Решение уравнений по информатике 10

Решение уравнений по информатике 10

Это символы не жёстко привязаны к соотв. операциям, можно использовать другие.

Примеры логических выражений

С применением отрицания

Со знаком «эквивалентно»

Со знаком «следствие»

С применением конъюкции и дизъюнкции

С применением Не-и и Не-или

В калькуляторе вы сможете упростить выражения, содержащие следующие операции: NOT, XOR, AND, OR, NAND, NOR, NOT

© Контрольная работа РУ — калькуляторы онлайн

Где учитесь?

Для правильного составления решения, укажите:

Урок по информатике и ИКТ на тему «Системы логических уравнений: решение с помощью битовых цепочек» (10 класс физико-информационный профиль)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Кейс «Системы логических уравнений: решение с помощью битовых цепочек»

Предмет: Информатика и ИКТ

Класс: 10 кл физико-информационный профиль (а также 11кл при подготовке к ЕГЭ).

Время занятия: 2 урока

Вид кейса: обучающий

Тип кейса: аналитический

Тема урока: Решение Систем логических уравнений с помощью битовых цепочек.

Цель: Выработка умений и навыков аналитической деятельности при решении логических уравнений. Выработка умений и навыков обучающихся к работе со специальным набором учебно-методических материалов (кейсом) по решению логических задач и максимально активизировать каждого обучающегося в самостоятельную работу по решению кейса.

обобщить знания о преобразовании логических выражений;

освоить новый метод решений систем логических уравнений;

развивать инициативу, любознательность, умственную активность;

формировать коммуникативные навыки, умения вырабатывать и аргументировать самостоятельные решения, навыки сотрудничества в группах.

Оборудование: набор учебно-методических материалов (кейс) для самостоятельной работы, компьютеры подключенные к Интернету и локальной сети, мультимедиа проектор, интерактивная доска.

Во время проведения ЕГЭ-2011 в контрольно-измерительных материалах (КИМ) впервые появилась задача, в которой требовалось найти количество решений системы логических уравнений. Автором этой интересной и сложной задачи, давшей начало целому классу задач, был Сергей Федорович Сопрунов, известный, в частности, своими методическими материалами по преподаванию языка Лого. Ему же в основном принадлежат идеи, на которых основаны приводимые далее решения.

При первом знакомстве с задачей состояние учеников (и учителей!) было близко к шоковому, об этом говорит и крайне низкий процент выполнения этого задания на
ЕГЭ- 2011 — 3,2% (значительно меньше, чем для самой сложной задачи по программированию, С4). В прошедшие годы (2012–2014) эта задача прочно обосновалась в КИМ, не смотря на многочисленные претензии учителей информатики. В первую очередь это связано с тем, что она действительно оказалась сложной. Многие педагоги, в том числе и в известных на всю страну физико-математических школах, открыто рекомендуют своим ученикам не решать эту задачу вообще или решать ее в последнюю очередь, когда все остальное решено и осталось свободное время. В то же время, как показал опыт, задача является хорошим ориентиром при изучении логики и позволяет сильным ученикам проявить себя при сдаче ЕГЭ.

Учителями информатики было предложено несколько методов решения систем логических уравнений, большинство из которых сводилось к последовательному подключению уравнений: сначала вычисляется количество решений первого уравнения, потом — системы из первых двух уравнений и т.д. К сожалению, все решения этого типа получаются достаточно громоздкими [4–7]. Тем не менее процент выполнения этого задания уже через год повысился до 13,2% [8]. К сожалению, аналитические отчеты Федеральной комиссии за 2013 и 2014 годы не публиковались, поэтому отследить дальнейшее развитие ситуации по официальным источникам невозможно.

Актуальна ли эта проблема для вас?

Какова причина данной ситуации?

Как собираетесь выходить из данной ситуации?

Удовлетворяют ли вас известные вам методы решения систем логических уравнений?

Как вы считаете есть ли альтернативные методы решения данных задач?

Решение — битовый вектор.

Учитель сообщает тему урока и дает комментарии об объеме работ, формулирование вместе с учащимися цели и задач урока, ознакомление с критериями оценок и прогнозируемого результата, объяснение порядка работы с кейсом. (Так как работа рассчитана на 2 урока учащиеся заранее к первому уроку знакомятся с частью материала кейса – повторение ранее изученного материала: логические операции, законы логики, методы преобразования логических выражений) Основные материалы кейса обучающиеся получают непосредственно на занятии и работают с ним, также знакомятся с рекомендованной учителем дополнительной литературой, часть заданий по работе с кейсом выполняется дома индивидуально каждым. Ознакомление обучающихся с заданием кейса в бумажном и электронном виде (в школьных компьютерах через локальную сеть и Дневник. ru дома).

