Решение показательных уравнений
Презентация к уроку
Тип урока: урок изучения новой темы.
Продолжительность урока: 2 часа ( 90 минут).
Цели урока:
- образовательные: формирование понятия показательного уравнения; ознакомление учащихся с типами показательных уравнений; формирование умений и навыков решения показательных уравнений;
- развивающие: развитие познавательного интереса, логического мышления, интеллектуальных способностей; формирование математической речи;
- воспитательные: формировать эстетические навыки при оформлении записей в тетради и самостоятельность мышления у учащихся.
Задачи урока
- Повторить свойства показательной функции
- Отработать алгоритм решения показательных уравнений
- Научить учащихся различать типы показательных уравнений
- Научить учащихся решать показательные уравнения
1. Организационный этап.
“Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по–моему, гораздо важнее. Политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно. И решать их нужно правильно”.
Альберт Энштейн
На предыдущих уроках мы познакомились с показательной функцией, изучили ее свойства. Сегодня нам предстоит повторить свойства показательной функции, уметь применять их при решении показательных уравнений, рассмотреть примеры уравнений, предлагаемых на экзамене базового уровня.
а) представить в виде степени с основанием 2: 32; 0,5; 1; ;
б) вычислить ; ( 10 ; .
в) сколько точек пересечения имеют графики функций у = 2 х и у=16; у= 5 -х и у= 0,2; у=3 х и у = 7 х .
2. Объяснение новой темы. Решение показательных уравнений
Определение. Показательными называются уравнения, содержащие переменную в показателе степени.
Теорема. Если а > 1, а 1, то уравнение а f( x ) = a g (x ) равносильно уравнению f( x ) = g (x ).
1. Если b 0, то уравнение а f( x ) = b решений не имеет.
Пример. 5 х + 1 = -5 решений нет; 5 х + 1 = 0 решений нет.
2. Уравнение а f( x ) = 1 равносильно уравнению f ( x ) = 0 ( а f( x ) = а 0 равносильно уравнению f ( x ) = 0 ).
Пример.
- 2 4х +1 = 1,
- 2 4х +1 = 2 0 ,
- 4х +1 = 0,
- х = — 1 : 4,
- х = — 0,25.
3. Уравнение а f( x ) = a n равносильно уравнению f ( x ) = n.
а) 7 х = 7 2 , х = 2.
б) 7 х = 49, 7 х = 7 2 , тогда х = 2
в) 7 3х – 2 = 7 – 2 , 3х – 2 = — 2, 3х = 0, тогда х= 0
г) 7 2х = , 7 2х = 7 — 2 , 2х = -2 , тогда х = -1
4. Уравнение а f( x ) = b f (x ) равносильно уравнению , значит f ( x ) = 0.
Пример. 3 2х-1 = 5 2х-1 , , 2х-1=0, тогда х = .
5. Показательные уравнения, приводящиеся к линейному.
Рассмотрим уравнение, сводящееся к линейному с помощью вынесения за скобки общего множителя.
3 х+1 + 3 х =108, т.к. 3 х+1 = 3 х * 3 , то уравнение можно записать в виде 3 * 3 х + 3 х = 108; вынесем за скобки общий множитель 3 х , получим
6 х + 1 +35 * 6 х -1 = 71, вынесем за скобки наименьший множитель 6 х -1 , т.к. 6 х + 1 = 6 х-1 * 6 2 , то получим 6 х -1 ( 6 2 + 35) = 71,
2 х+1 + 2 х-1 +2 х = 28, вынесем за скобки наименьший множитель 2 х -1 , получим 2 х-1 (2 2 + 1 +2 ) = 28,
5 1-х + + = 155 ,
5 1-х + + = 155, вынесем общий множитель 5 -х за скобки, получим
5 – х ( 5 + 5 2 +1) = 155,
5 – х ( 5 + 25 +1) = 155,
7 3-х — 7 2 –х = 2 5 –х – 2 3 –х ,
7 * 7 2-х — 7 2 –х = 8 * 2 2 –х – 2 * 2 2 –х ,
7 2-х (7 — 1) = 2 2 –х (8 – 2),
7 2-х * 6 = 2 2 –х * 6, 7 2-х = 2 2 –х ,
,
6. Показательные уравнения, приводящиеся к квадратному.
Рассмотрим уравнение в общем виде Аа 2х + Ва х + С =0
Пусть а х = t и а 2х = t 2 , тогда Аt 2 + Вt + С =0 – квадратное уравнение.
т.к. 4 х = 2 2х = (2 х ) 2 ; пусть 2 х = t и 2 2х = t 2 , тогда
если t1=4, то 2 х = 4, х=2;
если t2=1, то 2 х = 1, х=0. Ответ: 0; 2.
,
,
пусть , тогда + 13t -12 = 0,
t1=, t2= 1,
= решения нет;
=,
7. Однородные показательные уравнения
Рассмотрим уравнение А.
Разделим почленно на . Получим уравнение , пусть , тогда уравнение принимает вид .
Пример. .
