Решение уравнений с двумя переменными уравнение окружности

Уравнение с двумя переменными и его график. Уравнение окружности

п.1. Понятие уравнения с двумя переменными

Мы уже знакомы со многими функциями и умеем их записывать в виде формул:
y = 2x + 5 – прямая, y = 5x 2 + 2x – 1 – парабола, $\mathrm$ – гипербола.

Если записать такое выражение: x 2 (x + y) = 1 – y – в нём тоже есть две переменные x и y, и постоянная 1.

Для наших примеров:
F(x; y) = 2x – y + 5 = 0 – прямая
F(x; y) = 5x 2 + 2x – y – 1 = 0 – парабола
F(x; y) = $\mathrm<\frac1x>$ – y = 0 – гипербола
F(x; y)=x 2 (x + y) + y – 1 = 0 – некоторая кривая (график — ниже).

п.2. Обобщенные правила преобразования графика уравнения

Пусть F(x; y) = 0 – исходный график некоторой функции

Симметричное отображение относительно оси OY

Симметричное отображение относительно оси OX

Центральная симметрия относительно начала координат

Параллельный перенос графика на a единиц вправо

Параллельный перенос графика на a единиц влево

Параллельный перенос графика на b единиц вниз

Параллельный перенос графика на b единиц вверх

Сжатие графика к оси OY в a раз

Сжатие графика к оси OX в b раз

F(x; by) = 0
0 Например:

Окружность с центром в точке O(2; 1) и радиусом R = 3 задаётся уравнением: $$ \mathrm <(x-2)^2+(y-1)^2=9>$$

п.4. Примеры

Пример 1. Постройте график уравнения:
а) 2x + 7y – 14 = 0
Выразим y из уравнения: $ \mathrm<7>=-\frac<2> + 2 > $ – это прямая

б) xy + 4 = 0
Выразим y из уравнения: $ \mathrm> $ – это гипербола

в) ( x+ 2) 2 + y 2 = 4
Это – уравнение окружности с центром O(–2; 0), радиусом $ \mathrm=2> $

г) x 2 + 5y – 2 = 0
Выразим y из уравнения: $ \mathrm<5>> $ – это парабола

Пример 2*. Постройте график уравнения:
а) 2|x| + 5y = 10
$ \mathrm<5>=-\frac25|x|+2> $
Строим график для $ \mathrm $, а затем отражаем его относительно оси OY в левую полуплоскость.

б) 3x + |y| = 6
|y| = –3x + 6
Строим график для y > 0: y = –3x + 6, а затем отражаем его относительно оси OX в нижнюю полуплоскость.

в) |x| + |y| = 2
|y| = –|x| + 2
Строим график для x > 0, y > 0: y = –x + 2, а затем отражаем его относительно осей OX и OY.

г) |x – 1| + |y – 2| = 4
Получим тот же ромб (квадрат), что и в (в), но его центр будет перенесен из начала координат в точку O(1; 2).

д) $\mathrm<\frac<|x-1|><2>+2|y-2|=4>$
Ромб по x растянется в 2 раза по диагонали, а по y – сожмётся в 2 раза по диагонали.

Пример 3. Постройте график уравнения:
а) x 2 + y 2 + 4x – 6y + 4 = 0
Выделим полные квадраты:
(x 2 + 4x + 4) + (y 2 – 6y + 9) – 9 = 0
(x + 2) 2 + (y – 3) 2 = 3 2 – уравнение окружности с центром (–2; 3), радиусом 3.

Лекция 28. Уравнения с двумя переменными

1. Уравнения с двумя переменными. Уравнение линии. Уравнение окружности.

2. Система уравнений с двумя переменными. Способы решения системы двух уравнений с двумя переменными: способ подстановки и способ сложения.

3. Совокупности уравнений с двумя переменными.

УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ f₂ (х) = g₂ (х)

Предикат вида f (х, у) = g (х, у) называют уравнением с двумя переменными.

Любая пара (а, b) значений переменных, обращающая уравнение f (х, у) = g (х, у) в истинное числовое равенство, называется решением этого уравнения, а множество всех таких пар — множеством решений этого уравнения.

Пример. Определим, являются ли пары (1; 5) и (—2; 7) решениями уравнения х + 2у = 12, и запишем множество решений данного уравнения.