Первый этап дискуссии — организация дискуссии в подгруппах:

— обсуждение решения по заданию кейса, поиск аргументов и решений (обучающийся, познакомившись с заданием, самостоятельно анализирует ситуацию, представляют свои решения в дискуссии с другими членами подгруппы);

— выбор лучшего решения в рамках подгруппы и организация презентаций решений в подгруппах.

Второй этап дискуссии (второй урок –организация общей дискуссии в классе для принятия окончательных решений:

— выступления подгрупп, каждая группа предлагает свою версию выполненного задания (публичная, устная презентация решений);

— участие в обсуждении обучающихся других подгрупп;

— участие в обсуждении учителя.

Итоговая стадия работы над кейсом — заключительная презентация результатов решения задания (сравнение нескольких вариантов решения). Затем идет обобщающее выступление учителя — анализ ситуаций и оценивание работы каждой подгруппы учителем.

Применяя ранее полученные знания и новую информацию (материалы кейса) освоить альтернативный метод решения характерных типов задач с системами логических уравнений, затрачивая минимум усилий и используя максимум знаний?

Учитель предъявляет кейс, проясняет смыслы представленных в нем заданий. Учащиеся разбиваются на мини группы, знакомятся с представленной информацией. Учатся применять имеющиеся знания по пройденному теоретическому материалу (алгебра логики) для решения логических систем уравнений. Делают умозаключения (индуктивное и по аналогии) и выводы по решению данного типа задач на основе аргументации.

Решение — битовый вектор

Пусть задана некоторая система логических (часто говорят — булевых) уравнений от переменных x1 x2,…, xN вида

Слово “логических” означает, что переменные x1 x2,…, xN — логические, то есть принимают значения 0 или 1, и выражения F1. FM, зависящие от этих переменных, — тоже логические (множество их возможных значений — <0, 1>). Решением этой системы называется такой вектор значений X x1x2…xN , при котором все уравнения обращаются в тождества. Поскольку все переменные, входящие в решение X, логические (0 или 1), все решение можно рассматривать как цепочку нулей и единиц длиной N. Такие цепочки называют битовыми цепочками, или битовыми векторами.

При анализе систем логических уравнений удобно не исключать поочередно неизвестные, как это часто делается при решении алгебраических уравнений, а рассматривать битовый вектор–решение как целое, как единый объект. Результатом такого анализа будет описание множества векторов-решений, которое позволит подсчитать количество решений.

Как и в случае алгебраических уравнений, до того, как исследовать возможные решения, систему бывает полезно упростить или использовать замену переменных.

Для начала мы разберем несколько простых уравнений и систем, а затем перейдем к более сложным, которые использовались в задачах ЕГЭ прошлых лет. Отметим, что для проверки правильности решений систем логических уравнений можно использовать бесплатную программу, которая размещена на сайте [4].

Подведение итогов – второй урок.

Представление результатов групповой работы.

Проверка правильности решений систем логических уравнений используя бесплатную программу, которая размещена на сайте [4]. Обсуждение. Экспертиза между группами результатов работы групп по поиску по поиску оптимального решения для каждой из предложенных задач.

Что нужно знать:

таблицы истинности логических операций «И», «ИЛИ», «НЕ», «ЕСЛИ…, ТО…», «ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА»

правила преобразования логических выражений;

Решение логических задач в 10-м профильном классе

Урок №1

Цель урока: познакомить с основными способами решения логических задач.

Задачи урока:

• повторить материал по темам «Логические функции» и «Логические законы и правила преобразования логических выражений»;
• познакомить с основными способами решения логических задач;
• научить решать логические задачи, используя законы логики;
• продолжить работу по развитию логического мышления, памяти, внимательности, аккуратности при работе в тетради;
• побудить познавательный интерес к решению логических задач.

Дополнительные материалы: задачник (приложение 1), презентации (приложение 2, приложение 3).

Ход урока

I. Организационный момент (1мин).

II. Проверка домашнего задания. Повторение (5мин).

Примечание: для повторения используется презентация (приложение 2).

