Решение уравнений в области действительных чисел
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Описание презентации по отдельным слайдам:
Тема: Решение уравнений в области действительных чисел Цели: Дидактическая цель Раскрыть понятия модуля Научить решать уравнения по определению Развивающая цель Развить логическое мышление, память и выработать познавательный интерес Воспитывающая Выработать умение анализировать, сравнивать, проводить контроль и самоконтроль и взаимоконтроль
Ход урока Оргмомент Сегодня на уроке мы изучаем тему уравнения в которых неизвестное стоит под знаком модуля Новый материал Фронтальная беседа Дайте определения модуля — |f(x) | =a, где а > 0 f(x)≥0 |f(x)| = f(x) f(x) . » title=»Задание Использовать определение модуля, решите уравнение |x-2|=2 => x-2=2 =>. » onclick=»aa_changeSlideByIndex(2, 0, true)» >
Задание Использовать определение модуля, решите уравнение |x-2|=2 => x-2=2 => x1=5 x-3=-2 => x2=1
Решить уравнение Задание №2 |sinx+cosx| =1 Решение sinx+cosx =1 sinx+cosx =-1 cos(п/2-а)+cosа=1 2cosп/4*cos(п/4-а)=1 Cos(x-п/4)=ᴠ 2 /2 х1=п/4+-п/4=2пк, к — целое
Продолжение решения sinx+cosx =-1 Cos(x-п/4)=-ᴠ 2 /2 х2=п/4+-3/4п+2пк, к — целое Ответ: х2=п/4+-3/4п+2пк х1=п/4+-п/4+2пк
Уравнение вида F | x | = a Учитель : При решении уравнения такого вида, данное уравнение распадается на совокупность двух смешанных систем F (x)= a 2) f(-x)=a X ≥ 0 x≤0 Функция F(x)=f | x |-a- четное Её корни будут существовать парами противоположных чисел, т.е. а1-корень данного уравнения, то и (–а1) так же корень данного уравнения. Вывод: значит достаточно решить лишь одну из этих систем.
Пример Решить уравнение x²- | x | = 6 x²- x = 6 x² — x — 6 = 0 => x1=3 x2=-2 x ≥ 0 решение данного уравнения X=±3
Геометрическая иллюстрация решения данного уравнения Y=x²- | x | y Y = 6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 x
Решение уравнений вида F | x | = q(x) Данное уравнение распадается на совокупность двух смешанных систем: F(x) = q(x) и F(x) = -q(x) q(x) ≥ 0 q(x) ≥ 0
Решим уравнение | 2х- 5 | = х-1 Составим две системы 2х-5=х-1 и 2х-5=1-х Х-1 ≥0 Х-1 ≥0 Х=4 и х=2 х ≥1 х ≥1 Ответ: х=4 х=2
Задание Выполните геометрическую иллюстрацию данного уравнения
Решить данное уравнение | х/2-5/4 |= х-1 Учитель: вы можете решить это уравнение? Ответ: Что необходимо решить? — 2 системы Составьте эти системы проверим: х/2-5/4=х-1 и х/2-5/4=1-х Х-1 ≥0 х-1 ≥0 Ответ: х=3/2
Геометрическая иллюстрация подтверждает данное решение У=| х/2-5/4 | У=х-1 у 1,5 2,5 х
Самостоятельно решить задания |2х-5 |=2-х | -4 |= x² — 4 |sinx|= sinx Решение: проверяем у доски x²
Итог урока Что изучали на уроке? Какие уравнения научились решать? Домашнее задание lg | Рефлексия Оцените свои знания Сможете ли вы сами самостоятельно справиться с домашним заданием x²-x-1/x²+x-2 |=0
Краткое описание документа:
Данную тему я рассматриваю на элективном курсе, тема сложная, но рассматривать такие виды уравнений необходимо, так как данный материал может быть использован на ЕГЭ. Рассматриваю решения уравнения с модулями, решаю уравнения высших степеней используя теорему Гезу и схему Горнера, метод рационализации и применяю свойства функций.
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
- Сейчас обучается 932 человека из 80 регионов
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
- Сейчас обучается 682 человека из 75 регионов
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
- Сейчас обучается 308 человек из 69 регионов
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Дистанционные курсы для педагогов
Самые массовые международные дистанционные
Школьные Инфоконкурсы 2022
33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»
Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
5 573 309 материалов в базе
Другие материалы
- 15.02.2018
- 1063
- 1
- 15.02.2018
- 894
- 0
- 15.02.2018
- 537
- 5
- 15.02.2018
- 1593
- 2
- 15.02.2018
- 425
- 2
- 15.02.2018
- 235
- 0
- 15.02.2018
- 1036
- 0
- 15.02.2018
- 1079
- 1
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Добавить в избранное
- 15.02.2018 1061
- PPTX 100.1 кбайт
- 0 скачиваний
- Оцените материал:
Настоящий материал опубликован пользователем Абрамова Светлана Ивановна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Автор материала
- На сайте: 4 года
- Подписчики: 0
- Всего просмотров: 12043
- Всего материалов: 17
Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов
Дистанционные курсы
для педагогов
663 курса от 690 рублей
Выбрать курс со скидкой
Выдаём документы
установленного образца!
Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки
Время чтения: 11 минут
Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга
Время чтения: 1 минута
Инфоурок стал резидентом Сколково
Время чтения: 2 минуты
Количество бюджетных мест в вузах по IT-программам вырастет до 160 тыс.
Время чтения: 2 минуты
В Ленобласти школьники 5-11-х классов вернутся к очному обучению с 21 февраля
Время чтения: 1 минута
Полный перевод школ на дистанционное обучение не планируется
Время чтения: 1 минута
В России могут объявить Десятилетие науки и технологий
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
Действительные числа — определение и вычисление с примерами решения
Содержание:
Действительные числа
В основе применения математических методов при решении практических задач лежат вычисления и измерения. При счете используются натуральные числа. При делении целого на части натуральных чисел недостаточно. Поэтому вводятся дробные числа. Длину отрезка можно выразить с помощью рационального числа с любой точностью. В теоретических вычислениях приходится рассматривать отрезки, длины которых не выражаются с помощью рациональных чисел. По этой причине вводится понятие иррационального числа. Изменение значений величины в противоположном направлении удобнее показать отрицательными числами.
