Решение уравнений приводимые к квадратным задания

Уравнения, приводимые к квадратным
материал по алгебре по теме

Уравнения, приводимые к квадратным

Скачать:

Предварительный просмотр:

Урок алгебры по теме «Уравнения, приводимые к квадратным». 9-й класс

• Образовательные : повторить способы решения уравнений, приводимых к квадратным, способствовать выработке навыка решения уравнений с помощью введения вспомогательной переменной, проверить усвоение темы на базовом уровне, обучать умению работать с тестовыми заданиями.
• Развивающие : развивать и совершенствовать умения применять имеющиеся знания в конкретной ситуации, развивать умение сравнивать, обобщать, правильно формулировать и излагать мысли, развивать память, логическое мышление, интерес к предмету через содержание учебного материала.
• Воспитательные :продолжать воспитывать навыки самоконтроля и взаимоконтроля, воспитывать у учащихся аккуратность, культуру общения, воспитывать такие качества характера, как чувство ответственности, настойчивости в достижении цели, умения не растеряться в проблемной ситуации, взаимоуважение.

Оборудование: проектор, экран, карточки с заданием, карточки с контролирующим тестом и карточки «Математический тренажер».

1. Организационный момент

– Сегодня мы будем решать уравнения третьей и четвертой степеней. В решение таких уравнений большой вклад внесли итальянские математики ХVI в.

Слайд 2. Выступление ученицы с исторической справкой.

Спицион Даль Ферро (1465-1526) и его ученик Фиори.
Н. Тарталья (ок. 1499-1557).
Дж. Кардано (1501-1576) и его ученик Л. Феррари.
Р. Бомбели (ок. 1530-1572).
12 февраля 1535 г. между Фиори и Н. Тартальей состоялся научный поединок, на котором Тарталья одержал блестящую победу. Он за два часа решил 30 задач, предложенных Фиори, а сам Фиори не решил ни одной.

Учитель. Итак, Тарталья за 2 часа решил 30 задач. Мы проведём математический турнир и узнаем, сколько уравнений сможете решить вы за 40 минут? Какие способы решения уравнений при этом изберёте?

2. Устная работа

1. Какие из чисел: – 3; – 2; – 1; 0; 1; 2; 3; являются корнями уравнений:

а) y 3 – y = 0; (0; 1; –1)
б) y 3 – 4y = 0; (0; 2 и – 2)
в) y 3 + 9y = 0. (0;)

2. Сколько решений может иметь уравнение третьей степени?

3. Как проверить, является ли число корнем уравнения?

4. Каким способом вы решали бы уравнения первого задания?

5. Проверьте решение уравнения:

x 3 – 5x 2 + 16x – 80 = 0
x 2 (x – 5) + 16(x – 5) = 0
(x – 5)( x 2 + 16) = 0
(x – 5)(x – 4)(x + 4) = 0

Итак, мы повторили, что называется корнем уравнения, нашли ошибку в решении уравнения, вспомнили способ решения уравнения разложением на множители.

Отметьте в оценочной карточке, сколько уравнений вы решили на первом этапе урока.
Переходим ко второму этапу

3. Практическая часть урока

1. Математический тренажёр в парах

1. (х + 2)(х – 5) = 0
2. 3х 2 – 27 = 0
3. х 2 = 4х
4. х 2 = 8
5. х 3 = 27
6. 5х 2 – 10х = 0
7. (х – 15)(х + 1) = 0
8. x 2 + 9 = 0

Карточка №1 (Ответы)

1. – 2 и 5
2. – 3 и 3
3. 4 и 0
4. – 2 и 2
5. 3
6. 0 и 2
7. – 1 и 15
8. Корней нет

– Пары, поменяйтесь карточками.
– Проверьте друг у друга. (Ответы на экране). Слайд 5
– Исправьте ошибки.
– Поблагодарите друг друга.

2. Работа у доски и в тетрадях. Решение уравнения по цепочке. Слайд 6

9х 3 – 18х 2 – x + 2 = 0
(9х 3 – 18х 2 ) – (x – 2) = 0
9х 2 (x – 2) – (x – 2) = 0
(x – 2)(9х 2 – 1) = 0
x – 2 = 0 или 9х 2 – 1 = 0

9х 2 = 1
x 1 = –
x 2 =

3. Работа с карточками: Слайды 7-9

1. Какое уравнение называется биквадратным? (Уравнения вида ах 4 + bx 2 + c = 0, где а ? 0, являющиеся квадратными относительно х 2 , называются биквадратными уравнениями)

