Решение уравнений решение задач методом подбора

Уравнения. Решение уравнений способом подбора.
план-конспект урока по математике (2 класс) по теме

конспект урока по математике

Скачать:

Предварительный просмотр:

Конспект урока по математике по теме:

«Уравнение. Решение уравнений способом подбора».

Тип урока: урок сообщения новых знаний.

Цель: познакомить детей с новым математическим понятием: «уравнение».

Образовательная: способствовать формированию обобщенных представлений детей о понятии «уравнение», рассмотреть один из способов решения уравнений «способ подбора».

Воспитательная: развивать логическое мышление, внимание, самостоятельность.

Развивающая: совершенствовать вычислительные навыки, умение составлять верные равенства, умение решать текстовые задачи.

Наглядность: карточки «примеры с «окошками», «буквенные выражения», «уравнения», «знаки равенств и неравенств»; плакат «латинские буквы», чертеж с геометрической фигурой.

Тема урока: Уравнение. Решение уравнений способом подбора.

Каллиграфическая минутка: числа 28 и 30.

Чертеж с геометрической фигурой.

Запиши и проверь, что:

а) Сумма чисел 9 и 6 больше, чем разность этих чисел;

б) Разность чисел 30 и 1 равна сумме чисел 20 и 9.

I. Организационный момент. (1 минута)

— Здравствуйте, ребята! Сейчас у нас урок математики. Проверьте, все ли у вас готово к уроку. На столе лежат учебник, рабочая тетрадь, ручка, карандаш, линейка. Все лишнее уберите.

Ну- ка, проверь, дружок,

Ты готов начать урок?

Все ль на месте,

Ручка, книжка и тетрадка?

Все ли правильно сидят?

Все ль внимательно глядят?

Каждый хочет получить

Только лишь оценку «5»!

— Сегодня мы с вами познакомимся с новым математическим понятием «уравнение», научимся решать уравнения способом подбора, будем решать примеры на сложение и вычитание в пределах 100, а также решим задачи на нахождение суммы, содержащие отношение «больше на», «меньше на»

— Нам необходимо выполнить № 1, 4, 5, 6 на страницах 68 -69 нашего учебника.

II. Каллиграфическая минутка. ( 2 минуты )

— Откройте тетради, запишите сегодняшнее число и название работы. Обратите внимание на то, что в слове «классная» 2 буквы «СС», подчеркните их с помощью карандаша и линейки

— На доске написаны числа 28 и 30, запишите их в своих тетрадях. Работайте старательно, прописывайте каждый элемент цифр аккуратно. Не торопитесь.

III. Устный счет. (3 минуты )

А) — Посмотрите на доску и посчитайте, сколько прямоугольников изображено на чертеже. ( На чертеже изображено 9 прямоугольников.)

Б) – На доске записаны в столбик примеры. Устно решите их и найдите лишний пример.

— Какой пример лишний? (Лишний пример – 33+3, потому что его значение равно 36, а значения других примеров равны 31.)

IV. Актуализация знаний. ( 3 минуты )

На доске задание.

Запиши и проверь, что:

а) Сумма чисел 9 и 6 больше, чем разность этих чисел;

б) Разность чисел 30 и 1 равна сумме чисел 20 и 9.

— Прочитайте это задание.

а) — Запишите сначала сумму и разность чисел 9 и 6, пропустив клетку для знака сравнения. ( На доске и в тетрадях учащихся появляется запись 9+6 9-6.)

— Можно сразу сравнить? ( Нет, надо вычислить.)

После вычислений делается вывод:

— 15 больше 3, значит, сумма 9 и 6 больше разности 9 и 6. ( На доске и в тетрадях учащихся появляется запись 9+6 > 9-6.)

б) Выполняется самостоятельно. Лишь делается вывод учащимися, что разность 30 и 1 равна сумме 20 и 9. ( На доске и в тетрадях учащихся появляется запись 30-1= 20 +9.)

V. Знакомство с новым материалом. ( 7 минут )

На доске карточка +4= 12.

— Вам знакома такая запись? (Да, это пример с «окошком».)