Действительные числа
Рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных чисел. Любое действительное число можно представить в виде бесконечной десятичной дроби. Для любого действительного числа 
Два действительных числа, отличающиеся только знаками, называются противоположными числами. и —взаимно противоположные числа. Сумма двух противоположных чисел равна нулю: 
При 
, и 
являются взаимно обратными числами. Произведение двух взаимно обратных чисел равно единице: 
. Сумма, разность, произведение и отношение (делитель отличен от 0) двух действительных чисел является действительным числом. Каждой точке числовой оси соответствует одно определенное действительное число и, наоборот, каждое действительное число можно изобразить единственной точкой на числовой оси.
Для любых действительных чисел 
и 
верно только одно из соотношений: 
На числовой оси число, соответствующее точке, расположенной правее, больше числа, соответствующего точке, расположенной левее. Между двумя действительными числами существует бесконечное число действительных чисел. Наибольшее целое число, не превосходящее данное число, называется целой частью этого числа.
Абсолютная величина действительного числа показывает расстояние на числовой оси от точки, соответствующей этому числу, до начала отсчета.
Расстояние между двумя точками числовой оси равно абсолютной величине разности их координат и то есть, 
Обратите внимание на то, что 
Действительные (вещественные числа)
Числа рациональные и иррациональные, положительные и отрицательные, получили название действительных или вещественных чисел. Геометрически действительные числа изображаются точками числовой оси — прямой, на которой указано положительное направление, масштаб и начальная точка (т.е. точки, изображающие 0 и 1).
Комплексные числа. Однако не успело ещё закрепиться новое расширенное понятие числа, как в процессе развития математики обнаружилось, что и новое понятие является также неудовлетворительным. В частности, решение квадратных уравнений уже на самой ранней ступени развития алгебры привело в области действительных чисел операции извлечения корня из отрицательного числа. Выяснилось, что среди действительных чисел нет ни одного такого, квадрат которого был бы величиной отрицательной, следовательно, и корень
квадратный из отрицательной величины 
не может быть выражен никаким действительным числом.
Мнимое число имеет вид 
где 
— действительное число, а i — «мнимая единица», определяемая равенством 
Выражение 
называется комплексным числом. Комплексные числа введены в алгебру в середине 16-го в. в связи с решением кубического уравнения. С конца 17-го в. они применяются и в математическом анализе.
Абсолютная величина действительного числа
Абсолютной величиной (или модулем) действительного числа х (обозначается |х|) называется неотрицательное действительное число,
удовлетворяющее условиям: 
Свойства абсолютных величин:
1. 
2. 
3. 
4. Пусть 
— положительное число, тогда неравенства 
и 
равносильны.
5. Для любых двух действительных чисел справедливы неравенства 
6. Для любых двух действительных чисел справедливы неравенства
7. 
8. 
9. 
Постоянные и переменные величины
Постоянной величиной называется величина, численные значения которой не меняются.
Величина с одним и тем же названием может быть постоянной (скорость равномерного движения) или переменной (скорость равномерно ускоренного движения).
Величины, которые сохраняют своё значение в любом явлении, называются абсолютными постоянными, например число 
Переменной величиной называется величина, которая принимает различные числовые значения.
Совокупность всех числовых значений переменной величины называется областью изменения этой величины.
Промежутком или открытым интервалом (а,b) называется совокупность всех чисел х, заключенных между данными числами 
причем сами эти числа не принадлежат рассматриваемой совокупности чисел 
Отрезком или закрытым интервалом 
называется совокупность всех чисел х, заключенных между данными числами 
причем оба эти числа принадлежат рассматриваемой совокупности чисел 
Естественным образом определяются полуоткрытые интервалы, т.е. промежутки, открытые с одной стороны. Например: 
или 
Определения интервалов можно сформулировать, используя вместо понятия «число» понятие «точка».
Окрестностью данной точки 
называется произвольный интервал 
содержащий эту точку внутри себя.
Действительные числа
Число является одной из основных математических абстракций, изучению которой может быть посвящен самостоятельный курс. Из многих концепций построения множества действительных чисел приведем аксиоматическую.
Определение 1.17. Множество R называется множеством вещественных чисел, а его элементы — вещественными (действительными) числами, если выполнен следующий комплекс условий, называемый аксиоматикой вещественных чисел:
1. Аксиомы сложения
Определено отображение (операция сложения: + ), действующее из 
в 
, которое каждой упорядоченной паре (x, y) элементов x, y из 
ставит в соответствие некоторый элемент x + y ∈ 
, называемый суммой x и y . При этом выполняются условия:
(a) x + y = y + x, ∀x, y ∈ 
(коммутативность сложения);
(b) в 
существует нейтральный элемент, называемый нулем, обозначаемый 0, такой, что x + 0 = x, ∀x ∈ 
;
(c) для любого элемента x ∈ 
в 
существует элемент, называемый противоположным к x, обозначаемый (-x), такой, что x + (-x) = 0;
(d) x + (y + z) = (x + y) + z, ∀x, y, z ∈ 
(ассоциативность сложения).
2. Аксиомы умножения
Определено отображение (операция умножения: •), действующее из 
× 
в 
, которое каждой упорядоченной паре (x, y) элементов x, y из 
ставит в соответствие некоторый элемент x ∙ y ∈ 
, называемый произведением x и y . При этом выполняются условия:
(a) x ∙ y = y ∙ x, ∀x,y ∈ 
(коммутативность умножения);
(b) в 
\ <0>существует нейтральный элемент, называемый единицей, обозначаемый 1, такой, что 1 ∙ x = x, ∀x ∈ 
;
(c) для любого элемента x ∈ 
\ <0>существует в 
\ <0>обратный элемент, обозначаемый 1/x или x-1, такой, что x ∙ (1/x) = 1;
(d) x ∙ (y ∙ z) = (x ∙ y) ∙ z, ∀x,y,z ∈ 
(дистрибутивность умножения). Операции сложения и умножения связаны условием:
(e) (x + y) ∙ z = x ∙ z + y ∙ z, ∀x,y., z ∈ 
(дистрибутивность умножения по отношению к сложению).
Множество, на котором определены обе операции, и которые удовлетворяют группам аксиом 1 и 2, называется алгебраическим полем.
(Часто знак операции умножения в математических выражениях опускают и вместо x ∙ y пишут xy.)
3. Аксиомы порядка
Для любых элементов x, y ∈ определено отношение 
, то есть либо x 
y, либо y 
x. При этом выполняются условия:
(a) x 
x, ∀x ∈ ;
(b) если x, y ∈ таковы, что x 
y и y 
x, то x = y;
(c) если x, y, z ∈ таковы, что x 
y и y 
z, то x 
z (транзитивность);
(d) если x, y, z ∈ и x 
y, то x + z 
y + z;
(e) если x,y ∈ и 0 
x, 0 6 y, то 0 
x ∙ y.