III. Изучение нового материала (20мин).

Примечание: объяснение материала проходит с помощью презентации (приложение 3).

Давным-давно в одной из восточных стран был знаменитый оракул. В отличие от остальных оракулов, его устами вещало не одно божество, а целых три: бог Правды, бог Лжи и бог Дипломатии. Эти божества изображались совершенно одинаковыми фигурами, расположенными в ряд за алтарем, перед которым преклоняли колени люди, ищущие совета. Боги всегда охотно отвечали на вопросы. Но так как они были похожи друг на друга, никто не мог определить, то ли отвечает бог Правды, которому надо верить, то ли бог Лжи, который говорит всегда неправду, то ли бог Дипломатии, который может либо солгать, либо сказать правду. Такое положение было на руку жрецам, ибо любой ответ оракула можно было толковать как угодно.

Но однажды нашелся кощунственный смельчак, который задумал совершить то, что не удавалось самым большим мудрецам. Он решил опознать каждого из богов.

Смельчак вошел в храм и спросил бога, стоящего слева:

– Кто стоит рядом с тобой?

– Бог Правды, – ответил тот.

Тогда смельчак спросил бога, стоящего в центре:

– Бог Дипломатии, – был ответ.

Последний вопрос смельчак задал богу, стоявшему справа:

– Кто стоит рядом с тобой?

– Бог Лжи, – ответил бог.

– Теперь все понятно, – довольно сказал смельчак.

Что же он понял из ответов богов? (Вопрос к классу).

Эта задача принадлежит к классу логических задач, разнообразие которых очень велико. Способов их решения тоже немало. Сегодня на уроке мы с вами научимся решать логические задачи – станем смельчаками или Шерлоками Холмсами, которые могут распознавать лжецов, преступников и распутывать сложные ситуации.

Наибольшее распространение получили следующие четыре способа решения логических задач:

• с помощью рассуждений;
• средствами алгебры логики;
• табличный способ;
• с помощью графов.

На этом уроке мы рассмотрим первые два способа решения логических задач: с помощью рассуждений и средствами алгебры логики.

Решение логических задач с помощью рассуждений

Этим способом обычно решают несложные логические задачи.

Задача №1. Три девочки – Роза, Маргарита и Анюта представили на конкурсе корзины из выращенных ими роз, маргариток и анютиных глазок. Девочка, вырастившая маргаритки, обратила внимание Розы на то, что ни у одной из девочек имя не совпадает с названием любимых цветов. Какие цветы вырастила каждая из девочек?

Решение.

1. Девочка, вырастившая маргаритки, обратила внимание на то, что ни у одной из девочек имя не совпадает с названием выращенных цветов, поэтому можно записать следующие условия:
   а) Аня вырастила не анютины глазки.
   б) Маргарита вырастила не маргаритки.
   в) Роза вырастила не розы.
2. Из диалога Розы и девочки, вырастившей маргаритки, следует, что Роза вырастила не маргаритки. Поэтому она могла вырастить либо розы, либо анютины глазки. Учитывая условие в), получаем, что Роза вырастила анютины глазки.
3. В связи с условием б) и предыдущим выводом очевидно, что Маргарита вырастила розы.
4. Следовательно, Аня вырастила маргаритки.

Ответ. Роза вырастила анютины глазки, Маргарита – розы, Аня – маргаритки.

Задача №2. Вадим, Сергей и Михаил изучают различные иностранные языки: китайский, японский и арабский. На вопрос, какой язык изучает каждый из них, один ответил: «Вадим изучает китайский, Сергей не изучает китайский, Михаил не изучает арабский». Впоследствии выяснилось, что в этом ответе только одно утверждение верно, а два других ложны. Какой язык изучает каждый из молодых людей?

Решение.

1. Имеются три утверждения:
   а) Вадим изучает китайский;
   б) Сергей не изучает китайский;
   в) Михаил не изучает арабский.
2. Если верно первое утверждение, то верно и второе, так как юноши изучают разные языки. Это противоречит условию задачи, поэтому первое утверждение ложно.
3. Если верно второе утверждение, то первое и третье должны быть ложны. При этом получается, что никто не изучает китайский. Это противоречит условию, поэтому второе утверждение тоже ложно.
4. Остается считать верным третье утверждение, а первое и второе – ложными. Следовательно, Вадим не изучает китайский, изучает китайский Сергей.
5. Так как Михаил не изучает арабский, то он может изучать лишь японский. Тогда Вадим изучает арабский.

