра 7. Самостоятельная работа. Выделение квадрата. Мерзляк А.Г.

Самостоятельная работа составлена в 2 вариантах. Для удобства работы учителя содержит ответы.

ВЫДЕЛЕНИЕ АМПЛИТУДНО-ФАЗОВЫХ ВАРИАЦИЙ МНОГОЛУЧЕВОГО СИГНАЛА МЕТОДОМ КАЛМАНОВСКОЙ ФИЛЬТРАЦИИ

Фильтр Калмана представляет собой один из лучших инструментов для фильтрации данных, поскольку использует для этого информацию о физике самого явления. Эффект многолучевого распространение волн, возни.

Решение уравнений методом выделения полного квадрата 8 класс

Описание метода выделения полного квадрата

§2. Выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена

Описание метода выделения полного квадрата

Выражения вида 2 x 2 + 3 x + 5 , `-4x^2+5x+7` носят название квадратного трёхчлена. В общем случае квадратным трёхчленом называют выражение вида a x 2 + b x + c , где a , b , c a, b, c – произвольные числа, причём a ≠ 0 .

Рассмотрим квадратный трёхчлен x 2 — 4 x + 5 . Запишем его в таком виде: x 2 — 2 · 2 · x + 5 . Прибавим к этому выражению 2 2 и вычтем 2 2 , получаем: x 2 — 2 · 2 · x + 2 2 — 2 2 + 5 . Заметим, что x 2 — 2 · 2 · x + 2 2 = ( x — 2 ) 2 , поэтому

x 2 — 4 x + 5 = ( x — 2 ) 2 — 4 + 5 = ( x — 2 ) 2 + 1 .

Преобразование, которое мы сделали, носит название «выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена».

Выделите полный квадрат из квадратного трёхчлена 9 x 2 + 3 x + 1 .

Заметим, что 9 x 2 = ( 3 x ) 2 , `3x=2*1/2*3x`. Тогда

Прибавим и вычтем к полученному выражению `(1/2)^2`, получаем

Покажем, как применяется метод выделения полного квадрата из квадратного трёхчлена для разложения квадратного трёхчлена на множители.

Разложите на множители квадратный трёхчлен 4 x 2 — 12 x + 5 .

Выделяем полный квадрат из квадратного трёхчлена:

2 x 2 — 2 · 2 x · 3 + 3 2 — 3 2 + 5 = 2 x — 3 2 — 4 = ( 2 x — 3 ) 2 — 2 2 .

Теперь применяем формулу a 2 — b 2 = ( a — b ) ( a + b ) , получаем:

( 2 x — 3 — 2 ) ( 2 x — 3 + 2 ) = ( 2 x — 5 ) ( 2 x — 1 ) .

Разложите на множители квадратный трёхчлен — 9 x 2 + 12 x + 5 .

— 9 x 2 + 12 x + 5 = — 9 x 2 — 12 x + 5 . Теперь замечаем, что 9 x 2 = 3 x 2 , — 12 x = — 2 · 3 x · 2 .

Прибавляем к выражению 9 x 2 — 12 x слагаемое 2 2 , получаем:

— 3 x 2 — 2 · 3 x · 2 + 2 2 — 2 2 + 5 = — 3 x — 2 2 — 4 + 5 = — 3 x — 2 2 + 4 + 5 = = — 3 x — 2 2 + 9 = 3 2 — 3 x — 2 2 .

Применяем формулу для разности квадратов, имеем:

— 9 x 2 + 12 x + 5 = 3 — 3 x — 2 3 + ( 3 x — 2 ) = ( 5 — 3 x ) ( 3 x + 1 ) .

Разложите на множители квадратный трёхчлен 3 x 2 — 14 x — 5 .

Мы не можем представить выражение 3 x 2 как квадрат какого-то выражения, т. к. ещё не изучали этого в школе. Это будете проходить позже, и уже в Задании №4 будем изучать квадратные корни. Покажем, как можно разложить на множители заданный квадратный трёхчлен:

Покажем, как применяется метод выделения полного квадрата для нахождения наибольшего или наименьшего значений квадратного трёхчлена.
Рассмотрим квадратный трёхчлен x 2 — x + 3 . Выделяем полный квадрат:

`(x)^2-2*x*1/2+(1/2)^2-(1/2)^2+3=(x-1/2)^2+11/4`. Заметим, что при `x=1/2` значение квадратного трёхчлена равно `11/4`, а при `x!=1/2` к значению `11/4` добавляется положительное число, поэтому получаем число, большее `11/4`. Таким образом, наименьшее значение квадратного трёхчлена равно `11/4` и оно получается при `x=1/2`.

Найдите наибольшее значение квадратного трёхчлена — 16 x 2 + 8 x + 6 .

Выделяем полный квадрат из квадратного трёхчлена: — 16 x 2 + 8 x + 6 = — 4 x 2 — 2 · 4 x · 1 + 1 — 1 + 6 = — 4 x — 1 2 — 1 + 6 = = — 4 x — 1 2 + 7 .

При `x=1/4` значение квадратного трёхчлена равно 7 , а при `x!=1/4` из числа 7 вычитается положительное число, то есть получаем число, меньшее 7 . Таким образом, число 7 является наибольшим значением квадратного трёхчлена, и оно получается при `x=1/4`.

Разложите на множители числитель и знаменатель дроби `/` и сократите эту дробь.

Заметим, что знаменатель дроби x 2 — 6 x + 9 = x — 3 2 . Разложим числитель дроби на множители, применяя метод выделения полного квадрата из квадратного трёхчлена.

x 2 + 2 x — 15 = x 2 + 2 · x · 1 + 1 — 1 — 15 = x + 1 2 — 16 = x + 1 2 — 4 2 = = ( x + 1 + 4 ) ( x + 1 — 4 ) = ( x + 5 ) ( x — 3 ) .

Данную дробь привели к виду `<(x+5)(x-3)>/(x-3)^2` после сокращения на ( x — 3 ) получаем `(x+5)/(x-3)`.

Разложите многочлен x 4 — 13 x 2 + 36 на множители.

Применим к этому многочлену метод выделения полного квадрата.

Разложите на множители многочлен 4 x 2 + 4 x y — 3 y 2 .

Применяем метод выделения полного квадрата. Имеем:

( 2 x ) 2 + 2 · 2 x · y + y 2 — y 2 — 3 y 2 = ( 2 x + y ) 2 — 2 y 2 = = ( 2 x + y + 2 y ) ( 2 x + y — 2 y ) = ( 2 x + 3 y ) ( 2 x — y ) .

Применяя метод выделения полного квадрата, разложите на множители числитель и знаменатель и сократите дробь `<8x^2+10x-3>/<2x^2-x-6>`.

Разложение многочленов на множители. Метод выделения полного квадрата. Комбинация методов

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На данном уроке мы вспомним все ранее изученные методы разложения многочлена на множители и рассмотрим примеры их применения, кроме того, изучим новый метод — метод выделения полного квадрата и научимся применять его при решении различных задач.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Упрощение выражений»