Решение уравнений разными способами 9 класс

Виды уравнений и способы их решения в 9-м классе

Разделы: Математика

Перед уроком были изучены темы “Уравнения с одной переменной”, “Целые рациональные уравнения и основные методы решения целых рациональных уравнений”, “Дробно-рациональные уравнения”, “Уравнения с модулем и параметрами”.

За две недели до обобщающего урока на стенде “Готовься к экзамену” было предложено:

1. Прорешать из экзаменационного сборника задания второго раздела (№ 71–101).
2. Вопросы по теоретическому материалу.
3. Примерное оформление экзаменационного задания.
4. Сроки индивидуальных и групповых консультаций.

Вопросы по теоретическому материалу

1. Определение уравнения с одним неизменным.
2. Корень уравнения.
3. Что значит решить уравнение?
4. Определение области допустимых значений.
5. Когда два уравнения являются равносильными?
6. Когда одно уравнение является следствием другого?
7. Какие тождественные преобразования приводят к равносильным уравнениям?
8. Особенность тождественного преобразования “деление на выражение, содержащее переменную”.
9. Виды уравнений, их стандартный вид, алгоритм решения.
10. Основные методы решения уравнений с одним неизвестным.

а) учебник А-9 под ред. Н.Я. Виленкина, глава X, с. 157–189;
б) конспекты.

№ 93(1)
№ 5.60(а)
Галицкий, с. 51

если D = 0, то x = –3 при a = –3, но x = –3 не удовлетворяет условию, так как (x – 4)(x + 3) 0;

Среди найденных значений может быть появление посторонних корней, так как уравнение x² + (3 – a)x – 3a = 0 следствие исходного уравнения.

Чтобы x₂ = a являлся корнем x 2 – 4 0, a – 4 0, a 4

x 2 + 3 0, то есть a – 3 0, a –3

Ответ: при a 4, a –3 корнем уравнения является x = a.

Задания к уроку подобраны с учетом подготовленности учащихся данного класса.

• привести в систему знаний учащихся по теме;
• повторить теорию решения уравнений;
• выработать умение определить вид уравнения;
• выразить наиболее рациональный способ решения данного уравнения;
• формировать наблюдательность учащихся.

I. Организационный момент

Сообщение темы урока и его целей.

II. Повторение теории по решению уравнений

1. Что называется уравнением?

Ответ: Любое равенство вида некоторые функции называются уравнением с одной переменной (или с одной неизвестной).

2. Что называется корнем уравнения?

Ответ: Число a называется корнем (или решением) данного уравнения с одной переменной, если при подстановке числа a вместо x в обе части уравнения, получаем верное числовое неравенство, то есть при подстановке x = a обе части уравнения определены и их значения совпадают:

3. Что значит решить уравнение?

Ответ: Решить уравнение – это значит найти все его корни или доказать что их нет.

4. Как определяется область определения допустимых значений уравнения?

Ответ: ОДЗ называется пересечение множеств областей определения функций

5. Какие уравнения называются равносильными (эквивалентными)?

Ответ: Два уравнения называются равносильными, если все корни уравнения первого являются корнями второго и наоборот, все корни второго уравнения являются корнями первого.

6. А как определить уравнение следствие?

Ответ: Если все корни одного уравнения являются корнями второго уравнения, то второе уравнение называется следствием первого уравнения.

7. Какие тождественные преобразования приводят к равносильным уравнениям?

• к обеим частям уравнения прибавить любую функцию, которая определена при всех значениях из ОДЗ. Следствие. Члены уравнения можно переносить из одной части уравнения в другую;
• обе части уравнения умножить на любую функцию, определенную и отличную от нуля при всех допустимых значениях неизвестного. Также можно делить и умножать на число, отличное от нуля;
• в обеих частях уравнения стоят функции, принимающие только неотрицательные значения, то при возведении в одну и ту же четную степень получаем уравнение, равносильное данному. Появлению “посторонних корней” приводят преобразования:
  а) приведение подобных членов – происходит расширение ОДЗ;
  б) сокращение дроби на выражение, содержащие неизвестное (тоже происходит расширение ОДЗ);
  в) умножение на выражение, содержащее неизвестное;
  г) освобождение дроби от знаменателя, содержащего неизвестное. Необходимо обязательно делить проверку или лучше перейти к смешанной системе.

8. Виды уравнений, их стандартный вид, алгоритм решения (в процессе решения).

Ответ:
а) Линейное;
б) квадратное;
в) уравнение высших порядков (биквадратным, возвратное, симметрическое);
г) уравнения содержащие модуль;
д) уравнение с параметром.]

9. Какие общие методы решения уравнений с одним неизвестным?

Ответ: Вынесение общего множителя (разложение на множители), замена переменной, использование ограниченности и монотонности функций, графически.