Ответ. Китайский изучает Сергей, Вадим – арабский, Михаил – японский.

Решение логических задач средствами алгебры логики

Обычно используется следующая схема решения:

1. изучается условие задачи;
2. вводится система обозначений для логических высказываний;
3. конструируется логическая формула, описывающая логические связи между всеми высказываниями условия задачи;
4. определяются значения истинности этой логической формулы;
5. из полученных значений истинности формулы определяются значения истинности введенных логических высказываний, на основании которых делается заключение о решении.

Задача №3. Виновник ночного дорожно-транспортного происшествия скрылся с места аварии. Первый из опрошенных свидетелей сказал работникам ГИБДД, что это были «Жигули», первая цифра номера машины – единица. Второй свидетель сказал, что машина была марки «Москвич», а номер начинался с семерки. Третий свидетель заявил, что машина была иностранная, номер начинался не с единицы. При дальнейшем расследовании выяснилось, что каждый из свидетелей правильно указал либо только марку машины, либо только первую цифру номера. Какой марки была машина и с какой цифры начинался номер?

Решение.

Введем обозначения для логических высказываний: Ж – это «Жигули»; М – это «Москвич»; И – это иностранная машина; Е – номер машины начинается с единицы; С – номер машины начинается с семерки.

Запишем высказывания свидетелей в наших обозначениях:

Из того факта, что каждый из свидетелей правильно указал либо только марку машины, либо только первую цифру номера, получаем три истинных составных высказывания:

Если все эти истинные высказывания логически перемножить, то получим следующее истинное логическое высказывание:

Для решения задачи нужно определить, при каких значениях логических переменных Ж, М, И, Е, С это высказывание истинно.

Упростим выражение, учитывая те обстоятельства, что машина не может быть одновременно и марки «Жигули», и марки «Москвич», и иностранного происхождения, а также то, что номер машины не может одновременно начинаться с единицы и с семерки:

При выводе мы также использовали закон противоречия и закон исключения констант.Высказывание истинно только при Ж=1, М=0, И=0, Е=0, С=1. Таким образом, мы установили, что виновником дорожно-транспортного происшествия была машина марки «Жигули», номер которой начинался с цифры семь.

Ответ. Машина марки «Жигули», номер которой начинался с цифры семь.

Задача №4. В клуб служебного собаководства на очередную тренировку пришли со своими собаками Антон, Борис, Петр, Виктор и Олег. Желая подшутить над новым инструктором, на вопрос: «Кто же хозяин каждой из собак?» каждый юноша дал один правильный и один неправильный ответ. Антон сказал: «Моя собака – Рекс, а собака Петра – Лайма». Борис сказал: «Рекс – моя собака, а собака Виктора – Джек». Петр сказал: «Собака Виктора – Зевс, а моя собака – Рекс». Виктор сказал: «Моя собака – Джек, а собака Олега – Бичо». Олег сказал: «Да, моя собака – Бичо, а собака Бориса – Зевс». Кто же на самом деле хозяин каждой собаки?

Решение.

Обозначим высказывательную форму «Юноша X – хозяин собаки Y» как и запишем получившиеся логические выражения. Из высказываний молодых людей и того факта, что одно из высказываний истинно, а другое ложно, следуют истинные составные высказывания:

Если все эти истинные высказывания логически перемножить, то получим следующее истинное высказывание:

Выполните преобразование этого высказывания с учетом того, что у каждого хозяина только одна собака и у каждой собаки только один хозяин.

В результате преобразований получим следующее равносильное высказывание:

которое истинно только при .

Ответ. Петр – хозяин Лаймы, Борис – Рекса, Виктор – Зевса, Олег – Бичо, Антон – Джека.

IV. Закрепление материала (10мин).

Примечание: у доски решает один учащийся, остальные оформляют решение задач в тетради. Вторую задачу может решить другой учащийся.

1) Вернемся к задаче об оракуле и попробуем решить ее одним из способов.

Примечание: способ решения определяет сам учащийся.

Ответ. Слева – бог Дипломатии, в центре – бог Лжи, справа – бог Правды.

2) Решите логическую задачу №16 из задачника (приложение 1).

Ответ. Победителем этапа гонки стал Шумахер.