Решение уравнений по теореме безу онлайн

Деление многочленов столбиком

Алгоритм деления в столбик применяется в частности при нахождении интегралов.

• Решение онлайн
• Видеоинструкция

Пример деления в столбик . Найти частное деления и остаток многочлена:

№1.

№2.

№3.

Целая часть: x 2 -9x -27
Остаток: -123

Таким образом, ответ можно записать как:
см. также и другие примеры решение столбиком.

Пример №1 . Найти частное и остаток от деления многочлена на многочлен:
P(x)=2x 5 +3x 3 -x 2 +4x+1, Q(x)=2x 2 -x+1

Пример №2 . Не производя деление найти остаток от деления многочлена на двучлен:
P(x)=-x 4 +6x 3 -2x 2 +x-2, Q(x)=x-6
Решение. Выделим общий множитель (x-6).
-x 3 (x-6)-2x(x-6)-12x+x-2 = -x 3 (x-6)-2x(x-6)-11(x-6)-66-2 = -x 3 (x-6)-2x(x-6)-11(x-6)-68
Остаток от деления: -68/(x-6)

Теорема Безу. Схема Горнера.

Теорема Безу.

Теорема Безу, невзирая на кажущуюся простоту и очевидность, является одной из базовых теорем теории многочленов. В данной теореме алгебраические характеристики многочленов (они позволяют работать с многочленами как с целыми числами) связываются с их функциональными характеристиками (которые позволяют рассматривать многочлены как функции).

Теорема Безу утверждает, что остаток от деления многочлена на многочлен — это .

Коэффициенты многочлена лежат в неком коммутативном кольце с единицей (к примеру, в поле вещественных либо комплексных чисел).

Теорема Безу — доказательство.

Делим с остатком многочлен P(x) на многочлен (x-a):

Исходя из того, что deg R(x) deg (x-a) = 1 — многочлен степени не выше нуля. Подставляем , так как , получаем .

Но наиболее важна не именно теорема, а следствие теоремы Безу:

1. Число — корень многочлена P(x) тогда и только тогда, когда P(x) делится без остатка на двучлен x-a.

Исходя из этого – множество корней многочлена P(x) тождественно множеству корней соответствующего уравнения x-a.

2. Свободный член многочлена делится на любой целый корень многочлена с целыми коэффициентами (когда старший коэффициент равен единице – все рациональные корни целые).

3. Предположим, что — целый корень приведенного многочлена P(x) с целыми коэффициентами. Значит, для любого целого число делится на .

Теорема Безу дает возможность, найдя один корень многочлена, искать дальше корни многочлена, степень которого уже на 1 меньше: если , то данный многочлен P(x) будет выглядеть так:

Т.о., один корень найден и дальше находят уже корни многочлена , степень которого на 1 меньше степени начального многочлена. Иногда таким методом — называется понижением степени — находят все корни данного многочлена.

Теорема Безу примеры:

Найти остаток от деления многочлена на двучлен .

Теорема Безу примеры решения:

Исходя из теоремы Безу, искомый остаток соответствует значению многочлена в точке . Тогда найдем , для этого значение подставляем в выражение для многочлена вместо . Получаем:

Ответ: Остаток = 5.

Схема Горнера.

Схема Горнера – это алгоритм деления (деление схемой Горнера) многочленов, записываемый для частного случая, если частное равно двучлену .

Построим этот алгоритм:

Предположим, что — делимое

— частное (его степень, вероятно, будет на удиницу меньше), r — остаток (т.к. деление осуществляется на многочлен 1-ой степени, то степень остатка будет на единицу меньше, т.е. нулевая, таким образом, остаток это константа).

По определению деления с остатком P(x) = Q(x) (x–a) + r. После подстановки выражений многочленов получаем:

Раскрываем скобки и приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях, после чего выражаем коэффициенты частного через коэффициенты делимого и делителя:

Удобно вычисления сводить в такую таблицу:

В ней выделены те клетки, содержимое которых участвует в вычислениях на очередном шаге.

Схема Горнера примеры:

Пусть надо поделить многочлен на двучлен x–2.

Составляем таблицу с двумя строками. В 1 строку выписываем коэффициенты нашего многочлена. Во второй строке будем получать коэффициенты неполного частного по следующей схеме: в первую очередь переписываем старший коэффициент данного многочлена, далее, дабы получить очередной коэффициент, умножаем последний найденный на а=2 и складываем с соответствующим коэффициентом многочлена F(x). Самый последний коэффициент будет остатком, а все предыдущие – коэффициентами неполного частного.

Решение задач по математике онлайн

//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘

Калькулятор онлайн.
Деление многочлена на многочлен (двучлен) столбиком (уголком)

С помощью данной математической программы вы можете поделить многочлены столбиком.
Программа деления многочлена на многочлен не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс решения для того чтобы проконтролировать знания по математике и/или алгебре.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Если вам нужно или упростить многочлен или умножить многочлены, то для этого у нас есть отдельная программа Упрощение (умножение) многочлена

Немного теории.

Деление многочлена на многочлен (двучлен) столбиком (уголком)

В алгебре деление многочленов столбиком (уголком) — алгоритм деления многочлена f(x) на многочлен (двучлен) g(x), степень которого меньше или равна степени многочлена f(x).

Алгоритм деления многочлена на многочлен представляет собой обобщенную форму деления чисел столбиком, легко реализуемую вручную.

Для любых многочленов \( f(x) \) и \( g(x) \), \( g(x) \neq 0 \), существуют единственные полиномы \( q(x) \) и \( r(x) \), такие что
$$ \frac = q(x)+\frac $$
причем \( r(x) \) имеет более низкую степень, чем \( g(x) \).

Целью алгоритма деления многочленов в столбик (уголком) является нахождение частного \( q(x) \) и остатка \( r(x) \) для заданных делимого \( f(x) \) и ненулевого делителя \( g(x) \)

Пример

Разделим один многочлен на другой многочлен (двучлен) столбиком (уголком):
$$ \frac $$

Частное и остаток от деления данных многочленов могут быть найдены в ходе выполнения следующих шагов:
1. Делим первый элемент делимого на старший элемент делителя, помещаем результат под чертой \( (x^3/x = x^2) \)

2. Умножаем делитель на полученный выше результат деления (на первый элемент частного). Записываем результат под первыми двумя элементами делимого \( (x^2 \cdot (x-3) = x^3-3x^2) \)

3. Вычитаем полученный после умножения многочлен из делимого, записываем результат под чертой \( (x^3-12x^2+0x-42-(x^3-3x^2)=-9x^2+0x-42) \)

4. Повторяем предыдущие 3 шага, используя в качестве делимого многочлен, записанный под чертой.

5. Повторяем шаг 4.

6. Конец алгоритма.
Таким образом, многочлен \( q(x)=x^2-9x-27 \) — частное деления многочленов, а \( r(x)=-123 \) — остаток от деления многочленов.

Результат деления многочленов можно записать в виде двух равенств:
\( x^3-12x^2-42 = (x-3)(x^2-9x-27)-123 \)
или
$$ \frac = x^2-9x-27 + \frac<-123> $$