Понятие равносильности для нас понятие только вводится, и поэтому проведем тест, как же вы этим понятием владеете.

Тест рассчитан на 5–7 минут. Контрольные задания даются в двух вариантах. После окончания работы на доске вывешиваются контрольные ответы. За каждое правильно выполненное задание – 1 балл. После окончания работы ученик оценивает свою работу самостоятельно, затем разбираются неверные ответы (к заданиям предлагаются).

Корни всех приведенных уравнений находятся среди чисел –3, –2, 1, 2, 3. Укажите пары равносильных уравнений.

(x 2 – 6) 2 = x 2

(x – 1)(x 2 – 6) = (1 – x)x

(x – 2)(x 2 – 6) = –x(x – 2)

x 2 – 6 = x

(x 2 + x – 6)(x 2 – x – 6) = 0

x + 3 = 0

x – 2 = 0

(x – 1)(x – 2)(x + 3) = 0

Равносильные уравнения

Корни всех приведенных уравнений находятся среди чисел –2, –1, 1, 2. Укажите пары равносильных уравнений.

(x 2 – 2) 2 = x 2

(x – 1)(x 2 – 2) = x(x – 1)

(x – 2)(x 2 – 2) = x(x – 2)

x 2 – 2 = x

x + 1 = 0

(x 2 – 1)(x – 2) = 0

(x 2 – x – 2)(x 2 + x – 2) = 0

x – 2 = 0

Равносильные уравнения

VI. Решение задач

Ученик должен определить вид уравнения, алгоритм решения данного уравнения, обратить внимание на способы его решения, выбрать рациональный способ решения.

Задачи взяты из “Сборника задач по алгебре” для классов с углубленным изучением математики под редакцией М.Л. Галицкого.

1. Уравнение третьей степени, в стандартном виде. Метод решения – разложения на линейные множители (теорема Безу):

Так как это уравнение рациональное целое с целыми коэффициентами, то оно имеет целые корни, являющиеся делителями свободного члена: 21: 1; 3; 7; 21. x₁ = 1 является корнем (убеждаемся подстановкой), поэтому многочлен левой части уравнения делится на двучлен х – 1.

Решим уравнение x² + 10x + 21 = 0. По теореме Виета корни: x₂ = –3, x₃ = –7, x₁ = 1.

Как еще с помощью теоремы Безу можно было выполнить разложение на множители?

Ответ: Если множитель делится на x – 1 и на x + 3, то он делится и на их произведение.

Это уравнение четвертой степени. Метод решения – группировка. Если левая часть уравнения представлена в виде разложения на линейные множители, а в правой – число и выносящиеся: (x + a)(x + b)(x + b)(x + c) = A и a + b = c + d, в этом случае возможна группировка множителей.

Сделаем замену x² + x = t и получим уравнение

3. 5 – 12x³ + 14x² = 12x – 5, 5x² – 12x³ + 14x² – 12x + 5 = 0 – возвратное уравнение членов степени. Так как x = 0 не является корнем данного уравнения, разделим почленно на x² и сгруппируем:

Сделаем замену:

4. – это дробно-рациональное уравнение, содержащее модуль.

Ответ: <0; 2; 4>

Алгоритм: а) находим нули модуля; б) дискриминант уравнения разбиваем на промежутки; в) раскрываем модуль на каждом из промежутков; г) выбираем ответ, учитывая данный промежуток; д) ответ – совокупность решений.

– это дробно-рациональное уравнение. Выделим квадрат разности:

Введем новую переменную и получим уравнение вида t² + 2t – 3 = 0. По теореме Виета корни этого уравнения t = 1 или t = –3.

6. ax² + 3ax – (a + 2) = 0 – это квадратное уравнение с параметром. При решении уравнения с параметрами необходимо выяснить, при каких значениях параметров уравнение имеет корни и сколько их в зависимости от параметров при которых это выражение действительно определяет корни уравнения, то есть найти при каком значении параметра: г) x – единственный корень.

При D > 0 уравнение имеет два различных действительных корня, то есть при

При D 4 – 133х³ + 48х² – 133х + 78 = 0.

5. Для каждого значения параметра а решить уравнение ax² – (2a + 7)x + a + 3 = 0.

6. Найдите все значения параметра b, при которых уравнение имеет ровно один корень.

7 * . Решить уравнение x 4 + 4х + 3 = 0.

2. Дается оценка работы учащихся на уроке, выставляются в журнал. Сообщается дата и время консультации перед итоговой контрольной работой по этой теме.

Урок по теме» Различные способы решения уравнений» 9 класс

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Тема урока « Некоторые приемы решения целых уравнений ».

Учитель Гаркавченко Н.В.

Чтобы ребенок почувствовал себя успешным, надо помочь детям найти все пути, ведущие к достижению цели.

