Решение уравнений многочленов 7 класс

Урок по алгебре в 7-м классе по теме: «Решение уравнений с применением приемов разложения многочлена на множители»

Разделы: Математика

Ребята, достаточно долго овладевая приёмами разложения многочлена на множители, подошли к моменту, когда необходимо систематизировать и обобщить изученные способы, попытаться сделать новые открытия и самое главное: найти интересное применение разнообразных приёмов разложения на множители к решению порой одинаковых по смыслу уравнений.

1. Что, значит, разложить многочлен на множители?

2. В каком случае произведение множителей равно 0?

3. Степень, какого числа равна нулю? 1??

4. Какие приёмы разложения на множители вам известны? (Вынесение общего множителя за скобки, группировка слагаемых с последующем вынесением общего множителя, с помощью формул сокращенного умножения).

5. Чему равны квадрат суммы, разности двух слагаемых?

6. Чему равна разность квадратов двух слагаемых?

На доске записаны уравнения:

По какому признаку можно разбить эти уравнения в группы? (Уравнения, содержащие многочлен второй степени. Уравнения, содержащие многочлен выше второй степени. Уравнение, содержащее многочлен второй степени, коэффициенты которого периодические дроби).

Нам предстоит решить эти уравнения, подбирая непохожие способы решения, несмотря порой на похожесть уравнений.

Предлагаю учащимся решить уравнение двумя способами. Вызываю к доске двух учеников.

Один ученик решает уравнение разбиением одночлена 6х на сумму двух одночленов, а другой – применением формулы сокращённого умножения – квадрата суммы:

Вопрос: Какой способ оказался более рациональным? (Конечно второй). Как его можно назвать?

(Выделение полного квадрата суммы)

Обсуждаем решение уравнения .

Можно ли решить уравнение, разбивая одно из слагаемых на два?

(да,)

А выделением полного квадрата суммы?

(затруднительно, так как, число 3 не является квадратом никакого рационального числа)

И всё-таки попробуем выделить полный квадрат суммы: дополните сумму первых двух слагаемых до квадрата суммы.

Как можно разложить многочлен в левой части уравнения на множители? (По формуле разности квадратов).

Сообразите, можно ли рассуждая аналогично решить уравнение ?

(Неудобное в данном случае число 5).

И все-таки, попробуем строго следовать формуле квадрата суммы при выделении полного квадрата:

Обратите внимание на коэффициенты уравнения . Какую закономерность можно заметить?

(Одинаково читаются слева направо)

Что происходит с показателями переменной x?

(Уменьшаются на один)

Выскажите предположение для многочлена в левой части уравнения.

(Многочлен х 4 +4х 3 +6х 2 +4х+1 есть (х+1) 4 ). Обоснуйте это.

(Построим треугольник Паскаля

14641 4-ая строка содержит коэффициенты возведения в 4-ую степень двучлена (х+1)

Итак, какой вид примет уравнение? Решите его устно.

Решите устно уравнение

Какими числами являются коэффициенты уравнения

(Периодическими десятичными дробями)

Обратите периодические дроби в обыкновенные и решите, получившееся уравнение.

(Правило обращения периодической десятичной дроби в обыкновенную: чтобы периодическую десятичную дробь обратить в обыкновенную, надо из числа, стоящего до второго периода, вычесть число, стоящее до первого периода, и сделать эту разность числителем, а в знаменателе написать цифру 9 столько раз, сколько цифр в периоде и после девятки дописать столько нулей, сколько цифр между запятой и первым периодом)

(Подберите рациональный способ решения и найдите корни уравнения, х=1 или )

Вновь обратимся к уравнению . Решим это уравнение методом неопределённых коэффициентов:

Сравните значения найденных корней со значениями переменных b и d. (Они противоположны)

Найденные корни подтверждают мысль о том, что независимо от способа решения корни не меняются.

Чем уравнение похоже на предыдущее?

(Коэффициент при х 2 равен 1)

Попробуем решить это уравнение устно, не применяя ни один из рассмотренных приёмов, но

принимая во внимание некоторые рассуждения в предыдущем случае:

Запишите разложение многочлена в виде произведения двучленов:

Тогда, скажите чему, будут равны значения выражений и по аналогии с предыдущими рассуждениями?

( Легко догадаться, что или наоборот).

Сообразите, чему будут равны корни уравнения?

Устно решите уравнения:

1. С каким новым способом решения квадратных уравнений вы познакомились?

(Выделение полного квадрата суммы или разности)

2. Как вы думаете, почему этот способ не всегда удобен?

(Например, в уравнении 3х 2 -2х-1=0 3х 2 не является квадратом рационального выражения)

3. Какое открытие вы сделали, применяя метод неопределённых коэффициентов для

решения квадратных уравнений, если коэффициент при равен 1?

(Чтобы найти корни, надо сначала найти два таких числа в и с, чтобы их сумма была равна второму коэффициенту, а произведение – третьему слагаемому. А корни будут равны числам, противоположным числам .

