Решение уравнений на множестве комплексных чисел
. Вы вводите его по ссылке решение уравнений онлайн , указываете, что i — это комплексная единица (после того как ввели уравнение и нажали кнопку «решить»), нажимаете кнопку под формой «Обновить» и получаете ответ как здесь. Если в ответе присутствуют корни из комплексных чисел, то можно воспользоваться калькулятором по упрощению комлексных чисел по ссылке
© Контрольная работа РУ — примеры решения задач
Решение уравнений с комплексными числами
Итак, необходимо решить уравнение с комплексными переменными, найти корни этого уравнения. Рассмотрим принцип решения комплексных уравнений, научимся извлекать корень из комплексного числа.
Для того, чтобы решить уравнение n-й степени с комплексными числами, используем общую формулу:
где |z| — модуль числа, φ = arg z — главное значение аргумента, n — степень корня, k — параметр, принимает значения : k = <0, 1, 2, 3, …n-1 >.
Пример 1. Найти все корни уравнения
Выразим z из уравнения:
Все корни заданного уравнения являются значениями корня третьей степени из комплексного числа
Воспользуемся общей формулой для вычисления корней степени n комплексного числа z. Найдем все необходимые значения для формулы:
Подставим найденные значения в формулу:
Последовательно подставляя вместо k значения 0, 1, 2 найдем три корня исходного уравнения.
Пример 2. Найти все корни уравнения
Найдем дискриминант уравнения:
Поскольку дискриминант отрицательный, уравнение имеет два комплексно-сопряженных корня. Вычислим корень из дискриминанта:
Найдем корни уравнения:
Ответ:
Пример 3. Найти все корни уравнения
Выразим z из уравнения:
Все корни заданного уравнения являются значениями корня четвертой степени из комплексного числа
Вновь используем общую формулу для нахождения корней уравнения n степени комплексного числа z.
n = 4 — количество корней данного уравнения. k = <0, 1, 2, 3>. Найдем модуль комплексного числа:
Подставим найденные значения в формулу:
Последовательно подставляя вместо k значения 0, 1, 2, 3 найдем все 4 корня уравнения:
Пример 4. Найти корни уравнения
Решение кубического уравнения комплексными числами:
Воспользуемся общей формулой для вычисления корней степени 3 комплексного числа z.
Найдем все необходимые значения для формулы:
Подставим найденные значения в формулу:
Последовательно подставляя вместо k значения 0, 1, 2 найдем три корня исходного уравнения:
Домашнее задание: Самостоятельно составить и решить уравнение с комплексными числами.
Условия: переменная z должна быть «спрятана» и представлена в качестве аргумента тригонометрической функции косинуса. Чтобы привести данное уравнение к привычной форме, нужно «вытащить» z, а для этого необходимо помнить, как решаются тригонометрические уравнения,а также знать, как применять свойства логарифмической функции от комплексного числа.
После того, как мы решили тригонометрическое уравнение с комплексным числом, получаем «голый» z, который представлен в качестве аргумента обратной тригонометрической функции. Чтобы преобразовать данное выражение, нужно использовать формулу разложения арккосинуса в логарифм.
Вместо z — выражение (3i/4) и дальше все делаем по приведенной выше формуле, преобразовывая выражение под корнем, используя свойства мнимой единицы i.
Как быть далее? Теперь будем использовать формулу для решения выражения с натуральным логарифмом.
Для того чтобы найти корни логарифмического уравнения, нужно найти модуль комплексного числа |z| и его аргумент φ = arg z. По сути, перед нами чисто мнимое число.
Теперь предлагаем ознакомиться с формулами, которые могут пригодиться при решении уравнений или неравенств с комплексными числами. Это формулы, где комплексное число выступает в роли аргумента тригонометрической функции, логарифмической функции или показательной функции.
Учебное пособие: Комплексные числа
Название: Комплексные числа Раздел: Рефераты по математике Тип: учебное пособие Добавлен 13:49:20 12 июня 2011 Похожие работы Просмотров: 45866 Комментариев: 26 Оценило: 7 человек Средний балл: 4.3 Оценка: 4 Скачать | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
_ | _ | |||||||||||||
_ | _ | |||||||||||||
_ | ||||||||||||||
Всякий многочлен степени n ³ 1 имеет, по крайней мере, один нуль, действительный или комплексный
Доказательство этой теоремы выходит за рамки нашего курса. Поэтому примем теорему без доказательства.