Отношение называют отношением неравенства и читают: «не превосходит» или «меньше или равно». Множество, между элементами которого имеется отношение , удовлетворяющее аксиомам 3, называется упорядоченным. Поэтому множество является упорядоченным алгебраическим полем.
4. Аксиома полноты (непрерывности)
Если X и Y — непустые подмножества множества , обладающие тем свойством, что для любых элементов x ∈ X и y ∈ Y выполняется неравенство x y, то существует такое число c, что
x c y, ∀x ∈ X, ∀y ∈ Y.
Эту аксиому часто называют принципом отделимости.
Можно доказать, что во введенном множестве R имеют место все, известные из школьного курса математики, свойства чисел. Желающие могут получить их самостоятельно или изучить соответствующий раздел в книгах [2] или [6].
Важнейшие подмножества действительных чисел
Определение 1.18. Множество X ⊂ называется множеством натуральных чисел, а его элементы — натуральными числами, если X — наименьшее числовое множество, которое содержит единицу и вместе с каждым элементом x содержит элемент x + 1.
Множество натуральных чисел обозначают через 
, а его произвольный элемент — через n. Число 1 + 1 ∈ 
обозначают символом 2 и называют двойкой, число 2 + 1 обозначают символом 3 и называют тройкой и так далее. Можно доказать, что
0 
1 
2 
∙∙∙ 
n
n + 1 
. и 
= <1, 2. n,n + 1. >.
Прямым следствием определения 1.18 является принцип математической индукции.
Если подмножество E множества натуральных чисел 
таково, что 1 ∈ E и вместе с числом x ∈ E множеству E принадлежит x + 1, то E = 
.
Иллюстрируя этот принцип в действии, докажем с его помощью формулу, называемую формулой бинома Ньютона:
(1.1)
В этой формуле a, b — произвольные действительные числа, n — произвольное натуральное число, 
Пусть E — множество тех натуральных чисел n, для которых справедлива формула (1.1). При 
, что соответствует формуле (1.1). Поэтому n = 1 ∈ E.
Покажем, что если n ∈ E , то n + 1 ∈ E :
Но 
и при k = 1,2,3. n,
Таким образом, n + 1 ∈ E и, следовательно, E = 
.
Числа 
= 0, 1, 2, . . . n, называют биномиальными коэффициентами. Из формулы (1.1) следует, что
Определение 1.19. Множество, состоящее из всех натуральных чисел, им противоположных и нуля называют множеством целых чисел и обозначают символом Z.
Определение 1.20. Множество 
| m ∈ 
, n ∈ 
> называют множеством рациональных чисел и обозначают через 
. Элемент 
множества 
называют рациональным числом.
Можно доказать, что 
(например, можно доказать, что в не существует числа s такого, что s ∙ s = 2).
Определение 1.21. Действительные числа, которые не являются рациональными, называются иррациональными.
Часто полезна «геометрическая терминология в которой множество называют числовой прямой, его элементы — точками числовой прямой.
Пусть a, b ∈ и a 
b, то есть a 
b и a 
b. Введем следующие обозначения и названия для перечисленных ниже числовых множеств:
[a, b] := | a 
x 
y> — отрезок ab (или сегмент ab);
(a, b) := | a 
x 
b> — интервал ab;
(a, b] := | a 
x 
b> — полуинтервал ab, содержащий b;
[a, b) := | a 
x 
b> — полуинтервал ab, содержащий a.
Введенные множества называют промежутками, числа a и b — их концами, число b — a — длиной промежутка.
Часто удобно дополнить множество элементами, обозначаемыми символами +∞ и -∞, которые называют соответственно плюс бесконечность и минус бесконечность. При этом считают, если a ∈ R, что
-∞ 
+∞; -∞ 
a 
+∞,
+∞ + (+∞) = +∞; a + (+∞) = +∞,
-∞ + (-∞) = -∞; a + (-∞) = -∞,
+∞ ∙ (+∞) = +∞, -∞ ∙ (-∞) = +∞,
±∞ ∙ a = ±∞, если a > 0,
±∞ ∙ a = ±∞, если a 
0.
Множество , дополненное символами +∞ и -∞, называется расширенным множеством действительных чисел (расширенной числовой прямой) и обозначается . Следующие множества (a ∈ ) называют неограниченными промежутками:
[a, +∞) = | x ≥ a>, (a, +∞) = | a 
x>,
(-∞, a] = | x a>, (-∞, a) = | x 
a>,
В этих обозначениях часто пишут: = (-∞, +∞).
Действительные числа
Определение действительного числа по Дедекинду
Одним из основных понятий, изучаемых в курсе математического анализа, является понятие действительного числа. Оно возникает в школьном курсе элементарной алгебры фактически на интуитивном уровне как развитие понятия о числе — от натуральных чисел к целым, от целых к рациональным, от рациональных к действительным. В нашу задачу не входит сейчас аккуратное выведение этой цепочки из основных представлений о натуральных числах и их свойствах. Будем считать, что понятие рационального числа и основные свойства рациональных чисел, а также другие вопросы школьного курса элементарной алгебры (в частности, основная символика теории множеств) хорошо известны. Напомним, что множество натуральных чисел обозначается N, множество целых чисел — Z. множество рациональных чисел — Q.
При переходе к действительным числам (множество которых обозначается R) возникает качественно новое понятие непрерывности, присущее именно математическому анализу Поэтому этот шаг будет разобран подробно и аккуратно.
Определение 1.1. Сечением а множества рациональных чисел Q называется такое разбиение Q на два непустых множества 
, что для всех 
выполняется неравенство х 2 = 2.
Легко видеть, что в примере 1) в нижнем классе А есть наибольший элемент в верхнем классе А’ нет наименьшего элемента. В примере 2) в A нет наибольшего элемента, в А’ есть наименьший. В примере 3) в A нет наибольшего элемента, в А’ нет наименьшего.
Докажем, например, что в примере 3) в A нет наибольшего элемента (значком □ будем обозначать начало доказательства, значком ■ — конец доказательства).
□ Доказательство от противного. Пусть в А есть наибольший элемент г. Тогда г > 0, г 2 2 
2, что заведомо выполняется при 
т.е. при 
Для таких n число 
: это противоречит тому, что г — наибольший элемент в А. Значит, в А нет наибольшего элемента. ■
Докажем теперь, что невозможен случай, когда в А есть наибольший элемент, в А’ есть наименьший.