На доске карточка а+4.

— А такая запись вам знакома? (Да, это буквенное выражение.)

— Что мы с вами делали в первом случае? (Подбирали число, чтобы запись была верной.)

— Какое это число? (Это число 8.)

— Что делали во втором случае? ( Вместо буквы подставляли числа и вычисляли.)

На доске карточка х+4=12.

— А сейчас посмотрите на такую запись.

— На что она похожа? ( И на пример с «окошком» и на буквенное выражение.)

— Что нам говорит знак «=»? (Это равенство.)

— Все ли числа известны в этом равенстве? (Нет.)

— Что неизвестно? (Первое число.)

— Как оно обозначено? ( Оно обозначено с помощью латинской буквы.)

— Если оно неизвестно, перед нами встает какая задача? ( Найти, узнать, какое это число.)

— Найдите это число, чтобы равенство стало верным. (Это число 8, потому что 8+4=12.)

— А знаете, что вы сейчас сделали? ( Вы решили уравнение х+4=12.)

-Попробуем сделать вывод из всего сказанного и сделанного.

Уравнение – это равенство. (Обратить внимание на знак «=» в уравнении.)

Которое содержит неизвестное число. (Обратить внимание на число «х» в уравнении.)

— Что надо сделать с неизвестным числом? (Его надо найти.)

— Как обозначается неизвестное число? (Неизвестное число обозначается латинской буквой.)

— Кто может сказать, что такое уравнение? Вы можете воспользоваться учебником, на странице 68 дается определение «уравнения». (Уравнение – это равенство, которое содержит неизвестное число.)

— Что значит, решить уравнение? ( Найти такое число, чтобы равенство было верным.)

— Молодцы, а сейчас проверьте себя, прочитав параграф на странице 68.

— Что же такое уравнение? Расскажите своему соседу. (Взаимопроверка учащихся.)

— Что значит решить уравнение? Расскажите своему соседу. (Взаимопроверка учащихся.)

VI. Физкультминутка. ( 1 минута )

Буквой «Л» расставим ноги.

Точно в танце – руки в боки.

Наклонились влево, вправо.

Получается на славу.

Мы отлично потрудились

И немного утомились

Приготовьтесь, все ребятки!

Мы похлопаем в ладоши

Наши ножки постучали

По коленочкам ударим

Наши ручки поднимайтесь

Наши ручки закружились

VII. Закрепление нового материала. ( 8 минут )

— Что значит решить уравнение? ( Найти неизвестное число, чтобы равенство было верным.)

— Образец записи решения уравнения еще раз внимательно рассмотрите в параграфе на странице 68.

1,2 столбики выполняются с объяснением и записью на доске.

3, 4 столбики выполняются самостоятельно, с последующей взаимопроверкой в парах.

— Прочитайте задание про себя.

— Запишите 1 уравнение. (На доске и в тетрадях учащихся появляется запись уравнения 9+х=14.) Из чисел 7, 5, 1, 3 давайте подберем такое значение х, при котором получится верное равенство.

— Мысленно подставьте вместо х предложенные числа. Чему будет равно значение х, чтобы равенство 9+х=14 было верным? ( Чтобы равенство 9+х=14 было верным, значение х должно быть равно 5.)

На доске и в тетрадях учащихся появляется запись

Проводится аналогичная работа с последующими уравнениями.

VIII. Работа над пройденным материалом. ( 8 минут )

А) Задача № 6, страница 69.

— Прочитайте условие. О ком говорится в задаче? (В задаче говорится о Тане, маме и папе.)

— Что говорится о каждом? (Тане 5 лет, маме – неизвестно, но на 19 лет больше, чем Тане. Папе – тоже неизвестно, сколько лет, но сказано, что ему столько лет, сколько вместе Тане и маме.)

— Запишите условие кратко или выполните схематический чертеж, кому как удобнее. (Самостоятельная работа учащихся.)

Маме — ?, но на 19 л.>

— Самостоятельно запишите решение и запишите по нему выражение.

1) 5+ 19= 24 (г.) – маме.

