Решение уравнений с функциями 8 класс

Урок алгебры в 8-м классе по теме «Графический способ решения уравнений»

Разделы: Математика

Всякое учение и всякое обучение основано на некотором уже ранее имеющемся знании.

Цели:

• обобщить и систематизировать свойства графиков некоторых функций, алгоритмы их построения;
• научить решать уравнения графическим способом, в частности используя возможности компьютерных программ;
• учить анализировать, выделять главное, сравнивать.

Формирование компетенций: компетенции самосовершенствования – саморегулирование и саморазвитие, речевое развитие (через устную и самостоятельную работу, формулировка выводов); компетенции социального взаимодействия – сотрудничество; компетенции в общении – устном, письменном; компетенции познавательной деятельности – постановка и решение познавательных задач, проблемные ситуации (их создание и разрешение), прогнозирование деятельности; компетенции информационных технологий – приём, переработка и выдача информации, компьютерная грамотность.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Средства обучения: компьютер, медиапроектор, презентация (Приложение 1).

Формы организации учебной деятельности: индивидуальная, коллективная, диалог, работа с текстом слайда, работа в тетради, парная.

Методы: наглядный, словесный, графический (практический).

Методы мотивации: поощрение, порицание; создание проблемной ситуации, побуждение к поиску решения; предъявление учебных требований, прогнозирование будущей деятельности, самооценка деятельности; создание ситуации взаимопомощи, заинтересованность в результатах коллективной работы.

1. Оргмомент (1 мин.)

2. Актуализация знаний (12 мин.)

А). По карточкам (на доске):

№1. Решите уравнение 4х + 8 = –17 + 9х.
№2. Решите уравнение х 2 + х – 2 = 0.
№3. Решите уравнение х 2 = .
№4. Заполните таблицу:

(На этом этапе можно организовать взаимопроверку и взаимопомощь, если возникнет такая необходимость).

Б). Устная фронтальная работа. (Здесь и далее: подчёркивание – моменты управления презентацией)

Что называется функцией?

С какими функциями уже знакомы? (На партах – памятка, по которой учащиеся вспоминают связь между графиком и формулой, задающих функцию: Приложение 2).

Я предлагаю вашему вниманию формулы, задающие некоторые функции. Из этих функций нужно выбрать линейные. Но перед этим давайте вспомним определение линейной функции. (Работаем со слайдом 2).

Давайте вспомним, что является графиком (гиперссылка) линейной функции.

Среди выбранных нами линейных функций есть особенные. Что это за функции? Чем отличаются графики? (Разбейте линейные функции на две группы). (Работаем со слайдом 3).

Остались функции, о которых мы ничего ещё не сказали. Давайте дадим им название, и название их графикам. (Работаем со слайдом 4).

Что называется уравнением? Корнем уравнения? Что значит решить уравнение? Какие уравнения мы уже можем решать?

В) Проверяется работа по карточкам №1; №2; №3.

1) 4х + 8 = –17 + 9х,
4х – 9х = – 17 – 8,
– 5х = – 25,
х = 5.
Ответ: 5.

2) х 3 + х – 2 = 0,
D = в 3 – 4ас = 12 – 4 . 1 . (– 2) = 9 > 0, уравнение имеет два корня.
х₁ = 1;
х₂ = – 2.
Ответ: 1; – 2. (Могут решать по свойству корней: а + в + с = 0).

3) х 2 = ,
х 3 = 6,
х 3 – 6 = 0. – Мы не располагаем никакими формулами для решения уравнений третьей степени. Как быть?

Значит, нужен другой способ решения таких уравнений. Как вы думаете, что это может быть за способ (исходя из устной работы). Одним из способов является графический способ. Записывается тема урока, (слайд 5).

Г). Давайте поставим цель урока. (Научиться решать уравнения с помощью графиков, слайд 6).

3. Изучение новой темы и первичное закрепление (15 мин.)

Мы получили уравнение х 3 – 6 = 0. Но строить график функции у = х 3 – 6 мы ещё не умеем. Т.е., что получается: это уравнение и графическим способом мы не можем решить? А может быть, нужно вернуться к первоначальному уравнению: х 2 = (слайд 7). Что мы видим внутри этого уравнения? Есть ли выражения, из которых мы можем составить знакомые нам функции? (Да: у = х 2 и у = ). Что нужно сделать?
– Построить их графики.

– В одной координатной плоскости.

– Дальше найдём координаты точки пересечения.

– Нет, только значение х.

Итак, давайте ещё раз выработаем алгоритм решения уравнений графическим способом (каждый этап подтверждается показом в «Живой геометрии», Приложение 3). Используются результаты индивидуальной работы по заполнению таблицы (карточка №4). Учащиеся работают в тетрадях. Некоторые этапы в тетради записываются подробно, (слайд 7).