Образовательные : отрабатывать умения решать целые рациональные уравнения с одной переменной. Систематизировать знания и умения учащихся по применению методов решения целых рациональных уравнений, готовить учащихся к успешной сдаче ОГЭ.

Развивающие: развивать умения наблюдать, сравнивать, обобщать, выбирать способы решения задач в зависимости от конкретных условий, анализировать математические ситуации, развить умения и навыки работы с учебной, справочной литературой, сайтами интернет, развивать активность учащегося самостоятельно получать знания, применять их в практической деятельности .

Воспитательные: воспитывать такие качества личности, как познавательная активность, самостоятельность, умение слушать и вступать в диалог, упорство в достижении цели.

Тип урока: совершенствование умений и навыков.

Наглядные пособия и оборудование урока: карточки, бланк ответов №2, персональный компьютер, презентация.

«Уравнение представляет собой наиболее

серьёзную и важную вещь в математике».

1.Настроимся на урок!

2.Повторенье – мать ученья.

4.Твори, выдумывай, пробуй!

5.Подведём итог. Ход урока.

1.Настроимся на урок. (Мотивационная беседа). 14лет – время, когда уже пора задуматься над вопросом, который вы хорошо знаете по знаменитым строчкам В.В. Маяковского «У меня растут года, будет и 17. Где работать мне тогда, чем заниматься?». И скажем прямо – как бы не были хороши советы ваших родителей, учителей, друзей, решать-то придётся самим. Но хорошее решение может быть принято только на основе знаний. А для этого надо испытать себя. И в этом году у вас первое такое испытание: вам предстоит сдавать экзамены, в числе которых обязательный экзамен по математике. Поэтому одной из задач нашего занятия по теме «Некоторые приемы решения целых уравнений » является – подготовка к экзаменам. Мы повторяем, обобщаем, приводим в систему изученные виды, типы, методы и приёмы решения целых уравнений. Я прошу вас быть активными, внимательными и сообразительными. Ни один вопрос на уроке не должен остаться без ответа. А сейчас улыбнитесь друг другу, подарите хорошее настроение. Вы сегодня будете работать лучше всех, быстрее всех решать, т.к. вы все умеете делать.

2 . Повторенье-мать ученья. Слайд 4 -7 Все, наверное, помнят эту поговорку. Математика – не исключение, и чтобы хорошо усваивать её, надо постоянно повторять изученное.

Вычислить:; |19|; | — 0,3|; | 0|;2.Разложить на множители: х 2 – 36, х 2 – 10х + 25.

Решить уравнение: х 2 – 121 = 0, х (х+5) ( 7 – х) = 0

Какое из уравнений не имеет корней? 2х 2 5х – 4 = 0, 2х 2 5х + 4 = 0

3. Решим задания из банка открытых заданий для подготовки к ОГЭ устно.

Решите уравнение 5 x 2 −10 x = 0. (отв. 0; 2 )

Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

Найдите корни уравнения х 2 – 121 = 0; ( отв.-11; 11); х (х+5) ( 7 – х) = 0 ( отв. -5; 0;7).

Какие способы вы использовали при решении уравнений?

4. Знаете ли вы способы решения этих уравнений? Слад № 8

2. х 3 – 3х 2 – х – 3 = 0 ( способ группировки)

3. (х + 2) 4 – 4 (х +2) 2 – 5 = 0 (введение новой переменной)

4. х 6 = ( 6х – 5) 3 ( ПРОБЛЕМА)

5. ( x 2 −36) 2 +( x 2 +4 x −12) 2 =0 ( ПРОБЛЕМА)

5. Сформулируйте цели урока. ? Слайд №10 Рассмотреть некоторые способы решения уравнений. Решать уравнения из второй части ОГЭ 2018 года. (№ 21)

6. Критерии решения уравнений второй части ОГЭ. Слайд №11 Обоснованно получен верный ответ – 2 балла Решение доведено до конца, но допущена описка или ошибка вычислительного характера, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно – 1 балл Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше – 0 баллов Максимальный балл — 2

7. Бланк №2. Требования к оформлению заданий второй части. Слад №12

1. Отвечая на задания с развернутым ответом пишите аккуратно и разборчиво, соблюдая разметку страницы.
2. Не забудьте указать номер задания, на которые вы отвечаете.
3. Условие задания переписывать не нужно. 7. Твори, выдумывай, пробуй! Слад №13 Решить уравнения в мини группах.

8. Решение уравнений у доски.

1. Задание 21 № 338086. Решите уравнение

Решение. ОДЗ 3-х 0, х3

Поскольку подкоренное выражение не может быть меньше нуля, область допустимых значений исходного уравнения ограничивается неравенством значит, решением уравнения является только Ответ: −2.

II . Понижение степени . 2. №21 № 338860. Решите уравнение

Решение. Извлечём кубический корень: =

Ответ: 1; 5.