Как его решить?
Решим биквадратное уравнение:

x 4 – 5x 2 + 4 = 0
Пусть x 2 = t. Получим квадратное уравнение с переменной t.
t 2 – 5t + 4 = 0
D = 25 – 16 = 9
t 1 = (5 + 3) : 2 = 4
t 2 = (5 – 3) : 2 = 1

x 2 = 4 x 2 = 1
x = + 2 x = + 1

3. (x 2 + 2x) 2 – 2(x 2 + 2x) – 3 = 0

Пусть x 2 + 2x = t. Получим квадратное уравнение с переменной t.

t 2 – 2t – 3 = 0
D = (–2) 2 – 4 . 1 . (–3) = 16
t 1 = – 1; t 2 = 3
x 2 + 2x = – 1 x 2 + 2x = 3
x 2 + 2x + 1 = 0 x 2 + 2x – 3 = 0
D = 0 D = 16

x = – 1 x 1 = – 3
x 2 = 1

Ответ: – 3; – 1; 1 (по т. Виета)

2. (x 2 – x + 1)( x 2 – x – 7) = 65

Какой способ наиболее рационально здесь использовать?

Пусть x 2 – x = t,
(t + 1)(t – 7) = 65
t 2 – 7t + t – 7 – 65 = 0
t 2 – 6t – 72 = 0
D = 36 + 288 = 324
t = 12, t = – 6
x 2 – x = 12 x 2 – x = –6
x 2 – x – 12 = 0 x 2 – x + 6 = 0
D = 49 D = – 23

x 1 = – 3; x 2 = 4 корней нет

(x 2 + x)(x 2 + x – 5) = 84
Пусть x 2 + x = t. Получим квадратное уравнение с переменной t.

t(t – 5) = 84
t 2 – 5t – 84 = 0
D = 25 + 336 = 361
t 1 = (5 + 19) : 2 = 12
t 2 = (5 – 19) : 2 = – 7
x 2 + x = 12 x 2 + x = –7
x 2 + x – 12 = 0 x 2 + x + 7 = 0
D = 1 + 48 = 49 D = 1 – 28 = – 27
x 1 = – 4; x 2 = 3; корней нет
Ответ: – 4; 3.

Сосчитайте количество верно решённых уравнений, занесите в таблицу.

4. Контролирующая часть урока

1. Какое из уравнений имеет корни, равные – 1; 3; – 3?

А. (x – 1)(x 2 – 9) = 0
Б. (x + 1)(x 2 – 9) = 0
В. (x + 1)(x 2 + 9) = 0
Г. (x – 1)(x 2 + 9) = 0

2. Найдите корни уравнения (2x – 3)(x + 4) = 0.

А. 1,5 и – 4
Б. – 1,5 и 4
В. 1,5 и 4
Г. – 1,5 и – 4

3. Решите уравнение: 5 x 2 = 25x

4. Закончи фразу: «Произведение корней уравнения x 4 – 2x 2 – 8 = 0 равно числу …»

5. Решите уравнение ( решение и ответы оформите на отельном листе)

(x 2 + 4x)(x 2 + 4x – 17) = – 60

Верно выполненные задания:

части 1 оцениваются в 0,5 балла;
части 2: 1 – в 2 балла; 2 – в 4 балла

Оценка «3» – 1,5 балла;
Оценка «4» – 3,5 балла;
Оценка «5» – 7,5 балла.

1. Какое из уравнений имеет корни, равные – 2; 5 – 5?

А. (x – 2)(x 2 – 25) = 0
Б. (x + 2)( x 2 + 25) = 0
В. (x + 2)( x 2 – 25) = 0
Г. (x – 2)( x 2 + 25) = 0

2. Найдите корни уравнения (2x + 7)(x – 4) = 0.

А. 3,5 и – 4
Б. – 3,5 и – 4
В. 3,5 и 4
Г. – 3,5 и 4

3. Решите уравнение: 3x – x 2 = 0

4. Закончи фразу: «Произведение корней уравнения x 4 – 8x 2 – 9 = 0 равно числу …»

5. Решите уравнение ( решение и ответы оформите на отельном листе)

(x 2 – 5x)(x 2 – 5x + 10) + 24 = 0

Верно выполненные задания:

части 1 оцениваются в 0,5 балла;
части 2: 1 – в 2 балла; 2 – в 4 балла

Оценка «3» – 1,5 балла;
Оценка «4» – 3,5 балла;
Оценка «5» – 7,5 балла.

Решите уравнение итальянских математиков:

(3x 2 + x – 4) + 3x 2 + x = 4 .