• Из уравнения выделяем знакомые нам функции.
• Строим графики функций в одной координатной плоскости.
• Находим координаты точек пересечения графиков.
• Из найденных координат выбираем значение абсциссы, т.е. х.
• Записываем ответ.

4. Физминутка (1 мин.)

5. Закрепление (5 мин.)

• Сколько корней имеет уравнение? (Гиперссылка – слайд 8, в «Живую геометрию», 3 страницы. Приложение 4). а) б) х + 2 = х 2 ; в) = х 2 .
• Попади в цель! (Слайд 9. Работа со слайдом показана на рисунке 1)

6. Домакшнее задание (слайд 10): (1 мин)

• п.26;
• № 623 (а), № 624(а);
• №4.10 на стр.117 (сборник Л.В.Кузнецовой): Наташа, Настя, Кирилл, Сергей.

7. Применение в образовательной области (1 мин)

Умения строить графики, читать графики, находить точки пересечения графиков нужны не только при изучении алгебры, но и при изучении физики, когда вы изучаете, н-р, зависимость плавления тела от температуры, зависимость скорости от времени движения двух тел. На уроках информатики, работая в электронных таблицах Excel, вы будете учиться строить графики, решать уравнения. На уроках химии скорость химических реакций также можно описать графически. Умение строить графики, диаграммы нужны и в повседневной жизни: для описания результатов голосования, удоя молока; в инженерных специальностях это умение очень важно.

8. Проверочная работа в виде теста (6 мин)

В – 1:

1. Какая из функций, приведённых ниже, является линейной:

а) у = – 2; б) у = х – 2; в) у = х 2 – 2.

2. График функции у = называется:

а) прямой; б) гиперболой; в) параболой.

3. Установите соответствие между функциями и их графиками:

1) у = ; 2) у = 2х 2 ; 3) у = х – 2; 4) у = 2х.

А. Б. В. Г.

4. На рисунке 3 изображены графики функций у = х 3 и у = –2 х – 3. Используя графики, решите уравнение: х 3 = – 2х – 3.

В – 2:

1. Какая из функций, приведённых ниже, является линейной:

а) у = + 1; б) у = + 1; в) у = х 5 + 1.

2. График функции у = 3х 2 называется:

а) прямой; б) гиперболой; в) параболой.

3. Установите соответствие между функциями и их графиками:

1) у = – ; 2) у = х 2 – 1; 3) у = – х; 4) у = 1 – х.

А. Б. В. Г.

4. На рисунке 5 изображены графики функций у = – х 2 + 2 и у = . Используя графики, решите уравнение: – х 2 + 2 = .

Ответы:

В – 1: 1. б 2. б 3. 1 – Б; 2 – А; 3 – В; 4 – Г 4. б
В – 2: 1. а 2. в 3. 1 – В; 2 – Г; 3 – А; 4 – Б 4. а

9. Рефлексивно-оценочный этап (отвечают письменно в тетради после выполнения теста) (2 мин.) (Слайд 11)

а) за теоретический опрос;
б) за фронтальную работу;
в) за самостоятельную работу.

Разработка урока по алгебре «Графический способ решения уравнений»(8 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Тема урока: Графический способ решения уравнений. 8 класс.

Всякое учение и всякое обучение основано на некотором уже ранее имеющемся знании.

Учитель: Ускова Вера Владимировна, МКОУ Семилукская СОШ №1 с УИОП

Тип урока: Урок изучения нового материала.

обобщить и систематизировать свойства графиков некоторых функций, алгоритмы их построения;

научить решать уравнения графическим способом, в частности используя возможности компьютерных программ;

учить анализировать , выделять главное, сравнивать.

Компьютер; мультимедийный проектор; экран; презентация к уроку.

Формы работы учащихся : индивидуальная, коллективная, диалог, работа с тестом слайда, работа в тетради, работа в парах.

Познавательные: умение получать новые знания, перерабатывать и применять полученную информацию

Коммуникативные: умение вести учебное сотрудничество с учителем и одноклассниками.

Регулятивные : умение планировать и регулировать свою деятельность; прогнозирование результата и усвоение уровня знаний.

Личностные: владение основами самоконтроля и самооценки; создание условий для обеспечения успешной деятельности на уроке, эмоционального комфорта, планировать и выполнять поставленные задачи, умение донести свое мнение до других; готовность к сотрудничеству.

ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ КАРТА УРОКА.

ный настрой учащихся к работе на уроке.