4. № 21 № 338991. Решите уравнение х 4 = ( х – 20) 2

Решение. Извлечем квадратный корень: = 2 , = | a |

Закройте глаза, расслабьте тело,

Представьте – вы птицы, вы вдруг полетели!

Теперь в океане дельфином плывете,

Теперь в саду яблоки спелые рвете.

Налево, направо, вокруг посмотрели,

Открыли глаза, и снова за дело!

4.№ 21 № 338991 Решить уравнение:

II способ. ( Разложение на множители).

( х 2 ) 2 – ( х – 20 ) 2 = 0. Применив формулу разности квадратов, разложим уравнение на множители:

( х 2 – ( х – 20) ) ( х 2 + ( х – 20) ) = 0. Раскроем скобки ( х 2 – х +20 ) ( х 2 + х – 20) = 0.

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.

То есть имеем два уравнения: ( х 2 – х +20 ) = 0 или ( х 2 + х – 20) = 0.

Разные уравнения. Метод оценки.

5 . Задание 21 № 311618. Решите уравнение .

Квадрат любого числа неотрицателен. Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю, только если они оба равны нулю. Получаем систему уравнений:х_1;2= , х_1;2 = .

Из первого уравнения или Из второго уравнения или .
Системе удовлетворяет единственное значение . Ответ: −5.

ГИА-2012.. Диагностическая работа №2 (9 вар.)

6. Сколько корней имеет уравнение 2х 2 = ( х 2 + х -1)? Открытый банк ОГЭ.

Решение. 2х 2 = ( х 2 + х -1), раскроем скобки 2х 2 = х 2 + х — . Перенесем слагаемые в левую часть 2х 2 — х 2 — х + = 0. ( 2 — )х 2 + х + = 0, D = ( ) 2 – 4 (2 — ) = 3 -8, значит, уравнение имеет 2 корня.

10. Выводы. Слайд №15. Для решения целых уравнений важно уметь определять вид уравнения, знать приемы и методы их решения.

Способы решения уравнений: Простейшие: по готовым формулам. Приведением к линейным и квадратным. Разложение на множители: группировка. Метод введения новой переменной.

Понижение степени. Метод оценки.

11. Задачи для самостоятельного решения. Слад №16 Д/З

«Уравнения и способы их решения», 9 класс
элективный курс по алгебре (9 класс) по теме

Основная функция элективных курсов по выбору в системе предпрофильной подготовки по математике — выявление средствами предмета «Математика» направленности личности, её профессиональных интересов. В связи с потребностью подготовки обучающихся к сдаче ГИА повышаются требования к учащимся 9 класса. Для того, чтобы заинтересовать их математикой, углубить и расширить у них знания, решая нестандартные задачи, считаю целесообразным включение предметно-ориентированного элективного курса «Уравнения и способы их решения».

Скачать:

Предварительный просмотр:

Уравнения и способы их решения

Красноармейского района ЧР

Андреева Рена Валерьяновна

Основная функция элективных курсов по выбору в системе предпрофильной подготовки по математике — выявление средствами предмета «Математика» направленности личности, её профессиональных интересов. В связи с потребностью подготовки обучающихся к сдаче ГИА повышаются требования к учащимся 9 класса. Для того, чтобы заинтересовать их математикой, углубить и расширить у них знания, решая нестандартные задачи, считаю целесообразным включение предметно-ориентированного элективного курса «Уравнения и способы их решения».

Умение решать различные виды уравнений необходимо показать при сдаче ГИА по математике, т.е. при поступлении в ВУЗы и техникумы. Данный элективный курс является развитием ранее приобретённых знаний при решении различного вида уравнений. Здесь рассматриваются различные способы решения уравнений. Процесс обучения строится на следующих методических принципах: регулярности, параллельности, опережающей сложности, смены приоритетов, вариативности, самоконтроля, быстрого повторения, моделирования ситуаций. Теоретические основы большинства тем относятся к программе основной школы. Однако глубина их проработки, идейная насыщенность задач и уравнений предполагают более высокий уровень развития учеников, чем тот, которого достигают школьники по окончании основной школы.

В технологии проведения занятий предусмотрены этапы изучения теории, решения практических задач, исследовательских работ, проведения обучающих самостоятельных работ, задания для самопроверки обучающихся и степени усвоения данного курса.

Уравнения и задачи данного курса не просты в решении, что позволяет повысить учебную мотивацию обучающихся и проверить свои способности к математике.

Цель элективного курса:

научить обучающихся решать уравнения различными способами.

• вызвать интерес у обучающихся к изучению математики;

• создать целостное представление о теме и значительно расширить спектр задач, посильных для учащихся;

• сформировать умения и навыки решения уравнений разных типов;

• рассмотреть различные способы их решения;

• развивать исследовательскую и познавательную деятельность обучающихся;

• создать культуру труда и умение самостоятельно применять полученные знания.