□ Пусть существуют 
— соответственно наибольший и наименьший элементы в этих классах. Выберем рациональное число 
такое, что 
(например, 
. Так как 
, то 
, так как 
, то 
— это невозможно, так как любое рациональное число принадлежит либо А, либо А’.
Итак, существуют сечения трёх типов.
I. В нижнем классе есть наибольший элемент, в верхнем нет наименьшего.
II. В нижнем классе нет наибольшего элемента, в верхнем есть наименьший.
III. В нижнем классе нет наибольшего элемента, в верхнем нет наименьшего.
Определение 1.2. Иррациональным числом называется сечением III типа.
В случаях I и II говорят, что сечение производится рациональным числом (соответствующим наибольшему элементу в нижнем классе или наименьшему в верхнем). Сечения I и II типов отождествляются с соответствующими рациональными числами. Чтобы соответствие было взаимно однозначным, сечения типа I в дальнейшем не рассматриваются.
Например, сечение в примере 1) мы не будем рассматривать. Сечение в примере 2) — это рациональное число 1. Сечение в примере 3) — это иррациональное число (которое естественно объявить корнем квадратным из 2, не придавая пока этому термину строгого смысла).
Определение 1.3. Действительным (вещественным) числом называется любое сечение II или III типов. Множество действительных чисел обозначается R. Сечения II типа отождествляются с соответствующими рациональными числами.
У сечений, соответствующих действительным числам, в нижнем классе нет наибольшего элемента. Если в верхнем классе есть наименьший элемент — сечение является рациональным числом, если нет — иррациональным.
Определение 1.4. Два действительных числа 
называются равными, если А = В, А’ = В’ (совпадают как множества, достаточно требовать только А = В).
Определение 1.5. Рассмотрим два неравных действительных числа 
. Говорят, что 
, если 
(т.е. 
) 
, если 
(т.е. 
; включения множеств считаются строгими.
Символ > читается «больше», символ М.
Запишем окончательно на языке кванторов, что означает неограниченность множества X сверху:
Наблюдая преобразование (1.1) в (1.2), мы можем сформулировать формальное правило построения отрицаний в позитивном смысле:
1) кванторы меняются друг на друга, т.е. 
превращается в 
превращается в ;
2)высказывания, стоящие при кванторах, не меняются;
3)существенные высказывания, не стоящие при кванторах, меняются на противоположные.
Пример 1.2. Множество N натуральных чисел ограничено снизу 
, но не является ограниченным сверху 
— принцип Архимеда).
Определение 1.8. Действительное число л называется точной верхней гранью множества 
, если это число является верхней границей множества X, а никакое меньшее число не является верхней границей X.
На языке кванторов это описывается как конъюнкция (т.е. одновременное выполнение) двух высказываний:
Логический символ 
(«и») означает одновременное выполнение двух высказываний.
Точная верхняя грань обозначается sup («supremum»):
Определение 1.9. Действительное число 
называется точной нижней гранью множества 
, если это число является нижней границей множества X, а никакое большее число не является нижней границей X.
На языке кванторов записывается конъюнкция двух высказываний:
Точная нижняя грань обозначается inf («infimum»):
Из определений следует, что sup X — это наименьшая из верхних границ множества X, a inf X — это наибольшая из нижних границ. Пока ниоткуда не следует, что эти наименьшая из верхних и наибольшая из нижних границ существуют. Дело в том, что ограниченное сверху множество может иметь наибольший элемент, а может и не иметь; ограниченное снизу множество может иметь наименьший элемент, а может и не иметь.
Лемма 1.2. Если множество 
имеет наибольший элемент а, то а = sup X. Если множество 
имеет наименьший элемент , то 
□ Доказательство приведём для наибольшего элемента, вторая часть доказывается аналогично.
Так как а — наибольший элемент X, то для всех 
выполнено неравенство 
. С другой стороны, какое бы число 
мы ни взяли, число л является элементом множества, и 
; значит, для любого 
найдётся элемент X, больший а’. Доказано, что а = supX. ■
Но может быть и так, что во множестве нет наибольшего (наименьшего) элемента, а точная верхняя (нижняя) грань существует. В этом случае говорят, что точная верхняя (нижняя) грань не достигается.
Пример 1.3. Пусть 
—множество всех чисел вида 
. Очевидно, наибольшим элементом множества является число 1; по лемме 1.2 supX = 1 (точная верхняя грань множества достигается).
С другой стороны, ясно, что при всех 
выполняется неравенство 
; множество ограничено снизу, но наименьшего элемента в нём нет. Докажем, что inf X = 0 (таким образом, точная нижняя грань не достигается).
□ В самом деле, для всех 
выполняется неравенство 
Но какое бы число 
мы ни взяли, найдутся рациональное число г такое, что 
(теорема 1.2), и натуральное число п такое, что 
т.е. 
(свойства неравенств между рациональными числами мы считаем известными). Поэтому 
. Итак, для любого 
найдётся число 
такое, что 
. Доказано, что inf X = 0. ■
Теорема 1.5 (о точной верхней (нижней) грани). Для любого непустого множества действительных чисел, ограниченного сверху, существует и единственна точная верхняя грань. Для любого непустого множества действительных чисел, ограниченного снизу, существует и единственна точная нижняя грань.
□ Доказательство проведём для точной верхней грани, вторая часть доказывается аналогично (отметим, что пустое множество формально является ограниченным сверху и снизу, но говорить о точных верхней и нижней гранях бессмысленно).
Пусть сначала ограниченное сверху множество 
имеет наибольший элемент. Тогда по лемме 1.2 этот элемент является точной верхней гранью.
Пусть теперь в X нет наибольшего элемента. Проведём сечение во множестве К так, что А’ — это все верхние границы X (они существуют в силу ограниченности X сверху), а 
— все остальные числа. Ясно, что 
, для любых 
выполняется неравенство 
(ясно, что 
, но если 
, то число х больше некоторой верхней границы, значит, х — тоже верхняя граница, а это не так). При этом 
(если какой-то элемент X является верхней границей, то он наибольший в X, а мы рассматриваем случай, когда наибольшего элемента нет).
По теореме Дедекинда существует действительное число a либо наибольшее в 
, либо наименьшее в 
. Но если a — наибольшее число в 
, то, так как 
— верхняя граница для X, т.е. 