Актуализировать мыслительные операции, необходимые для проблемного изложения нового знания

Организовать фиксацию затруднений в выполнении учащимися индивидуального задания.

№ 1. Решите уравнение 4х + 8 = –17 + 9х.
№2. Решите уравнение х 2 + х – 2 = 0.
№3. Решите уравнение х 2 = .
№4. ( Слайд 2)

( Б). Устная фронтальная работа.

1.Что называется функцией?

2. С какими функциями уже знакомы?

3. Дайте определение линейной функции.

4. Что является графиком линейной функции?

Я предлагаю вашему вниманию формулы, задающие некоторые функции. Из этих функций нужно выбрать линейные.

Среди выбранных нами линейных функций есть особенные. Что это за функции? Чем отличаются графики? (Разбейте линейные функции на две группы). ( Слайд 3).

Остались функции, о которых мы ничего ещё не сказали. Давайте дадим им название, и название их графикам.

Что называется уравнением? Корнем уравнения? Что значит решить уравнение? Какие уравнения мы уже можем решать?

В) Проверяется работа по карточкам №1; №2; №3.

1) 4х + 8 = –17 + 9х,
4х – 9х = – 17 – 8,
– 5х = – 25,
х = 5.
Ответ: 5.

2) х 2 + х – 2 = 0,
D = в 2 – 4ас = 1 – 4 . 1 . (– 2) = 9 > 0, уравнение имеет два корня.
х1 = 1;
х2 = – 2.
Ответ: 1; – 2.

3) х 2 — =0,
х 3 = 6,
х 3 – 6 = 0. – Мы не располагаем никакими формулами для решения уравнений третьей степени. Как быть?

Значит, нужен другой способ решения таких уравнений. Как вы думаете, что это может быть за способ ? Одним из способов является графический способ . Записывается тема урока, (Слайд 5).

Г). Давайте поставим цель урока. (Ответ: научиться решать уравнения с помощью графиков ) (Слайд 6).

выделение и осознание того, что уже освоено и что еще подлежит усвоению, осознание качества и уровня усвоения, фиксирование индивидуального затруднения в пробном учебном действии (Р);

структурирование знаний, подведение под понятие (П);

умение аргументировать свою точку зрения (К);

3.Изучение новой темы и первичное закрепление

Соотнести новое знание с правилом в учебнике.

Организовать фиксацию новых знаний

Мы получили уравнение х 3 – 6 = 0. Но строить график функции у = х 3 – 6 мы ещё не умеем. Т.е., что получается: это уравнение и графическим способом мы не можем решить? А может быть, нужно вернуться к первоначальному уравнению : х 2 = (Слайд 7).

Что мы видим внутри этого уравнения? Есть ли выражения, из которых мы можем составить знакомые нам функции? (Да: у = х 2 и у = ). Что нужно сделать?
– Построить их графики. Как? Где?

– В одной координатной плоскости. И что?

– Дальше найдём координаты точки пересечения.

Нам обе координаты нужны?

– Нет, только значение х.

Итак, давайте ещё раз выработаем алгоритм решения уравнений графическим способом :

Из уравнения выделяем знакомые нам функции.

Строим графики функций в одной координатной плоскости.

Находим координаты точек пересечения графиков.

Из найденных координат выбираем значение абсциссы , т.е. х.

фиксирование проблемы, умение осознанно и произвольно строить речевое высказывание в устной форме,

извлечение необходимой информации из текста, построение логической цепи рассуждений, доказательство, умение получать новые знания (П);

умение получать новые знания(П).

постановка целей занятий, планирование деятельности (Р);

умение вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении вопроса (К).

Снять усталость и напряжение учащихся, улучшить внимание.

Выполнили упражнения для снятие напряжения в области шеи и упражнения для укрепления зрения

Организовать усвоение детьми новых правил с их проговариванием во внешней речи:

1. Сколько корней имеет уравнение? а)

б) х + 2 = х 2 ; в) = х 2 .

2. Попади в цель! (Слайд 9)

Структурирование собственных знаний, поиск и выделение необходимой информации (П);

выражение своих мыслей с достаточной полнотой и точностью,

организация и планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками (К);

контроль и оценка процесса и результатов деятельности (Р);

оценивание усваиваемого материала (Л).

6. Домашнее задание

Организовать обсуждение и запись домашнего задания.

Запишите домашнее задание: ( Слайд 10)

7. Применение в образовательной области

Умения строить графики, читать графики, находить точки пересечения графиков нужны не только при изучении алгебры, но и при изучении физики, когда вы изучаете, например, зависимость плавления тела от температуры, зависимость скорости от времени движения двух тел. На уроках химии скорость химических реакций также можно описать графически. Умение строить графики, диаграммы нужны и в повседневной жизни: для описания результатов голосования, в инженерных специальностях это умение очень важно.

