Решение уравнений неравенств и их систем конспект

Разработка урока алгебры в 9 классе «Решение уравнений и систем уравнений и неравенств»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Урок алгебры в 9 классе

Тема урока: Решение уравнений и систем уравнений и неравенств.

обобщить и систематизировать знания по изученной теме, вырабатывать навык применения изученных способов решения уравнений, систем уравнений и систем неравенств

развивать математический кругозор, речь, внимание, память, развивать умение выделять главное в изучаемом материале, обобщать

содействовать воспитанию общей культуры, умению общаться

а) Назовите корни уравнения.

x 4 – 26x 2 + 25 = 0, 4x 4 – 5x 2 + 1 = 0,

x 4 – 17x 2 + 16 = 0, 5x 4 + 4x 2 – 9 = 0.

б) Имеет ли решение система уравнений, ответ объяснить:

в) Найдите целые решения системы уравнения:

x (x + y + z) = 20, x (x – y + z) = 12,

y (x + y + z) = 30, y (x – y + z) = 9,

z ( x + y + z ) = 50/ z ( x – y + z ) = 6.

г) Что является графиком уравнения:

y – 3 x +5 =0, y + x 2

xy = -12. ( x -4) 2 + ( y -7) 2 =5.

Во время устного счёта два ученика на закрытых досках.

x 4 + 5 x 3 + 6x 2 +5x +1 = 0

решите систему неравенств:

x 2 + y 2 > 2 ,

решить систему уравнений:

решите систему неравенств:

На доске два уравнения.

Как их решить? Ученики указывают способ и двое решают у доски, остальные на месте.

а) ( x 2 + 6 x ) 2 – 10( x 2 – 6 x ) +21 =0,

б) ( x + 1)( x + 2)( x + 3)( x + 4) =24.

Следующее уравнения решают самостоятельно, проверяя только ответ.

в) (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x +7) = -15.

После разбора данных уравнений проверяем решение уравнений 1 ученика. (карточка №1)

Как называются уравнения такого вида?

Как решать возвратные уравнения?

Намечаем план решения уравнений.

x 3 – 3x 2 – 3x + 1 = 0.

6x 4 – 35x 3 + 62x 2 – 35x +6 = 0.

6x 4 + 5x 3 – 38x 2 +5x +6 = 0.

Каждый выбирает уравнение своего уровня.

I и II разбираем решения, I уравнение с пояснением на доске, в это время II ученик решает самостоятельно, если есть затруднения за помощью обращается к классу.

Уравнение III учитель проверяет и оценивает решение.

Мы выполнили и разобрали способы решения уравнений, а теперь обратим внимание на второе задание, которое решали ученики у доски.

Проверим и оценим решение 1 ученика. Решение второго ученика оценивает учитель.

После этого ученики самостоятельно решают системы неравенств, выбираем задание своего уровня.

x 2 + y 2 ≤ 16, x 2 + y 2 ≤ 49, x 2 + y 2 ≤ 36,

y ≤ — x +4. | x | ≥ 6. xy ≤ 0.

Решение данных уравнений проверяем по готовым чертежам. Разбираем ошибки, если они есть.

Каким способом можно решить системы уравнений?

Сегодня на уроке мы вспомним способы аналитического решения систем.

x y = 1. Введение новой переменной.

б) x 2 + y 2 – 2 x – 3 y = -1,

x 2 + y = 10. Сложение.

в) x 2 + y 2 = 100,

( x – 7 y )( x + 7 y ) = 0. Разложение на множители.

г) x 2 + y 2 = 100,

xy = 48. Способ подстановки.

ИТОГОМ нашей сегодняшней работы на уроке будет самостоятельная работа. Вы сами определите, какой из указанных вариантов готовы сегодня выполнить.

Покажите штриховкой на плоскости множество точек удовлетворяющих неравенству:

а) y > | x | ; б) | y | > x ; в) | y | > | x |

Какие задачи вам понравились больше?

Понравился ли урок?

Довольны ли вы уроком?

За что ты можешь себя похвалить?

Над чем ещё нужно работать?

