Решение уравнений переменной знаком модуля
Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля
При решении таких уравнений применяют чаще всего следующие методы: а) раскрытие модуля; b) возведение обеих частей уравнения в квадрат; с) разбиение на промежутки.
Пример 2.4.1. Решить уравнение
Решение
а) Так как по определению
то исходное уравнение равносильно следующей совокупности двух смешанных систем:
Из первой системы этой совокупности находим x = 2, а из второй x = –1.
b) Так как обе части исходного уравнения – выражения одинаковых знаков, то оно равносильно следующему уравнению:
Решая последнее уравнение, находим те же корни.
Пример 2.4.2. Решить уравнение
Решение
Нанесем на числовую прямую значения x, которые обращают в нуль выражения, находящиеся под знаком модуля, т.е. x = –4 и x = 3. Числовая прямая при этом
разобьется на следующие промежутки:
На каждом из этих промежутков будем решать уравнение, эквивалентное исходному, но не содержащее знака абсолютной величины, т.е. решим равносильную исходному уравнению следующую совокупность смешанных систем:
Решений первая и третья системы не имеют, а вторая система имеет решение x = 0. Объединяя решения этих трех систем, получаем решение исходного уравнения: x = 0.
Уравнения с модулем
Эта статья посвящена приёмам решения различных уравнений и неравенств, содержащих
переменную под знаком модуля.
Если на экзамене вам попадётся уравнение или неравенство с модулем, его можно решить,
вообще не зная никаких специальных методов и пользуясь только определением модуля. Правда,
занять это может часа полтора драгоценного экзаменационного времени.
Поэтому мы и хотим рассказать вам о приёмах, упрощающих решение таких задач.
Прежде всего вспомним, что
Рассмотрим различные типы уравнений с модулем. (К неравенствам перейдём позже.)
Слева модуль, справа число
Это самый простой случай. Решим уравнение
Есть только два числа, модули которых равны четырём. Это 4 и −4. Следовательно, уравнение
равносильно совокупности двух простых:
Второе уравнение не имеет решений. Решения первого: x = 0 и x = 5.
Переменная как под модулем, так и вне модуля
Здесь приходится раскрывать модуль по определению. . . или соображать!
Уравнение распадается на два случая, в зависимости от знака выражения под модулем.
Другими словами, оно равносильно совокупности двух систем:
Решение первой системы: . У второй системы решений нет.
Ответ: 1.
Первый случай: x ≥ 3. Снимаем модуль:
Число , будучи отрицательным, не удовлетворяет условию x ≥ 3 и потому не является корнем исходного уравнения.
Выясним, удовлетворяет ли данному условию число . Для этого составим разность и определим её знак:
Значит, больше трёх и потому является корнем исходного уравнения
Стало быть, годятся лишь и .
Ответ:
Квадратные уравнения с заменой |x| = t
Поскольку , удобно сделать замену |x| = t. Получаем:
Модуль равен модулю
Речь идёт об уравнениях вида |A| = |B|. Это — подарок судьбы. Никаких раскрытий модуля по определению! Всё просто:
Например, рассмотрим уравнение: . Оно равносильно следующей совокупности:
Остаётся решить каждое из уравнений совокупности и записать ответ.
Два или несколько модулей
Не будем возиться с каждым модулем по отдельности и раскрывать его по определению — слишком много получится вариантов. Существует более рациональный способ — метод интервалов.
Выражения под модулями обращаются в нуль в точках x = 1, x = 2 и x = 3. Эти точки делят числовую прямую на четыре промежутка (интервала). Отметим на числовой прямой эти точки и расставим знаки для каждого из выражений под модулями на полученных интервалах. (Порядок следования знаков совпадает с порядком следования соответствующих модулей в уравнении.)
Таким образом, нам нужно рассмотреть четыре случая — когда x находится в каждом из интервалов.
Случай 1: x ≥ 3. Все модули снимаются «с плюсом»:
Полученное значение x = 5 удовлетворяет условию x ≥ 3 и потому является корнем исходного уравнения.
Случай 2: 2 ≤ x ≤ 3. Последний модуль теперь снимается «с минусом»:
Полученное значение x также годится — оно принадлежит рассматриваемому промежутку.
Случай 3: 1 ≤ x ≤ 2. Второй и третий модули снимаются «с минусом»:
Мы получили верное числовое равенство при любом x из рассматриваемого промежутка [1; 2] служат решениями данного уравнения.