Решени е. Если х = 1, а у = 5, то уравнение х + 2у = 12 обращается в неверное числовое равенство

1 +2 × 5 = 12. Следовательно, пара (1; 5) не является решением уравнения.

Если х = —2, а у = 7, то данное уравнение обращается в верное равенство —2 + 2 • 7 = 12. Следовательно, пара (—2; 7) является решением уравнения х + 2у = 12.

Данное уравнение имеет бесконечное множество решений. Для записи этого множества удобно выразить одну переменную через другую, например х через у. Получим: х = 12 — 2у. Тогда множество Т решений этого уравнения можно записать так:

Упражнения

1. Путем подбора найдите несколько решений каждого из следующих уравнений: а) х — у = 5;

б) у = Зх; в) Зх — 2у == 16.

2. Найдите три решения уравнения х + 2у = 7. Сколько решений имеет данное уравнение? Можно ли сказать, что любая пара чисел является решением данного уравнения?

3. Найдите пары чисел, разность которых равна 10. Сколько решений имеет задача?

4. Даны два уравнения: х + у = 9 и х — у = 1. Найдите пару чисел, которая: а) является решением первого уравнения, но не является решением второго; б) является решением второго уравнения, но не является решением первого; в) является решением и первого и второго уравнений; г) не является решением ни первого уравнения, ни второго.

СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ

Система двух уравнений с двумя переменными имеет вид:

<	f₁ (х, у) = g₁ (х, у)
f₂ (х, у) = g₂ (х,у)

Решением этой системы является любая пара чисел (а; b), обращающая каждое из уравнений системы в верное числовое равенство. Множество таких пар есть пересечение множества решений первого уравнения с множеством решений второго.

Две системы уравнений называются равносильными на некотором множестве X, если их множества решений совпадают.

Пример 1. Решим систему уравнений

х — 2у = 4, используя метод алгебраического сложения.

Решение. Умножив обе части второго уравнения на 2 и первое уравнение сложим со вторым, получим систему

(Зх + 4у) + (2х — 4у) = 5 + 8

После приведения подобных членов данная система примет вид:
Зх + 4у = 5

Решением данной системы является пара чисел х = 13/5, у = — 7/10.

УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ

Общее уравнение прямой— уравнение первой степени относительно переменных х и у, т.е. уравнение вида Ах + Ву + С = 0 при условии, что коэффициенты А и В одновременно не равны нулю.

Уравнение прямой в отрезкахимеет вид х/а + у/b = 1, где а и b- соответственно абсцисса и ордината точек пересечения прямой с осями Ох и Оу.

Уравнение прямой с угловым коэффициентомимеет вид у = кх + b, где к = tg ά — угловой коэффициент, равный тангенсу угла наклона прямой к оси Ох, а b

ордината точки пересечения прямой с осью Оу/

Уравнение прямой, проходящей через две точкиА(х_], у_]) и В(х₂ ,у₂), имеет вид

Угловой коэффициент прямой, проходящей через точки А и В, находится по формуле

Пример 16.22. Найдите отрезки, отсекаемые на осях координат прямой, проходящей через точки А(6; 2) и В(-3;8). )

Решение. Подставив в уравнение прямой, проходящей через две точки, координаты точек

А (6; 2) и В(-3;8), получим (х – 6) / (-3 – 6) = (у – 2) / (8 – 2) или у = — 2/3х + 6.

Преобразуем последнее уравнение

к уравнении ю прямой в отрезках: (2/3)х/6 + у/6 = 1 или х/9 + у/6 = 1. Значит, а = 9 и b =6.

Если даны две пересекающиеся прямые А₁ х + В₁ у + С₁ = 0 и А₂ + В₂ у + С₂ — 0, то для вычисления координат точки пересечения данных прямых необходимо решить систему уравнений этих прямых.

Пример 16.23. Найдите точку пересечения прямых Зх — 4у + 11 = 0 и 4х — у — 7 = 0. Решение. Решив систему уравнений получим х = 3 и у = 5. Следовательно, (3, 5) — точка пересечения этих прямых.

Острый угол между двумя прямыми, заданными:

— общими уравнениями А₁ х + В₁ у + С₁ = 0 и А₂ х + В₂ у + С₂ — 0

вычисляется по формуле соs φ = | (А ₁ А₂ + В₁ В₂) /( √ А₁² + В₁ ² √ А₂ ² + В₂ ) ²|

— общими уравнениями у = k₁ х + b₁ и у = k ₂ х + b ₂

вычисляется по формуле tg φ = | (k ₁ — k ₂) | (1 + k ₁ × k ₂)|

Пример 16.24. Найдите угол между прямыми у = 3х — 1 и у = -2х + 4.