— противоречие. Значит, a — наименьшее число в 
(наименьшая из верхних границ). Итак, а — верхняя граница X, а никакое меньшее число верхней границей не является, т.е. a = supX.
Докажем теперь, что точная верхняя грань единственна. Пусть a = supX и 
= supX. a 0, a inf X = 0.
Определение 1.10. Если множество 
неограничено сверху, то по определению supX = 
. Если множество 
неограничено снизу, то по определению inf X = 
.
Представление действительных чисел бесконечными десятичными дробями
Пусть действительное число а не является целым числом или конечной десятичной дробью. Рассмотрим соответствующее сечение во множестве рациональных чисел 
(в нижнем классе А нет наибольшего элемента).
Обозначим через со наибольшее целое число в А. Тогда 
— наименьшее целое число в А’. Так как а не целое, то 
. Разобьём отрезок 
на 10 отрезков равной длины 
и выберем из них тот, который содержит число
(a не совпадает с концом отрезка, так как не является конечной десятичной дробью).
Снова разбиваем полученный отрезок на 10 отрезков равной длины 0,01 и т.д., на n-м шагу получим
Здесь 
— «цифры», т.е. целые числа, принимающие значения 0,1, . 9. Длина отрезка на n-м шаге равна 
, а концы символически записываются в виде конечных десятичных дробей:
Естественно, что если сn = 9, то при переходе к правому концу отрезка предыдущую цифру 
нужно увеличить на 1, а вместо сn + 1 написать 0. Если 
, то при переходе к правому концу отрезка 
нужно увеличить на 1, и вместо 
написать нули.
Так как а не является конечной десятичной дробью, то процесс никогда не оборвётся, и мы получим бесконечную последовательность цифр 
Бесконечную десятичную дробь 
можно считать представлением действительного числа а.
Например, для числа 
:
Описанная выше конструкция даст следующие интервалы:
Левый конец соответствующего интервала длины 
обычно называют десятичным приближением n-го порядка числа a с недостатком, правый конец — десятичным приближением n-го порядка числа а с избытком; применяются обозначения соответственно 
. Например:
Бесконечная десятичная дробь 
является представлением числа .
Интересно отмстить, что в такой конструкции для числа 
и т.д. Поэтому = 
и т.д.; 
Представлением числа 
является бесконечная десятичная дробь 
Легко видеть, что для любого 
причем 
Особое значение имеет случай, когда а — конечная десятичная дробь с n знаками после запятой:
или целое число: 
Случай целого a можно рассматривать как частный случай конечной десятичной дроби при n = 0.
В описанной выше конструкции после n-го шага процесс оборвётся. Число ft будет являться общим концом двух отрезков длины 
Если a рассматривается как левый коней, правого из двух возникших отрезков, то получим уже привычную десятичную дробь:
(для иллюстрации общности процесса мы дополнили её бесконечной последовательностью нулей). Если же a рассматривать как правый конец левого из двух возникших отрезков, то а представляется как бесконечная дробь, в которой начиная с (n + 1)-го места после запятой идут девятки:
Таким образом, конечная десятичная дробь имеет два десятичных представления (с нулями, начиная с некоторого места, и с девятками, начиная с некоторого места). Например:
В любом случае при 
причём 
Докажем теперь очень важную лемму, которая неоднократно будет использоваться в дальнейшем в теории действительных чисел.
Лемма 1.4. Пусть a —действительное число. Тогда для любого рационального положительного числа s найдутся paциональные числа 
такие, что 
Иными словами, любое действительное число может быть зажато между двумя сколь угодно близкими рациональными числами.
□ Если a — рациональное число, то возьмём 
Ясно, что 
Если а — иррациональное число, то, во всяком случае, л не является конечной десятичной дробью, и 
Поэтому можно взять 
(неравенство 
при любом натуральном n легко доказывается, например, по индукции). По принципу Архимеда для любого положительного рационального числа 
найдётся натуральное число 
значит, 
Мы видели, что любое действительное число представляется бесконечной десятичной дробью. Это представление единственно, если действительное число не является целым или конечной десятичной дробью, в противном случае таких представлений два. Докажем обратное утверждение.
Теорема 1.6. Любая бесконечная десятичная дробь является представлением некоторого действительного числа, причем это число определяется единственным образом.
□ Пусть 
— бесконечная десятичная дробь 
. Рассмотрим при 
, рациональные числа 
и 
— приближения для данной дроби с недостатком и с избытком соответственно. Ясно, что для всех 
выполняется неравенство 
, поэтому 
Пусть теперь 
Тогда
Применяя формулу суммы членов геометрической прогрессии, получим
поэтому 
. Итак, при любых натуральных значениях m и n выполняется неравенство 
.
Рассмотрим множества рациональных чисел
При фиксированном 
выполняется неравенство 
для любого натурального n, поэтому множество А ограничено сверху, и по лемме 1.3 его точная верхняя грань
Аналогично, при фиксированном выполняется неравенство 
для любого натурального n, поэтому множество В ограничено снизу, и по лемме 1.3 его точная нижняя грань
Из леммы 1.3 и последнего неравенства, верного при всех , следует, что 
. Итак, при всех 
имеют место неравенства 
и 
при 
( 
— произвольное положительное рациональное число). По лемме 1.1 а = 
. Так как 
при 
, то данная бесконечная десятичная дробь является представлением числа а.
Единственность искомого действительного числа следует из леммы 1.1. В самом деле, если два числа 
являются представлениями одной и той же бесконечной десятичной дроби, то из неравенств 
(где — произвольное положительное рациональное число) следует, что 
Арифметические операции с действительными числами
Нам предстоит определить для действительных чисел арифметические операции (сложение, вычитание, умножение, деление) так, чтобы сохранялись привычные свойства этих операций, а для рациональных чисел результаты операций не отличались от обычных.
Пусть 
— два действительных числа. Будем рассматривать всевозможные рациональные числа 
удовлетворяющие неравенствам
Определение 1.11. Суммой 
действительных чисел называется действительное число 
такое, что для любых рациональных чисел 
удовлетворяющих неравенствам (1.5), выполняется неравенство
Докажем корректность этого определения. Иными словами, докажем, что такое действительное число существует, определено единственным образом, а в случае рациональных построенное таким образом число совпадает с суммой рациональных чисел .
□ I) Существование. Рассмотрим множество всевозможных сумм <а + b>в условиях (1.5). Оно ограничено сверху некоторой суммой 
Рассмотрим число 
в условиях (1.5).
