Решение уравнений приравненных к нулю 7 класс

Решение уравнений методом разложения на множители

Решение уравнений разложения на множители (метод расщепления) – это способ решения уравнений при котором мы стремимся уравнение свести их к виду:

а затем каждую скобку приравнять к нулю и решить как отдельное уравнение.

Вынесем за скобку икс.

Разобьем уравнение на два простейших.

В первом корень уравнения уже понятен, во втором надо перенести \(5\) в правую сторону.

Решение методом разложения на множители основывается на простой идее:

В результате умножения ноль можно получить, только если один из множителей равен нулю.

Попробуйте придумать два числа, которые при умножении дают ноль. Вы убедитесь, что хотя бы одно из них обязательно должно быть нулем.

Этот метод решения уравнений один из самых популярных, поэтому освоить его очень важно для тех, кто планирует иметь четверки и пятерки. А для освоения этого метода, конечно, надо уметь раскладывать на множители как Бог: знать все формулы сокращенного умножения, легко выносить множители за скобки, уметь применять метод группировки и т.д. Подробнее о всех способах разложения на множители смотри здесь .

Пример(задание из ОГЭ). Решите уравнение \(x^3+4x^2-4x-16=0\).
Решение:

Перед нами кубическое уравнение.
Применим метод группировки: из первой пары слагаемых вынесем \(x^2\), а из второй – минус четверку.

Линейные уравнения 7 класс

Линейные уравнения, решение которых начинается в курсе алгебры (7 класс) — это уравнения вида

где a и b — числа, x — переменная.

Уравнения, сводящиеся к виду ax=b при помощи раскрытия скобок, приведения подобных слагаемых, переноса слагаемых из одной части уравнения в другую, а также умножения или деления обеих частей на число, отличное от нуля (то есть при помощи равносильных преобразований), также часто называют линейными (правильнее называть их уравнениями, сводящимися к линейным).

Рассмотрим примеры уравнений, сводящихся к линейным, которые встречаются в начале курса алгебры 7 класса.

Раскрываем скобки. Если перед скобками стоит множитель, умножаем этот множитель на каждое слагаемое в скобках. Если перед скобками стоит знак «+», знаки не меняем. Если перед скобками стоит знак «-«, знаки меняем на противоположные:

Неизвестные слагаемые переносим в одну сторону, известные — в другую. При переносе знаки слагаемых меняем на противоположные:

Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:

Неизвестные слагаемые перенесём в левую часть, известные — в правую. Знак каждого слагаемого при переносе из одной части уравнения в другую меняем на противоположный:

(Обратите внимание: хотя сумма слагаемых с переменной равна нулю, результат записываем не как 0, а как 0x).

Какое бы число мы не подставили в это уравнение вместо x, получим верное равенство.

Ответ: x — любое число.

Можно сначала привести подобные слагаемые, чтобы упростить уравнение:

а уже потом перенести: неизвестные — в одну сторону, известные — в другую:

Это уравнение не имеет корней.

Ответ: нет корней.

Приводим подобные слагаемые:

Переносим неизвестные слагаемые в одну сторону, известные — в другую, изменив при этом их знаки:

Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:

В следующий раз рассмотрим сводящиеся к линейным уравнениям уравнения с дробями.

14 комментариев

А в третьем уравнении ошибку вы допустилтхи. Перенесли неправильно 60х. Ответ должен быть х=24/53.

Спасибо, Маша! Ошибка исправлена.

Мария,всмсле!Там нет ошибок.У меня тоже ответ -24/53.Так как иксы в одну чторону,а числа в другую.Точнее если посмотреть на обычное линейное уравнение, например: x-3=0.
x=0+3
x=3.Обратите внимание,что решая любое уравнение иксы в левой части,а числа в правой (x=3);опять же иксы в левой части,а числа в правой и следовательно мы рассуждаем так во всех уравнениях

я возможно ошибаюсь , но
в уравнении №1) 4(9 — 5x) + 7x = 11 — 2(8x + 1)
ответ будет не -9 , а 9.
т к
3х=-27
х= -27/-3
х=9 , потому что если и в делителе и в знаменателе имеются знаки минуса , оно (как в умножении)становится положительным .

Полли, мы обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом: 3х=-27; х=-27:3, то есть знаки делимого и делителя разные, поэтому ответ со знаком «-«.

Да админ прав, делаем проверку 3X(-9)=-27

Х=-9 Потаму что если в делитиле и в знаментаиле имеются как вы сказали знаки минуса оно как в умножении не меняется.

Нет
Т.к. — делёный на + будет —

Спасибо за понятное изложение темы. Перерыв десяток сайтов и только на вашем нашел ответ на вопрос » как решать линейные уравнения «. Вам + 5 в карму:)

mne tut vse ponjatno. u menja problema s sostavleniem uravnenij/kak zapisatj zada4u matemati4eskim jazikom/ kombinatorika!