Комфортно ли было вам на уроке?

Самостоятельная работа по уровням

а) x 4 – 5x +4 = 0; б) ( x + 1 ) (x + 3)(x + 5)(x + 7) = 945.

решить систему неравенств:

решить систему уравнений:

a)

x 2 – 3xy – 2y 2 = 2,

а) 4x 4 – 5x 2 +1 = 0; б) 2x 3 + 7x 2 + 7x +2 = 0.

решить систему неравенств:

решить систему уравнений:

а ) x 2 + xy + 2y 2 = 49,

б ) x 2 + y 2 = 29,

а) x 4 + 17x 2 + 16 = 0; б) 5x 4 — 12x 3 + 14x 2 +12x + 5 = 0.

решить систему неравенств:

решить систему уравнений:

а ) x 2 + y 2 = 100,

б ) x + y + xy = 11,

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 920 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 685 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 309 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 582 292 материала в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Другие материалы

• 25.03.2020
• 76
• 0

• 25.03.2020
• 149
• 5

• 25.03.2020
• 745
• 135

• 25.03.2020
• 372
• 10

• 25.03.2020
• 189
• 2

• 25.03.2020
• 236
• 8

• 25.03.2020
• 153
• 0

• 25.03.2020
• 530
• 24

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 25.03.2020 219
• DOCX 55 кбайт
• 6 скачиваний
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Евдокимова Светлана Ивановна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 1 год и 10 месяцев
• Подписчики: 1
• Всего просмотров: 1180
• Всего материалов: 6

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В Забайкалье в 2022 году обеспечат интернетом 83 школы

Время чтения: 1 минута

Объявлен конкурс дизайн-проектов для школьных пространств

Время чтения: 2 минуты

Полный перевод школ на дистанционное обучение не планируется

Время чтения: 1 минута

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

В Курганской области дистанционный режим для школьников продлили до конца февраля

Время чтения: 1 минута

В Ростовской и Воронежской областях организуют обучение эвакуированных из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Конспект урока по теме «Уравнения, неравенства и их системы»

Урок «Решение квадратных уравнений с параметром» 8 класс

Тип урока: введение нового материала.

Актуализация опорных знаний.

Форма работы: фронтальная.

Учитель: назовите общий вид квадратного уравнения.

Учитель: какое уравнение называют неполным квадратным уравнением?

Ученик: если в квадратном уравнении ах 2 +bх+с=0 хотя бы один из коэффициентов в или с равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением.

Просмотр содержимого документа
«Конспект урока по теме «Уравнения, неравенства и их системы»»

Конспект урока по теме «Уравнения, неравенства и их системы»

Урок «Решение квадратных уравнений с параметром» 8 класс

Тип урока: введение нового материала.

Актуализация опорных знаний.

Форма работы: фронтальная.

Учитель: назовите общий вид квадратного уравнения.

Учитель: какое уравнение называют неполным квадратным уравнением?

Ученик: если в квадратном уравнении ах 2 +bх+с=0 хотя бы один из коэффициентов в или с равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением.

Учитель: Рассмотрим следующее задание. При каких значениях а уравнение является квадратным? Назовите это уравнение.

Ученик: при а=1 уравнение является квадратным. Квадратное уравнение 3х 2 +2х-5=0.

Ученик: при а=-2 уравнение является квадратным. Квадратное уравнение 4х 2 -2х-7=0.

Ученик: ни при каких а уравнение является квадратным.

Учитель: при каком значении а один из корней уравнения ах 2 -3х-5=0 равен 1?

Ученик: а∙1 2 -3∙1-5=0, а-3-5=0, а=8. Ответ: при а=8 один из корней уравнения ах 2 -3х-5=0 равен 1.

Учитель: при каких значениях а уравнение 2х 2 -(а-3)х-5а=0 является неполным квадратным? Назовите это уравнение.

Ученик: 1) при а =3 уравнение 2х 2 -(а-3)х-5а=0 является неполным квадратным; неполное квадратное уравнение 2х 2 -15=0. 2) при а=0 уравнение 2х 2 -(а-3)х-5а=0 является неполным квадратным; неполное квадратное уравнение2х 2 +3х=0.