2) 5+24= 29 (л.) – папе.

1) (5+19)+ 5= 29 (л.) – папе.

Ответ: 29 лет папе.

— Первые 5 ребят, которые выполнят верно это задание получат оценки.

Б) № 5, страница 69.

— Внимательно прочитайте это задание и выполните его самостоятельно.

После выполнения этого задания идет фронтальная проверка этого номера.

IX. Подведение итогов урока. ( 2 минуты )

А) Фронтальный опрос класса по пройденной теме.

— Что нового узнали на уроке? ( Мы узнали о том, что такое уравнение; что значит решить уравнение.)

— Что же такое уравнение? (Уравнение – это равенство, содержащее неизвестное число, которое надо найти.)

— Что значит решить уравнение? (Решить уравнение – значит найти такое значение х, при котором равенство будет верным.)

— Что еще делали на уроке? (Решали уравнения, примеры и задачи.)

Б) Выставление оценок.

X. Домашнее задание. ( 1 минута )

На странице 68 выучить определения «уравнение», «решить уравнение».

Урок по теме «Уравнение. Решение уравнений методом подбора». 2-й класс

Класс: 2

Тип урока: Изучение нового материала.

Методы обучения: частично-поисковый, проблемного изложения материала.

ЦЕЛЬ

• Дать детям новое математическое понятие “уравнение”.
• Формировать умение читать и записывать уравнение.
• Способствовать запоминанию, сознанию, пониманию, составления уравнений;
• Способствовать развитию внимания, логического мышления, памяти, культуры математической речи.
• Воспитывать самоконтроль, гигиенические навыки письма, аккуратное ведение записей в тетради.

Методы обучения: частично- поисковый, проблемного изложения материала.

ЗАДАЧИ:

• совершенствовать вычислительные навыки, умение составлять верные равенства;
• закреплять умение решать задачи на нахождение неизвестных вычитаемого, уменьшаемого;
• развивать внимание, логическое мышление, математическую речь;
• воспитывать чувство ответственности за свое здоровье;
• прививать гигиенические навыки.

ОБОРУДОВАНИЕ:

• табличка с цифрой 2;
• лозунги: “ В путь-дорогу собирайся, за здоровьем отправляйся”, “Глаза – главные помощники”, “Питание – необходимо для жизни человека”; проектор;
• плакат “Заповеди здорового человека”, буквы (организм);
• таблички с названиями городов: г.Каллиграфия, г.Устносчит, г.Узнаево, г.Задачкино, г .Сумеево;
• карточки на держалках с примерами и названиями продуктов;

Мы начать урок готовы,
Будем слушать, рассуждать
И друг другу помогать.

Путешествие зовет второклассников в поход.
А куда пойдем, ребята?

В необычную страну, страну Крепышей
Тут затеи и задачи, игры, шутки, все для вас.
Пожелаем вам удачи, за работу,
В добрый час!

2. СООБЩЕНИЕ ТЕМЫ И ЦЕЛЕЙ УРОКА.

— А отправимся в путешествие на самолете.

(На доске рисунок самолёта)

На уроке мы еще раз узнаем, как заботиться о своем здоровье, какие гигиенические правила необходимо соблюдать для сохранения своего здоровья.

Под музыку дети “летят на самолете” между рядами

Девиз: В путь- дорогу собирайся, за здоровьем отправляйся.

-Мы подъезжаем к городу Каллиграфия .

Вид ее, как запятая,
Хвост крючком, и не секрет:
Любит всех она лентяев, а лентяи ее нет (Цифра 2)

-Напишите цифру 2 туловищем, ногой, рукой.

-А теперь, ребята, садимся за парту и произносим наши волшебные слова.

Я тетрадь свою открою
И наклонно положу.
Я, друзья, от вас не скрою:
Ручку я вот так держу.
Сяду прямо, не согнусь,
За работу я возьмусь.

Дети записывают число, тему урока в тетради, прописывают цифру 2.

