Алгебраическое и графическое решение уравнений, содержащих модули
Алгебраическое и графическое решение уравнений, содержащих модули.
2.Понятия и определения………………………………………….4
4.Способы решение уравнений, содержащих модуль…………. 6
4.1.Решение при помощи зависимостей между числами a и b, их модулями и квадратами…………………………………………………………12
4.2.Использование геометрической интерпретации модуля для решения уравнений…………………………………………………………..14
4.3.Графики простейших функций, содержащих знак абсолютной величины…………………………………………………………..15
4.4.Решение нестандартных уравнений, ………….16
Слово «модуль» произошло от латинского слова «modulus», что в переводе означает «мера». Это многозначное слово(омоним), которое имеет множество значений и применяется не только в математике, но и в архитектуре, физике, технике, программировании и других точных науках.
В архитектуре — это исходная единица измерения, устанавливаемая для данного архитектурного сооружения и служащая для выражения кратных соотношений его составных элементов.
В технике — это термин, применяемый в различных областях техники, не имеющий универсального значения и служащий для обозначения различных коэффициентов и величин, например модуль зацепления, модуль упругости и. т.п.
Модуль объемного сжатия( в физике)-отношение нормального напряжения в материале к относительному удлинению.
2. Понятия и определения
Чтобы глубоко изучать данную тему, необходимо познакомиться с простейшими определениями, которые мне будут необходимы:
Уравнение-это равенство, содержащее переменные.
Уравнение с модулем — это уравнение, содержащие переменную под знаком абсолютной величины(под знаком модуля).Например: |x|=1
Решить уравнение-это значит найти все его корни, или доказать, что корней нет.
В математике модуль имеет несколько значений, но в моей исследовательской работе я возьму лишь одно:
Модуль — абсолютная величина числа, равная расстоянию от начала отсчета до точки на числовой прямой.
3. Доказательство теорем
Определение. Модуль числа a или абсолютная величина числа a равна a, если a больше или равно нулю и равна — a, если a меньше нуля:
Из определения следует, что для любого действительного числа a,
Теорема 1. Абсолютная величина действительного числа равна большему из двух чисел a или –a
1. Если число a положительно, то — a отрицательно, т. е. — a 0 уравнение имеет 2 различных корня.
Как показывает решение, корнями данного уравнения также являются числа 11/3 и 6
Ответ: x1=6, x2=11/3
Пример 5. Решим уравнение (2x + 3)2= ( x – 1)2.
Учитывая соотношение (2), получим, что |2x + 3|=|x – 1|, откуда по образцу предыдущего примера (и по соотношению (1)):
2х + 3=х – 1 или 2х + 3=-х + 1
2х – х=-1 – 3 2х+ х=1 – 3
Таким образом корнями уравнения являются х1=-4, и х2=-0,(6)
4.2.Использование геометрической интерпретации модуля для решения уравнений.
Геометрический смысл модуля разности величин — это расстояние между ними. Например, геометрический смысл выражения |x – a | — длина отрезка координатной оси, соединяющей точки с абсциссами а и х. Перевод алгебраической задачи на геометрический язык часто позволяет избежать громоздких решений.
Пример7. Решим уравнение |x – 1| + |x – 2|=1 с использованием геометрической интерпретации модуля.
Будем рассуждать следующим образом: исходя из геометрической интерпретации модуля, левая часть уравнения представляет собой сумму расстояний от некоторой точки абсцисс х до двух фиксированных точек с абсциссами 1 и 2. Тогда очевидно, что все точки с абсциссами из отрезка [1; 2] обладают требуемым свойством, а точки, расположенные вне этого отрезка — нет. Отсюда ответ: множеством решений уравнения является отрезок [1; 2].
Пример8. Решим уравнение |x – 1| — |x – 2|=1 1 с использованием геометрической интерпретации модуля.
Будем рассуждать аналогично предыдущему примеру, при этом получим, что разность расстояний до точек с абсциссами 1 и 2 равна единице только для точек, расположенных на координатной оси правее числа 2. Следовательно, решением данного уравнения будет являться не отрезок, заключенный между точками 1 и 2, а луч, выходящий из точки 2, и направленный в положительном направлении оси ОХ.
Обобщением вышеприведенных уравнений являются следующие равносильные переходы:
Калькулятор онлайн. Решение уравнений и неравенств с модулями.
Этот математический калькулятор онлайн поможет вам решить уравнение или неравенство с модулями. Программа для решения уравнений и неравенств с модулями не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс получения результата.
Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
Обязательно ознакомьтесь с правилами ввода функций. Это сэкономит ваше время и нервы. Правила ввода функций >> Почему решение на английском языке? >>С 9 января 2019 года вводится новый порядок получения подробного решения некоторых задач. Ознакомтесь с новыми правилами >> —> |x| или abs(x) — модуль x
Введите уравнение или неравенство с модулями Решить уравнение или неравенство
Немного теории.