Тогда при выполнении условий (1.5) 
. Но так как при фиксированных 
в условиях (1.5) выполняется неравенство 
для любых a, b в условиях (1.5), то по лемме 1.3, 
. Итак, в условиях (1.5) 
. Исключим равенства. Пусть найдутся a, b такие, что 
. Но по теореме 1.2 найдутся рациональные числа 
такие, что 
. Значит, 
, что противоречит определению 
как sup в условиях (1.5). Значит, 
. Аналогично показывается, что 
Построенное число удовлетворяет условиям (1.6).
II) Единственность. По лемме 1.4 для любого положительного рационального числа 
найдутся рациональные числа 
в условиях (1.5) такие, что 
. Тогда
и эта разность может быть сделана сколь угодно малой. По лемме 1.1 существует единственное действительное число 7, удовлетворяющее условиям (1.6).
III) Преемственность. Если 
— оба рациональные числа, то их обычная рациональная сумма 
удовлетворяет определению 1.11, и в силу единственности другой суммы быть не может. ■
Теперь нужно показать, что привычные свойства операции сложения сохраняются для определённого таким образом сложения действительных чисел. Ввиду большого количества этих свойств будут проведены доказательства лишь некоторых из них; доказать остальные читатели смогут самостоятельно (наиболее существенные моменты будут показаны в доказательствах, приведённых здесь).
Свойства сложения действительных чисел
1) 
(коммутативность).
□ Рассмотрим рациональные числа 
удовлетворяющие условиям (1.5). Тогда для чисел 
(пока мы не знаем, что они равны)
Так как сложение рациональных чисел коммутативно, то а
, поэтому действительные числа 
заключены в одних и тех же границах, разность между которыми может быть сделана сколь угодно малой (аналогично II в доказательстве корректности определения 1.11). По лемме 1.1 
2) 
(ассоциативность).
3)
4)Для любого действительного числа а найдётся число 
, называемое противоположным числом и обозначаемое 
такое, что 
□ Если а — рациональное число, то 
, где (-а) — соответствующее рациональное число. Пусть теперь 
— иррациональное число. Рассмотрим число 
такое, что 
— множество всех элементов 
со знаком минус, 
— множество всех элементов А со знаком минус. Очевидно, что это сечение, где в нет наибольшего, а в нет наименьшего элемента, т.е. 
— иррациональное число. Рассмотрим всевозможные рациональные числа 
такие, что 
, тогда 
. По определению суммы действительных чисел число 
удовлетворяет неравенствам 
По лемме 1.4 разность а’ — а может быть сделана меньше 
где 
— произвольное положительное рациональное число. Тогда разность 
, и по лемме 1.1 
■
Так как операция сложения во множестве действительных чисел удовлетворяет условиям 1) — 4), то на языке высшей алгебры «действительные числа образуют коммутативную группу по сложению». В такой группе противоположный элемент всегда определён единственным образом.
5)Если 
— два противоположных числа для действительного числа а, то 
□ С одной стороны, 
с другой стороны, 
Значит, ■
6)Если 
, то 
для любого 
□ По лемме 1.2 найдутся рациональные числа 
такие, что 
По лемме 1.4 найдутся рациональные числа с и с’ такие, что 
. Отсюда получим
(свойство сложения рациональных чисел);
(определение суммы действительных чисел).
Значит, 
■
7)Если 
, то 
□ Двукратное применение предыдущего свойства. ■
8)Если 
, то 
9)Если а > 0, то —а n , где а — действительное, n — натуральное число:
, если 
если 
Сохраняются все свойства степеней с целым показателем (доказательства ничем не отличаются от доказательств в школьном курсе алгебры).
Обратим теперь внимание на то, что в лемме 1.1 действительное число зажималось между рациональными потому, что у нас ещё не было понятия разности действительных чисел. Приведём теперь более общий вариант этого утверждения.
Лемма 1.5. Пусть 
—действительные числа. Если для любого положительного действительного числа £ найдутся действительные числа 
такие, что 
, то 
□ Пусть 
— произвольное рациональное число; 
— такие действительные числа, что 
(они существуют по условию леммы при 
)
По лемме 1.4 найдутся рациональные числа 
такие, что
Тогда (см. рис. 1.3): 
Итак, для любого рационального положительного числа 6 найдутся рациональные числа 
такие, что
По лемме 1.1 
Счётные и несчётные множества
Определение 1.16. Два множества А и В называются эквивалентными (равномощными), если между А и В можно установить взаимно однозначное (биективное) соответствие.
Здесь мы фактически имеем дело с переводом русскоязычного термина на латинский язык (равномощный — эквивалентный, взаимно однозначное — биективное и т.д.). В принципе вполне можно было бы ограничиться русскоязычными терминами, но, поскольку их переводы очень распространены в отечественной научной и учебной литературе, их игнорировать нельзя.
Пример 1.4. Множество натуральных чисел эквивалентно множеству чётных натуральных чисел (взаимно однозначное соответствие устанавливается зависимостью 
), хотя одно из этих множеств является подмножеством другого.
Определение 1.17. Множество называется счётным, если оно эквивалентно множеству натуральных чисел (т.е. если его элементы можно занумеровать в виде бесконечной последовательности).
Лемма 1.6. Любое бесконечное множество содержит счётное подмножество.
□ Выберем некоторый элемент х1, принадлежащий данному бесконечному множеству А. Так как множество бесконечно, то можно выбрать элемент х2 среди оставшихся элементов, х3 среди оставшихся и т.д. Процесс не оборвётся в силу бесконечности А. Построенное счётное множество 
(возможно, совпадает с A).
Лемма 1.7. Любое бесконечное подмножество счётного множества счётно.
□ Пусть 
— счётное множество, В — бесконечное. Докажем, что В — счётно. Пусть 
Выберем первый из этих элементов, принадлежащий В: 
Из оставшихся номеров выберем первый 
такой, что 
принадлежит В; 
(ясно, что 
). Из оставшихся номеров выберем первый 
такой, что 
принадлежит 
, и т.д. Каждый элемент В имеется среди 
, поэтому через конечное число шагов он будет обозначен: 
Таким образом, все элементы В занумерованы, и В — счётно.
Лемма 1.8. Сумма конечного и счётного множеств, двух счётных множеств — счётна.
□ Напомним, что в теории множеств разностью множеств В \ А называется множество тех и только тех элементов, которые принадлежат В, но не принадлежат А (на диаграмме Эйлера заштрихована разность В \ А — см. рис. 1.4).