8.Проверочная работа в виде теста

Организовать самостоятельное выполнение учащимися типовых заданий

на новый способ действия.

Организовать самопроверку самостоятельной работы.

По результатам выполнения самостоятельной работы организовать выявление

и исправление допущенных ошибок.

1. Какая из функций, приведённых ниже, является линейной:

а) у = – 2; б) у = х – 2; в) у =х 2 – 2.

2. График функции у = называется:

а) прямой; б) гиперболой; в) параболой.

3. Установите соответствие между функциями и их графиками:

1) у = ; 2) у = 2х 2 ; 3) у = х – 2; 4) у = 2х.

4. На рисунке 3 изображены графики функций у =х 3 и у = –2х – 3. Используя графики, решите уравнение: х 3 = – 2х – 3.

а) – 3; б) – 1; в) – 1,5.

1. Какая из функций, приведённых ниже, является линейной:

а) у = + 1; б) у = + 1; в) у =х 5 + 1.

2. График функции у = 3х 2 называется:

а) прямой; б) гиперболой; в) параболой.

3. Установите соответствие между функциями и их графиками:

1) у = – ; 2) у = х 2 – 1; 3) у = – х; 4) у = 1 – х.

4. На рисунке 5 изображены графики функций у = – х 2 + 2 и у = . Используя графики, решите уравнение: – х 2 + 2 = .

В – 1: 1. б 2. б 3. 1 – Б; 2 – А; 3 – В; 4 – Г 4. б
В – 2: 1. а 2. в 3. 1 – В; 2 – Г; 3 – А; 4 – Б 4. а

Учащиеся заносят варианты ответов в бланк.

Анализ, синтез, сравнение, обобщение, аналогия, классификация (П);

формирование готовности к самообразованию (Л);

использование критериев для обоснования своего суждения (К);

п ланирование своей деятельности для решения поставленной задачи и контроль полученного результата (Р).

9. Рефлексивно-оценочный этап ( 4 мин)

Организовать фиксацию степени соответствия результатов деятельности

на уроке и поставленной цели. Организовать проведение самооценки учениками работы на уроке.

Я – понял …
Я – знаю …
Я – умею…

умение адекватно анализировать правильность выполнения действий и вносить необходимые коррективы (Р);

формирование позитивной самооценки (Л);

построение речевого высказывания в устной форме, рефлексия способов и условий действия (П).

Организовать фиксацию нового содержания, изученного на уроке.

1.Ребята, а вы задумались, зачем мы изучаем данную тему? Давайте попытаемся ответить на этот вопрос: Где в нашей жизни может пригодиться чтение графиков?

Алгебра. 8 класс

Тема: Решение уравнений графическим способом

Содержание модуля (краткое изложение модуля):

Решим графическим способом уравнение:

Решить уравнение – значит найти такие значения x, при которых выполняется равенство x 2 = −3x
Построим в одной системе координат два графика:
график функции y = x 2 и график функции y = −3x.
Для каждого графика составим таблицы значений
y = x 2 – на рисунке синий график

y = −3x – на рисунке красный график

Заметим, что графики пересекаются в двух точках: точке с координатами (0 ; 0) и в точке с координатами (–3 ; 9). Это значит, что при x = 0 и при x = –3 функции y = x 2 и y = −3x имеют одинаковые значения.
Таким образом получаем, что при x = 0 и при x = –3 выполняется равенство x 2 = −3x.
Значит значения x = 0 и x = –3 являются корнями уравнения x 2 = −3x.
Корни, найденные графическим способом – приближённые. Чтобы доказать точность значений корней, надо каждый из них подставить в решаемое уравнение и проверить: выполняется ли полученное равенство.
Подставим в уравнение x 2 = −3x значение x = 0.

0 = 0 – верное равенство, значит x = 0 – точный корень уравнения x 2 = −3x.
Подставим в уравнение x 2 = −3x значение x = –3.

9 = 9 – верное равенство, значит x = −3 – точный корень уравнения x 2 = −3x.
Подведём итог.
Чтобы решить уравнение f₁(x) = f₂(x) графическим способом, необходимо:
1) Построить в одной системе координат графики функций y = f₁(x) и y = f₂(x). Абсциссы точек пересечения – это приближённые корни уравнения f₁(x) = f₂(x).
2) Необходимо подставить каждый приближённый корень в уравнение f₁(x) = f₂(x). Те корни, при которых получается верное равенство будут являться точными корнями уравнения f₁(x) = f₂(x).

Алгебра. 8 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. – 6-е изд. – М.: Просвещение, 2017.