Уравнения и неравенства с модулями
В курсе алгебры основной школы могут встретится простейшие уравнения и неравенства с модулями. Для их решения можно применять геометрический метод, основанный на том, что \( |x-a| \) — это расстояние на числовой прямой между точками x и a: \( |x-a| = \rho (x;\; a) \). Например, для решения уравнения \( |x-3|=2 \) нужно найти на числовой прямой точки, удалённые от точки 3 на расстояние 2. Таких точек две: \( x_1=1 \) и \( x_2=5 \).
Решая неравенство \( |2x+7| 0 \), то уравнение \( |f(x)|=c \) равносильно совокупности уравнений: \( \left[\beginf(x)=c \\ f(x)=-c \end\right. \) 2) Если \( c > 0 \), то неравенство \( |f(x)| c \) равносильно совокупности неравенств: \( \left[\beginf(x) c \end\right. \) 4) Если обе части неравенства \( f(x) 0. Значит, |2х – 4| = (2х – 4), |х + 3| = (х + 3). Таким образом, на рассматриваемом промежутке заданное уравнение принимает вид: (2х – 4) + (х + 3) = 8. Решив это уравнение, находим: х = 3. Это значение принадлежит рассматриваемому промежутку, а потому является корнем заданного уравнения. Итак, \(x_1=-1, \; x_2=3 \).
Второй способ Преобразуем уравнение к виду 2|x – 2| + |x + 3| = 8. Переведём эту аналитическую модель на геометрический язык: нам нужно найти на координатной прямой такие точки М(х), которые удовлетворяют условию \( 2\rho(x; \;2)+ \rho(x; \;-3) =8 \) или MA + 2MB = 8 ( здесь A = A(–3), B = B(2) ).
Интересующая нас точка М не может находиться левее точки А, поскольку в этом случае 2MB > 10 и, следовательно, равенство MA + 2MB = 8 выполняться не может. Рассмотрим случай, когда точка \( M_1(x) \) лежит между А и В. Для такой точки равенство MA + 2MB = 8 принимает вид: (х – (–3)) + 2(2 – х) = 8, откуда находим: x = –1. Рассмотрим случай, когда точка \( M_2(x) \) лежит правее точки B. Для такой точки равенство MA + 2MB = 8 принимает вид: (х – (–3)) + 2(х – 2) = 8, откуда находим: х = 3. Ответ: –1; 3.
Пусть теперь требуется решить неравенство \( |f(x)| |f(x)| \). Отсюда сразу следует, что \( g(x) > 0 \). Воспользуемся тем, что при \( g(x) > 0 \) неравенство \( |f(x)| 0, \\ -g(x) 0 \\ f(x) -g(x) \end\right. \)
Третий способ. Воспользуемся тем, что при \( g(x) > 0 \) обе части неравенства \( |f(x)| 0 \\ (f(x))^2 0 \\ x^2 — 3x + 2 -(2x — x^2) \end\right. \) Решая эту систему, получаем: \( \left\<\beginx(x — 2) 0 \\ (x^2 — 3x + 2)^2 0 \end\right. \Rightarrow \) \( \left\<\begin0 0 \end\right. \Rightarrow \) \( \left\<\begin0 0<,>5 \end\right. \) Из последней системы находим: \( 0<,>5 g(x) \). Освободиться от знака модуля можно тремя способами.
Первый способ Если \(f(x) \geqslant 0\), то \( |f(x)| = f(x) \) и заданное неравенство принимает вид \( f(x) > g(x) \). Если \(f(x) g(x) \). Таким образом, задача сводится к решению совокупности двух систем неравенств: \( \left\<\beginf(x) \geqslant 0 \\ f(x) > g(x) \end\right. \) \( \left\<\beginf(x) g(x) \end\right. \)
Второй способ. Рассмотрим два случая: \( g(x) \geqslant 0, \; g(x) g(x) \) выполняется для всех x из области определения выражения f(x). Если \( g(x) \geqslant 0 \), то воспользуемся тем, что согласно утверждению 3) в самом начале данной теории неравенство \( |f(x)| > g(x) \) равносильно совокупности неравенств \( f(x) g(x) \). Таким образом, заданное неравенство сводится к совокупности трёх систем: \( \left\<\beging(x) g(x) \end\right. \)
Третий способ. Воспользуемся тем, что при \( g(x) \geqslant 0 \) неравенство \( |f(x)| > g(x) \) равносильно неравенству \( (|f(x)|)^2 > (g(x))^2 \). Это позволит свести неравенство \( |f(x)| > g(x) \) к совокупности систем: \( \left\<\beging(x) (g(x))^2 \end\right. \)
равна большему из двух чисел a или –a