Из рис. 1.4 очевидны равенства
причём множества, объединяемые в правых частях этих равенств, имеют пустые пересечения.
1) Пусть А — счётно, В — конечно.
Если 
— также конечно (а может быть, и пусто), то 
— счётное множество.
2) Пусть А и В счётны. Если В \ А конечно, то доказательство проходит, как в первом случае. Если В \ А бесконечно, т.е. счётно, то 
В \ А = 
и 
— счётное множество. ■
Теорема 1.7. Множество рациональных чисел Q счётно.
□ Достаточно доказать, что счётно множество положительных рациональных чисел Q+, так как в этом случае множество отрицательных рациональных чисел, эквивалентное ему 
, также счётно, и вместе с единственным числом <0>по лемме 1.8 они все в сумме образуют счётное множество. Занумеруем Q+ следующим образом (см. рис. 1.5):
Занумерованы все положительные рациональные числа, причём каждое число встречается много раз 
и т.д.). Таким образом, Q+ — бесконечное подмножество счётного множества. Значит, оно счётно. ■
Следствие. Множество целых чисел Z счётно (принадлежит Q).
Теорема 1.8. Множество действительных чисел К несчётно (т.е. действительных чисел «значительно больше», чем рациональных).
□ Достаточно доказать, что несчётным является множество действительных чисел полуинтервала [0; 1) (если R — счётно, то [0; 1) 
— также счётно). Предположим, удалось занумеровать все числа 
Выпишем десятичные представления этих чисел:
при этом конечная десятичная дробь записывается с нулями, начиная с некоторого номера (а не с девятками).
Рассмотрим число 
такое, что 
(это число существует по теореме 1.6). Такого числа нет среди 
хотя 
. Получили противоречие тому, что все числа [0; 1) удалось занумеровать. ■
Следствие 1. Множество иррациональных чисел несчётно (иначе вместе с Q получилось бы счётное множество R).
Следствие 2. Множество чисел любого конечного интервала несчётно.
□ Множество (0; 1) несчётно, так как иначе при добавлении одной точки 0 получилось бы счётное множество [0; 1).
Несчётность произвольного интервала (а;b) следует из того, что между (0; 1) и (a: b) можно установить взаимно однозначное соответствие по формуле 
Замечание к главе I. При помощи сечений были определены лишь арифметические операции с действительными числами. Развивая этот метод, можно определить арифметический корень n-й степени из положительного действительного числа, степень положительного числа с произвольным действительным показателем, логарифмы и другие элементарные функции, известные из школьного курса алгебры. Но если этим вопросам уделить внимание в лекционном курсе математического анализа, то возникнет нехватка времени для изложения последующих очень существенных глав.
Представляется удобным и разумным пойти путём наименьшего сопротивления — не вводить пока эти элементарные функции, ограничившись в главах II и III (теория пределов последовательностей и функций) арифметическими свойствами действительных чисел. И только в главе III, после изучения свойств непрерывных функций, ввести корень n-й степени как обратную функцию к х n на соответствующем промежутке, аккуратно определить степень с действительным показателем, логарифм как обратную функцию и т.д. Этот путь имеет один недостаток — обедняется практическая сторона курса, при решении иллюстрирующих примеров приходится ограничиваться арифметическими операциями. Конечно, на практических занятиях следует решать примеры с корнями, логарифмами, тригонометрическими функциями и т.д., но при этом понимать, что всё, выходящее за рамки арифметики, пока является «незаконным» и чисто иллюстративным.
| Рекомендую подробно изучить предметы: |
|
| Ещё лекции с примерами решения и объяснением: |
- Решение уравнений высших степеней
- Системы неравенств
- Квадратные неравенства
- Точка, прямая и плоскость в пространстве
- Уравнение
- Метод математической индукции
- Система координат в пространстве
- Иррациональные числа
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.
Решение задач по математике онлайн
//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘
Калькулятор онлайн.
Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
Метод Гаусса, матричный метод, метод Крамера, исследование на совместность (теорема Кронекера-Капелли), определение количества решений, нахождение нормальной фундаментальной системы решений.
С помощью данной математической программы вы можете решить и исследовать систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).
Программа не только даёт ответ задачи, но и приводит подробное решение с пояснениями шагов решения.
Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
Ввод дробного числа в виде десятичной дроби.
При вводе десятичной дроби, целую часть от дробной части можно отделять точкой или запятой :
Ввод: -2.34
Результат: \( -2<,>34 \)
Ввод: -1,15
Результат: \( -1<,>15 \)
Ввод дробного числа в виде обыкновенной дроби.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.
Знаменатель не может быть отрицательным.
При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Ввод: -2/3
Результат: $$ -\frac<2> <3>$$
Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод: 5&8/3
Результат: $$ 5\frac<8> <3>$$
Помните, что на ноль делить нельзя!
RND CFracNum Fill RND int Fill Start MathJax
Сюда ввести строку с GET параметрами :
Немного теории.
Системы линейных алгебраических уравнений
Основные определения
Система \(m\) линейных алгебраических уравнений с \(n\) неизвестными (сокращенно СЛАУ) представляет собой систему вида
\( \left\< \begin
Уравнения системы называют алгебраическими потому, что левая часть каждого из них есть многочлен от \(n\) переменных \( x_1 , \ldots x_n \), а линейными потому, что эти многочлены имеют первую степень.
Числа \(a_
СЛАУ называют однородной, если \( b_1 = b_2 = \ldots = b_m = 0 \). Иначе её называют неоднородной.
Решением СЛАУ, да и вообще всякой системы уравнений, называют такой набор значений неизвестных \( x_1^\circ, \ldots , x_n^\circ \), при подстановке которых каждое уравнение системы превращается в тождество. Любое конкретное решение СЛАУ также называют её частным решением.
Решить СЛАУ — значит решить две задачи:
— выяснить, имеет ли СЛАУ решения;
— найти все решения, если они существуют.
СЛАУ называют совместной, если она имеет какие-либо решения. В противном случае её называют несовместной. Однородная СЛАУ всегда совместна, поскольку нулевой набор значений её неизвестных всегда является решением.
Если СЛАУ (1) имеет решение, и притом единственное, то её называют определенной, а если решение неединственное — то неопределенной. При \(m=n\), т.е. когда количество уравнений совпадает с количеством неизвестных, СЛАУ называют квадратной.
Формы записи СЛАУ
Кроме координатной формы (1) записи СЛАУ часто используют и другие её представления.