Руки на пояс поставьте сначала
Влево и вправо качайте плечами
Вы дотянулись мизинцем до пятки,
Если сумели — всё в полном порядке

.отправляемся в город Устносчит

Сегодня уравнения будем решать.
Кто хочет получить отметку “5”,
Тогда устный счет пора начинать.

А )Индивидуальная работа.

(2 ученика у доски решают задачи)

Осталось – 10 руб.

Б) Фронтальная работа

(Остальные ученики решают примеры. Учитель показывает карточку с примерами, дети показывают ответ на веерах с цифрами.)

68 –8 83+ 1 57 – 50

6+ 30 48 – 1 70 + 8

Проверка задач: дети рассказывают подробно, как найти неизвестные уменьшаемое, вычитаемое, разность.

В) Повторение пройденного материала.

-Мы отправляемся в город Умельцев.

Там живет одна девочка.

Как у нашей Дины разболелись зубы.
Папа Диночку жалеет, из бумаги куклу клеит.
Чем бы доченьку занять,
Чтобы боль зубную снять?

-Помогите Диночке вставить числа в окошечко так, чтобы равенство было верным.

14+ = 20

16- = 10

-6 = 7

Дети называют, что неизвестно в выражении и как найти неизвестное.

1)Мне неизвестно второе слагаемое, чтобы его найти, надо из суммы вычесть первое слагаемое.

2) Мне неизвестно вычитаемое. Чтобы найти вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность.

3) Мне неизвестно уменьшаемое. Чтобы найти уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое.

-Почему у девочки разболелись зубы? Какие советы Доктора Здоровые зубы мы должны знать? (Дети называют правила, чтобы зубы были здоровыми)

Как поел, почисти зубки.
Делай так два раза в сутки.
Предпочти конфетам фрукты.
Помни правило такое:
К стоматологу идем
В год два раза на прием.
И тогда улыбки свет
Сохранишь на много лет.

5. РАБОТА НАД НОВОЙ ТЕМОЙ.

-Итак, мы приближаемся к городу Узнаево.

-Вам знакома запись — 4=12? (Это пример с окошечком)

-А такая: а+4 ? (Это буквенное выражение)

-Что вы делали в первом случае? (Подбирали число, чтобы запись была верной)

— Что делали во втором случае? (Вместо буквы подставляли числа и вычисляли)

-А сейчас посмотрите на запись, которую принес нам Всезнайка Математик

-На что она похожа? (На пример с “окошком” и на буквенное выражение)

-Что нам говорит знак “=”? (Это равенство)

-Все числа в нем известны? (Нет)

-Какой буквой оно обозначено? (Латинской буквой)

-Если оно неизвестно, перед нами какая стоит задача ? (Найти это число)

-Найдите это число, чтобы равенство было верным. (Это число 8, потому что 8+4=12)

-А знаете, что вы сейчас сделали? Решили уравнение х+4=12

-Попробуем сделать вывод.

Уравнение – это.. (показываю на “=”) (Равенство)

-Которое содержит…(показываю на х) (Неизвестное число)

-Что надо сделать с неизвестным числом? (Его надо найти)

-Кто может сказать. Что такое уравнение? (Дети говорят правило)

-Молодцы! Ваша работа достойна похвалы. А сейчас проверьте себя, прочитав правило в учебнике.

Давайте сделаем упражнение для запоминания: Левую руку положите на живот, а правую – на грудь. Делаем глубокий вдох и выдох , так несколько раз.

Произносим правило еще раз:

-Мы в городе Сумеево. В нем живут зоркие, внимательные человечки. У них хорошее зрение. А почему?

Читаем девиз: Глаза – главные помощники.

Дети называют правила бережного отношения к зрению:

Советы Доктора Здоровья

• не читай лежа, в транспорте;
• смотри телевизор 1-1, 5часа, на расстоянии не менее 3 метров;
• оберегай глаза от попаданий в них инородных предметов;
• при чтении и письме свет должен освещать страницу слева;
• расстояние от глаз до текста должен быть 30 -35 см;
• делай гимнастику для глаз.