Изучение нового материала.

Учитель: Прочитайте определение «Что значит решить уравнение с параметром».

Ученик: решить уравнение с параметром – это значит показать, каким образом для любого значения параметра можно найти соответствующее множество корней уравнения, если корни существуют, или установить, что при этом значении параметра корней нет.

(прошу одного из учеников воспроизвести определение). Чувствуете трудность?

Учитель: тогда познакомимся с решением уравнений с параметром на практике.

Перейдем к следующему заданию. Решите квадратное уравнение

Всегда ли это уравнение квадратное?

Ученик: Нет. Если а=0, то уравнение линейное: х -1=0; его корень х=1.

Если а≠0, то уравнение квадратное.

Учитель: Найдите дискриминант уравнения, если а≠0.

а) D=(a+1) 2 = , если a=-1, то D=0 и квадратное уравнение

б) ах 2 +(1-а)х -1=0 имеет 1 корень. Если a≠-1, то D0 и квадратное уравнение в) ах 2 +(1-а)х -1=0 имеет 2 корня. Выражение (a+1) 2 всегда ≥0, поэтому D

Учитель: Примените формулу корней квадратного уравнения и найдите корни квадратного уравнения при a≠-1.

х= х=

х₁= . х₂= .

Примените формулу корней квадратного уравнения и найдите корни квадратного уравнения при a=-1.

x=

Учитель: Запишите ответ.

Ответ: 1. Если а≠0: 1) a≠-1, то х₁=1; х₂= . 2)a=-1, то x= .

Всегда ли это уравнение квадратное?

Ученик: Да, это уравнение всегда квадратное.

Учитель: Найдите дискриминант уравнения.

D=9 =3

Учитель: Примените формулу корней квадратного уравнения.

х= х=

х=

Учитель: Запишите ответ.

Учитель: Перейдем к следующему заданию. Решите уравнение:

Для любого ли a уравнение является квадратным?

Ученик: Да, это уравнение всегда квадратное.

Учитель: Найдите дискриминант уравнения.

D=9 =3

Учитель: Примените формулу корней квадратного уравнения.

х= х=

х=

Учитель: Запишите ответ.

Учитель: Рассмотрим алгоритм решения «квадратного» уравнения с параметром:

1.Найти значения параметра a, при которых уравнение не является квадратным (коэффициент при х 2 =0).

2.Решить уравнение при этих значениях параметра a.

3.Решить квадратное уравнение относительно x: выразить дискриминант через a и найти значения, при которых D0, DD=0.

4.Выразить корни уравнения при всех значениях параметра a. (D0, DD=0)

Закрепление изученного материала.

Учитель: Перейдем к закреплению каждого шага алгоритма на практике. Читаем задание. Найдите значение параметра, при которых уравнение не является квадратным?

Ученик: 3-2a=0; -2a=-3; a=

в) (4- )х 2 +х +3=0.

Ученик: 4- =0; — ; a=8

Учитель: Перейдем к следующему шагу алгоритма и упражнениям на его закрепление. Выполните задание: Решите уравнение.

Ученик: (3-2∙ )х 2 +х -7=0; x-7=0; x=7

в) (4- )х 2 +х +3=0.

Ученик: (4- )х 2 +х +3=0; х +3=0; x=-3

Учитель: Перейдем к следующему шагу алгоритма. Выполните задание: Выразить дискриминант квадратного уравнения. Найти значения a, при которых D0, DD=0.

Ученик:

0; a

Ученик:

=0; D=48; a₁= ; a₂= ;

D0 при a . Dпри a . D=0 при a=

в) (1-2a)х 2 +(1- а)х +2=0

Ученик:

D=232; a₁= ; a₂=

D0 при a . Dпри a . D=0 при a=

Учитель: Перейдем к последнему шагу алгоритма. Выполните задание: Выразить корни квадратного уравнения, если известен дискриминант этого уравнения.