Поработаем по этой теореме и по теореме Безу с многочленом Pn (x ).
После n -кратного применения этих теорем получим, что
,
гдеa 0 — это коэффициент при x n в Pn (x ).
Следствие из основной теоремы алгебры. О разложении многочлена на линейные множители
Любой многочлен степени на множестве комплексных чисел разлагается на n линейных сомножителей, то есть
Разложение многочлена на линейные множители ,(6)
гдех1, х2, … хn — это нули многочлена.
При этом если k чисел из набора х 1, х 2, … хn совпадают между собой и с числом a, то в произведении (6) получается множитель (x – a)k . Тогда число x = a называется k-кратным нулем многочлена Pn ( x ) . Если k = 1, то нуль называется простым нулем многочлена Pn ( x ) .
1)P 4(x ) = (x – 2)(x – 4)3 Þx 1 = 2 — простой нуль, x 2 = 4 — трехкратный нуль;
Свойство 4 (о количестве корней алгебраического уравнения)
Любое алгебраическое уравнение Pn(x) = 0 степени n имеет на множестве комплексных чисел ровно n корней, если считать каждый корень столько раз, какова его кратность.
1)x 2 – 4x + 5 = 0 — алгебраическое уравнение второй степени
Þx 1,2 = 2 ± = 2 ±i — два корня;
2)x 3 + 1 = 0 — алгебраическое уравнение третьей степени
Þx 1,2,3 = — три корня;
Разделим многочлен P 3(x ) на (x – 1):
x 3 | + | x 2 | – | x | – | 1 | x – 1 |
x 3 | – | x 2 | x 2 + 2x +1 | ||||
2x 2 | – | x | |||||
2x 2 | – | 2x | |||||
x | – | 1 | |||||
x | – | 1 | |||||
0 |
Þx 1 = 1 — простой корень, x 2 = –1 — двукратный корень.
Если алгебраическое уравнение с действительными коэффициентами имеет комплексные корни, то эти нули всегда парные комплексно сопряженные, то есть если x 0 = a + bi является корнем уравнения Pn (x ) = 0, то число также является корнем этого уравнения.
w нужно использовать определение и следующие легко проверяемые свойства операции комплексного сопряжения:
если , то ;
; ; , ;
если – действительное число, то .
Так как является корнем уравнения , то
, где , – действительные числа.
Возьмем сопряжение от обеих частей последнего равенства и используем перечисленные свойства операции сопряжения:
, то есть число также удовлетворяет уравнению , следовательно, является его корнем, ч.т.д. v
1) – парные комплексно сопряженные корни;
2) .
Любой многочлен с действительными коэффициентами разлагается на произведение линейных и квадратичных функций с действительными коэффициентами.
w Пусть x 0 = a + bi — нуль многочлена Pn (x ). Если все коэффициенты этого многочлена являются действительными числами, то тоже является его нулем (по свойству 5).
Вычислим произведение двучленов :
комплексный число многочлен уравнение
Получили (x – a )2 + b 2 — квадратный трехчленс действительными коэффициентами.
Таким образом, любая пара двучленов с комплексно сопряженными корнями в формуле (6) приводит к квадратному трехчлену с действительными коэффициентами. v
Примеры решения алгебраических уравнений на множестве комплексных чисел (Приведите примеры решения алгебраических уравнений на множестве комплексных чисел )
1. Алгебраические уравнения первой степени:
, – единственный простой корень.
.
Ответ: .
2. Квадратные уравнения:
, – всегда имеет два корня (различных или равных).
1) .
Ответ: .
2) .
Ответ: .
3) ,.
Ответ: , .
3. Двучленные уравнения степени :
, – всегда имеет различных корней.
,
;
;
.
Ответ: , .
4. Решить кубическое уравнение .
Уравнение третьей степени имеет три корня (действительные или комплексные), при этом нужно считать каждый корень столько раз, какова его кратность. Так как все коэффициенты данного уравнения являются действительными числами, то комплексные корни уравнения, если они есть, будут парными комплексно сопряженными.
Подбором находим первый корень уравнения , так как .
По следствию из теоремы Безу . Вычисляем это деление «в столбик»:
_ | |||||
_ | |||||
_ | |||||
Представляя теперь многочлен в виде произведения линейно и квадратного множителя, получим:
.
Другие корни находим как корни квадратного уравнения:
.
Ответ: , .