Дети выполняют гимнастику для глаз и туловища. В четырех углах класса висят вырезанные из бумаги разных цветов круг, прямоугольник, квадрат, треугольник. Учитель называет эти фигуры в разном порядке, дети встают, находят глазами, поворачивая голову или весь корпус туловища, “ловят комариков”,хлопая в ладоши, не сходя с места.

-Решите уравнения (3 человека у доски)

— Как нашли неизвестное число? (Дети рассказывают алгоритм: 1) Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть другое слагаемое.2) Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность. 3) Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое).

7. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ.

Чтобы задачи верно решать
Необходимо думать, рассуждать.
И, конечно, без ошибок вычислять.
А для этого нужно внимание
И обязательно старание.

Приближаемся в город Задачкино Там живет Доктор Здоровая пища. Он всегда вам давал советы: какие продукты разрушают здоровье, а какие укрепляют. Послушайте задачу, найдите решение, подумайте в какой столбик поставить продукты питания.

(На держалках, прикрепленных к потолку висят карточки с примерами , а на обратной стороне названия продуктов. На доске два столбика: разрушает, укрепляет. Дети слушают условие задачи, находят правильное решение и выбирают в какой столбик поставить данный продукт питания )

20 – 10 + 15 “Пепси-кола”

7 – 3 “Чупа — чупс”

Читаем девиз: Питание – необходимо для жизни человека.

8.РАБОТА НАД ПРОЙДЕННЫМ МАТЕРИАЛОМ.

-Мы сейчас находимся в городе Сосчитайкин где вы должны вспомнить, как решить примеры, применяя устные вычисления сложении и вычитания, и узнаете заповеди здорового человека. Для этого вам необходимо расшифровать их.

Дети решают примеры по вариантам: 1 вариант – “Гномики”, 2 вариант – “Лунтики”.

Диофантовы уравнения

Что такое «решение задач подбором», и можно ли их решать иначе?

По отзывам сибмам, настоящим камнем преткновения в школьном курсе математики не только для учеников, но и для родителей становятся диофантовы уравнения. Что это такое и как их правильно решать? Разобраться нам помогли учитель математики образовательного центра «Горностай» Аэлита Бекешева и кандидат физико-математических наук Юрий Шанько.

Кто такой Диофант?

Еще древние египтяне для удобства рассуждений придумали специальное слово, обозначавшее неизвестное число, но в то время не было еще знаков действий и знака равенства, поэтому и записывать уравнения они не умели.

Первым, кто придумал, как можно записать уравнение, был замечательный ученый Диофант Александрийский. Александрия была большим культурным, торговым и научным центром древнего мира. Этот город существует и сейчас, он находится на Средиземноморском побережье Египта.

Жил Диофант, по-видимому, в III веке н.э. и был последним великим математиком античности. До нас дошли два его сочинения — «Арифметика» (из тринадцати книг сохранилось шесть) и «О многоугольных числах» (в отрывках). Творчество Диофанта оказало большое влияние на развитие алгебры, математического анализа и теории чисел.

А ведь вы знаете кое-что о диофантовых уравнениях…

Диофантовы уравнения знают все! Это задачки для учеников младших классов, которые решаются подбором.

” Например, «сколькими различными способами можно расплатиться за мороженое ценой 96 копеек, если у вас есть только копейки и пятикопеечные монеты?»

Если дать диофантовому уравнению общее определение, то можно сказать, что это алгебраическое уравнение с дополнительным условием: все его решения должны быть целыми числами (а в общем случае и рациональными).

” Зачастую мамы (особенно те, кто окончил школу еще при развитом социализме) полагают, что основная цель таких задач – научить детей расплачиваться мелочью за мороженое. И вот, когда они искренне убеждены, что раскладывание мелочи кучками осталось далеко в прошлом, их любимый семиклассник (или восьмиклассник) подходит с неожиданным вопросом: «Мама, как это решать?», и предъявляет уравнение с двумя переменными. Раньше таких задачек в школьном курсе не было (все мы помним, что уравнений должно быть столько же, сколько и переменных), так что мама не-математик нередко впадает в ступор. А ведь это та же самая задача про мелочь и мороженое, только записанная в общем виде!