(-a+1)х 2 —aх — =0; D=(a-1) 2 =

Ученик: а) Если a=1, то D=0, уравнение имеет 1 корень.
б) Если a≠1, то D0, уравнение имеет 2 корня.
в) (a-1) 2 D

а) x=

б) х= ; х= ; х₁= ; x₂=

Ученик: а) Если a=0, то D=0, уравнение имеет 1 корень.
б) Если -8a0, aD0, уравнение имеет 2 корня.
в) Если -8aa0, то D

а) x=

б) х= ; х= ; х₁= ; x₂= ;

Ученик: а) Если a=2, то D=0, уравнение имеет 1 корень.
б) Если 8-4a0, -4a-8, aD0, уравнение имеет 2 корня.
в) Если 8-4aaa2, то D

а) x=

б) х= ; х= ; х₁= ; x₂=

Учитель: Итак, повторим алгоритм решения квадратных уравнений с параметром.

1.Найти значения параметра a, при которых уравнение не является квадратным (коэффициент при х 2 =0).

2.Решить уравнение при этих значениях параметра a.

3.Решить квадратное уравнение относительно x: выразить дискриминант через a и найти значения, при которых D0, DD=0.

4.Выразить корни уравнения при всех значениях параметра a. (D0, DD=0)

Закрепление шагов алгоритма.

Учитель: Решите квадратное уравнение с параметром.

2. (a 2 -5)x 2 -(a-4)x

3. ( )x 2 -(a-1)x

Учитель: Запишем домашнее задание.

(a 2 -5)x 2 -(2a-5)x

( )x 2 -(2a-1)x

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №3. Квадратные уравнения, неравенства и их системы.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• систематизация знаний учащихся о решении квадратных уравнений и неравенств;
• установление зависимости количества и расположения корней квадратного уравнения от его коэффициентов и значения дискриминанта;
• способы решения квадратных уравнений и неравенств с параметрами.

Глоссарий по теме:

Параметр — (от греч. parametron — отмеривающий) в математике, величина, числовые значения которой позволяют выделить определенный элемент из множества элементов того же рода.

Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Базовый и углублённый уровни. — М.: Просвещение, 2017.

Ткачева М. В., Федорова Н. Е. Алгебра и начала математического анализа. Тематические тесты. 10 класс. Базовый и профильный уровни. 2016.

Шабунин М. И., Ткачева М. В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы. 10 класс. Профильный уровень. 2016.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

В курсе средней школы будут рассматриваться показательные, логарифмические, тригонометрические уравнения и неравенства. Чтобы облегчить дальнейшее изучение специальных уравнений, нужно уметь решать квадратные уравнения и неравенства, устанавливать и объяснять зависимость вида решения от его коэффициентов и дискриминанта, представлять геометрическую интерпретацию задач.

На уроке будем рассматривать различные способы решения квадратных уравнений.

Как определить, сколько корней имеет уравнение, подскажет дискриминант.

Дискриминант – это число, которое находим по формуле

Если D 0 два корня.

Если дискриминант D> 0 , корни можно найти по формуле:

Если D = 0 , то

Рассмотрите пример. Решить уравнение

Шаг 1. Выпишем коэффициенты a, b, c.

Шаг 2. Найдем дискриминант. D=16.

Шаг 3. Запишем формулу корней и подставим значения. Вычислим значения корней:

1.Перед решением квадратного уравнения привести его к стандартному виду.

2. Избавьтесь от минуса перед . Для этого надо умножить всё уравнение на -1.

3. Если в уравнении есть дробные коэффициенты, умножьте уравнение на общий знаменатель.

4. Проверяйте корни по теореме Виета. Это просто, когда a=1.

Рассмотрите другие формулы:

, где второй коэффициент b=2k – четное число.

Приведенное квадратное уравнение , старший коэффициент равен a= 1, проще решать по теореме Виета.

Уравнение (х-3) (х+5) =0 является квадратным. Для его решения воспользуйтесь свойством: произведение равно 0, когда один из множителей равен 0.

Осталось вспомнить, как решаются неполные квадратные уравнения. Неполные — значит один или два коэффициента равны нулю.