5. Составить алгебраическое уравнение наименьшей степени с действительными коэффициентами, если известно, что числа x 1 = 3 и x 2 = 1 + i являются его корнями, причем x 1 является двукратным корнем, а x 2 — простым.
Число тоже является корнем уравнения, т.к. коэффициенты уравнения должны быть действительными.
Всего искомое уравнение имеет 4 корня: x 1, x 1, x 2, . Поэтому его степень равна 4. Составляем многочлен 4-й степени с нулями x 1, x 1, x 2, по формуле (6):
Þ
.
Искомое уравнение имеет вид P 4(x ) = 0.
Ответ: .
1. Сформулируйте определение комплексного числа
3. Какое название или смысл имеет формула?
4. Поясните смысл обозначений в этой формуле:
5. ⌂ .
7. Что такое действительная часть комплексного числа z?
9. Что такое комплексно сопряженное число?
11. Что такое комплексный ноль?
13. Сформулируйте смысл комплексного равенства.
15. Что такое модуль и аргумент комплексного числа?
17. Что такое аргумент комплексного числа?
18. Какое название или смысл имеет формула?
19. Поясните смысл обозначений в этой формуле:
20. ⌂ .
21. Что такое алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа?
22. Какое название или смысл имеет формула?
23. Поясните смысл обозначений в этой формуле:
24. ⌂ .
25. Что называется алгебраической формой комплексного числа?
27. Дайте определения и перечислите основные свойства арифметических действий над комплексными числами.
28. Какое название или смысл имеет формула?
29. Поясните смысл обозначений в этой формуле:
31. Какое название или смысл имеет формула?
32. Поясните смысл обозначений в этой формуле:
33. ⌂ .
34. Какое название или смысл имеет формула?
35. Поясните смысл обозначений в этой формуле:
36. ⌂ .
37. Что такое формула Муавра?
38. Какое название или смысл имеет формула?
39. Поясните смысл обозначений в этой формуле:
40. ⌂ .
41. Что называется корнем степени n из комплексного числа?
42. Какое название или смысл имеет формула?
43. Поясните смысл обозначений в этой формуле:
44. ⌂ .
45. Что называется показательной формой комплексного числа?
46. Какое название или смысл имеет формула?
47. Поясните смысл обозначений в этой формуле:
48. ⌂ .
49. Что такое формулы Эйлера?
50. Какое название или смысл имеет формула?
51. Поясните смысл обозначений в этой формуле:
52. ⌂ .
53. Что называется целой функцией?
55. Что называется полиномом?
57. Что такое коэффициенты многочлена?
59. Что называется нулем функции?
61. Перечислите основные свойства многочленов.
63. Сформулируйте свойство о делении многочлена на разность (x – х0).
64. Сформулируйте теорему теорема Безу .
65. Какое название или смысл имеет формула?
66. Поясните смысл обозначений в этой формуле:
67. ⌂ .
69. Сформулируйте теорему теорема алгебры основная.
70. Какое название или смысл имеет формула?
71. Поясните смысл обозначений в этой формуле:
72. ⌂ .
73. Что называется k-кратным нулем многочлена?
75. Сформулируйте свойство о количестве корней алгебраического уравнения.
78. Сформулируйте свойство о разложении многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратичные множители.
k-кратным нулем многочлена называется. (стр. 18)
алгебраическим многочленом называется. (стр. 14)
алгебраическим уравнением n-й степени называется. (стр. 14)
алгебраической формой комплексного числа называется. (стр. 5)
аргумент комплексного числа это. (стр. 4)
действительная часть комплексного числа z это. (стр. 2)
комплексно сопряженное число это. (стр. 2)
комплексный ноль это. (стр. 2)
комплексным числом называется. (стр. 2)
корнем степени n из комплексного числа называется. (стр. 10)
корнем уравнения называется. (стр. 14)
коэффициенты многочлена это. (стр. 14)
мнимая единица это. (стр. 2)
мнимая часть комплексного числа z это. (стр. 2)
модулем комплексного числа называется. (стр. 4)
нулем функции называется. (стр. 14)
показательной формой комплексного числа называется. (стр. 11)
полиномом называется. (стр. 14)
простым нулем многочлена называется. (стр. 18)
противоположное число это. (стр. 2)
степень многочлена это. (стр. 14)
тригонометрической формой комплексного числа называется. (стр. 5)
http://matematyka.ru/reshenie-uravnenij-s-kompleksny-mi-chislami/
http://www.bestreferat.ru/referat-218105.html