Случай 4: x ≤ 1 ≤ 1. Второй и третий модули снимаются «с минусом»:
Ничего нового. Мы и так знаем, что x = 1 является решением.
Модуль в модуле
Начинаем с раскрытия внутреннего модуля.
1) x ≤ 3. Получаем:
Выражение под модулем обращается в нуль при . Данная точка принадлежит рассматриваемому
промежутку. Поэтому приходится разбирать два подслучая.
1.1) Получаем в этом случае:
Это значение x не годится, так как не принадлежит рассматриваемому промежутку.
1.2) . Тогда:
Это значение x также не годится.
Итак, при x ≤ 3 решений нет. Переходим ко второму случаю.
Здесь нам повезло: выражение x + 2 положительно в рассматриваемом промежутке! Поэтому никаких подслучаев уже не будет: модуль снимается «с плюсом»:
Это значение x находится в рассматриваемом промежутке и потому является корнем исходного уравнения.
Так решаются все задачи данного типа — раскрываем вложенные модули по очереди, начиная с внутреннего.
Читайте также о том, как решать неравенства с модулем.
Тема урока: «Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля»
Разделы: Математика
Тип урока: урок обобщения и систематизации учебного материала.
Форма урока: урок-практикум.
Класс: 11.
Предмет: алгебра и начала анализа.
Тема: “Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля”
Цели:
- Актуализировать знания: модуль числа и свойства модуля; совершенствовать умение при решении уравнений, содержащих переменную под знаком модуля, применять методы: раскрытие модуля по определению; возведение обеих частей уравнения в квадрат; метод разбиения на промежутки.
- Развивать интеллектуально-логические умения и математические способности;
- Воспитывать адаптивность к современным условиям обучения, воспитывать личность, интегрированную в современное общество.
I. Организационный момент.
II. Мотивация деятельности учащихся.
Сообщение целей и задач урока. Принятие учащимися целей урока.
III. Актуализация опорных знаний.
1. Определение модуля. Модулем (абсолютной величиной) действительного числа х называется само это число, если х > 0, и противоположное ему число –х, если х 0.
-|x| 3 – 15x 2 + x + 7.
По определению модуля 
Уравнение |x – 7| = x 3 – 15x 2 + x + 7 равносильно следующей совокупности двух смешанных систем:
Ответ: 0; 
Уравнение вида |f(x)| = |g(x)|.
|x 5 -6x 2 +9x-6| = |x 5 -2x 3 +6x 2 -13x+6|.
|x 5 -6x 2 +9x-6| > 0 и |x 5 -2x 3 +6x 2 -13x+6| > 0.
Так как обе части уравнения неотрицательны, то данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
Решив каждое из уравнений, получим:
х = 0; х = ± 
.
Ответ: 0; ± 
; 1; 2; 3.
|2x + 1| + |5 — 3x| + 1 — 4x = 0.
1. По определению модуля
2. Hайдём критические точки:
2х + 1 = 0; 5 — 3х = 0.
3. Hули функции разбивают числовую ось на промежутки.
4. Решим уравнение на каждом из промежутков:
Уравнение, записанное без знака модуля на промежутках х 
, равносильно совокупности смешанных систем:
Ответ: 
; 3.
Ученик может выбрать любой из трёх уровней примеров. Первый уровень оценивается оценкой “3”, второй “4”, третий “5”. Решение в тетрадях с последующим объяснением своего решения в группах. Наиболее сложные задания решаются у доски. Решения проверяются и записываются в тетрадях. Оставшиеся задания выполняются дома.
V. Самостоятельная работа.
Самостоятельная письменная работа по вариантам
на отдельных листах с последующей сдачей учителю вместе с диагностическими листами
Вариант 2
А
x 2 +|x-1|-5=0. (МФТИ 1999)
Б
|2x+8|-|x-5|=12 (МГУ 2000)
В
|6x 3 -2x 2 +4x-33|=10x-35 (МФТИ)
Методы решения уравнений, содержащих переменную под знаком модуля.
Алгоритм решения уравнений, содержащих переменную под знаком модуля.
VII. Домашнее задание.
Решить три уравнения различного уровня.
Индивидуальные задания.
2. | | 3х + 2| — 5х| = 14;
3. | 2 — | 3х — 1| | = х 2 + 1;
4. | 3х – 1| + | 2х — 4| = | х 2 — 1| + 4;
5. | х + 2| — | 3х — 4| + | 2х + 7| — = | х + 5|.
http://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/uravneniya-i-neravenstva-s-modulem/
http://urok.1sept.ru/articles/313822