Для решения систем уравнений применяются все методы решения: подстановки, сложения, графический.

Рассмотрим несколько примеров:

Если из одного из уравнений можно выразить х или у, применяем метод подстановки. Выразите х из первого уравнения и подставьте во второе. Решите и найдите корни.

Применяем метод сложения. Выполнив сложение, получаем уравнение , далее x= ±5. Находим у= ±2. Составляем возможные пары чисел.

Записываем ответ: (5; 2), (5; -2), (-5; 2), (- 5; -2).

Пример 3. Иногда проще ввести новые переменные.

Пусть xy=u, x+y=v. Тогда систему можно записать в более простом виде:

Решение смотри в примере 1.

Часть 2. Квадратные неравенства.

Теперь, когда мы разобрали решение квадратных уравнений, переходим к решению квадратных неравенств
ax^2+ bx + c больше или меньше нуля.

Шаг 1. Запишем соответствующее неравенству квадратное уравнение и найдем его корни. Отметим корни на оси OХ и схематично покажем расположение ветвей параболы «вверх» или «вниз».

Шаг 2. Расставим на оси знаки, соответствующие знаку квадратичной функции: там, где парабола выше оси, ставим +, а там, где ниже –.

Шаг 3. Выписываем интервалы, соответствующие знаку неравенства. Если неравенство нестрогое, корни входят в интервал, если строгое не входят.

Вспомните возможные случаи расположения корней на оси и ветвей параболы в зависимости от коэффициента а и дискриминанта.

Метод интервалов упрощает схему решения. По-прежнему находим корни квадратного трехчлена, расставляем на числовой прямой. Определяем знаки на интервалах + или – по схеме:

если а>0 + — +, если а 0 ветви вверх. Парабола выше оси, все значения положительны, значит х- любое число. Неравенство не имеет решений.

Далее рассмотрим схему решения системы неравенств.

Алгоритм решения системы неравенств.

1.Решить первое неравенство системы, изобразить его графически на оси x.

2.Решить второе неравенство системы, изобразить его графически на оси x.

3.Выбрать в ответ те участки, в которых решение первого и второго неравенств пересекаются. Записать ответ.

Теперь, когда мы разобрали решение квадратных уравнений и неравенств переходим к решению самых сложных заданий с параметрами. Если в уравнении или неравенстве некоторые коэффициенты заданы не числовыми значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, а само уравнение или неравенство параметрическим.

Первый шаг в решении — найти особое значение параметра.

Второй шаг – определить допустимые значения.

Если в задаче требуется определить знаки корней квадратного уравнения, то, как правило, удобнее использовать теорему Виета.

Но прежде, чем применять теорему Виета, обязательно нужно проверить, что уравнение имеет корни! Для этого вычисляем дискриминант.

Рассмотрите примеры решения неравенства с параметром.

Графический метод решения обладает несомненным преимуществом – можно представить решение наглядно.

Для любого свойства, сформулированного на алгебраическом языке, нужно уметь давать геометрическую интерпретацию и, наоборот, по поведению графика параболы дать общую оценку коэффициентов квадратного трехчлена и его корней.

Например, если старший коэффициент квадратного трехчлена меньше 0, то ветви параболы направлены вниз. Если дискриминант больше 0, то трехчлен имеет различные действительные корни и парабола пересекает ось абсцисс в двух точках и т.д.

Мы рассмотрели лишь некоторые примеры, иллюстрирующие применение графического метода к решению квадратных уравнений и неравенств. Более подробно с методами решения квадратных уравнений, неравенств, их систем вы можете, поработав с интерактивными моделями.

Задания тренировочного модуля с разбором.

При каких значениях параметра, а квадратное уравнение

имеет только один корень?

Находим дискриминант D=25-4∙2∙5a=25-40a. Уравнение имеет один корень, если D=0, т.е. 25-40a=0, а=5/8.

Определите, на каком интервале значения квадратного трехчлена отрицательны?

Решаем неравенство: . Находим дискриминант квадратного трехчлена D= 1-4∙2∙ (-1) =1+8=9. Находим корни . Расставляем точки на числовой прямой.