В 8 классе вы познакомитесь с ещё одним способом решения квадратных уравнений – по формулам. Узнаете, кто такой Франсуа Виет и какое отношение он имеет к нашему открытию.

Решение уравнений многочленов 7 класс

Выражение представляет собой сумму одночленов . Такие выражения называют многочленами.

Определение. Многочленом называется сумма одночленов.

Одночлены, из которых составлен многочлен, называют членами многочлена. Так, многочлен состоит из членов .

Если многочлен состоит из двух членов, его называют двучленом, если из трех членов — трехчленом. Одночлены считают многочленами, состоящими из одного члена.

В многочлене члены являются подобными слагаемыми, так как они имеют одну и ту же буквенную часть. Подобными слагаемыми являются и члены 2 и — 7, не имеющие буквенной части. Подобные слагаемые в многочлене называют подобными членами многочлена.

Сумму подобных членов можно заменить одним членом, сложив их коэффициенты и оставив ту же буквенную часть. Такое тождественное преобразование многочленов называют приведением подобных членов.

Выполнив приведение подобных членов в многочлене , получим:

Многочлен не содержит подобных членов, и каждый его член является одночленом стандартного вида. Такой многочлен называют многочленом стандартного вида.

Любой многочлен можно привести к стандартному виду. Для этого нужно каждый его член представить в стандартном виде и привести подобные члены.

Членами многочлена стандартного вида служат одночлены второй, пятой и нулевой степени. Наибольшую из этих степеней называют степенью многочлена. Таким образом, многочлен стандартного вида является многочленом пятой степени.

Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов. Степенью многочлена, не записанного в стандартном виде, называют степень тождественно равного ему многочлена стандартного вида.

Например, чтобы выяснить, какова степень многочлена , приведем его к стандартному виду:

Степень многочлена равна двум, поэтому и степень многочлена равна двум.

СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ

Составим сумму многочленов

Раскроем скобки и приведем подобные члены. Получим:

Сумму многочленов мы представили в виде многочлена . Вообще, сумму любых многочленов можно представить в виде многочлена.

Составим разность многочленов :

После раскрытия скобок и приведения подобных членов получим:

Разность многочленов мы представили в виде многочлена . Вообще, разность любых многочленов можно представить в виде многочлена.

Таким образом, при сложении и вычитании многочленов снова получается многочлен.

Иногда требуется несколько членов многочлена заключить в скобки. Тогда:

если перед скобками ставят знак «плюс», то члены, которые заключают в скобки, пишут с теми же знаками;

если перед скобками ставят знак «минус», то члены, заключаемые в скобки, пишут с противоположными знаками.

Полученные равенства являются тождествами. Убедиться в этом можно, раскрыв скобки в правой части каждого равенства.

УМНОЖЕНИЕ ОДНОЧЛЕНА НА МНОГОЧЛЕН

Составим произведение одночлена и многочлена

Преобразуем это произведение, используя распределительное свойство умножения:

Произведение одночлена и многочлена мы преобразовали в многочлен , умножив одночлен на каждый член многочлена и сложив полученные результаты.

Вообще, произведение одночлена и многочлена можно представить в виде многочлена.

При умножении одночлена на многочлен пользуются правилом:

Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.

При умножении одночлена на многочлен запись можно вести короче. Например,

Умножение одночлена на многочлен применяется при решении уравнений. Приведем примеры.

Пример 1. Решим уравнение Преобразуем левую часть уравнения, воспользовавшись правилом умножения одночлена на многочлен. Получим уравнение

Пример 2. Решим уравнение

Умножив обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей дробей, т. е. на число 18, получим:

ВЫНЕСЕНИЕ ОБЩЕГО МНОЖИТЕЛЯ ЗА СКОБКИ

Каждый член многочлена можно заменить произведением двух множителей, один из которых равен :

Полученное выражение на основе распределительного свойства можно представить в виде произведения двух множителей. Один из них — общий множитель , а второй — сумма :

Представление многочлена в виде произведения двух или нескольких многочленов (среди которых могут быть и одночлены) называют разложением многочлена на множители. Такое преобразование используется при решении уравнений, в вычислениях и в других случаях.

Примененный нами способ разложения многочлена на множители называют вынесением общего множителя за скобки.

Пусть требуется разложить на множители многочлен . Члены этого многочлена имеют различные общие множители: и другие. Целесообразно вынести за скобки . Вынесем за скобки, например, :

Обычно при вынесении общего множителя за скобки каждую переменную, входящую во все члены многочлена.

выносят с наименьшим показателем» который она имеет в данном многочлене. Если все коэффициенты многочлена — целые числа, то в качестве коэффициента общего множителя берут наибольший по модулю общий делитель всех коэффициентов многочлена.

Покажем, как вынесение множителя за скобки применяется при решении уравнений.