Урок по алгебре в 7-м классе по теме: «Решение уравнений с применением приемов разложения многочлена на множители»

Разделы: Математика

Ребята, достаточно долго овладевая приёмами разложения многочлена на множители, подошли к моменту, когда необходимо систематизировать и обобщить изученные способы, попытаться сделать новые открытия и самое главное: найти интересное применение разнообразных приёмов разложения на множители к решению порой одинаковых по смыслу уравнений.

1. Что, значит, разложить многочлен на множители?

2. В каком случае произведение множителей равно 0?

3. Степень, какого числа равна нулю? 1??

4. Какие приёмы разложения на множители вам известны? (Вынесение общего множителя за скобки, группировка слагаемых с последующем вынесением общего множителя, с помощью формул сокращенного умножения).

5. Чему равны квадрат суммы, разности двух слагаемых?

6. Чему равна разность квадратов двух слагаемых?

На доске записаны уравнения:

По какому признаку можно разбить эти уравнения в группы? (Уравнения, содержащие многочлен второй степени. Уравнения, содержащие многочлен выше второй степени. Уравнение, содержащее многочлен второй степени, коэффициенты которого периодические дроби).

Нам предстоит решить эти уравнения, подбирая непохожие способы решения, несмотря порой на похожесть уравнений.

Предлагаю учащимся решить уравнение двумя способами. Вызываю к доске двух учеников.

Один ученик решает уравнение разбиением одночлена 6х на сумму двух одночленов, а другой – применением формулы сокращённого умножения – квадрата суммы:

Вопрос: Какой способ оказался более рациональным? (Конечно второй). Как его можно назвать?

(Выделение полного квадрата суммы)

Обсуждаем решение уравнения .

Можно ли решить уравнение, разбивая одно из слагаемых на два?

(да,)

А выделением полного квадрата суммы?

(затруднительно, так как, число 3 не является квадратом никакого рационального числа)

И всё-таки попробуем выделить полный квадрат суммы: дополните сумму первых двух слагаемых до квадрата суммы.

Как можно разложить многочлен в левой части уравнения на множители? (По формуле разности квадратов).

Сообразите, можно ли рассуждая аналогично решить уравнение ?

(Неудобное в данном случае число 5).

И все-таки, попробуем строго следовать формуле квадрата суммы при выделении полного квадрата:

Обратите внимание на коэффициенты уравнения . Какую закономерность можно заметить?

(Одинаково читаются слева направо)

Что происходит с показателями переменной x?

(Уменьшаются на один)

Выскажите предположение для многочлена в левой части уравнения.

(Многочлен х 4 +4х 3 +6х 2 +4х+1 есть (х+1) 4 ). Обоснуйте это.

(Построим треугольник Паскаля

14641 4-ая строка содержит коэффициенты возведения в 4-ую степень двучлена (х+1)

Итак, какой вид примет уравнение? Решите его устно.

Решите устно уравнение

Какими числами являются коэффициенты уравнения

(Периодическими десятичными дробями)

Обратите периодические дроби в обыкновенные и решите, получившееся уравнение.

(Правило обращения периодической десятичной дроби в обыкновенную: чтобы периодическую десятичную дробь обратить в обыкновенную, надо из числа, стоящего до второго периода, вычесть число, стоящее до первого периода, и сделать эту разность числителем, а в знаменателе написать цифру 9 столько раз, сколько цифр в периоде и после девятки дописать столько нулей, сколько цифр между запятой и первым периодом)

(Подберите рациональный способ решения и найдите корни уравнения, х=1 или )

Вновь обратимся к уравнению . Решим это уравнение методом неопределённых коэффициентов:

Сравните значения найденных корней со значениями переменных b и d. (Они противоположны)

Найденные корни подтверждают мысль о том, что независимо от способа решения корни не меняются.

Чем уравнение похоже на предыдущее?

(Коэффициент при х 2 равен 1)

Попробуем решить это уравнение устно, не применяя ни один из рассмотренных приёмов, но

принимая во внимание некоторые рассуждения в предыдущем случае:

Запишите разложение многочлена в виде произведения двучленов:

Тогда, скажите чему, будут равны значения выражений и по аналогии с предыдущими рассуждениями?

( Легко догадаться, что или наоборот).

Сообразите, чему будут равны корни уравнения?

Устно решите уравнения:

1. С каким новым способом решения квадратных уравнений вы познакомились?

(Выделение полного квадрата суммы или разности)

2. Как вы думаете, почему этот способ не всегда удобен?

(Например, в уравнении 3х 2 -2х-1=0 3х 2 не является квадратом рационального выражения)

3. Какое открытие вы сделали, применяя метод неопределённых коэффициентов для

решения квадратных уравнений, если коэффициент при равен 1?

(Чтобы найти корни, надо сначала найти два таких числа в и с, чтобы их сумма была равна второму коэффициенту, а произведение – третьему слагаемому. А корни будут равны числам, противоположным числам .

В 8 классе вы познакомитесь с ещё одним способом решения квадратных уравнений – по формулам. Узнаете, кто такой Франсуа Виет и какое отношение он имеет к нашему открытию.