Кстати, а зачем к ней вдруг возвращаются в седьмом классе? Все просто: цель изучения диофантовых уравнения – дать основы теории целых чисел, которая дальше развивается как в математике, так и в информатике и программировании. Диофантовы уравнения часто встречаются среди задач части «С» единого госэкзамена. Трудность, прежде всего в том, что существует множество методов решения, из которых выпускник должен выбрать один верный. Тем не менее, линейные диофантовы уравнения ax + by = c могут быть решены относительно легко с помощью специальных алгоритмов.

Алгоритмы для решения диофантовых уравнений

— Изучение диофантовых уравнения начинается в углубленном курсе алгебры с 7 класса. В учебнике Ю.Н. Макарычева, Н.Г. Миндюка приводятся некоторые задачи и уравнения, которые решают с использованием алгоритма Евклида и метода перебора по остаткам, — рассказывает Аэлита Бекешева. — Позже, в 8 – 9 классе, когда уже рассматриваем уравнения в целых числах более высоких порядков, показываем ученикам метод разложения на множители, и дальнейший анализ решения этого уравнения, оценочный метод. Знакомим с методом выделения полного квадрата. При изучении свойств простых чисел знакомим с малой теоремой Ферма, одной из основополагающих теорем в теории решений уравнений в целых числах. На более высоком уровне это знакомство продолжается в 10 – 11 классах. В это же время мы подводим ребят к изучению и применению теории «сравнений по модулю», отрабатываем алгоритмы, с которыми знакомились в 7 – 9 классах. Очень хорошо это материал прописан в учебнике А.Г. Мордковича «Алгебра и начала анализа, 10 класс» и Г.В. Дорофеева «Математика» за 10 класс.

Алгоритм Евклида

Сам метод Евклида относится к другой математической задаче – нахождению наибольшего общего делителя: вместо исходной пары чисел записывают новую пару – меньшее число и разность между меньшим и большим числом исходной пары. Это действие продолжают до тех пор, пока числа в паре не уравняются – это и будет наибольший общий делитель . Разновидность алгоритма используется и при решении диофантовых уравнений — сейчас мы вместе с Юрием Шанько покажем на примере, как решать задачи «про монетки».

— Рассматриваем линейное диофантово уравнение ax + by = c, где a, b, c, x и y — целые числа. Как видите, одно уравнение содержит две переменных. Но, как вы помните, нам нужны только целые корни, что упрощает дело — пары чисел, при которых уравнение верно, можно найти.

Впрочем, диофантовы уравнения не всегда имеют решения. Пример: 4x + 14y = 5. Решений нет, т.к. в левой части уравнения при любых целых x и y будет получаться четное число, а 5 — число нечетное. Этот пример можно обобщить. Если в уравнении ax + by = c коэффициенты a и b делятся на какое-то целое d, а число c на это d не делится, то уравнение не имеет решений. С другой стороны, если все коэффициенты (a, b и c) делятся на d, то на это d можно поделить все уравнение.

Например, в уравнении 4x + 14y = 8 все коэффициенты делятся на 2. Делим уравнение на это число и получаем: 2𝑥 + 7𝑦 = 4. Этот прием (деления уравнения на какое-то число) позволяет иногда упростить вычисления.

Зайдем теперь с другой стороны. Предположим, что один из коэффициентов в левой части уравнения (a или b) равен 1. Тогда наше уравнение уже фактически решено. Действительно, пусть, например, a = 1, тогда мы можем в качестве y взять любое целое число, при этом x = c − by. Если научиться сводить исходное уравнение к уравнению, в котором один из коэффициентов равен 1, то мы научимся решать любое линейное диофантово уравнение!

Я покажу это на примере уравнения 2x + 7y = 4.

Его можно переписать в следующем виде: 2(x + 3y) + y = 4.

Введем новую неизвестную z = x + 3y, тогда уравнение запишется так: 2z + y = 4.

Мы получили уравнение с коэффициентом один! Тогда z — любое число, y = 4 − 2z.