Решим, например, уравнение

В выражении вынесем за скобки множитель . Получим:

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, т. е. когда

Решая уравнение , находим:

Следовательно, произведение обращается в нуль при и при т. е. уравнение

Урок алгебры в 7 классе Тема урока: Решение уравнений способами разложения многочлена на множители

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Рычкова Ирина Владимировна

МБОУ СОШ №23 г. Симферополь,

Республика Крым, Россия

Учитель высшей категории

Урок алгебры в 7 классе

Тема урока: Решение уравнений способами разложения многочлена на множители

систематизировать и обобщить изученные способы, попытаться сделать новые открытия;

найти интересное применение разнообразных способов разложения на множители к решению порой одинаковых по смыслу уравнений.

формирование алгоритмического мышления;

формирование у учащихся навыков умственного труда — планирование своей работы, поиск рациональных путей ее выполнения, критическую оценку результатов;

способствовать формированию умения обобщать изучаемые факты; продолжать учить чётко и ясно излагать свои мысли.

эстетическое воспитание учащихся;

формирование представлений о математике как части общечеловеческой культуры.

Методы обучения : проблемный, частично-поисковый.

I . Организационный момент.

II . Устная работа:

1. Какие способы разложения многочлена на множители вы знаете?

2.Решить уравнения: х 2 = 0; х 2 = 1; х 2 = -1; х 2 = 9; (х — 2) 2 = 0; (х + 4) 2 = 0;

х 2 – 49 = 0; х 2 + 49 = 0;

(х — 5)(х + 8) = 0; х(х + 4)(2х — 1) = 0.

II . Закрепление умений и навыков.

На доске записаны уравнения, содержащие многочлен второй степени:

Нам предстоит решить эти уравнения, подбирая непохожие способы решения, несмотря на схожесть этих уравнений.

1) Решить эти уравнения, применяя формулы сокращённого умножения – квадрата суммы и разности:

Этот способ решения – выделение полного квадрата суммы или разности.

2) Можно ли решить эти уравнения выделением полного квадрата суммы?

(затруднительно, так как, число 3 и 21 не являются квадратом никакого рационального числа)

И всё-таки попробуем выделить полный квадрат суммы: дополним сумму первых двух слагаемых до квадрата суммы:

3) Можно ли решить уравнение х 2 + 5х – 6 = 0 таким же способом? (затруднительно, так как, число 5 не раскладывается на множители с числом 2 и третье слагаемое имеет знак минус -6) И все-таки, попробуем строго следовать формуле квадрата суммы при выделении полного квадрата:

4) Вновь обратимся к уравнению х 2 + 6х + 9 = 0. Можно ли решить это уравнение без выделения полного квадрата суммы?

Решим это уравнение разбиением одночлена 6х на сумму двух одночленов 3х+3х:

Аналогично: (вызвать ученика)

5) Решим уравнение х 2 — 3х + 2 = 0 разбиением одночлена -3х на сумму двух одночленов (-2х –х) и число 2 на 1+1

:

6) Вновь обратимся к уравнению х 2 + 4х + 3 = 0. Решим это уравнение методом неопределённых коэффициентов:

Сравните значения найденных корней со значениями переменных b и d. (Они противоположны)

Найденные корни подтверждают мысль о том, что независимо от способа решения корни не меняются.

Чем уравнение х 2 — 5х + 6 = 0 похоже на предыдущее? (Коэффициент при х 2 равен 1)

Попробуем решить это уравнение принимая во внимание некоторые рассуждения в предыдущем случае:

Запишите разложение многочлена х 2 + 5х + 6 в виде произведения двучленов:

х 2 + 5х + 6 = (х + b )(х + c )

Тогда, b + c = 5 и b∙c = 6. Легко догадаться, что b = 2, c = 3 или наоборот. Значит корни уравнения будут равны х = -2 или х = -3.

b + c = 5; b = 2; x₁ = -2;

b ∙ c = 6; c = 3; x₂ = -3.

Вывод: метод неопределённых коэффициентов для решения уравнений, содержащие многочлен второй степени, если коэффициент при х 2 равен 1? (Чтобы найти корни, надо сначала найти два таких числа b и с, чтобы их сумма была равна второму коэффициенту, а произведение – третьему слагаемому. А корни будут равны числам, противоположным числам b и c.

Аналогично: х 2 — 7х + 10 = 0

b + c = -7; b = -2; x₁ = 2;

b ∙ c = 10; c = -5; x₂ = 5.

III. Подведение итогов

Вы познакомились с новыми способами решения уравнений, содержащие многочлен второй степени: выделение полного квадрата суммы или разности, разбиение одночлена на сумму двух одночленов, метод неопределённых коэффициентов.

В 8 классе вы познакомитесь с ещё одним способом решения квадратных уравнений – по формулам. Узнаете, кто такой Франсуа Виет и какое отношение он имеет к нашему открытию.