, разделим на , получим уравнение
, пусть , тогда
, t1 = 1, t2= ,
тогда , х=0 ;
и х = -1.
8. Задание. Определите, каким методом будем решать каждое уравнение
1)
2)
3) .
Вывод: Существуют методы решения показательных уравнений:
- Метод приведения степеней к одному основанию
- Вынесение общего множителя за скобки
- Метод замены переменной
- Метод почленного деления (однородные уравнения )
3. Подведение итогов урока.
“Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть – и в последствии подтвердить это, — что, следуя этому методу, мы достигнем цели.” Лейбниц.
4. Домашняя работа (задание на карточке уравнения п.8).
5. Рефлексия
- Сегодня на уроке я повторил .
- Сегодня на уроке я узнал .
- Сегодня на уроке я научился .
— Оцените свои знания и умения по данной теме.
Вынесение общего множителя за скобки
О чем эта статья:
5 класс, 6 класс, 7 класс
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Понятие вынесения множителя за скобки
Разложение многочлена на множители — это преобразование многочлена в произведение, которое равно данному многочлену.
Есть несколько способов разложения многочлена на множители. Один из них — вынесение общего множителя за скобки.
Вынести общий множитель за скобки можно в выражениях, которые представляют из себя суммы, в которых каждое слагаемое является произведением, причем в каждом произведении есть один одинаковый для всех множитель. Он так и называется — общий множитель.
Вынесение общего множителя за скобки — это преобразование многочлена в произведение с помощью распределительного свойства умножения. Только в случае вынесения множителя за скобки это свойство применяется справа налево.
Формула вынесения общего множителя за скобки:
Покажем метод вынесения общего множителя за скобки на примере с цифрами:
Определение общего множителя для всех членов многочлена производится пошагово:
- Если у каждого члена есть коэффициент — находим число, на которое делится коэффициент каждого члена, и выносим его за скобки.
- Находим переменные, которые встречаются в каждом члене. Переменные выносятся за скобки в наименьшей встречающейся степени.
- Определяем многочлен, который должен остаться в скобках. При этом многочлен должен иметь столько же членов, сколько было в исходном многочлене.
Если нам дано произведение 6 * 2 и 6 * 5, то мы можем вынести за скобки общий множитель 5. В чем состоит данное преобразование? Мы представляем исходное выражение как произведение общего множителя и выражения в скобках, которое содержит сумму всех исходных слагаемых, кроме общего множителя.
Итак, вынесем общий множитель 5 в 6 * 2 и 6 * 5 и получим 6 * (2 + 5).
Итоговое выражение — это произведение общего множителя 6 на выражение в скобках, которое является суммой исходных слагаемых без 6.
Так и получается: 6 * 2 + 6 * 5 = 6 * (2 + 5).
Правило вынесения общего множителя за скобки
Основное правило вынесения общего множителя за скобки
Чтобы вынести за скобки общий множитель, нужно записать исходное выражение в виде произведения общего множителя и скобок, которые включают в себя исходную сумму без общего множителя.
Алгоритм вынесения общего множителя за скобки:
- Найти наибольший общий делитель коэффициентов всех одночленов, которые входят в многочлен. Он и будет общим числовым множителем.
- Найти общую буквенную часть для всех членов многочлена. При этом выбрать наименьший показатель степени.
- Произведение коэффициента и общей буквенной части, которые мы нашли на первом и втором шагах, является общим множителем, который выносим за скобки.
- Делим каждый член многочлена на вынесенный множитель и полученный результат записываем в скобках.
Важно! В скобках должно быть столько одночленов, сколько их было в многочлене.
Рассмотрим простой пример вынесения. Дано числовое выражение 4 * 7 + 4 * 3 — 4 * 5, которое является суммой трех слагаемых и общего множителя 4. Возьмем за основу выведенное правило и запишем произведение иначе: 4 * (7 + 3 — 5).
Это и есть итог нашего преобразования. Запись всего решения выглядит так:
4 * 7 + 4 * 3 — 4 * 5 = 4 * (7 + 3 — 5).
Определить сразу, какой множитель является общим, получается не всегда. Иногда выражение нужно предварительно преобразовать, заменив числа и выражения тождественно равными им произведениями.
Рассмотрим разложение многочлена на множители методом вынесения за скобки общего множителя на примере многочлена: 12m — 6m — 3m. Ход решения:
Курсы ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.
Вынесение минуса за скобки
Еще один случай, на котором следует обратить внимание — это вынесение за скобки минуса. Только мы выносим не сам знак, а минус единицу. Часто это помогает упростить выражение и сделать его проще.
Пример 1. Вынести минус за скобки в выражении: -10 + (-1) + (-3)
Чтобы вынести минус за скобки, нужно записать перед скобками минус и в скобках записать все слагаемые с противоположными знаками:
Найдем решение для каждого выражения:
-(10 + 1 + 3) = -(14) = -14
Поэтому между выражениями можно поставить знак равенства, потому что они равны одному и тому же значению:
-10 + (-1) + (-3) = -(10 + 1 + 3)
Пример 2. Вынести минус за скобки в выражении: -3 + 5 + 11
Ставим минус и рядом в скобках записываем выражение с противоположным знаком у каждого слагаемого:
-3 + 5 + 11 = -(3 — 5 — 11)
Как и в прошлом примере, здесь за скобки вынесен не минус, а минус единица.