Осталось найти x: x = z − 3y = z − 3(4 − 2z) = 7z − 12.

” В этом примере важно понять, как мы перешли от уравнения с коэффициентами 2 и 7 к уравнению с коэффициентами 2 и 1. В данном случае (и всегда!) новый коэффициент (в данном случае — единица) это остаток от деления исходных коэффициентов друг на друга (7 на 2).

В этом примере нам повезло, мы сразу после первой замены получили уравнение с коэффициентом 1. Такое бывает не всегда, но и мы можем повторять предыдущий трюк, вводя новые неизвестные и выписывая новые уравнения. Рано или поздно после таких замен получится уравнение с коэффициентом 1.

Давайте попрообуем решить более сложное уравнение, предлагает Аэлита Бекешева.

Рассмотрим уравнение 13x — 36y = 2.

Шаг №1

36/13=2 (10 в остатке). Таким образом, исходное уравнение можно переписать следующим образом: 13x-13 * 2y-10y=2. Преобразуем его: 13(x-2y)-10y=2. Введем новую переменную z=x-2y. Теперь мы получили уравнение: 13z-10y=2.

Шаг №2

13/10=1 (3 в остатке). Исходное уравнение 13z-10y=2 можно переписать следующим образом: 10z-10y+3z=2. Преобразуем его: 10(z-y)+3z=2. Введем новую переменную m=z-y. Теперь мы получили уравнение: 10m+3z=2.

Шаг №3

10/3=3 (1 в остатке). Исходное уравнение 10m+3z=2 можно переписать следующим образом: 3 * 3m+3z+1m=2. Преобразуем его: 3(3m+z)+1m=2. Введем новую переменную n=3m+z. Теперь мы получили уравнение: 3n+1m=2.

Ура! Мы получили уравнение с коэффициентом единица!

m=2-3n, причем n может быть любым числом. Однако нам нужно найти x и y. Проведем замену переменных в обратном порядке. Помните, мы должны выразить x и y через n, которое может быть любым числом.

y=z-m; z=n-3m, m=2-3n ⇒ z=n-3 * (2-3n), y=n-3*(2-3n)-(2-3n)=13n-8; y=13n-8

x=2y+z ⇒ x=2(13n-8)+(n-3*(2-3n))=36n-22; x=36n-22

Пусть n=5. Тогда y=57, x=158. 13_*(158)-36 _* (57)=2

Да, разобраться не очень просто, зато теперь вы всегда сможете решить в общем виде задачи, которые решаются подбором!

Решаем задачи на подбор чисел

Примеры задач для учеников младших классов, которые решаются подбором: посоревнуйтесь с ребенком, кто решит их быстрее: вы, используя алгорит Евклида, или школьник — подбором?

Задача про лапы

Условия

В клетке сидят куры и кролики. Всего у них 20 лап. Сколько там может быть кур, а сколько — кроликов?

Решение

Пусть у нас будет x кур и y кроликов. Составим уравнение: 2х+4y=20. Сократим обе части уравнения на два: x+2y=10. Следовательно, x=10-2y, где x и y — это целые положительные числа.

Ответ

Число кроликов и куриц: (1; 8), (2; 6), (3; 4), (4; 2), (5; 0)

Согласитесь, получилось быстрее, чем перебирать «пусть в клетке сидит один кролик. »

Задача про монетки

Условия

У одной продавщицы были только пяти- и двухрублевые монетки. Сколькими способами она может набрать 57 рублей сдачи?

Решение

Пусть у нас будет x двухрублевых и y пятирублевых монеток. Составим уравнение: 2х+5y=57. Преобразуем уравнение: 2(x+2y)+y=57. Пусть z=x+2y. Тогда 2z+y=57. Следовательно, y=57-2z, x=z-2y=z-2(57-2z) ⇒ x=5z-114. Обратите внимание, переменная z не может быть меньше 23 (иначе x, число двухрублевых монеток, будет отрицательным) и больше 28 (иначе y, число пятирублевых монеток, будет отрицательным). Все значения от 23 до 28 нам подходят.