Решите уравнение: х 3 – х 2 – 4(x – 1) 2 = 0

x 2 (x – 1) – 4(x – 1) 2 = 0
(x – 1)( x 2 – 4(x – 1)) = 0
x – 1 = 0 или (x 2 – 4(x – 1)) = 0
x = 1 x 2 – 4x + 4 = 0
(x – 2) 2 = 0
x = 2

Решение уравнений приводимые к квадратным задания

Найдите корни уравнения .

Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания.

Решите уравнение .

Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания.

По теореме, обратной теореме Виета, сумма корней равна 1, а их произведение −6.

Тем самым, это числа −2 и 3.

Решите уравнение .

Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания.

Запишем уравнение в виде По теореме, обратной теореме Виета, сумма корней равна −3, а их произведение −4.

Решение задач с помощью квадратных уравнений

Алгоритм решения текстовых задач с помощью квадратных уравнений

Шаг 1. Проанализировать условие задачи, обозначить одно из неизвестных буквой (переменной). Если это удобно, обозначить все неизвестные разными буквами и выбрать «основную» переменную.

Шаг 2. Выразить другие неизвестные через основную переменную.

Шаг 3. Записать уравнение.

Шаг 4. Решить полученное уравнение.

Шаг 5. Истолковать результат в соответствии с условием задачи.

Найдите периметр прямоугольника, длина которого на 5 см больше ширины, а площадь равна 165 см2.

Шаг 1. Пусть x – ширина прямоугольника (в см).

Шаг 2. Тогда его длина (x+5), и площадь: S = x(x+5)

Шаг 3. По условию получаем уравнение: x(x+5) = 165

$$ x^2+5x-165 = 0 \Rightarrow (x+16)(x-11) = 0 \Rightarrow \left[ \begin x_1 = -16 \\ x_2 = 11 \end \right. $$

Шаг 5. Для ширины прямоугольника выбираем положительный корень x = 11.

Тогда длина x+5 = 16. Периметр: P = 2(11+16) = 54 (см).

Примеры

Пример 1. Найдите два числа, если их сумма равна 36, а произведение 315.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — искомые числа.

Известно, что $x_1+x_2 = 36, x_1 x_2 = 315$.

По теореме Виета данные два числа являются корнями уравнения

$$ x^2+bx+c = 0, b = -(x_1+x_2 ) = -36, c = x_1 x_2 = 315$$

$$ D = 36^2-4 \cdot 315 = 1296-1260 = 36 = 6^2 $$

$$ x = \frac<36 \pm 6> <2>= \left[ \begin x_1 = 15 \\ x_2 = 21 \end \right. $$

Пример 2. Найдите два числа, если их разность равна 9, а произведение 162.

Пусть x и y — искомые числа. Пусть $x \gt y$.

По условию $x-y = 9 \Rightarrow y = x-9. $

Произведение xy = x(x-9) = 162

$$ D = 9^2-4 \cdot (-162) = 81+648 = 729 = 27^2 $$

$$ x = \frac<9 \pm 27> <2>= \left[ \begin x_1 = -9 \\ x_2 = 18 \end \right. $$

Получаем две пары чисел: $ \left[ \begin <\left\< \begin x_1 = -9 \\ y_1=-9-9=-18 \end \right.> \\ <\left\< \begin x_2 = 18 \\ y_2 = 18-9=9 \end \right.> \end \right. $

Ответ: -9 и-18; или 18 и 9

Пример 3. Задача из «Арифметики» Магницкого (1703 год)

Найдите число, зная, что прибавив к его квадрату 108, получим число в 24 раза больше данного.

Пусть x — искомое число.

По условию $x^2+108 = 24x$

$$ x^2-24x+108 = 0 \Rightarrow (x-6)(x-18) = 0 \Rightarrow \left[ \begin x_1 = 6 \\ x_2 = 18 \end \right. $$

Пример 4. Найдите три последовательных целых числа, сумма квадратов которых равна 590.

Пусть n-1,n,n+1 — данные три числа.

$$ 3n^2 = 588 \Rightarrow n^2 = 196 \Rightarrow n = \pm \sqrt <196>= \pm 13 $$

Получаем две последовательности: -14,-13,-12 или 12,13,14

Ответ: -14,-13,-12 или 12,13,14

Пример 5. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 700 км, выехал автобус. Из-за непогоды водитель уменьшил обычную скорость на 10 км/ч, и автобус ехал на 1 час 40 минут дольше. Сколько часов автобус обычно тратит на дорогу?