Вынесение за скобки общего множителя: правило, примеры
В рамках изучений тождественных преобразований очень важна тема вынесения общего множителя за скобки. В данной статье мы поясним, в чем именно заключается такое преобразование, выведем основное правило и разберем характерные примеры задач.
Понятие вынесения множителя за скобки
Чтобы успешно применять данное преобразование, нужно знать, для каких выражений оно используется и какой результат надо получить в итоге. Поясним эти моменты.
Вынести общий множитель за скобки можно в выражениях, представляющих собой суммы, в которых каждое слагаемое является произведением, причем в каждом произведении есть один множитель, общий (одинаковый) для всех. Он так и называется – общим множителем. Именно его мы будем выносить за скобки. Так, если у нас есть произведения 5 · 3 и 5 · 4 , то мы можем вынести за скобки общий множитель 5 .
В чем состоит данное преобразование? В ходе него мы представляем исходное выражение как произведение общего множителя и выражения в скобках, содержащего сумму всех исходных слагаемых, кроме общего множителя.
Возьмем пример, приведенный выше. Вынесем общий множитель 5 в 5 · 3 и 5 · 4 и получим 5 ( 3 + 4 ) . Итоговое выражение – это произведение общего множителя 5 на выражение в скобках, которое является суммой исходных слагаемых без 5 .
Данное преобразование базируется на распределительном свойстве умножения, которое мы уже изучали до этого. В буквенном виде его можно записать как a · ( b + c ) = a · b + a · c . Поменяв правую часть с левой, мы увидим схему вынесения общего множителя за скобки.
Правило вынесения общего множителя за скобки
Используя все сказанное выше, выведем основное правило такого преобразования:
Чтобы вынести за скобки общий множитель, надо записать исходное выражение в виде произведения общего множителя и скобок, которые включают в себя исходную сумму без общего множителя.
Возьмем простой пример вынесения. У нас есть числовое выражение 3 · 7 + 3 · 2 − 3 · 5 , которое является суммой трех слагаемых 3 · 7 , 3 · 2 и общего множителя 3 . Взяв за основу выведенное нами правило, запишем произведение как 3 · ( 7 + 2 − 5 ) . Это и есть итог нашего преобразования. Запись всего решения выглядит так: 3 · 7 + 3 · 2 − 3 · 5 = 3 · ( 7 + 2 − 5 ) .
Мы можем выносить множитель за скобки не только в числовых, но и в буквенных выражениях. Например, в 3 · x − 7 · x + 2 можно вынести переменную x и получить 3 · x − 7 · x + 2 = x · ( 3 − 7 ) + 2 , в выражении ( x 2 + y ) · x · y − ( x 2 + y ) · x 3 – общий множитель ( x 2 + y ) и получить в итоге ( x 2 + y ) · ( x · y − x 3 ) .
Определить сразу, какой множитель является общим, возможно не всегда. Иногда выражение нужно предварительно преобразовать, заменив числа и выражения тождественно равными им произведениями.
Так, к примеру, в выражении 6 · x + 4 · y можно вынести общий множитель 2 , не записанный в явном виде. Чтобы его найти, нам нужно преобразовать исходное выражение, представив шесть как 2 · 3 , а четыре как 2 · 2 . То есть 6 · x + 4 · y = 2 · 3 · x + 2 · 2 · y = 2 · ( 3 · x + 2 · y ) . Или в выражении x 3 + x 2 + 3 · x можно вынести за скобки общий множитель x , который обнаруживается после замены x 3 на x · x 2 . Такое преобразование возможно благодаря основным свойствам степени. В итоге мы получим выражение x · ( x 2 + x + 3 ) .
Еще один случай, на котором следует остановиться отдельно, – это вынесение за скобки минуса. Тогда мы выносим не сам знак, а минус единицу. Например, преобразуем таким образом выражение − 5 − 12 · x + 4 · x · y . Перепишем выражение как ( − 1 ) · 5 + ( − 1 ) · 12 · x − ( − 1 ) · 4 · x · y , чтобы общий множитель был виден более отчетливо. Вынесем его за скобки и получим − ( 5 + 12 · x − 4 · x · y ) . На этом примере видно, что в скобках получилась та же сумма, но с противоположными знаками.
В выводах отметим, что преобразование путем вынесения общего множителя за скобки очень часто применяется на практике, например, для вычисления значения рациональных выражений. Также этот способ полезен, когда нужно представить выражение в виде произведения, например, разложить многочлен на отдельные множители.
http://skysmart.ru/articles/mathematic/vynesenie-obshego-mnozhitelya-za-skobki
http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/vyrazhenija/vynesenie-za-skobki-obschego-mnozhitelja/