Условие параллельности двух прямых, заданных:

-общими уравнениями А₁ х + В₁ у + С₁ = 0 и А ₂ х + В₂ у + С₂ = 0, имеет вид А_{х /} А ₂ = В₁/ В₂;

— уравнениями с угловыми коэффициентами у = k₁ х + b₁ и у = k ₂ х + b ₂ имеет видk ₁ = k ₂.

Условие перпендикулярности двух прямых, заданных:

— общими уравнениями А₁ х + В₁ у + С₁ = 0 и А₂ х + В₂ у + С₂ = 0, имеет вид А_х А ₂ + В₁ В₂ = 0;

— уравнениями с угловыми коэффициентами у = k₁ х + b₁ и у = k ₂ х + b ₂ имеет вид k ₁ k₂ = — 1

Пример 16.25. Найдите уравнение прямой, проходящей через точку А (4; -2) и параллельной прямой 4х — 2у + 5 = 0.

УРАВНЕНИЕ ОКРУЖНОСТИс центром в начале координат и радиусом R имеет вид х 2 + у 2 = /? 2 ; уравнение окружности с центром в точке А<а; b) и радиусом Rимеет вид (х — а) 2 + <у - b) 2 = /? 2 ; уравнение окружности в общем виде имеет вид Ах 2 + Ау г + Вх + Су + О = 0.

Лекция 29. Системы и совокупности неравенств с одной переменной

1. Системы двух неравенств с двумя переменными: запись результата решения.

2. Совокупности неравенств с двумя переменными.

СИСТЕМЫ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Система неравенств f₁ (х) > g₁ (х) и f₂ (х) > g₂ (х) имеет вид:

<	f₁ (х) > g₁ (х)
f₂ (х) > g₂ (х).

Решением этой системы является всякое значение переменной х , которое обращает каждое из неравенств в истинное числовое неравенство.

Множество решений системы неравенств есть пересечение множеств решений неравенств, образующих данную систему.

Неравенство |х| 0, равносильно системе

или двойному неравенству —а — 6(х + 2)

3 (3 + 2х) —7 есть числовой промежуток ]—7; оо[, а множество решений неравенства х g₁ (х) и f₂ (х) > g₂ (х) с одной переменной может быть записана в виде

[	f₁ (х) > g₁ (х) (1)
f₂ (х) > g₂ (х) (2).

Решением совокупности неравенств с одной переменной называется всякое значение переменной х, которое обращает в истинное числовое неравенство хотя бы одно из неравенств совокупности.

Множество решений совокупности есть объединение множеств решений неравенств, образующих совокупность.

Неравенство |х| >а, где а > 0 равносильно совокупности:

[

х > а

х 0 или f₁ (х) × g₁ (х) (1) > 0 равносильно
совокупности (дизъюнкции) систем:
[ f (х) > 0
g (х) > 0.
[ f (х) х — 1,
Решение. Найдем сначала множества решений каждого из неравенств совокупности, а затем их объединение.
Преобразуем каждое из неравенств совокупности, заменяя его равносильным:
Множество решений неравенства х > 2 есть числовой промежуток ]2; ¥[, а множество решений неравенства х > 1 — промежуток — ]1; ¥[. Изобразим эти множества на числовой прямой и найдем их объединение. Следовательно, множество решений совокупности есть числовой промежуток ]1; оо[.
П р и м е р 2. Решим неравенство (4х – 3) / (3 – 2х) > 1.
Разработка урока по теме «Уравнение с двумя переменными и его график»
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Тема : Уравнение с двумя переменными и его график
Ввести основные понятия и термины темы.
Развивать память, внимание и логическое мышление обучающихся
Сообщение темы и цели урока
Изучение нового материала.
Равенство, содержащее две переменные, называют уравнением с двумя переменными (или неизвестными). Решением уравнения с двумя переменными называют пару значений неизвестных, которые обращают это уравнение в верное равенство. Уравнение с двумя переменными может иметь: бесконечное множество решений или ограниченное число решений, а также не иметь решений.
Рассмотрим следующие уравнения с двумя переменными:
а) Уравнение 3х + 7у = 10 (уравнение прямой) имеет бесконечное множество решений.
б) Уравнение |х — 1| + = 0 имеет единственное решение: х = 1, y = 0.
в) Уравнение + = 0 имеет четыре решения: х = 1, у = 2; х = 1, у = -2; х = -1, у = 2; х = -1, у = -2.
г) Уравнение |х — 1| + = -5 не имеет решений.
Два уравнения, имеющие одно и то же множество решений, называют равносильными.
а) Уравнения |х| + = 0 и + |у — 1| = 0 равносильны, т. к. имеют одно и то же решение: х = 0 и у = 1.
б) Уравнение |х| + = 0 и + | — 1| = 0 неравносильны, т. к. первое имеет одно решение: х = 0, у = 1, а второе — два решения: х = 0, у = 1 и х = 0, у = -1.
Степень целого уравнения с двумя переменными определяется так же, как и степень целого уравнения с одной переменной. Если одна часть уравнения представляет собой многочлен стандартного вида, а другая — число 0, то степень уравнения считают равной степени этого многочлена. Для определения степени уравнения его заменяют равносильным, одна часть которого — многочлен стандартного вида, а другая — нуль.
Уравнение = — 2х2у равносильно уравнению + 4 + 4 = — 2х2у и равносильно уравнению 2 + 2 + у = 0. Поэтому данное уравнение является уравнением пятой степени.
Графиком уравнения с двумя переменными называют множество точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями этого уравнения.
а) Графиком уравнения ах + by = с (где а ≠ 0 или b ≠ 0) является прямая.
б) Графиком уравнения у = а + b х + с (где а ≠ 0) является парабола.
в) Графиком уравнения (где с ≠ 0 и ad — bc ≠ 0) является гипербола.
Рассмотрим еще одно важнейшее и часто встречающееся уравнение — уравнение окружности с центром в точке (а; b ) и радиусом R : + = .
Выведем уравнение окружности.
Рассмотрим окружность с центром в точке 0(а; b ) и радиусом R . Выберем произвольную точку А(х; у) на окружности. Проведем отрезки ОВ и АВ параллельно оси абсцисс и оси ординат соответственно.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ОАВ, в котором катеты OB = |х — а| и АВ = |у — b | и гипотенуза ОА = R . Запишем для этого треугольника теорему Пифагора:
= = , или + = , или + = .
Это и есть уравнение окружности. В частности, уравнение окружности с центром в начале координат имеет вид: + = .
Построим график уравнения — 2х + + 4у = 0.
Так как в уравнение переменные х и у входят во второй степени (и ниже), то это уравнение окружности. Выделим в уравнении полные квадраты по переменным хну. Для этого запишем уравнение в виде ( — 2х + 1) + ( + 4 y + 4) = 5 или
Видно, что это уравнение окружности с центром в точке O (1; -2) и радиусом Теперь легко построить и сам график.
Построим график уравнения
Прежде всего отметим, что у ≥ 0. Возведем обе части уравнения в квадрат: = 4х — , или — — 4х = 0. Выделим квадрат разности по переменной х: + ( — 4х + 4) = 4, или + = 22. Получили уравнение окружности с центром в точке O (2; 0) и радиусом R = 2.
Учитывая ограничение у ≥ 0, имеем верхнюю полуокружность. Теперь можно строить график.
Заметим, что графики уравнений с двумя переменными могут иметь самый разнообразный и даже необычный вид.

источники:
http://zdamsam.ru/a63592.html
http://infourok.ru/razrabotka-uroka-po-teme-uravnenie-s-dvumya-peremennimi-i-ego-grafik-698439.html
Вам также может понравиться
Решить уравнение с одной переменной в знаменателе
Решение уравнений с переменной в знаменателе дроби Вы будете перенаправлены на Автор24 Уравнения, содержащие
Правила решения простейших уравнений 5 класс
Решение простых линейных уравнений О чем эта статья: Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Как найти скорость материальной точки по уравнению
Вектор скорости и ускорения материальной точки и их модули. Пример решения задач. В очередной раз меня
Как построить график уравнения линейной парной регрессии
Уравнение регрессии Вместе с этим калькулятором также используют следующие:Уравнение множественной регрессии
© 2023 Русский язык. Привила написания. Наш первый проект тут и тут