Рассматривая коэффициенты \(a_
\( \begin
или, обозначая столбцы соответственно \( a_1 , \ldots , a_n , b \),
\( x_1 a_1 + x_2 a_2 + \ldots + x_n a_n = b \tag <2>\)
Таким образом, решение СЛАУ (1) можно трактовать как представление столбца \(b\) в виде линейной комбинации столбцов \( a_1, \ldots, a_n \). Соотношение (2) называют векторной записью СЛАУ.
Поскольку \(A \;,\; X\) и \(B\) являются матрицами, то запись СЛАУ (1) в виде \(AX=B\) называют матричной. Если \(B=0\), то СЛАУ является однородной и в матричной записи имеет вид \(AX=0\).
Приведенные рассуждения показывают, что задачи :
а) решения СЛАУ (1)
б) представления столбца в виде линейной комбинации данных столбцов
в) решения матричных уравнений вида \(AX=B\)
являются просто различной формой записи одной и той же задачи.
Критерий совместности СЛАУ
«Триединство» форм записи СЛАУ позволяет легко получить критерий совместности СЛАУ. Напомним, что содержательный смысл это понятие имеет для неоднородных СЛАУ (однородные СЛАУ всегда совместны).
Матрицу
\( A = \begin
называют матрицей (коэффициентов) СЛАУ (1), а матрицу
\( (A|B) = \left( \begin
расширенной матрицей СЛАУ (1). Расширенная матрица полностью характеризует СЛАУ. Это означает, что по этой матрице однозначно (если сохранить обозначения для неизвестных) восстанавливается сама СЛАУ.
Теорема Кронекера-Капелли. Для совместности СЛАУ \(AX=B\) необходимо и достаточно, чтобы ранг её матрицы \(A\) был равен рангу её расширенной матрицы \( (A|B) \).
Формулы Крамера
Теорема. СЛАУ с квадратной невырожденной матрицей имеет решение, и притом единственное, которое определяется по формулам Крамера :
$$ x_i = \frac<\Delta_i> <|A|>\;,\quad i=\overline <1,n>\tag <3>$$
где \(\Delta_i\) — определитель матрицы, получающейся из матрицы \(A\) заменой \(i\)-го столбца на столбец свободных членов.
Следствие. Однородная СЛАУ с квадратной невырожденной матрицей имеет единственное решение — нулевое.
Если матрица СЛАУ не является квадратной невырожденной, то формулы Крамера не работают и приходится использовать другие методы нахождения решений.
Однородные системы
Теорема. Если столбцы \( X^<(1)>, X^<(2)>, \ldots , X^ <(s)>\) — решения однородной СЛАУ \(AX=0\), то любая их линейная комбинация также является решением этой системы.
Следствие. Если однородная СЛАУ имеет ненулевое решение, то она имеет бесконечно много решений.
Естественно попытаться найти такие решения \( X^<(1)>, \ldots , X^ <(s)>\) системы \(AX=0\), чтобы любое другое решение этой системы представлялось в виде их линейной комбинации и притом единственным образом. Оказывается, что это всегда возможно и приводит к следующему определению.
Определение. Любой набор из \(k=n-r\) линейно независимых столбцов, являющихся решениями однородной СЛАУ \(AX=0\), где \(n\) — количество неизвестных в системе, а \(r\) — ранг её матрицы \(A\), называют фундаментальной системой решений этой однородной СЛАУ.
При исследовании и решении однородных систем линейных алгебраических уравнений будем использовать следующую терминологию. Если в матрице \(A\) однородной СЛАУ \(AX=0\) фиксировать базисный минор, то ему соответствуют базисные столбцы и, следовательно, набор неизвестных, отвечающих этим столбцам. Указанные неизвестные называют базисными, или зависимыми, а остальные неизвестные — свободными, или независимыми.
Теорема. Пусть дана однородная СЛАУ \(AX=0\) с \(n\) неизвестными и \( \text
Если в фундаментальной системе решений все значения независимых неизвестных равны нулю, кроме одного, которое равно единице, то такую систему решений называют фундаментальной нормальной системой решений.
Следствие. С помощью нормальной фундаментальной системы решений однородной СЛАУ множество всех решений можно описать формулой :
$$ X = c_1X^ <(1)>+ \ldots + c_kX^ <(k)>$$
где постоянные \( c_i \;, \quad i=\overline <1,k>\), принимают произвольные значения.
Следствие. Для существования ненулевого решения у однородной квадратной СЛАУ необходимо и достаточно, чтобы её матрица была вырождена.
Неоднородные системы
Рассмотрим произвольную СЛАУ \(AX=B\). Заменив столбец \(B\) свободных членов нулевым, получим однородную СЛАУ \(AX=0\), соответствующую неоднородной СЛАУ \(AX=B\). Справедливо следующее утверждение о структуре произвольного решения неоднородной СЛАУ.
Теорема. Пусть столбец \(X^\circ\) — некоторое решение СЛАУ \(AX=B\). Произвольный столбец \(X\) является решением этой СЛАУ тогда и только тогда, когда он имеет представление \(X = X^\circ + Y \), где \(Y\) — решение соответствующей однородной СЛАУ \(AY=0\).
Следствие. Пусть \(X’\) и \(X»\) — решения неоднородной системы \(AX=B\). Тогда их разность \( Y = X’ — X» \) является решением соответствующей однородной системы \(AY=0\).
Эта теорема сводит проблему решения СЛАУ к случаю однородной системы: чтобы описать все решения неоднородной СЛАУ, достаточно энать одно её решение (частное решение) и все решения соответствующей однородной СЛАУ.
Чтобы решить неоднородную систему, надо, во-первых, убедиться, что она совместна (например, по теореме Кронекера-Капелли), а во-вторых, найти частное решение \(X^\circ\) этой системы, чтобы свести её к однородной системе.
Теорема о структуре общего решения СЛАУ. Пусть \(X^\circ\) — частное решение СЛАУ \(AX=B\) и известна фундаментальная система решений \( X^<(1)>, \ldots , X^ <(k)>\) соответствующей однородной системы \(AX=0\). Тогда любое решение СЛАУ \(AX=B\) можно представить в виде $$ X = X^\circ + c_1 X^ <(1)>+ c_2 X^ <(2)>+ \ldots + c_k X^ <(k)>$$
где \( c_i \in \mathbb
Эту формулу называют общим решением СЛАУ.
http://www.evkova.org/dejstvitelnyie-chisla
http://www.math-solution.ru/math-task/slau